高中數(shù)學(xué)(人教B版)選擇性必修一同步講義2.5.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2知識(shí)點(diǎn)+6題型+鞏固訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

2.5.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)2.借助于標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)1.重點(diǎn)：掌握橢圓的定義，會(huì)用橢圓的定義解決實(shí)際問(wèn)題.2.重點(diǎn)：掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:3.難點(diǎn)：理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)01橢圓的定義1.定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．2.焦點(diǎn)：兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2.3.焦距：兩焦點(diǎn)間的距離|F1F2|.4.半焦距：焦距的一半．【即學(xué)即練1】（23-24高二上·吉林·階段練習(xí)）橢圓x216+y225=1A．4 B．3 C．5 D．7【即學(xué)即練2】（2023高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如果點(diǎn)P(x,A．線(xiàn)段 B．直線(xiàn) C．橢圓 D．圓知識(shí)點(diǎn)02橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)1(a＞b＞0)焦點(diǎn)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系a2b2＋c2【即學(xué)即練3】（23-24高二上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）焦點(diǎn)在x軸上，中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,32,A．x24+yC．x24?y【即學(xué)即練4】（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）過(guò)點(diǎn)(3,?2)且與x2A．x215+C．x210+難點(diǎn)：和差最值、取值范圍問(wèn)題示例1：（23-24高二上·山西太原·期中）已知橢圓C:x29+y2A．30,4+6 B．30,6+6 C．【題型1：橢圓定義辨析】例1．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知圓O1與圓O2內(nèi)含，且圓心O1,OA．直線(xiàn) B．圓 C．雙曲線(xiàn) D．橢圓變式1．（23-24高二上·陜西榆林·期中）已知橢圓x2A．6 B．3 C．4 D．2變式2．（23-24高三下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z+2i|+|zA．橢圓 B．雙曲線(xiàn) C．圓 D．線(xiàn)段變式3．（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）已知P是橢圓x2100+y236=1上的點(diǎn)，F(xiàn)1、變式4．（23-24高二上·北京·期中）橢圓4x2+9y2=36的焦點(diǎn)F1變式5．（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）已知點(diǎn)F1?3,0,F23,0變式6．（多選）（24-25高二上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．方程x2B．若兩條直線(xiàn)平行，則它們的斜率相等C．直線(xiàn)2x?D．平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓變式7．（多選）（23-24高二上·河南焦作·階段練習(xí)）下列是真命題的是（

）A．已知定點(diǎn)F1?1,0,F2B．已知定點(diǎn)F1?2,0,F2C．到定點(diǎn)F1D．若點(diǎn)P到定點(diǎn)F1?4,0,F24,0的距離的和等于點(diǎn)【方法技巧與總結(jié)】橢圓是在平面內(nèi)定義的，所以“平面內(nèi)”這一條件不能忽視．定義中到兩定點(diǎn)的距離之和是常數(shù)，而不能是變量．常數(shù)(2a)必須大于兩定點(diǎn)間的距離，否則軌跡不是橢圓，這是判斷曲線(xiàn)是否為橢圓的限制條件．【題型2：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解】例2．（23-24高二上·北京西城·期中）一個(gè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1?3,0，F(xiàn)2A．x264+y228=1 B．變式1．（23-24高二上·四川巴中·期末）已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，a=2，cA．x24+C．x22+變式2．（22-23高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知F1(0,?1)，F(xiàn)2(0,1)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2變式3．（24-25高二上·上海·隨堂練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1?5,0，F(xiàn)25變式4．（24-25高二上·上?！卧獪y(cè)試）已知橢圓E：x2a2+y變式5．（23-24高二下·全國(guó)·課堂例題）求滿(mǎn)足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為?3,0，3,0，經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,4；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(?2(3)過(guò)(?3,2)且與x2變式6．（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)經(jīng)過(guò)P?2(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)2，3，且與橢圓9x變式7．（24-25高二上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)0,2和1,0；(2)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是?2,0，2,0，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)52變式8．（23-24高二上·黑龍江雞西·期末）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(?4,0),(4,0)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離的和是10；(2)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)(0,2)和(1,0)；(3)經(jīng)過(guò)63,3【方法技巧與總結(jié)】求橢圓方程有兩種方法：1.用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程先根據(jù)橢圓的定義確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置求出橢圓的方程．其中常用的關(guān)系有：①b2a2－c2；②橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和等于2a；③橢圓上一短軸頂點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離等于長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a.2.用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟【題型3：橢圓定義的應(yīng)用】例3．（24-25高二上·福建三明·階段練習(xí)）已知方程x2A．0,2 B．0,1C．2,+∞ D．0,1變式1．（24-25高二上·江西·階段練習(xí)）若方程x2A．?1,2 B．?2,1C．?1,32∪變式2．（23-24高二上·云南昆明·階段練習(xí)）方程x2A．?4<m<?1 C．?4<m<2 D．?4<變式3．（24-25高二上·江西·階段練習(xí)）如果方程2x2+ky2=變式4．（24-25高二上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）方程x22?k+y2k變式5．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知α∈0,π，橢圓C:x2sinα變式6．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）討論方程x?32+【方法技巧與總結(jié)】把方程寫(xiě)成橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式，得到形式，要想表示：1.焦點(diǎn)在軸上的橢圓，必須要滿(mǎn)足，解這個(gè)不等式就可求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．2.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，必須要滿(mǎn)足A>B>0，解這個(gè)不等式就可求出實(shí)數(shù)k的取值范圍【題型4：焦點(diǎn)三角形問(wèn)題】例4．（23-24高二下·上?！て谀┮阎獧E圓y225+x216=1的焦點(diǎn)為FA．10 B．13 C．14 D．16變式1．（24-25高二上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知橢圓C:x216+y29=1的左?右焦點(diǎn)分別為FA．4 B．6 C．8 D．3變式2．（23-24高二上·吉林延邊·期中）點(diǎn)P是橢圓x216+y27=1A．2 B．73 C．53 變式3．（23-24高二下·天津·階段練習(xí)）設(shè)F1,F2是橢圓4x249A．8 B．6 C．4 D．2變式4．（23-24高二上·江西九江·期末）已知橢圓x29+y25=1的左、右焦點(diǎn)分別為F和F'，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方．若線(xiàn)段PF的中點(diǎn)A．152 B．23 C．15 變式5．（24-25高二上·上海·課堂例題）已知橢圓x24+y23=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1變式6．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）（1）已知點(diǎn)P在橢圓x216+y24=1上，F(xiàn)1與（2）若F為橢圓C：x225+y變式7．（24-25高二上·江西·階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：x2(1)若F1F2(2)若PF1⊥【方法技巧與總結(jié)】求橢圓中焦點(diǎn)三角形面積的方法：①根據(jù)橢圓的定義求出|PF1|+PF2|2a；②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之間滿(mǎn)足的關(guān)系式；③利用公式eq\f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面積．利用公式eq\f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP為P點(diǎn)的縱坐標(biāo))求得面積④結(jié)論：S【題型5：和差最值問(wèn)題】例5．（23-24高二上·福建寧德·期末）已知P是橢圓x216+y212=1上一動(dòng)點(diǎn)，QA．3 B．4 C．5 D．6變式1．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知點(diǎn)M在橢圓x24+y2A．114 B．4 C．214變式2．（23-24高二上·吉林長(zhǎng)春·期末）已知B是橢圓x23+y2A．2 B．22 C．322變式3．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）P為橢圓C：x24+y2A．1 B．12 C．23 變式4．（2024高二下·云南曲靖·學(xué)業(yè)考試）已知橢圓C:x24+y2變式5．（23-24高二上·全國(guó)·期末）已知橢圓C:x24+y23=1的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M變式6．（23-24高二上·江蘇徐州·期末）已知P是橢圓C:y216+x2變式7．（2024高二上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x2【方法技巧與總結(jié)】總體理論依據(jù)：1.線(xiàn)段公理——兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短。2.對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)——①關(guān)于一條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形全等。②對(duì)稱(chēng)軸是兩個(gè)對(duì)稱(chēng)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)3.三角形兩邊之和大于第三邊。4.三角形兩邊之差小于第三邊。5.垂直線(xiàn)段最短【題型6：軌跡方程問(wèn)題】例6．（24-25高二上·江西·階段練習(xí)）已知圓C1：x+32+yA．x216+C．x225+變式1．（24-25高二上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)Mx,y與定點(diǎn)F4,0的距離和M到定直線(xiàn)l:A．x225+C．x216+變式2．（24-25高二上·天津紅橋·階段練習(xí)）如圖：已知圓C:x+12+變式3．（24-25高二上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A?2,0和點(diǎn)B2,0，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)AP與BP的斜率之積等于?34，則動(dòng)點(diǎn)變式4．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知⊙M:x2+2x+y2?35=0，過(guò)點(diǎn)N1,0且斜率不為零的直線(xiàn)l交⊙M于A(yíng)，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作變式5．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知過(guò)點(diǎn)A?3,0的直線(xiàn)與x=3相交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B3,0的直線(xiàn)與x=?3變式6．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知定點(diǎn)M4,0,N1,0，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足MN?MP=6PN變式7．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，Rt△ABC的頂點(diǎn)A?2,0(1)求邊BC所在直線(xiàn)的方程；(2)M為Rt△(3)若動(dòng)圓N過(guò)點(diǎn)P且與圓M內(nèi)切，求動(dòng)圓N的圓心N的軌跡方程．【方法技巧與總結(jié)】解決與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的三種方法：1.定義法：用定義法求橢圓方程的思路是：先觀(guān)察、分析已知條件，看所求動(dòng)點(diǎn)軌跡是否符合橢圓的定義．若符合橢圓的定義，則用待定系數(shù)法求解即可．2.方程法：直接根據(jù)條件列方程化簡(jiǎn)即可。3.相關(guān)點(diǎn)法：有些問(wèn)題中的動(dòng)點(diǎn)軌跡是由另一動(dòng)點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的，只要把所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)“轉(zhuǎn)移”到另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中所遵循的條件中去，即可解決問(wèn)題，這種方法稱(chēng)為相關(guān)點(diǎn)法．一、單選題1．（24-25高二上·湖南·階段練習(xí)）若橢圓x2λ+y2A．1 B．1或3 C．9 D．1或92．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知方程x22?mA．(0,2) B．(0,1) C．(2,+∞) D．(0,1)∪(1,2)3．（23-24高二上·湖北孝感·階段練習(xí)）已知橢圓x2A．±3,0 B．±4,0 C．0,±4 D．0,±34．（23-24高二下·貴州六盤(pán)水·期中）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：x216+y2A．4 B．8 C．16 D．325．（23-24高二下·北京·階段練習(xí)）設(shè)P是橢圓：x2A．22 B．23 C．256．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知a∈3,6,7,b∈A．9 B．8 C．7 D．67．（24-25高二上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）設(shè)P為橢圓x24+y29=1A．4 B．6 C．9 D．128．（23-24高二下·湖北·開(kāi)學(xué)考試）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C:x2+yA．1 B．4 C．9 D．6二、多選題9．（23-24高二上·云南昆明·期末）設(shè)橢圓x29+A．|AF|+|BF|為定值 C．當(dāng)m=32時(shí)，△ABF為直角三角形 D．當(dāng)m10．（23-24高二上·福建漳州·階段練習(xí)）已知橢圓C：x225+y24=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為FA．PF1+C．PF1≤5+11．（23-24高二上·河南·階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓M:x29+y2b2A．5 B．2 C．3 D．2三、填空題12．（23-24高二下·上海寶山·期末）設(shè)P是橢圓x24+13．（23-24高二下·上海浦東新·期中）已知橢圓x2a2+y212=1a>23的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)14．（23-24高二下·安徽六安·開(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知△ABC頂點(diǎn)A?4,0和C4,0，頂點(diǎn)B在橢圓x225四、解答題15．（23-24高二下·上海·階段練習(xí)）已知點(diǎn)P(1)若A是直線(xiàn)l:ax+(2)若B是圓C:x?(3)若E是橢圓Γ:x2a16．（21-22高二下·全國(guó)·期末）已知橢圓C：x24+y2(1)求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l與C交于M，N兩點(diǎn)，與動(dòng)點(diǎn)D的軌跡交于P，Q兩點(diǎn)，求PQ217．（23-24高二上·江西·期末）已知點(diǎn)F1,0為橢圓C(1)求C的方程；(2)若D為AB的中點(diǎn)．①求D的軌跡方程；②求DF的最大值．18．（21-22高二上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）已知圓C:(1)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P1,3且與圓C交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，若AB(2)過(guò)圓C上一動(dòng)點(diǎn)M作平行于x軸的直線(xiàn)m，設(shè)m與y軸的交點(diǎn)為N，若向量OQ=19．（24-25高二上·江西贛州·階段練習(xí)）已知橢圓C:y2a2+x2b2=1a>b>0的上、下焦點(diǎn)分別為F(1)求橢圓C的方程；(2)證明：無(wú)論動(dòng)點(diǎn)Q在C上如何運(yùn)動(dòng)，QF2.5.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)2.借助于標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)1.重點(diǎn)：掌握橢圓的定義，會(huì)用橢圓的定義解決實(shí)際問(wèn)題.2.重點(diǎn)：掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:3.難點(diǎn)：理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)01橢圓的定義1.定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．2.焦點(diǎn)：兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2.3.焦距：兩焦點(diǎn)間的距離|F1F2|.4.半焦距：焦距的一半．【即學(xué)即練1】（23-24高二上·吉林·階段練習(xí)）橢圓x216+y225=1A．4 B．3 C．5 D．7【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓的定義求出結(jié)果.【詳解】橢圓x216+y225=1所以PF【即學(xué)即練2】（2023高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如果點(diǎn)P(x,A．線(xiàn)段 B．直線(xiàn) C．橢圓 D．圓【答案】D【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合橢圓的定義分析判斷.【詳解】可設(shè)F1?4,0，F(xiàn)2可得(x由橢圓的定義可知：點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且a=5，c知識(shí)點(diǎn)02橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)1(a＞b＞0)焦點(diǎn)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系a2b2＋c2【即學(xué)即練3】（23-24高二上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）焦點(diǎn)在x軸上，中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,32,A．x24+yC．x24?y【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)即可求解b=3，代入坐標(biāo)即可求解【詳解】由于橢圓焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,?3，所以b設(shè)橢圓方程為x2將1,32代入橢圓可得1a所以橢圓方程為x2【即學(xué)即練4】（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）過(guò)點(diǎn)(3,?2)且與x2A．x215+C．x210+【答案】A【分析】根據(jù)已知方程求出焦點(diǎn)即為所求橢圓焦點(diǎn)，設(shè)出所求橢圓方程，代入(3,?2)，解方程組即可.【詳解】由x29+y24=1知，焦點(diǎn)為(設(shè)所求橢圓方程為x2a2+y故所求橢圓方程為x2.難點(diǎn)：和差最值、取值范圍問(wèn)題示例1：（23-24高二上·山西太原·期中）已知橢圓C:x29+y2A．30,4+6 B．30,6+6 C．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的定義轉(zhuǎn)化MN+MF【詳解】依題意，a=3,b=5,NF2=所以MN+MF1≥NF根據(jù)橢圓的定義可知MN+如圖所示，設(shè)NF2的延長(zhǎng)線(xiàn)與橢圓相交于則當(dāng)M位于M1時(shí)，6+MN?綜上所述，MN+MF【點(diǎn)睛】在橢圓中，求解橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)、定點(diǎn)的距離的和或差的最值，可以考慮通過(guò)橢圓的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合三點(diǎn)共線(xiàn)來(lái)確定最值.在解題過(guò)程中，要畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖象，結(jié)合圖象來(lái)進(jìn)行求解.【題型1：橢圓定義辨析】例1．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知圓O1與圓O2內(nèi)含，且圓心O1,OA．直線(xiàn) B．圓 C．雙曲線(xiàn) D．橢圓【答案】A【分析】運(yùn)用圓與圓的位置關(guān)系的結(jié)論，結(jié)合橢圓定義可解.【詳解】由題意，記圓C半徑為r．不妨令圓O1的半徑為r1，圓O2的半徑為r則動(dòng)圓C與圓O1內(nèi)切，與圓O2外切，可得：兩式相加得：CO1+CO．變式1．（23-24高二上·陜西榆林·期中）已知橢圓x2A．6 B．3 C．4 D．2【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義即可求出.【詳解】由橢圓x29+y24=1，得a則PF1+PF2=2故選:D.變式2．（23-24高三下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z+2i|+|zA．橢圓 B．雙曲線(xiàn) C．圓 D．線(xiàn)段【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的幾何意義，以及橢圓的定義，即可求解.【詳解】設(shè)Px,y,F因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z由復(fù)數(shù)的幾何意義，可得PF所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)滿(mǎn)足橢圓的定義，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是橢圓..變式3．（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）已知P是橢圓x2100+y236=1上的點(diǎn)，F(xiàn)1、【答案】14【分析】利用橢圓的定義求解即可.【詳解】因?yàn)閤2100+y236故答案為：14.變式4．（23-24高二上·北京·期中）橢圓4x2+9y2=36的焦點(diǎn)F1【答案】±5,0【分析】將橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求出焦點(diǎn)，再利用橢圓定義即可得到PF【詳解】該橢圓的方程是x29+y24=1，即a根據(jù)橢圓的定義，有PF故答案為：±5,0，變式5．（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）已知點(diǎn)F1?3,0,F23,0【答案】線(xiàn)段F【分析】根據(jù)PF【詳解】由于PF1+PF故答案為：線(xiàn)段F變式6．（多選）（24-25高二上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．方程x2B．若兩條直線(xiàn)平行，則它們的斜率相等C．直線(xiàn)2x?D．平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓【答案】ABD【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可判斷A，根據(jù)直線(xiàn)無(wú)斜率的情況即可判斷B，根據(jù)法向量的定義即可求解C，由橢圓定義即可求D.【詳解】對(duì)于A(yíng),由x2+y對(duì)于B，若兩條直線(xiàn)都和y軸平行時(shí)，此時(shí)斜率不存在，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，直線(xiàn)2x?y對(duì)于D，平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和（大于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離）為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓，故D錯(cuò)誤，BD變式7．（多選）（23-24高二上·河南焦作·階段練習(xí)）下列是真命題的是（

）A．已知定點(diǎn)F1?1,0,F2B．已知定點(diǎn)F1?2,0,F2C．到定點(diǎn)F1D．若點(diǎn)P到定點(diǎn)F1?4,0,F24,0的距離的和等于點(diǎn)【答案】CD【分析】根據(jù)橢圓定義可依次判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A(yíng)，∵2<2，根據(jù)橢圓定義，點(diǎn)對(duì)于B，∵F1F2=4,∴對(duì)于C，到定點(diǎn)F1?3,0,F2對(duì)于D，∵M(jìn)5,3到定點(diǎn)F1所以點(diǎn)P的軌跡為橢圓，故D正確．D.【方法技巧與總結(jié)】橢圓是在平面內(nèi)定義的，所以“平面內(nèi)”這一條件不能忽視．定義中到兩定點(diǎn)的距離之和是常數(shù)，而不能是變量．常數(shù)(2a)必須大于兩定點(diǎn)間的距離，否則軌跡不是橢圓，這是判斷曲線(xiàn)是否為橢圓的限制條件．【題型2：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解】例2．（23-24高二上·北京西城·期中）一個(gè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1?3,0，F(xiàn)2A．x264+y228=1 B．【答案】C【分析】利用橢圓的定義求解即可.【詳解】橢圓上的點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和等于8，故2a且F1?3,0，故所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2變式1．（23-24高二上·四川巴中·期末）已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，a=2，cA．x24+C．x22+【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)即可求解.【詳解】由a=2，c=1可得由于焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓方程為x2變式2．（22-23高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知F1(0,?1)，F(xiàn)2(0,1)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2【答案】y【分析】根據(jù)題意，由橢圓的幾何性質(zhì)求出a、b的值，結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，如圖：AB=3，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得：|又|F1F所以2a=|A又c=1，則b橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為y2故答案為：y2變式3．（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1?5,0，F(xiàn)25【答案】x【分析】先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)已知模長(zhǎng)及向量垂直化簡(jiǎn)得出橢圓方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)Mx又因?yàn)镸F1→⊥M所以MF所以MF所以MF1→所以橢圓的方程是x2故答案為：x2變式4．（24-25高二上·上?！卧獪y(cè)試）已知橢圓E：x2a2+y【答案】x【分析】由條件列關(guān)于a,b,【詳解】設(shè)Ax1,則x1所以?xún)墒较鄿p可得y2因?yàn)橹本€(xiàn)AB與AD的斜率之積為?1所以y2?y1x設(shè)橢圓E的半焦距為c，因?yàn)闄E圓E的焦距為4，所以2c=4，所以又a2=b所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2故答案為：x2變式5．（23-24高二下·全國(guó)·課堂例題）求滿(mǎn)足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為?3,0，3,0，經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,4；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(?2(3)過(guò)(?3,2)且與x2【答案】(1)x(2)x(3)x【分析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y（2）過(guò)兩點(diǎn)的橢圓方程，可設(shè)為mx（3）由焦點(diǎn)坐標(biāo)得c值，設(shè)出橢圓方程將點(diǎn)(?3,2)代入方程待定系數(shù)可得．【詳解】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2依題可得c=3，將0,4代入到方程x2a故a=所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）設(shè)方程為m則12m+n=1（3）由方程x29+y2則b2=a因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)(?3,2)，代入方程得9a解得a2=15（a2故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2變式6．（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)經(jīng)過(guò)P?2(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)2，3，且與橢圓9x【答案】(1)x(2)y【分析】（1）由題意，設(shè)橢圓的一般式方程mx（2）由已知橢圓求出半焦距并判斷焦點(diǎn)位置，設(shè)出所求橢圓方程，列方程組，求解后即得.【詳解】（1）設(shè)所求橢圓的方程mx將P?23,1,Q所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）橢圓9x2+4y2則焦點(diǎn)為0,5，0,?依題意，設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程y2則有a2?b所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2變式7．（24-25高二上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)0,2和1,0；(2)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是?2,0，2,0，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)52【答案】(1)y(2)x【分析】（1）由條件可設(shè)橢圓方程為y2a2（2）結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)知可設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,2和1,0，所以4a2所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2（2）由于橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2設(shè)橢圓的半焦距為c，則c=2又2a所以a=所以b2所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2變式8．（23-24高二上·黑龍江雞西·期末）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(?4,0),(4,0)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離的和是10；(2)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)(0,2)和(1,0)；(3)經(jīng)過(guò)63,3【答案】(1)x2(2)y(3)y2【分析】（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)求c，由橢圓定義得2a即可求b（2）結(jié)合圖形，已知點(diǎn)是長(zhǎng)短軸的頂點(diǎn)，則可得a,（3）設(shè)橢圓方程的簡(jiǎn)化形式mx【詳解】（1）由題意，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，且2a則b2∴橢圓方程為x2（2）根據(jù)題意，所求橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)(0,2)和(1,0)，則a=2,b=1（3）根據(jù)題意，要求橢圓經(jīng)過(guò)（63，3）和點(diǎn)（2設(shè)其方程為mx則有69m+3則所求橢圓的方程為y2【方法技巧與總結(jié)】求橢圓方程有兩種方法：1.用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程先根據(jù)橢圓的定義確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置求出橢圓的方程．其中常用的關(guān)系有：①b2a2－c2；②橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和等于2a；③橢圓上一短軸頂點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離等于長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a.2.用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟【題型3：橢圓定義的應(yīng)用】例3．（24-25高二上·福建三明·階段練習(xí)）已知方程x2A．0,2 B．0,1C．2,+∞ D．0,1【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合題意，建立方程組，可得答案.【詳解】由題意可得2?m>0m.變式1．（24-25高二上·江西·階段練習(xí)）若方程x2A．?1,2 B．?2,1C．?1,32∪【答案】A【分析】根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式求解即可.【詳解】因?yàn)榉匠蘹2所以1+m>02?.變式2．（23-24高二上·云南昆明·階段練習(xí)）方程x2A．?4<m<?1 C．?4<m<2 D．?4<【答案】A【分析】借助橢圓定義與充要條件的定義計(jì)算即可得.【詳解】若x24+m解得?4<m<?1或.變式3．（24-25高二上·江西·階段練習(xí)）如果方程2x2+ky2=【答案】2,+∞【分析】首先判斷k≠0【詳解】因?yàn)榉匠?x2+ky2=所以k2>1，解得k>2，所以實(shí)數(shù)k故答案為：2,+∞變式4．（24-25高二上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）方程x22?k+y2k【答案】1,【分析】根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的特征，列不等式即可求解.【詳解】由題意可得2?k>0,k?1>0,2?k>故答案為：1,3變式5．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知α∈0,π，橢圓C:x2sinα【答案】0,1【分析】由橢圓性質(zhì)可知sinα>cosα【詳解】依題意sinα>cosα故半焦距c=因?yàn)棣痢师?所以2sin即c=故答案為：0,1.變式6．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）討論方程x?32+【答案】答案見(jiàn)詳解【分析】根據(jù)橢圓定義討論判斷.【詳解】x?32+y2表示點(diǎn)Px,y到點(diǎn)所以x?32+y2+x當(dāng)m>6時(shí)，方程x當(dāng)m=6時(shí)，方程x?32當(dāng)m<6時(shí)，方程x【方法技巧與總結(jié)】把方程寫(xiě)成橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式，得到形式，要想表示：1.焦點(diǎn)在軸上的橢圓，必須要滿(mǎn)足，解這個(gè)不等式就可求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．2.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，必須要滿(mǎn)足A>B>0，解這個(gè)不等式就可求出實(shí)數(shù)k的取值范圍【題型4：焦點(diǎn)三角形問(wèn)題】例4．（23-24高二下·上?！て谀┮阎獧E圓y225+x216=1的焦點(diǎn)為FA．10 B．13 C．14 D．16【答案】A【分析】根據(jù)方程可得a,【詳解】由題意可知：a=5,則PF所以△PF1.變式1．（24-25高二上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知橢圓C:x216+y29=1的左?右焦點(diǎn)分別為FA．4 B．6 C．8 D．3【答案】A【分析】在△F1PF2【詳解】由橢圓定義可得PF又因?yàn)椤螰1P即PF1+則△F1P.變式2．（23-24高二上·吉林延邊·期中）點(diǎn)P是橢圓x216+y27=1A．2 B．73 C．53 【答案】C【分析】根據(jù)橢圓方程求出a,b,【詳解】由x216+所以a=4,所以PF設(shè)△PF1因?yàn)?所以12×14×1=1變式3．（23-24高二下·天津·階段練習(xí)）設(shè)F1,F2是橢圓4x249A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】由題意結(jié)合橢圓定義推導(dǎo)出△PF【詳解】由4x249則橢圓得長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a∵|P∴可設(shè)|PF1由題意可知3k+4k∴|PF1|=4，∴△PF其面積=1．變式4．（23-24高二上·江西九江·期末）已知橢圓x29+y25=1的左、右焦點(diǎn)分別為F和F'，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方．若線(xiàn)段PF的中點(diǎn)A．152 B．23 C．15 【答案】D【分析】由題意得到F'Q垂直平分線(xiàn)段PF，則【詳解】因?yàn)闄E圓方程為x2所以a=3，b=5又線(xiàn)段PF的中點(diǎn)Q在以原點(diǎn)O為圓心，OF為半徑的圓上，所以F'Q垂直平分線(xiàn)段PF，所以又因?yàn)镻F+PF'=6在直角三角形FQF'中，于是△PFF'．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于將線(xiàn)段PF的中點(diǎn)Q在以原點(diǎn)O為圓心，OF為半徑的圓上轉(zhuǎn)化為F'Q垂直平分線(xiàn)段變式5．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）已知橢圓x24+y23=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1【答案】8【分析】根據(jù)橢圓定義求解.【詳解】由橢圓x24+y2由橢圓的定義可知，△F1MN故答案為：8變式6．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）（1）已知點(diǎn)P在橢圓x216+y24=1上，F(xiàn)1與（2）若F為橢圓C：x225+y【答案】43【分析】（1）焦點(diǎn)三角形中運(yùn)用余弦定理可得PF（2）根據(jù)橢圓的定義及兩邊之和不下于第三邊求解即可.【詳解】（1）由橢圓x216+所以c2=a2?由余弦定理得F1解得PF所以S△（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F'由橢圓C：x225+y2則△ABF的周長(zhǎng)為10?由AF'+當(dāng)且僅當(dāng)A,B,故答案為：43；變式7．（24-25高二上·江西·階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：x2(1)若F1F2(2)若PF1⊥【答案】(1)x(2)b【分析】（1）已知|F1F2|=2可求出c，點(diǎn)P（2）得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)PF1⊥PF2，利用三角形面積公式S=【詳解】（1）已知|F1F2|=2，因?yàn)閨F1F2|=2c，所以c又因?yàn)閏2=a2?b2所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）因?yàn)镻F1⊥PF2，所以△F由勾股定理可得|P又(|PF1在橢圓中有c2=a2?b2，將(2【方法技巧與總結(jié)】求橢圓中焦點(diǎn)三角形面積的方法：①根據(jù)橢圓的定義求出|PF1|+PF2|2a；②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之間滿(mǎn)足的關(guān)系式；③利用公式eq\f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面積．利用公式eq\f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP為P點(diǎn)的縱坐標(biāo))求得面積④結(jié)論：S【題型5：和差最值問(wèn)題】例5．（23-24高二上·福建寧德·期末）已知P是橢圓x216+y212=1上一動(dòng)點(diǎn)，QA．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由題意得圓x+22+y2【詳解】如圖，由題意，橢圓的焦點(diǎn)為F1?2,0，則圓x+22+y2又MF所以PQ?.變式1．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知點(diǎn)M在橢圓x24+y2A．114 B．4 C．214【答案】D【分析】作出橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，轉(zhuǎn)化線(xiàn)段，最后利用三角不等式解決即可.【詳解】作橢圓的左焦點(diǎn)B1?1，0，則當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M為線(xiàn)段AB1的延長(zhǎng)線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取得，由兩點(diǎn)間距離公式得故MA+變式2．（23-24高二上·吉林長(zhǎng)春·期末）已知B是橢圓x23+y2A．2 B．22 C．322【答案】D【分析】設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示出MB并進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)橢圓的有界性結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解出MB的最大值.【詳解】設(shè)Mx0,y0所以MB=?2又因?yàn)閥0∈?1,1所以MBmax.變式3．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）P為橢圓C：x24+y2A．1 B．12 C．23 【答案】A【分析】根據(jù)三角換元得P(2cos【詳解】設(shè)P(2cos則PA=3由于?1≤cosθ≤1，故當(dāng)cosθ=2變式4．（2024高二下·云南曲靖·學(xué)業(yè)考試）已知橢圓C:x24+y2【答案】7912/【分析】設(shè)P(x0,y0)，得出Q【詳解】解：設(shè)P(∴P∴Q∴P∴Q∴1令t=則y=t+4t∴y∴1則1PF2故答案為：7912變式5．（23-24高二上·全國(guó)·期末）已知橢圓C:x24+y23=1的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M【答案】22?5【分析】根據(jù)橢圓定義可將MN?MF1轉(zhuǎn)化為|MN|+|M【詳解】由M為橢圓C上任意一點(diǎn)，則M又N為圓E:x?3∴MN?當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E、F2∵F2(1,0)，E(3,2)∴MN?MF故答案為：22變式6．（23-24高二上·江蘇徐州·期末）已知P是橢圓C:y216+x2【答案】8?【分析】根據(jù)橢圓方程以及點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓定義并結(jié)合三角形邊長(zhǎng)即可求得其最小值.【詳解】易知B(0,?3)為橢圓的下焦點(diǎn)，點(diǎn)A設(shè)F(0,3)為橢圓的上焦點(diǎn)，連接PB由橢圓定義可得PB+PF=2所以PA+當(dāng)且僅當(dāng)P,因此則PA+PB的最小值為故答案為：8?變式7．（2024高二上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x2【答案】2【分析】根據(jù)題意，利用橢圓的定義，即可求代數(shù)式的最小值，得到答案.【詳解】設(shè)Px,y，則P因?yàn)閤2設(shè)S0,1,F如圖所示，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1則x2當(dāng)且僅當(dāng)P,S,F1而SF1=2，故故答案為：25【方法技巧與總結(jié)】總體理論依據(jù)：1.線(xiàn)段公理——兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短。2.對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)——①關(guān)于一條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形全等。②對(duì)稱(chēng)軸是兩個(gè)對(duì)稱(chēng)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)3.三角形兩邊之和大于第三邊。4.三角形兩邊之差小于第三邊。5.垂直線(xiàn)段最短【題型6：軌跡方程問(wèn)題】例6．（24-25高二上·江西·階段練習(xí)）已知圓C1：x+32+yA．x216+C．x225+【答案】D【分析】根據(jù)圓的位置關(guān)系及橢圓的定義可判斷P點(diǎn)軌跡為橢圓，即可得出軌跡方程.【詳解】圓C1：x+32+y2=81由C1C2=6<9?1=8可知圓設(shè)動(dòng)圓半徑為R,由題意，C2P=兩式相加可得PC故P點(diǎn)的軌跡為以C1,C所以a2所以橢圓方程為x2變式1．（24-25高二上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)Mx,y與定點(diǎn)F4,0的距離和M到定直線(xiàn)l:A．x225+C．x216+【答案】C【分析】根據(jù)已知條件列方程，化簡(jiǎn)整理即可求解.【詳解】設(shè)d是點(diǎn)M到直線(xiàn)l:根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就是集合P=由此得(x?4)2即x2所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2.變式2．（24-25高二上·天津紅橋·階段練習(xí)）如圖：已知圓C:x+12+【答案】4【分析】利用線(xiàn)段的中垂線(xiàn)性質(zhì)，即可推導(dǎo)出動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值，所以動(dòng)點(diǎn)軌跡是橢圓，即可出橢圓方程.【詳解】連接MA，由線(xiàn)段AQ的垂直平分線(xiàn)與CQ相交點(diǎn)M，可得MA=則有MC+所以點(diǎn)M的軌跡是以A,則a=52所以點(diǎn)M的軌跡方程為：x2254故答案為：4x變式3．（24-25高二上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A?2,0和點(diǎn)B2,0，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)AP與BP的斜率之積等于?34，則動(dòng)點(diǎn)【答案】x【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)，斜率用坐標(biāo)表示，由斜率之積為?【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，又所以AP的斜率kAP=yx+2由題意可得yx化簡(jiǎn)，得點(diǎn)P的軌跡方程為x2故答案為：x變式4．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知⊙M:x2+2x+y2?35=0，過(guò)點(diǎn)N1,0且斜率不為零的直線(xiàn)l交⊙M于A(yíng)，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作【答案】6x【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得CN=CB，即可得【詳解】

如圖所示，由⊙M的方程得圓心M?1,0，半徑為因?yàn)镹C//AM，所以又MA=MB，所以則∠CNB=∠MBA又CM+所以CM+又AB斜率不為0，所以點(diǎn)C不在x軸上，所以點(diǎn)C的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，且點(diǎn)C不在x軸上，則c=1，a=3，所以即點(diǎn)C的軌跡方程為x2故答案為：6，x2變式5．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知過(guò)點(diǎn)A?3,0的直線(xiàn)與x=3相交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B3,0的直線(xiàn)與x=?3【答案】x【分析】設(shè)點(diǎn)Mx,y，C3,m，D【詳解】設(shè)點(diǎn)Mx,y，C3,m則直線(xiàn)CD的方程為m?因?yàn)橹本€(xiàn)CD與圓x2+y2=9又因?yàn)橹本€(xiàn)AC與BD的交點(diǎn)為M，所以y?0m?0=x所以點(diǎn)M的軌跡方程為x2故答案為：x2變式6．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知定點(diǎn)M4,0,N1,0，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足MN?MP=6PN【答案】x【分析】設(shè)Px【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)Px,y又∵M(jìn)N∴?3x化簡(jiǎn)得3x2+4∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為x2故答案為：x2變式7．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，Rt△ABC的頂點(diǎn)A?2,0(1)求邊BC所在直線(xiàn)的方程；(2)M為Rt△(3)若動(dòng)圓N過(guò)點(diǎn)P且與圓M內(nèi)切，求動(dòng)圓N的圓心N的軌跡方程．【答案】(1)x(2)x(3)4【分析】（1）由已知，可得kAB=?2，又AB（2）由BC的直線(xiàn)方程，可得C4,0，則得圓心M1,0，又（3）由已知，可得PN是該圓的半徑，因?yàn)閯?dòng)圓N與圓M內(nèi)切，可得MN+【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)A?2,0，點(diǎn)B則kAB=?22?0所以邊BC所在直線(xiàn)的方程為y=即x?（2）因?yàn)檫匓C所在直線(xiàn)的方程為x?令y=0，得C所以圓心M1,0，又因?yàn)锳M∴圓M的方程為x?1（3）因?yàn)辄c(diǎn)P為線(xiàn)段OA的中點(diǎn)所以P?1,0又M1,0，且圓N過(guò)點(diǎn)P所以PN是該圓的半徑，因?yàn)閯?dòng)圓N與圓M內(nèi)切，所以MN=3?即MN+所以點(diǎn)N的軌跡是以M，P為焦點(diǎn)的橢圓，且2a所以a=32，c所以圓心N的軌跡方程為49【方法技巧與總結(jié)】解決與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的三種方法：1.定義法：用定義法求橢圓方程的思路是：先觀(guān)察、分析已知條件，看所求動(dòng)點(diǎn)軌跡是否符合橢圓的定義．若符合橢圓的定義，則用待定系數(shù)法求解即可．2.方程法：直接根據(jù)條件列方程化簡(jiǎn)即可。3.相關(guān)點(diǎn)法：有些問(wèn)題中的動(dòng)點(diǎn)軌跡是由另一動(dòng)點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的，只要把所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)“轉(zhuǎn)移”到另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中所遵循的條件中去，即可解決問(wèn)題，這種方法稱(chēng)為相關(guān)點(diǎn)法．一、單選題1．（24-25高二上·湖南·階段練習(xí)）若橢圓x2λ+y2A．1 B．1或3 C．9 D．1或9【答案】D【分析】根據(jù)橢圓中a,【詳解】根據(jù)右焦點(diǎn)坐標(biāo)為2,0，可得c=2，且焦點(diǎn)在x故λ=2．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知方程x22?mA．(0,2) B．(0,1) C．(2,+∞) D．(0,1)∪(1,2)【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解m的范圍.【詳解】依題意2?m>0m>03．（23-24高二上·湖北孝感·階段練習(xí)）已知橢圓x2A．±3,0 B．±4,0 C．0,±4 D．0,±3【答案】D【分析】判斷焦點(diǎn)位置，求出c值即可求.【詳解】方程x29+則橢圓的焦點(diǎn)在y軸，且a2則c=故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,±4．.4．（23-24高二下·貴州六盤(pán)水·期中）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：x216+y2A．4 B．8 C．16 D．32【答案】D【分析】由橢圓定義求焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng).【詳解】根據(jù)題意，橢圓中a=4根據(jù)橢圓定義，△ABAB+5．（23-24高二下·北京·階段練習(xí)）設(shè)P是橢圓：x2A．22 B．23 C．25【答案】C【分析】根據(jù)橢圓定義即可得結(jié)果.【詳解】由橢圓方程可知：a=所以P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2a.6．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知a∈3,6,7,b∈A．9 B．8 C．7 D．6【答案】D【分析】利用橢圓的定義與性質(zhì)判定即可.【詳解】由題意可知a>aaa=7,共7種情況.7．（24-25高二上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）設(shè)P為橢圓x24+y29=1A．4 B．6 C．9 D．12【答案】D【分析】利用橢圓的定義和基本不等式求解即可.【詳解】橢圓x2故PF故PF1?8．（23-24高二下·湖北·開(kāi)學(xué)考試）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C:x2+yA．1 B．4 C．9 D．6【答案】C【分析】由橢圓定義和基本不等式進(jìn)行求解.【詳解】由橢圓定義得MF由基本不等式得MF當(dāng)且僅當(dāng)MF故MF二、多選題9．（23-24高二上·云南昆明·期末）設(shè)橢圓x29+A．|AF|+|BF|為定值 C．當(dāng)m=32時(shí)，△ABF為直角三角形 D．當(dāng)m【答案】AC【分析】由橢圓定義可判斷A；由|AF|+|BF|為定值以及AB的范圍可判斷B；求出A，B的坐標(biāo)，由數(shù)量積公式得出AF?【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F'，則AF'=|△ABF的周長(zhǎng)為|AB|+|易知AB的范圍是(0,6)，所以△ABF的周長(zhǎng)的范圍是(6,12)將y=32與橢圓方程聯(lián)立，可解得A又易知F6,0，所以所以△ABF將y=1與橢圓方程聯(lián)立，解得A?6所以S△C．10．（23-24高二上·福建漳州·階段練習(xí)）已知橢圓C：x225+y24=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為FA．PF1+C．PF1≤5+【答案】CCD【分析】根據(jù)橢圓的定義可判定A、B，根據(jù)橢圓方程及二次函數(shù)的性質(zhì)可判定C，根據(jù)基本不等式可判定D.【詳解】對(duì)AB，設(shè)該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距分別為2a因?yàn)?<25，所以a2=25，b2所以PF1+對(duì)C，設(shè)Px0,y0則x0即PF1=對(duì)D，由橢圓定義及基本不等式可知：PFCD11．（23-24高二上·河南·階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓M:x29+y2b2A．5 B．2 C．3 D．2【答案】AC【分析】根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)，結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】由PF1+PFF1由sin∠F1P在△F1P得b2=5或b2=3，所以C

三、填空題12．（23-24高二下·上海寶山·期末）設(shè)P是橢圓x24+【答案】1【分析】寫(xiě)出橢圓的參數(shù)方程，所以點(diǎn)P(2cosθ,sin【詳解】橢圓x24+y2則可設(shè)點(diǎn)P(2cos所以矩形OMPN的面積為S=所以S=因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，所以當(dāng)且僅當(dāng)θ=π4故矩形OMPN面積的最大值為1.故答案為：1.13．（23-24