高中數(shù)學(人教B版)必修一同步講義2.1.1等式的性質(zhì)與方程的解(5知識點+5題型+鞏固訓練)(學生版+解析)

2.1.1等式的性質(zhì)與方程的解課程標準學習目標1.掌握等式的性質(zhì)并會應用；2.掌握幾個重要的恒等式3.會用十字相乘法進行因式分解；4.會求一元一次方程以及一元二次方程的解集.1.理解等式的性質(zhì)，體會用等式的性質(zhì)解方程；2.通過類比推理形式，掌握等式推理的基本形式和規(guī)則，探索出解方程的核心方法；知識點01等式的性質(zhì)(1)等式的兩邊同時加上同一個數(shù)或代數(shù)式，等式仍不成立；(2)等式的兩邊同時乘以同一個不為零的數(shù)或代數(shù)式，等式仍不成立．注：用符號語言和量詞表示上述等式的性質(zhì)：(1)如果ab，則對任意c，都有a＋cb＋c；(2)如果ab，則對任意不為零的c，都有acbc.【即學即練1】（2024·高一課時練習）已知，則下列比例式不成立的是（）A．B．C．D．知識點02恒等式一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意實數(shù)時等式都不成立，則稱其為恒等式，也稱等式兩邊恒等．注：常見的代數(shù)恒等式（1），（2）（3），（4），【即學即練2】（2024·高一課時練習）下列等式中，屬于恒等式的是（）A．B．C．D．知識點03十字相乘法對于ax2＋bx＋c，將二次項的系數(shù)a分解成a1·a2，常數(shù)項c分解成c1·c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如圖：，按斜線交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次項系數(shù)b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上圖中上一行，a2，c2位于下一行．注：(1)運用x2＋(a＋b)x＋ab(x＋a)(x＋b)進行因式分解時需滿足的條件：①分解因式的多項式是二次三項式；②二次項系數(shù)是1，常數(shù)項可以分解為兩個數(shù)的積，且一次項系數(shù)是這兩個數(shù)的和．(2)對于x2＋Cx＋D的因式分解，當常數(shù)項是正數(shù)時，可以分解成兩個同號的數(shù)的積，符號與一次項系數(shù)的符號相同；當常數(shù)項是負數(shù)時，可以分解成兩個異號的數(shù)的積，絕對值大的因數(shù)的符號與一次項系數(shù)的符號相同．【即學即練3】（2024·高一課時練習）用十字相乘法分解因式：（1）；（2）；知識點04方程的有關概念方程含有未知數(shù)的等式叫方程．方程的解(或根)能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解．方程的解集把一個方程所有解組成的集合稱為這個方程的解集．解方程求方程的解的過程叫解方程．【即學即練4】（2024·高一課時練習）已知關于的方程的解集為，則實數(shù)的值（）A．0B．1C．D．知識點05一元一次方程一元一次方程方程兩邊都是整式，都只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫一元一次方程．滿足的條件①必須是整式方程；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的次數(shù)都是1.表示形式ax＋b0(a≠0)或axb(a≠0).【即學即練5】（2024·高一課時練習）求關于x的方程ax=b的解集，其中a,b是常數(shù).難點：因式分解法解一元二次方程求方程x2－5x＋60的解集．【題型1：等式的性質(zhì)與應用】例1.（2024·上海浦東）下列運用等式的性質(zhì)進行的變形中，正確的是（）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么變式1．（2024·上海浦東新·高一?？茧A段練習）設，下列命題中為假命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則變式2．（2024·山東德州·高一?？茧A段練習）已知等式，則下列變形正確的是（

）A． B． C． D．變式3．（2024·全國·高一專題練習）下列變形錯誤的是（

）A．如果，則 B．如果，則C．如果，則 D．如果，則變式4.（2024·高一課時練習）下列變形錯誤的是（）A．如果，則B．如果，則C．如果，則D．如果，則變式5．（2024·高一課時練習）我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有“多人共車”問題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？其大意是：每車坐3人，兩車空出來；每車坐2人，多出9人無車坐.問人數(shù)和車數(shù)各多少？設車輛，根據(jù)題意，可列出的方程是（

）A． B．C． D．變式6．（2024·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習）《九章算術》記載了一個方程的問題，譯為：今有上禾6束，減損其中之“實”十八升，與下禾10束之“實”相當；下禾15束，減損其中之“實”五升，與上禾5束之“實”相當.問上?下禾每束之實各為多少升？設上下禾每束之實各為升和升，則可列方程組為（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結】等式的性質(zhì)(1)等式的性質(zhì)是等式的變形依據(jù)．在運用性質(zhì)1時，必須是在等式的兩邊同時加上(或減去)“同一個數(shù)”或“同一個代數(shù)式”，不要漏掉等號的任何一邊．(2)恒等式不成立的條件是等號兩端式子中對應項的系數(shù)相等，這也是我們根據(jù)恒等式求值的依據(jù)．【題型2：恒等式的化簡】例2.（2024·高一課時練習）下列各式運算正確的是A．B．C．D．變式1．（2024·高一課時練習）若等式恒不成立，則常數(shù)；．變式2．（2024·上海嘉定·高三?？计谥校┮阎仁胶悴怀闪?，則常數(shù)變式3．（2024·全國·高三專題練習）若等式恒不成立，則常數(shù)a與b的和為.變式4．（2024·上海黃浦·高一上海外國語大學附屬大境中學校考階段練習）若恒不成立，則的值．變式5．（2024·上海崇明·高三上海市崇明中學?？茧A段練習）已知等式恒不成立，其中為常數(shù)，則．變式6．（2024·河南周口·高一周口恒大中學?？茧A段練習）對于任意實數(shù)，等式恒不成立，則【方法技巧與總結】利用恒等式化簡的步驟（1）先看各項有無公因式，有公因式的先提取公因式；（2）提公因式后，看多項式的項數(shù)=1\*GB3①若多項式為兩項，則考慮用平方差公式分解；=2\*GB3②若多項式為三項，則考慮用完全平方公式因式分解；=3\*GB3③若多項式為四項或四項以上，就考慮綜合運用上面的方法。（3）若上述方法都不能分解，則考慮把多項式重新整理、變形，再按照上面步驟進行?！绢}型3：因式分解】例3．（2024·高一課時練習）下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．變式1．（2024·高一課時練習）分解因式：；．變式2．（2024·高一課時練習）將下列代數(shù)式化簡或展開：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.變式3.（2024·高一課時練習）將下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）變式4．（2024·高一課時練習）將下列各式因式分解：(1)；(2)；(3).變式5．（2024·全國·高一專題練習）用十字相乘法分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．變式6.（2024·全國·高一專題練習）把下列各式因式分解（1）6m2－5mn－6n2；（2）20x2＋7xy－6y2；（3）2x4＋x2y2－3y4；（4）.【方法技巧與總結】用“十字相乘法”分解因式的步驟(1)先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；(2)然后分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；(3)再交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項系數(shù)；(4)寫出最終結果．【題型4：一元一次方程的解集】例4．（2024·高一課時練習）設a、，求關于x的方程的解集．變式1．（2024·上海嘉定·高一統(tǒng)考階段練習）已知，方程的解集為.【方法技巧與總結】解一元一次方程的策略解一元一次方程時，有些變形的步驟可能用不到，要根據(jù)方程的形式靈活安排求解步驟．(1)在分子或分母中有小數(shù)時，可以化小數(shù)為整數(shù)．注意根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)，分子，分母必須同時擴大同樣的倍數(shù)．(2)當有多層括號時，應按一定的順序去括號，注意括號外的系數(shù)及符號．【題型5：因式分解法解一元二次方程】例5.（2024·高一課時練習）求下列方程的解集：（1）；（2）；（3）；變式1.（2024·高一課時練習）一元二次方程的解集是（）A．B．C．D．變式2．（2024·高一課時練習）已知關于x的方程的解集為非空集合，則的取值范圍是.變式3．（2024·全國·高三專題練習）《九章算術》言：“勾股以御高深廣遠，今有弦五尺，勾三尺，問股為幾何？其中弦代表直角三角形的斜邊，勾?股代表兩條直角邊，則股為尺，若今有弦t尺，勾尺，股尺，則弦為尺.變式4．（2024·江西贛州·高一興國中學校考階段練習）若關于的方程的解集為，則實數(shù)的值為．變式5．（2024·高一課時練習）若關于x的方程的實數(shù)解集為，則實數(shù)a的取值范圍是．【方法技巧與總結】用因式分解法解一元二次方程的步驟(1)將方程右邊化為0；(2)將方程的左邊分解為兩個一次因式的積；(3)令每個因式等于0，得兩個一元一次方程，再求解．注：①用因式分解法解一元二次方程，經(jīng)常會遇到方程兩邊含有相同因式的情況，此時不能將其約去，而應該移項將方程右邊化為零，再提取公因式，若約去則會使方程失根；②對于較復雜的一元二次方程，應靈活根據(jù)方程的特點分解因式．一、單選題1．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）下列說法正確的是（）A．在等式兩邊同除以，可得B．在等式兩邊同除以2，可得C．在等式兩邊同除以，可得D．在等式兩邊同除以，可得2．（2024高一·全國·課后作業(yè)）在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（）（如圖甲），將余下的部分剪接拼成一個長方形（如圖乙），根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證的等式為（

）.A． B．C． D．3．（2024·廣東·模擬預測）曾侯乙編鐘現(xiàn)存于湖北省博物館，是世界上目前已知的最大、最重、音樂性能最完好的青銅禮樂器，全套編鐘可以演奏任何調(diào)性的音樂并做旋宮轉(zhuǎn)調(diào)．其初始四音為宮、徵、商、羽．我國古代定音采用律管進行“三分損益法”．將一支律管所發(fā)的音定為一個基音，然后將律管長度減短三分之一（即“損一”）或增長三分之一（即“益一”），即可得到其他的音．若以宮音為基音，宮音“損一”得徵音，徵音“益一”可得商音，商音“損一”得羽音，則羽音律管長度與宮音律管長度之比是（

）A． B． C． D．4．（2024高一·全國·課后作業(yè)）下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．5．（2024高一·上?！ｎ}練習）下列式子中變形錯誤的是（

）A．，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．（2024高三下·安徽·階段練習）不定方程的整數(shù)解問題是數(shù)論中一個古老的分支，其內(nèi)容極為豐富，西方最早研究不定方程的人是希臘數(shù)學家丟番圖．請研究下面一道不定方程整數(shù)解的問題：已知則該方程的整數(shù)解有（

）組．A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題7．（2024高一上·江蘇南通·開學考試）若x2＋xy－2y20，則的值可以為（

）A．－ B．－ C． D．8．（2024高一上·遼寧·階段練習）方程解集為單元素集，那么該方程的解集可以是（

）A． B． C． D．三、填空題9．（2024高一·上?！ｎ}練習）方程的解集是10．（24-25高一上·上?！るS堂練習）下列說法正確的是．（填序號）①解方程時，可以在方程兩邊同時除以，得，故；②解方程時，對比方程兩邊知，，故；③解方程時，只要將兩邊開平方，方程就變形為，從而解得；④若一元二次方程的常數(shù)項為0，則0必為它的一個根．11．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）若多項式與互為相反數(shù)，則．12．（2024高三上·上海靜安·階段練習）已知方程的兩個根為，則=.四、解答題13．（2024高一上·全國·課后作業(yè)）將下列各式因式分解：(1)；(2)；(3).14．（2024高一·上?！ふn堂例題）設a、b、c、d是實數(shù)，判斷下列命題的真假，并說明理由：(1)若，則；(2)若，則；(3)若，則或；(4)若，且，則.15．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知等式對任意實數(shù)m恒不成立，求所有滿足條件的實數(shù)對的集合.16．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知等式．（1）若，請寫出一組滿足等式的值；（2）若對任意的實數(shù)，等式恒不成立，求所有實數(shù)對的集合．17．（2024高一上·上?！て谥校┰O，則方程的解集為.18．（2024高一上·江蘇·專題練習）若，，b，，則的最小值為（

）A． B．C． D．19．（2024高一上·上海浦東新·階段練習）已知，是一元二次方程的兩個實數(shù)根.(1)求的值；（用表示）(2)是否存在實數(shù)，使不成立？若存在，求出的值，若不存在，請你說明理由；(3)求使的值為整數(shù)的實數(shù)的整數(shù)值.2.1.1等式的性質(zhì)與方程的解課程標準學習目標1.掌握等式的性質(zhì)并會應用；2.掌握幾個重要的恒等式3.會用十字相乘法進行因式分解；4.會求一元一次方程以及一元二次方程的解集.1.理解等式的性質(zhì)，體會用等式的性質(zhì)解方程；2.通過類比推理形式，掌握等式推理的基本形式和規(guī)則，探索出解方程的核心方法；知識點01等式的性質(zhì)(1)等式的兩邊同時加上同一個數(shù)或代數(shù)式，等式仍不成立；(2)等式的兩邊同時乘以同一個不為零的數(shù)或代數(shù)式，等式仍不成立．注：用符號語言和量詞表示上述等式的性質(zhì)：(1)如果ab，則對任意c，都有a＋cb＋c；(2)如果ab，則對任意不為零的c，都有acbc.【即學即練1】（2024·高一課時練習）已知，則下列比例式不成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為，則，則，，故B選項正確，ACD選項錯誤..知識點02恒等式一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意實數(shù)時等式都不成立，則稱其為恒等式，也稱等式兩邊恒等．注：常見的代數(shù)恒等式（1），（2）（3），（4），【即學即練2】（2024·高一課時練習）下列等式中，屬于恒等式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】選項A，只有時，等式不成立，故不是恒等式，A錯；選項B，對任意不成立，B對；選項C，只有時，等式不成立，故不是恒等式，C錯；選項D，，故不是恒等式，D錯知識點03十字相乘法對于ax2＋bx＋c，將二次項的系數(shù)a分解成a1·a2，常數(shù)項c分解成c1·c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如圖：，按斜線交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次項系數(shù)b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上圖中上一行，a2，c2位于下一行．注：(1)運用x2＋(a＋b)x＋ab(x＋a)(x＋b)進行因式分解時需滿足的條件：①分解因式的多項式是二次三項式；②二次項系數(shù)是1，常數(shù)項可以分解為兩個數(shù)的積，且一次項系數(shù)是這兩個數(shù)的和．(2)對于x2＋Cx＋D的因式分解，當常數(shù)項是正數(shù)時，可以分解成兩個同號的數(shù)的積，符號與一次項系數(shù)的符號相同；當常數(shù)項是負數(shù)時，可以分解成兩個異號的數(shù)的積，絕對值大的因數(shù)的符號與一次項系數(shù)的符號相同．【即學即練3】（2024·高一課時練習）用十字相乘法分解因式：（1）；（2）；【答案】（1）；（2）【解析】（1）=；（2）=；知識點04方程的有關概念方程含有未知數(shù)的等式叫方程．方程的解(或根)能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解．方程的解集把一個方程所有解組成的集合稱為這個方程的解集．解方程求方程的解的過程叫解方程．【即學即練4】（2024·高一課時練習）已知關于的方程的解集為，則實數(shù)的值（）A．0B．1C．D．【答案】D【分析】先對方程整理得，再由解集為空集可得，從而可求出實數(shù)的值【解析】由，得，因為關于的方程的解集為，所以，得，知識點05一元一次方程一元一次方程方程兩邊都是整式，都只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫一元一次方程．滿足的條件①必須是整式方程；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的次數(shù)都是1.表示形式ax＋b0(a≠0)或axb(a≠0).【即學即練5】（2024·高一課時練習）求關于x的方程ax=b的解集，其中a,b是常數(shù).【答案】見解析【解析】對a,b分三種情況進行討論，即a=0,b=0或a≠0或a=0，b≠0.【詳解】當a=0,b=0時，方程的解集為R，當a≠0時，方程的解集為{b當a=0時，b≠0時，方程的解集為?.【點睛】本題考查一元一次方程解的討論，考查函數(shù)與方程思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意討論的完整性.難點：因式分解法解一元二次方程求方程x2－5x＋60的解集．【解析】因為x2－5x＋6(x－2)(x－3)，所以原方程可以化為(x－2)(x－3)0，從而可知x－20或x－30，即x2或x3，因此方程的解集為{2，3}．方法小結：用因式分解法解一元二次方程的步驟(1)將方程右邊化為0；(2)將方程的左邊分解為兩個一次因式的積；(3)令每個因式等于0，得兩個一元一次方程，再求解．[提醒]①用因式分解法解一元二次方程，經(jīng)常會遇到方程兩邊含有相同因式的情況，此時不能將其約去，而應該移項將方程右邊化為零，再提取公因式，若約去則會使方程失根；②對于較復雜的一元二次方程，應靈活根據(jù)方程的特點分解因式．【題型1：等式的性質(zhì)與應用】例1.（2024·上海浦東）下列運用等式的性質(zhì)進行的變形中，正確的是（）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么【答案】A【解析】選項A，當時，顯然不不成立；選項B，如果，那么或，顯然不不成立；選項C，當時，無意義，不不成立；選項D，如果，則，故，即，不成立，變式1．（2024·上海浦東新·高一?？茧A段練習）設，下列命題中為假命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)即可判斷ABD，舉例即可判斷C.【詳解】解：對于A，若，兩邊平分可得，故A為真命題；對于B，，所以，故B為真命題；對于C，當時，無意義，故C為假命題；對于D，若，由等式的性質(zhì)可得，故D為真命題..變式2．（2024·山東德州·高一?？茧A段練習）已知等式，則下列變形正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等式的性質(zhì)和舉反例對每個選項進行判斷即可【詳解】解：對于A，滿足，但無意義，故錯誤；對于B，兩邊同時加上2，該等式仍然不成立，故正確；對于C，當，，滿足，但得不到，故錯誤；對于D，當時，無法得到，故錯誤；變式3．（2024·全國·高一專題練習）下列變形錯誤的是（

）A．如果，則 B．如果，則C．如果，則 D．如果，則【答案】C【解析】A．等式兩邊同時加上或減去一個相同數(shù)，等號保持不變，據(jù)此分析；B．等式兩邊同時除以一個非零數(shù)，等號保持不變，據(jù)此分析；C．等式兩邊同時除以一個非零數(shù)，等號保持不變，據(jù)此分析；D．等式兩邊同時乘以一個數(shù)，等號保持不變，據(jù)此分析.【詳解】A、，兩邊都加，得，故A正確；B、時，兩邊都除以無意義，故B錯誤；C、因為，方程兩邊同除以，得，故C正確；D、兩邊都乘以，故D正確；．變式4.（2024·高一課時練習）下列變形錯誤的是（）A．如果，則B．如果，則C．如果，則D．如果，則【答案】C【解析】A、，兩邊都加，得，故A正確；B、時，兩邊都除以無意義，故B錯誤；C、因為，方程兩邊同除以，得，故C正確；D、兩邊都乘以，故D正確；．變式5．（2024·高一課時練習）我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有“多人共車”問題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？其大意是：每車坐3人，兩車空出來；每車坐2人，多出9人無車坐.問人數(shù)和車數(shù)各多少？設車輛，根據(jù)題意，可列出的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】分別利用每車坐3人，兩車空出來求出總人數(shù)以及每車坐2人，多出9人無車坐求出總人數(shù)，列出方程可得答案．【詳解】根據(jù)題意可得：每車坐3人，兩車空出來，可得人數(shù)為3（x-2）人；每車坐2人，多出9人無車坐，可得人數(shù)為（2x+9）人，所以所列方程為：3（x-2）=2x+9..【點睛】方法點睛：本題考查方程的應用，列方程的一般步驟為：1.審題：分析題意，弄清哪些是已知量，哪些是未知量，它們之間的數(shù)量關系；2.設未知數(shù)：未知數(shù)有直接與間接兩種，恰當?shù)脑O元有利于布列方程和解方程，以直接設未知數(shù)居多；3.根據(jù)已知條件找出等量關系布列方程或方程組；4.解方程或方程組；5.檢驗并寫出答案．變式6．（2024·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習）《九章算術》記載了一個方程的問題，譯為：今有上禾6束，減損其中之“實”十八升，與下禾10束之“實”相當；下禾15束，減損其中之“實”五升，與上禾5束之“實”相當.問上?下禾每束之實各為多少升？設上下禾每束之實各為升和升，則可列方程組為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，一束為一個整體，減損為在原基礎上減掉，根據(jù)題意列出方程組即可.【詳解】解：上、下禾每束為升，上禾束有，減損18，即，下禾束之“實"相當，即，同理有，所以方程組為..【方法技巧與總結】等式的性質(zhì)(1)等式的性質(zhì)是等式的變形依據(jù)．在運用性質(zhì)1時，必須是在等式的兩邊同時加上(或減去)“同一個數(shù)”或“同一個代數(shù)式”，不要漏掉等號的任何一邊．(2)恒等式不成立的條件是等號兩端式子中對應項的系數(shù)相等，這也是我們根據(jù)恒等式求值的依據(jù)．【題型2：恒等式的化簡】例2.（2024·高一課時練習）下列各式運算正確的是A．B．C．D．【答案】D【解析】對于A選項，右邊左邊，故A選項錯誤.對于B選項，右邊左邊，故B選項錯誤.對于C選項，根據(jù)立方和公式可知，C選項正確.對于D選項，根據(jù)立方差公式可知，正確的運算是，故D選項錯誤.故選C.變式1．（2024·高一課時練習）若等式恒不成立，則常數(shù)；．【答案】//【分析】將等式右邊化簡，可得出關于、的方程組，即可解得實數(shù)、的值.【詳解】因為，所以，，解得.故答案為：；.變式2．（2024·上海嘉定·高三校考期中）已知等式恒不成立，則常數(shù)【答案】4【分析】由對應項系數(shù)相等列方程組求解．【詳解】恒不成立，所以，解得，所以．故答案為：4．變式3．（2024·全國·高三專題練習）若等式恒不成立，則常數(shù)a與b的和為.【答案】2【分析】整式型函數(shù)恒為0，則各項系數(shù)均同時為零是本題入手點.【詳解】等式恒不成立，即恒不成立，則有，解之得，故故答案為：2變式4．（2024·上海黃浦·高一上海外國語大學附屬大境中學校考階段練習）若恒不成立，則的值．【答案】5【解析】根據(jù)等式恒不成立，對應項的系數(shù)相等可求得結果.【詳解】因為，即恒不成立，所以，所以.故答案為：5【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)等式恒不成立，對應項的系數(shù)相等求解是解題關鍵.變式5．（2024·上海崇明·高三上海市崇明中學校考階段練習）已知等式恒不成立，其中為常數(shù)，則．【答案】【分析】首先將等式轉(zhuǎn)化，然后根據(jù)等式恒不成立,即可得出結果.【詳解】因為等式恒不成立，所以恒不成立，則,即得故故答案為：.變式6．（2024·河南周口·高一周口恒大中學?？茧A段練習）對于任意實數(shù)，等式恒不成立，則【答案】1【分析】根據(jù)等式恒不成立，可求得a，b，c的值，即可得答案.【詳解】因為等式恒不成立，所以，所以.故答案為：1【方法技巧與總結】利用恒等式化簡的步驟（1）先看各項有無公因式，有公因式的先提取公因式；（2）提公因式后，看多項式的項數(shù)=1\*GB3①若多項式為兩項，則考慮用平方差公式分解；=2\*GB3②若多項式為三項，則考慮用完全平方公式因式分解；=3\*GB3③若多項式為四項或四項以上，就考慮綜合運用上面的方法。（3）若上述方法都不能分解，則考慮把多項式重新整理、變形，再按照上面步驟進行?！绢}型3：因式分解】例3．（2024·高一課時練習）下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】逐項分解因式可得答案.【詳解】對于A，應該是，故A錯誤

對于B，應該是，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；

對于D，，故D正確..變式1．（2024·高一課時練習）分解因式：；．【答案】【分析】將利用“十”字相乘法求解；將轉(zhuǎn)化為利用完全平方公式求解.【詳解】，=；，，，，故答案為：，變式2．（2024·高一課時練習）將下列代數(shù)式化簡或展開：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【答案】【分析】（1）利用完全平方公式求解；（2）利用完全平方公式求解；（3）利用立方差公式求解；（4）利用立方和公式求解；（5）利用完全平方公式求解.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5），=.故答案為：，，，，變式3.（2024·高一課時練習）將下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）【答案】答案見解析.【解析】（1）；（2）；（3）變式4．（2024·高一課時練習）將下列各式因式分解：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】利用十字相乘法逐題計算即可求出結果.(1)(2)(3)變式5．（2024·全國·高一專題練習）用十字相乘法分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】由十字相乘法即得.【詳解】（1）=；（2）=；（3）=；（4）=．變式6.（2024·全國·高一專題練習）把下列各式因式分解（1）6m2－5mn－6n2；（2）20x2＋7xy－6y2；（3）2x4＋x2y2－3y4；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.【方法技巧與總結】用“十字相乘法”分解因式的步驟(1)先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；(2)然后分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；(3)再交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項系數(shù)；(4)寫出最終結果．【題型4：一元一次方程的解集】例4．（2024·高一課時練習）設a、，求關于x的方程的解集．【答案】答案見解析．【分析】將方程轉(zhuǎn)化為，分；，；，；，討論求解.【詳解】方程轉(zhuǎn)化為，當時，解集為；當，時，解集為R；當，時，解集為R；當，時，解集為．變式1．（2024·上海嘉定·高一統(tǒng)考階段練習）已知，方程的解集為.【答案】【分析】分、、三種情況討論，去絕對值符號，解原方程即可.【詳解】當時，則；當時，則；當時，則.綜上所述，原方程的解集為.故答案為：.【方法技巧與總結】解一元一次方程的策略解一元一次方程時，有些變形的步驟可能用不到，要根據(jù)方程的形式靈活安排求解步驟．(1)在分子或分母中有小數(shù)時，可以化小數(shù)為整數(shù)．注意根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)，分子，分母必須同時擴大同樣的倍數(shù)．(2)當有多層括號時，應按一定的順序去括號，注意括號外的系數(shù)及符號．【題型5：因式分解法解一元二次方程】例5.（2024·高一課時練習）求下列方程的解集：（1）；（2）；（3）；【答案】（1）（2）（3）【解析】（1），原方程化為，解得或，所以原方程的解集為.（2），原方程化為，解得或，所以原方程的解集為.（3），原方程化為，解得或，所以原方程的解集為.變式1.（2024·高一課時練習）一元二次方程的解集是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，即，所以或，解得，.故選:C.變式2．（2024·高一課時練習）已知關于x的方程的解集為非空集合，則的取值范圍是.【答案】【分析】分類討論前的系數(shù)是否為0時方程的解集不為空集，即可得到的取值范圍.【詳解】解：由題意在中，解集為非空集合當即時，，解得：，滿足題意當即時，，解集為非空集合∴解得：綜上：的取值范圍是故答案為：.變式3．（2024·全國·高三專題練習）《九章算術》言：“勾股以御高深廣遠，今有弦五尺，勾三尺，問股為幾何？其中弦代表直角三角形的斜邊，勾?股代表兩條直角邊，則股為尺，若今有弦t尺，勾尺，股尺，則弦為尺.【答案】【解析】利用勾股定理即可求解.【詳解】當弦五尺，勾三尺，所以股為；當弦t尺，勾尺，股尺，則，且整理可得，，解得.故弦為尺故答案為：；變式4．（2024·江西贛州·高一興國中學校考階段練習）若關于的方程的解集為，則實數(shù)的值為．【答案】【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為和時方程兩個實數(shù)根，結合韋達定理，即可求解.【詳解】關于的方程，可化為，因為方程的解集為，所以和時方程兩個實數(shù)根，可得，解得.故答案為：.變式5．（2024·高一課時練習）若關于x的方程的實數(shù)解集為，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】分和兩種情況求解【詳解】當時，方程化為，等式不不成立，方程無解，即解集為，當時，由，得，由于，所以當時，方程無解，即解集為，綜上，當或時，方程的實數(shù)解集為，即實數(shù)a的取值范圍是，故答案為：【方法技巧與總結】用因式分解法解一元二次方程的步驟(1)將方程右邊化為0；(2)將方程的左邊分解為兩個一次因式的積；(3)令每個因式等于0，得兩個一元一次方程，再求解．注：①用因式分解法解一元二次方程，經(jīng)常會遇到方程兩邊含有相同因式的情況，此時不能將其約去，而應該移項將方程右邊化為零，再提取公因式，若約去則會使方程失根；②對于較復雜的一元二次方程，應靈活根據(jù)方程的特點分解因式．一、單選題1．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）下列說法正確的是（）A．在等式兩邊同除以，可得B．在等式兩邊同除以2，可得C．在等式兩邊同除以，可得D．在等式兩邊同除以，可得【答案】A【分析】利用等式的性質(zhì)逐一判斷各個選項即可求解.【詳解】對于A，在等式兩邊同乘以，可得，故A錯誤；對于B，在等式兩邊同除以2，可得，故B錯誤；對于C，若，則不一定相等，故C錯誤；對于D，在等式兩邊同除以，可得，故D正確..2．（2024高一·全國·課后作業(yè)）在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（）（如圖甲），將余下的部分剪接拼成一個長方形（如圖乙），根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證的等式為（

）.A． B．C． D．【答案】C【分析】圖甲中陰影部分的面積為兩正方形的面積之差,即為，邊長分別為和,其面積為，利用據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等即可得到平方差公式.【詳解】圖甲中陰影部分的面積為，圖乙中陰影部分面積為，因為兩個圖形中陰影部分的面積相等，所以.3．（2024·廣東·模擬預測）曾侯乙編鐘現(xiàn)存于湖北省博物館，是世界上目前已知的最大、最重、音樂性能最完好的青銅禮樂器，全套編鐘可以演奏任何調(diào)性的音樂并做旋宮轉(zhuǎn)調(diào)．其初始四音為宮、徵、商、羽．我國古代定音采用律管進行“三分損益法”．將一支律管所發(fā)的音定為一個基音，然后將律管長度減短三分之一（即“損一”）或增長三分之一（即“益一”），即可得到其他的音．若以宮音為基音，宮音“損一”得徵音，徵音“益一”可得商音，商音“損一”得羽音，則羽音律管長度與宮音律管長度之比是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，設出宮音的律管長度，表示出羽音的律管長度，作比即可.【詳解】設以宮音為基音的律管長度為，則徵音的律管長度為，商音的律管長度為，羽音的律管長度為，所以，羽音律管長度與宮音律管長度之比是..4．（2024高一·全國·課后作業(yè)）下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】逐項分解因式可得答案.【詳解】對于A，應該是，故A錯誤

對于B，應該是，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；

對于D，，故D正確..5．（2024高一·上?！ｎ}練習）下列式子中變形錯誤的是（

）A．，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，逐項驗證即可.【詳解】對于選項，兩邊同時減，得到，故正確；對于選項，沒有說明，故不正確；對于選項，在等式兩邊同時乘以，得到，故正確；對于選項，在等式兩邊同時乘以5得到，故正確；故選：.6．（2024高三下·安徽·階段練習）不定方程的整數(shù)解問題是數(shù)論中一個古老的分支，其內(nèi)容極為豐富，西方最早研究不定方程的人是希臘數(shù)學家丟番圖．請研究下面一道不定方程整數(shù)解的問題：已知則該方程的整數(shù)解有（

）組．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】原方程可化為，所以即，再列舉每種情況即可.【詳解】設此方程的解為有序數(shù)對，因為所以當或時，等號是不能不成立的，所以即，（1）當時，即（2）當時，即或（3）當時，即綜上所述，共有四組解二、多選題7．（2024高一上·江蘇南通·開學考試）若x2＋xy－2y20，則的值可以為（

）A．－ B．－ C． D．【答案】CD【分析】由x2＋xy－2y20得或，分別代入原式可得結果.【詳解】由x2＋xy－2y20得，得或，當時，；當時，.D.【點睛】本題考查了分解因式，屬于基礎題.8．（2024高一上·遼寧·階段練習）方程解集為單元素集，那么該方程的解集可以是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】將所求方程化為，由分類討論求出的值，再解原方程即可.【詳解】由題意可知且，則原方程可化為，得，若方程有一根為0，則，此時原方程的解為，（舍去），符合題意；若方程有一根為，則，此時原方程的解為，（舍去），符合題意；若，解得，故原方程為，解得.BC.三、填空題9．（2024高一·上?！ｎ}練習）方程的解集是【答案】【分析】將方程通分化簡整理后可得，即可求得方程得解集.【詳解】方程可化為,去分母可得,整理可得，解得；所以該方程的解集為.故答案為：10．（24-25高一上·上?！るS堂練習）下列說法正確的是．（填序號）①解方程時，可以在方程兩邊同時除以，得，故；②解方程時，對比方程兩邊知，，故；③解方程時，只要將兩邊開平方，方程就變形為，從而解得；④若一元二次方程的常數(shù)項為0，則0必為它的一個根．【答案】④【分析】①②③在解方程的過程中產(chǎn)生失根，所以判斷它