高中數(shù)學(xué)(人教B版)必修二同步講義第4章第04講對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象(學(xué)生版+解析)

第04講對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)了解對數(shù)函數(shù)的概念.知道對數(shù)函數(shù)ylogax(a>0且a≠1)與指數(shù)函數(shù)yax(a>0且a≠1)互為反函數(shù).3.了解并掌握對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握對數(shù)函數(shù)的概念，圖象及性質(zhì)，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決求函數(shù)的定義域、值域、利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，會解對數(shù)方程及對數(shù)不等式，能處理與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)綜合問題.知識點01對數(shù)函數(shù)的定義(1)對數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y=(a>0,且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0,+).(2)判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的依據(jù)：①形如y=；②底數(shù)a滿足a>0，且a≠1；③真數(shù)是x；④定義域為(0,+).(3)特別地,我們稱以10為底的對數(shù)函數(shù)為常用對數(shù)函數(shù),記作;稱以無理數(shù)為底的對數(shù)函數(shù)為自然對數(shù)函數(shù),記作.【即學(xué)即練1】1.（24-25高一上·全國·課堂例題）下列函數(shù)中是對數(shù)函數(shù)的為（

）A．y=log23C．y=logx+1x知識點02對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象和性質(zhì)a>10<a<1圖象

性質(zhì)(1)定義域:(0,+∞)(2)值域:R(3)過定點(1,0),即x=1時,y=0(4)當(dāng)x>1時,y>0;當(dāng)0<x<1時,y<0(4)當(dāng)x>1時,y<0;當(dāng)0<x<1時,y>0(5)在定義域(0,+∞)上是增函數(shù)當(dāng)x值趨近于正無窮大時,函數(shù)值趨近于正無窮大;當(dāng)x值趨近于0時,函數(shù)值趨近于負(fù)無窮大(5)在定義域(0,+∞)上是減函數(shù)當(dāng)x值趨近于正無窮大時,函數(shù)值趨近于負(fù)無窮大;當(dāng)x值趨近于0時,函數(shù)值趨近于正無窮大【即學(xué)即練2】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）函數(shù)（且）恒過定點．題型01對數(shù)函數(shù)的概念【典例1】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的有．①；②；③；④．【變式1】（23-24高一上·云南曲靖·階段練習(xí)）下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高一上·上?！るA段練習(xí)）已知對數(shù)函數(shù)過點，則其解析式為．【變式3】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，則實數(shù)a.題型02對數(shù)型函數(shù)的定義域【典例2】（23-24高二下·天津紅橋·期末）函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【變式1】函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高一下·云南玉溪·期末）函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【變式3】函數(shù)中，實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式4】（23-24高一上·四川樂山·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【變式5】若函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)的取值范圍是．題型03對數(shù)函數(shù)的圖象【典例3】函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【變式1】（23-24高一上·四川攀枝花·階段練習(xí)）已知且，則函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24高二下·天津濱海新·期末）如圖所對應(yīng)的函數(shù)的解析式可能是（

）A． B．C． D．【變式3】（23-24高一上·江西南昌·階段練習(xí)）若，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過第象限.【變式4】函數(shù)的圖象是（

）A． B．C． D．題型04圖象過定點問題【典例04】（23-24高二下·海南海口·期末）函數(shù)（，且）的圖象一定經(jīng)過點（

）A．1,0 B． C． D．【變式1】函數(shù)的圖象恒過定點.【變式2】（23-24高一·上海·課堂例題）已知常數(shù)且，假設(shè)無論a取何值，函數(shù)的圖象恒經(jīng)過一個定點，求此點的坐標(biāo)．題型05對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【典例05】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【變式1】（24-25高三上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【變式2】已知，若在上單調(diào)，則的范圍是（

）A． B． C． D．【變式3】（23-24高二下·江西贛州·期末）“”是“函數(shù)在單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件題型06對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域【典題06】（23-24高一下·遼寧撫順·開學(xué)考試）求的定義域和值域.【變式1】若函數(shù)的定義域為，則的值域為（

）A． B．C． D．【變式2】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）函數(shù)的最小值是．【變式3】設(shè)且，函數(shù)的圖象過點．(1)求的值及函數(shù)的定義域；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．題型07已知最值求參數(shù)【典例07】（23-24高一上·江西撫州·期末）若函數(shù)且在區(qū)間上的最大值比最小值多2，則（

）A．4或 B．4或C．2或 D．2或【變式1】（22-23高一上·上海奉賢·期末）已知對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的最大值比最小值大1，則．【變式2】（23-24高一上·四川成都·期末）已知函數(shù)的值域為，的值域為，則（

）A．0 B．1 C．3 D．5題型08比較大小【典例08】（23-24高一下·安徽蕪湖·開學(xué)考試）已知，，，則（）A． B． C． D．【變式1】已知，則（）A． B．C． D．【變式2】（23-24高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）若a，b，c滿足，，，則（

）A． B． C． D．【變式3】（23-24高一下·陜西安康·期中）已知，，，則（

）A． B． C． D．【變式4】（23-24高二下·北京通州·期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．題型09對數(shù)不等式的解法【典例09】（23-24高一·上?！ふn堂例題）設(shè)，若，求實數(shù)的取值范圍．【變式1】（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）不等式的解集為【變式2】（23-24高一上·上?！て谀┎坏仁降慕饧?【變式3】（24-25高一上·全國·課堂例題）解下列關(guān)于x的不等式：(1)；(2)（且）；(3)（且）．【變式4】（23-24高一上·云南·期末）已知函數(shù)且．(1)若，解不等式；(2)若在上的最大值與最小值的差為1，求的值．題型10對數(shù)函數(shù)中恒不成立（有解）問題【典例10】（23-24高一上·天津·期末）已知函數(shù)，函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)求函數(shù)的值域；(3)若不等式對任意實數(shù)恒不成立，試求實數(shù)的取值范圍．【變式1】（23-24高一上·河北保定·期末）已知且，當(dāng)時，，則的取值范圍為.【變式2】（24-25高一上·全國·隨堂練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的定義域；(2)若不等式有解，求實數(shù)的取值范圍．【變式3】（23-24高一上·青海西寧·期末）已知函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)若對于恒不成立，求實數(shù)的取值范圍.【變式4】（2023高一上·江蘇蘇州·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求該函數(shù)fx的值域；(2)若不等式在上有解，求的取值范圍.題型11對數(shù)函數(shù)中的新定義問題【典例11】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）（多選）若定義域為[0，1]的函數(shù)同時滿足以下三個條件：①對任意的，總有；②；③若，，，則有，就稱為“A函數(shù)”.下列定義在[0，1]上的函數(shù)中，是“A函數(shù)”的有（

）A．B．C．D．【變式1】對于任意實數(shù)，定義運(yùn)算“”為，則函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24高一下·貴州畢節(jié)·期末）定義：二階行列式；三階行列式的某一元素的余子式指的是在中劃去所在的行和列后所余下的元素按原來的順序組成的二階行列式.現(xiàn)有三階行列式，若元素1的余子式，則；記元素2的余子式為函數(shù)，則的單調(diào)減區(qū)間為.【變式3】（23-24高一下·廣東潮州·開學(xué)考試）對于定義在區(qū)間上的兩個函數(shù)fx和，如果對任意的，均有不等式不成立，則稱函數(shù)fx與在上是“友好”的，否則稱為“不友好”的．(1)若，，則fx與在區(qū)間上是否“友好”；(2)現(xiàn)在有兩個函數(shù)與，給定區(qū)間．①若fx與在區(qū)間上都有意義，求的取值范圍；②討論函數(shù)fx與與在區(qū)間上是否“友好”．一、單選題1．（23-24高一下·湖北咸寧·期末）已知集合，則（

）A． B． C． D．2．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)①；②；③；④；⑤；⑥.其中是對數(shù)函數(shù)的是（

）A．①②③ B．③④⑤C．③④ D．②④⑥3．（24-25高一上·全國·單元測試）函數(shù)，的值域是（

）A． B．C． D．4．（23-24高一下·云南昆明·期末）若，則是的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要5．（23-24高一下·安徽阜陽·期末）如圖，圖象①②③④所對應(yīng)的函數(shù)不屬于中的一個是（

）A．① B．② C．③ D．④6．已知函數(shù)恒過定點，則（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（23-24高一下·浙江杭州·期中）設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．8．（23-24高一上·福建泉州·期末）若函數(shù)存在最大值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．若函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)定義域為 B．時，C．的解集為 D．10．（23-24高一下·遼寧葫蘆島·開學(xué)考試）已知函數(shù)則下列說法正確的有（

）A．當(dāng)時，函數(shù)的定義域為B．函數(shù)有最小值C．當(dāng)時，函數(shù)的值域為RD．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是11．（23-24高一下·陜西安康·期末）已知函數(shù)且，則（

）A． B．C．的最小值為 D．三、填空題12．（23-24高一下·河北·期末）已知函數(shù)則．13．（23-24高一下·云南玉溪·期末）蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J.Napier，1570-1617）在研究天文學(xué)的過程中，經(jīng)過對運(yùn)算體系的多年研究后發(fā)明的對數(shù)，為當(dāng)時的天文學(xué)家處理“大數(shù)”的計算大大縮短了時間.即就是任何一個正實數(shù)可以表示成，則，這樣我們可以知道的位數(shù)為.已知正整數(shù)，若是10位數(shù)，則的值為.（參考數(shù)據(jù)：）14．（23-24高一上·上海長寧·期末）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，則實數(shù)的取值范圍是.四、解答題15．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域;(2)判斷函數(shù)的奇偶性,并用定義證明你的結(jié)論.16．（23-24高一下·陜西咸陽·期末）已知函數(shù)且．(1)若，求的值；(2)若在上的最大值與最小值的差為1，求的值．17．（23-24高二下·浙江·期中）已知函數(shù)為偶函數(shù)．(1)求的值；(2)若，判斷在的單調(diào)性，并用定義法給出證明；(3)若在區(qū)間上恒不成立，求的取值范圍．18．（23-24高一上·江西宜春·期末）已知函數(shù).(1)若，求的取值范圍；(2)若，且，求實數(shù)n的取值范圍.19．（23-24高一上·北京延慶·期末）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，若，求x的值:(2)若是偶函數(shù)，求出m的值:(3)時，討論方程根的個數(shù).并說明理由.第04講對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)了解對數(shù)函數(shù)的概念.知道對數(shù)函數(shù)ylogax(a>0且a≠1)與指數(shù)函數(shù)yax(a>0且a≠1)互為反函數(shù).3.了解并掌握對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握對數(shù)函數(shù)的概念，圖象及性質(zhì)，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決求函數(shù)的定義域、值域、利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，會解對數(shù)方程及對數(shù)不等式，能處理與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)綜合問題.知識點01對數(shù)函數(shù)的定義(1)對數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y=(a>0,且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0,+).(2)判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的依據(jù)：①形如y=；②底數(shù)a滿足a>0，且a≠1；③真數(shù)是x；④定義域為(0,+).(3)特別地,我們稱以10為底的對數(shù)函數(shù)為常用對數(shù)函數(shù),記作;稱以無理數(shù)為底的對數(shù)函數(shù)為自然對數(shù)函數(shù),記作.【即學(xué)即練1】1.（24-25高一上·全國·課堂例題）下列函數(shù)中是對數(shù)函數(shù)的為（

）A．y=log23C．y=logx+1x【答案】A【分析】運(yùn)用對數(shù)函數(shù)概念可判斷.【詳解】根據(jù)對數(shù)函數(shù)概念，y=logax(a>0且a≠1).知識點02對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象和性質(zhì)a>10<a<1圖象

性質(zhì)(1)定義域:(0,+∞)(2)值域:R(3)過定點(1,0),即x=1時,y=0(4)當(dāng)x>1時,y>0;當(dāng)0<x<1時,y<0(4)當(dāng)x>1時,y<0;當(dāng)0<x<1時,y>0(5)在定義域(0,+∞)上是增函數(shù)當(dāng)x值趨近于正無窮大時,函數(shù)值趨近于正無窮大;當(dāng)x值趨近于0時,函數(shù)值趨近于負(fù)無窮大(5)在定義域(0,+∞)上是減函數(shù)當(dāng)x值趨近于正無窮大時,函數(shù)值趨近于負(fù)無窮大;當(dāng)x值趨近于0時,函數(shù)值趨近于正無窮大【即學(xué)即練2】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）函數(shù)（且）恒過定點．【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)恒過定點，運(yùn)算即可.【詳解】令，得，此時，所以函數(shù)（且）恒過定點.故答案為：.題型01對數(shù)函數(shù)的概念【典例1】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的有．①；②；③；④．【答案】②【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】由對數(shù)函數(shù)的定義：形如（且）的形式，則函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，只有②符合.故答案為：②.【變式1】（23-24高一上·云南曲靖·階段練習(xí)）下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義直接判斷即可.【詳解】形如的函數(shù)叫作對數(shù)函數(shù)，它的定義域是，對于A，滿足，故A正確；對于B，C，D，形式均不正確，均錯誤.【變式2】（23-24高一上·上海·階段練習(xí)）已知對數(shù)函數(shù)過點，則其解析式為．【答案】【分析】利用待定系數(shù)法，設(shè)出函數(shù)解析式，把點代入求解即可.【詳解】設(shè)對數(shù)函數(shù)解析式為（，且），因為對數(shù)函數(shù)過點，所以，解得，所以對數(shù)函數(shù)解析式為.故答案為：【變式3】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，則實數(shù)a.【答案】1【分析】利用對數(shù)函數(shù)的定義知，，解出的值，驗證底數(shù)即可.【詳解】由題意得，解得或1，又且，所以故答案為：1題型02對數(shù)型函數(shù)的定義域【典例2】（23-24高二下·天津紅橋·期末）函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)開偶次方根被開方數(shù)非負(fù)及對數(shù)真數(shù)大于零確定函數(shù)定義域.【詳解】由得，所以函數(shù)的定義域為.故選:B【變式1】函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域即可求解.【詳解】，所以函數(shù)的定義域為，【變式2】（23-24高一下·云南玉溪·期末）函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，然后解不等式得出答案.【詳解】由題意知，，即，所以或..【變式3】函數(shù)中，實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義列式求解即可.【詳解】因為，則，解得，且，所以實數(shù)a的取值范圍是..【變式4】（23-24高一上·四川樂山·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.【詳解】由函數(shù)有意義，則滿足，即，解得，所以函數(shù)的定義域為..【變式5】若函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】或．【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域為R，轉(zhuǎn)化為不等式恒不成立進(jìn)行求解即可．【詳解】∵的定義域為R，∴恒不成立，當(dāng)，即或，若，不等式等價為，此時，不恒不成立，不滿足條件．若，不等式等價為，恒不成立，滿足條件．當(dāng)時，要使不等式恒不成立，則，即或，解得或，綜上可知，實數(shù)的取值范圍是或．故答案為：或．題型03對數(shù)函數(shù)的圖象【典例3】函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】對比選項中的圖象，再分別計算和時，的取值情況，即可作出選擇．【詳解】當(dāng)時，，，則，排除選項B和C；當(dāng)時，，排除選項A，選項D符合題意.【變式1】（23-24高一上·四川攀枝花·階段練習(xí)）已知且，則函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知結(jié)合兩函數(shù)的單調(diào)性及恒過的定點檢驗各選項即可判斷．【詳解】結(jié)合與可知，兩函數(shù)單調(diào)性一定相反，排除選項A；因為恒過定點，恒過定點，排除選項B，D．．【變式2】（23-24高二下·天津濱海新·期末）如圖所對應(yīng)的函數(shù)的解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】舉反例說明A錯誤，利用奇偶性并綜合排除法判斷BCD即可得解.【詳解】對于A，當(dāng)趨于0時，趨于，對比題圖可知，A不符合題意；對于B，的定義域關(guān)于原點對稱，且，所以的圖象關(guān)于軸對稱，與題圖不符，B不符合題意；對于D，的定義域關(guān)于原點對稱，且，所以的圖象關(guān)于軸對稱，與題圖不符，D不符合題意；對于C，的定義域關(guān)于原點對稱，且，所以的圖象關(guān)于原點對稱，與題圖相符，經(jīng)檢驗，C符合題意..【變式3】（23-24高一上·江西南昌·階段練習(xí)）若，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過第象限.【答案】四【分析】根據(jù)對數(shù)型函數(shù)的圖象變換、單調(diào)性等知識求得正確答案.【詳解】函數(shù)的定義域為，由于，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)的圖象過點1,0，且在0,+∞上單調(diào)遞增，函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，所以函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限.故答案為：四【變式4】函數(shù)的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)定義域及函數(shù)值的正負(fù)判斷即可.【詳解】因為的定義域為，故BD錯誤；又，故C錯誤；故A正確.題型04圖象過定點問題【典例04】（23-24高二下·海南?？凇て谀┖瘮?shù)（，且）的圖象一定經(jīng)過點（

）A．1,0 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)，令即可求解.【詳解】因為且，所以在函數(shù)中，令，則，，所以函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點..【變式1】函數(shù)的圖象恒過定點.【答案】?1,1【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)即可令求解.【詳解】令，解得，所以，故函數(shù)fx的圖象恒過定點?1,1故答案為：?1,1【變式2】（23-24高一·上?！ふn堂例題）已知常數(shù)且，假設(shè)無論a取何值，函數(shù)的圖象恒經(jīng)過一個定點，求此點的坐標(biāo)．【答案】【分析】利用（且）恒不成立，求函數(shù)過定點.【詳解】當(dāng)時，（且），所以函數(shù)的圖象過定點：題型05對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【典例05】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)型函數(shù)的定義域，結(jié)合對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，或，二次函數(shù)的對稱軸為，因為函數(shù)是正實數(shù)集上的增函數(shù)，所以當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時，則有，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故答案為：【變式1】（24-25高三上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】函數(shù)，因為，解得．所以函數(shù)的定義域為，且，．因為函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增，在區(qū)間,上單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增，在區(qū)間,上單調(diào)遞減,【變式2】已知，若在上單調(diào)，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)復(fù)合的函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】令函數(shù)，該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，要使在上單調(diào)，則在上單調(diào)，且時，，故，解得或.【變式3】（23-24高二下·江西贛州·期末）“”是“函數(shù)在單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用對數(shù)函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計算即可.【詳解】由二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：要滿足函數(shù)在單調(diào)遞增，需要，因為，所以“”是“函數(shù)在單調(diào)遞增”的必要不充分條件．．題型06對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域【典題06】（23-24高一下·遼寧撫順·開學(xué)考試）求的定義域和值域.【答案】定義域為R，.【分析】利用對數(shù)的真數(shù)大于0，可求函數(shù)的定義域；利用函數(shù)的單調(diào)性，可求函數(shù)的值域.【詳解】設(shè)，則.因為恒不成立，所以函數(shù)的定義域為R.因為對數(shù)的底數(shù)，所以是[3，+∞）上的增函數(shù)所以函數(shù)的值域為.【變式1】若函數(shù)的定義域為，則的值域為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出的定義域，結(jié)合對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，采用換元法求解即可.【詳解】解：因為，由，可得，所以的定義域為，所以，又，設(shè)，將原問題轉(zhuǎn)化為求的值域，由二次函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，所以..【變式2】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）函數(shù)的最小值是．【答案】2【分析】利用整體換元，將復(fù)合函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為對數(shù)函數(shù)的最值求解即可.【詳解】令，則，.又在上單調(diào)遞增，所以，此時.故答案為：【變式3】設(shè)且，函數(shù)的圖象過點．(1)求的值及函數(shù)的定義域；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．【答案】(1)2；(2)2【分析】（1）代入點的坐標(biāo)求出的值，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義求出函數(shù)的定義域；（2）依題意可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】（1）由函數(shù)的圖象過點，得，即，所以，解得或（舍），所以，由，解得，所以，函數(shù)的定義域為．（2）由（1）知，又，所以當(dāng)時取得最大值4，且函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值．題型07已知最值求參數(shù)【典例07】（23-24高一上·江西撫州·期末）若函數(shù)且在區(qū)間上的最大值比最小值多2，則（

）A．4或 B．4或C．2或 D．2或【答案】A【分析】對參數(shù)的取值分類討論，根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，求得最值，結(jié)合題意，即可求得參數(shù)值.【詳解】由題意解得或（舍去），①當(dāng)時，函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，則由題意得，所以即，解得或（舍去）；②當(dāng)時，函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，則由題意得，所以即，解得；綜上可得：或．.【變式1】（22-23高一上·上海奉賢·期末）已知對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的最大值比最小值大1，則．【答案】2【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知列出方程，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.又對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的最大值比最小值大1，所以，，解得.故答案為：2.【變式2】（23-24高一上·四川成都·期末）已知函數(shù)的值域為，的值域為，則（

）A．0 B．1 C．3 D．5【答案】A【分析】由已知可得函數(shù)的值域為，從而可得的值，的最小值為9，從而可得的值，即可得解．【詳解】因為函數(shù)的值域為，所以函數(shù)的值域為，所以，解得，因為的值域為,，所以的最小值為9，所以，解得，所以．．題型08比較大小【典例08】（23-24高一下·安徽蕪湖·開學(xué)考試）已知，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較a,b,c的大小.【詳解】因為,,又,所以..【變式1】已知，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，再利用換底公式和作差法得到，比較出大小關(guān)系.【詳解】，其中，，所以，故，所以..【變式2】（23-24高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）若a，b，c滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出a，b，c的大致范圍，結(jié)合中間數(shù)比較大?。驹斀狻?，，則，，則，所以..【變式3】（23-24高一下·陜西安康·期中）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即得.【詳解】依題意，，，，因此.【變式4】（23-24高二下·北京通州·期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】因為，，即，，所以.題型09對數(shù)不等式的解法【典例09】（23-24高一·上?！ふn堂例題）設(shè)，若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，把含對數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為多項式不等式求解，過程中注意函數(shù)的定義域即可.【詳解】因為，所以對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減；又，所以.故實數(shù)的取值范圍為：【變式1】（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）不等式的解集為【答案】【分析】對原不等式整理可得，結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)分析求解.【詳解】因為，且，若，即，則，解得，所以不等式的解集為.故答案為：.【變式2】（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集是.【答案】【分析】依題意可得，令，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，即可求出不等式的解集.【詳解】不等式，即，令，，因為與均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，則不等式的解集是.故答案為：【變式3】（24-25高一上·全國·課堂例題）解下列關(guān)于x的不等式：(1)；(2)（且）；(3)（且）．【答案】(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解，（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分類討論即可求解，（3）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）由題意可得，解得．所以原不等式的解集為．（2）當(dāng)時，原不等式等價于，解得：．當(dāng)時，原不等式等價于，解得：．綜上所述，當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為．（3）當(dāng)時，，所以，無解；當(dāng)時，，所以．綜上，原不等式的解集為12【變式4】（23-24高一上·云南·期末）已知函數(shù)且．(1)若，解不等式；(2)若在上的最大值與最小值的差為1，求的值．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）由對數(shù)的單調(diào)性解不等式求解集；（2）討論、，根據(jù)對數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求最值，結(jié)合已知求參數(shù)值.【詳解】（1）由題設(shè)，則，可得，所以，不等式解集為.（2）令在上遞增，當(dāng)，則在定義域上遞減，此時在上遞減，則；當(dāng)，則在定義域上遞增，此時在上遞增，則；所以或.題型10對數(shù)函數(shù)中恒不成立（有解）問題【典例10】（23-24高一上·天津·期末）已知函數(shù)，函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)求函數(shù)的值域；(3)若不等式對任意實數(shù)恒不成立，試求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）解指數(shù)不等式，得到解集；（2）變形得到，結(jié)合，求出的值域；（3）轉(zhuǎn)化為，求出，故，得到答案.【詳解】（1）由，得整理得解得，的解集為（2），，，即的值域為．（3）不等式對任意實數(shù)恒不成立．，令，，，設(shè)，，當(dāng)時，取得最小值，即，，即，，即，解得，實數(shù)的取值范圍為．【變式1】（23-24高一上·河北保定·期末）已知且，當(dāng)時，，則的取值范圍為.【答案】【分析】按和分類討論可得．【詳解】當(dāng)時，.當(dāng)時，不成立.當(dāng)時，若不成立，是減函數(shù)，是增函數(shù)，則，解得，所以.綜上，的取值范圍為.故答案為：．【變式2】（24-25高一上·全國·隨堂練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的定義域；(2)若不等式有解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由復(fù)合對數(shù)函數(shù)定義域的求法列出不等式組，解之即可得解；（2）只需結(jié)合換元法、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，求出的最大值即可得解.【詳解】（1）函數(shù)有意義，須滿足，∴．∴函數(shù)的定義域為．（2）∵不等式有解，∴小于的最大值．．令，由于，∴．∴函數(shù)的最大值為，∴實數(shù)的取值范圍為．【變式3】（23-24高一上·青海西寧·期末）已知函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)若對于恒不成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為指數(shù)不等式，換元后由一元二次不等式求解；（2）分離參數(shù)后，求的最小值，對數(shù)的真數(shù)換元后求出取值范圍，即可由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求對數(shù)函數(shù)值域，即可得解.【詳解】（1）由題意可知，即.令，則有，解得，所以，即.所以不等式的解集為.（2）由題意可知，即，即.又令，易知在上單調(diào)遞減，所以，所以，因為，所以.故實數(shù)的取值范圍為.【變式4】（2023高一上·江蘇蘇州·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求該函數(shù)fx的值域；(2)若不等式在上有解，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）換元令，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求值域；（2）換元令，整理可得在上有解，根據(jù)存在性問題分析求解.【詳解】（1）因為，由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)時，，令，，即可得，，可知的開口向上，對稱軸為，由二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以可得當(dāng)時，函數(shù)的值域為.（2）當(dāng)時，可得，令，，可得，即在上有解，整理可得在上有解，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，所以的取值范圍是.題型11對數(shù)函數(shù)中的新定義問題【典例11】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）（多選）若定義域為[0，1]的函數(shù)同時滿足以下三個條件：①對任意的，總有；②；③若，，，則有，就稱為“A函數(shù)”.下列定義在[0，1]上的函數(shù)中，是“A函數(shù)”的有（

）A．B．C．D．【答案】DD【分析】根據(jù)“A函數(shù)”要滿足的3個條件，即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】A中，，故不是“A函數(shù)”，故A錯誤；B中，若，，，則，不滿足③，故不是A函數(shù)，故B錯誤；C中，顯然滿足①②，又，所以是“A函數(shù)”，故C正確；D中，顯然滿足①②，因為，，所以，又，所以，，從而，因此，是“A函數(shù)”，故D正確.D.【變式1】對于任意實數(shù)，定義運(yùn)算“”為，則函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)的新定義求出函數(shù)的解析式，再結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解答即可；【詳解】由對數(shù)函數(shù)的定義域可得，令，即，解得或（舍去），所以，由函數(shù)新定義可得，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)的值域為，.【變式2】（23-24高一下·貴州畢節(jié)·期末）定義：二階行列式；三階行列式的某一元素的余子式指的是在中劃去所在的行和列后所余下的元素按原來的順序組成的二階行列式.現(xiàn)有三階行列式，若元素1的余子式，則；記元素2的余子式為函數(shù)，則的單調(diào)減區(qū)間為.【答案】32//【分析】由，根據(jù)余子式定義轉(zhuǎn)化為二階行列式列方程可解出；利用余子式定義將轉(zhuǎn)化為二階行列式經(jīng)過運(yùn)算化簡得解析式，再借助復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減求解減區(qū)間即可.【詳解】由三階行列式根據(jù)題意得，元素的余子式，解得；元素2的余子式則函數(shù)由解得，則定義域為，令，則當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，又單調(diào)遞增，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減，又單調(diào)遞增，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞減；故單調(diào)減區(qū)間為.故答案為：；（填也正確）.【變式3】（23-24高一下·廣東潮州·開學(xué)考試）對于定義在區(qū)間上的兩個函數(shù)fx和，如果對任意的，均有不等式不成立，則稱函數(shù)fx與在上是“友好”的，否則稱為“不友好”的．(1)若，，則fx與在區(qū)間上是否“友好”；(2)現(xiàn)在有兩個函數(shù)與，給定區(qū)間．①若fx與在區(qū)間上都有意義，求的取值范圍；②討論函數(shù)fx與與在區(qū)間上是否“友好”．【答案】(1)與在區(qū)間上是“友好”的(2)①；②答案見解析【分析】（1）按照定義，只需判斷在區(qū)間上是否恒不成立；（2）①由題意解不等式組即可；②假設(shè)存在實數(shù)，使得與與在區(qū)間上是“友好”的，即，即，只需求出函數(shù)在區(qū)間上的最值，解不等式組即可.【詳解】（1）由題意可得：，因為時，則，可知恒不成立，故與在區(qū)間上是“友好”的.（2）①與在區(qū)間上都有意義，可得，解得，且且，所以的取值范圍為；②假設(shè)存在實數(shù)，使得與與在區(qū)間上是“友好”的，則，即，因為，則，，所以在的右側(cè)，可知在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在區(qū)間上為減函數(shù)，從而，，所以，解得，所以當(dāng)時，與與在區(qū)間上是“友好”的；當(dāng)時，與與在區(qū)間上是“不友好”的.一、單選題1．（23-24高一下·湖北咸寧·期末）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化簡集合后由交集定義可得答案.【詳解】集合表示函數(shù)的定義域，則，集合表示函數(shù)的值域，則.故..2．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)①；②；③；④；⑤；⑥.其中是對數(shù)函數(shù)的是（

）A．①②③ B．③④⑤C．③④ D．②④⑥【答案】D【分析】依據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義即可判斷.【詳解】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，只有符合（且）形式的函數(shù)才是對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)，易知，①是指數(shù)函數(shù)；②中的自變量在對數(shù)的底數(shù)的位置，不是對數(shù)函數(shù)；③中，是對數(shù)函數(shù)；④中，是對數(shù)函數(shù)；⑤⑥中函數(shù)顯然不是對數(shù)函數(shù)，由此可知只有③④是對數(shù)函數(shù)..3．（24-25高一上·全國·單元測試）函數(shù)，的值域是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出端點處的函數(shù)值，即可求出函數(shù)的值域.【詳解】函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即，且當(dāng)時，所以函數(shù)，的值域是.4．（23-24高一下·云南昆明·期末）若，則是的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】根據(jù)指、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，再根據(jù)包含關(guān)系分析充分、必要條件.【詳解】對于，則，解得；對于，則，解得；因為是的真子集，所以是的充分不必要條件..5．（23-24高一下·安徽阜陽·期末）如圖，圖象①②③④所對應(yīng)的函數(shù)不屬于中的一個是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】A【分析】由函數(shù)解析式確定其圖象所過的定點，結(jié)合單調(diào)性確定對應(yīng)的圖形即可.【詳解】依題意，函數(shù)的圖象分別過定點，它們分別對應(yīng)圖③②①，因此④不屬于給定的三個函數(shù)之一.6．已知函數(shù)恒過定點，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】令，即可求解恒過定點，進(jìn)而求解.【詳解】令，解得，此時，所以恒過定點，則，所以.7．（23-24高一下·浙江杭州·期中）設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求得的取值范圍，即求解.【詳解】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以..8．（23-24高一上·福建泉州·期末）若函數(shù)存在最大值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】判斷時，，無最大值，由判斷在時的單調(diào)性，可得單調(diào)性，確定最大值，結(jié)合題意列出不等式，即可求得答案.【詳解】當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，此時，無最大值；又因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，結(jié)合題意可得，解得，即實數(shù)的取值范圍為，二、多選題9．若函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)定義域為 B．時，C．的解集為 D．【答案】CD【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)得圖象性質(zhì)解決即可.【詳解】由題知，，對于A，函數(shù)定義域為，故A錯誤；對于B，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，故B正確；對于C，在上單調(diào)遞減，，即，解得，故C錯誤；對于D，，故D正確.D10．（23-24高一下·遼寧葫蘆島·開學(xué)考試）已知函數(shù)則下列說法正確的有（

）A．當(dāng)時，函數(shù)的定義域為B．函數(shù)有最小值C．當(dāng)時，函數(shù)的值域為RD．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是【答案】AC【分析】A項代入?yún)?shù)，根據(jù)對數(shù)型函數(shù)定義域求法進(jìn)行求解；B項為最值問題，舉出反例即可；C項代入?yún)?shù)值即可求出函數(shù)的值域；D項為已知單調(diào)性求參數(shù)范圍，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性結(jié)合對數(shù)函數(shù)定義域求解即可.【詳解】對于A，當(dāng)時，，令，解得或，則的定義域為，故A正確；對于B、C，當(dāng)時，的值域為R，無最小值，故B錯誤，C正確；對于D，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，則，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是，故D錯誤.C11．（23-24高一下·陜西安康·期末）已知函數(shù)且，則（

）A． B．C．的最小值為 D．【答案】AD【分析】根據(jù)給定條件，可得，利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計算判斷AB；變形給定的式子，借助對勾函數(shù)的單調(diào)性判斷CD.【詳解】函數(shù)，由，得，對于AB，，則，解得，A正確，B錯誤；對于C，在上單調(diào)遞增，則，C錯誤；對于D，，而在上單調(diào)遞增，，因此，D正確.D三、填空題12．（23-24高一下·河北·期末）已知函數(shù)則．【答案】【分析】利用分段函數(shù)的解析式求出，所以.【詳解】因為函數(shù)，則，所以，故答案為：.13．（23-24高一下·云南玉溪·期末）蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J.Napier，1570-1617）在研究天文學(xué)的過程中，經(jīng)過對運(yùn)算體系的多年研究后發(fā)明的對數(shù)，為當(dāng)時的天文學(xué)家處理“大數(shù)”的計算大大縮短了時間.即就是任何一個正實數(shù)可以表示成，則，這樣我們可以知道的位數(shù)為.已知正整數(shù)，若是10位數(shù)，則的值為.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】或【分析】依題意可得