2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（文科）天天練40

天天練40選修系列1．(2017·北京卷，11)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在圓ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)，則|AP|的最小值為________．答案：1解析：由ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圓心坐標(biāo)為C(1,2)，半徑長為1.∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)，∴點(diǎn)P在圓C外．又∵點(diǎn)A在圓C上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1.2．(2017·天津卷，11)在極坐標(biāo)系中，直線4ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＋1＝0與圓ρ＝2sinθ的公共點(diǎn)的個數(shù)為________．答案：2解析：由4ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＋1＝0得2eq\r(3)ρcosθ＋2ρsinθ＋1＝0，故直線的直角坐標(biāo)方程為2eq\r(3)x＋2y＋1＝0.由ρ＝2sinθ得ρ2＝2ρsinθ，故圓的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1.圓心為(0,1)，半徑為1.∵圓心到直線2eq\r(3)x＋2y＋1＝0的距離d＝eq\f(|2×1＋1|,\r(2\r(3)2＋22))＝eq\f(3,4)＜1，∴直線與圓相交，有兩個公共點(diǎn)．3．(2018·山西五校聯(lián)考(一))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(\r(2),2)t，,y＝2＋\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sinθ.(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|.解析：(1)由題意知，直線l的普通方程為x－y＋1＝0，曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4.(2)解法一：由(1)知，曲線C是以點(diǎn)(0,2)為圓心，2為半徑的圓，圓心到直線x－y＋1＝0的距離d＝eq\f(\r(2),2)，則|AB|＝2×eq\r(4－\f(1,2))＝eq\r(14).解法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,x2＋y2－4y＝0))可取A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(7),2)，\f(3＋\r(7),2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(7),2)，\f(3－\r(7),2)))，由兩點(diǎn)間的距離公式可得|AB|＝eq\r(14).解法三：設(shè)A，B兩點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(\r(2),2)t，,y＝2＋\f(\r(2),2)t))代入x2＋y2－4y＝0，并化簡整理可得t2＋eq\r(2)t－3＝0，從而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tA＋tB＝－\r(2)，,tAtB＝－3，))因此|AB|＝eq\r(tA＋tB2－4tAtB)＝eq\r(14).4．(2017·新課標(biāo)全國卷Ⅰ，22)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋4t，,y＝1－t))(t為參數(shù))．(1)若a＝－1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為eq\r(17)，求a.解析：(1)曲線C的普通方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1.當(dāng)a＝－1時，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4y－3＝0，,\f(x2,9)＋y2＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(21,25)，,y＝\f(24,25).))從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，－eq\f(21,25)，eq\f(24,25).(2)直線l的普通方程為x＋4y－a－4＝0，故C上的點(diǎn)(3cosθ，sinθ)到l的距離為d＝eq\f(|3cosθ＋4sinθ－a－4|,\r(17)).當(dāng)a≥－4時，d的最大值為eq\f(a＋9,\r(17)).由題設(shè)得eq\f(a＋9,\r(17))＝eq\r(17)，所以a＝8；當(dāng)a＜－4時，d的最大值為eq\f(－a＋1,\r(17)).由題設(shè)得eq\f(－a＋1,\r(17))＝eq\r(17)，所以a＝－16.綜上，a＝8或a＝－16.5．設(shè)函數(shù)f(x)＝|x|＋|x＋10|，不等式f(x)≤x＋15的解集為M.(1)求M；(2)當(dāng)a，b∈M時，求證：5|a＋b|≤|ab＋25|.解析：(1)由f(x)≤x＋15得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋15≥0，,x≤－10，,－x－x－10≤x＋15))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋15≥0，,－10<x<0，,－x＋x＋10≤x＋15))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋15≥0，,x≥0，,x＋x＋10≤x＋15，))解得－5≤x≤5，所以f(x)≤x＋15的解集M＝[－5,5]．(2)當(dāng)a，b∈M，即－5≤a≤5，－5≤b≤5時，要證5|a＋b|≤|ab＋25|，即證25(a＋b)2≤(ab＋25)2.因?yàn)?5(a＋b)2－(ab＋25)2＝25(a2＋2ab＋b2)－(a2b2＋50ab＋625)＝25a2＋25b2－a2b2－625＝(a2－25)(25－b2)≤0，所以25(a＋b)2≤(ab＋25)2，即5|a＋b|≤|ab6．(2017·新課標(biāo)全國卷Ⅰ，23)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)當(dāng)a＝1時，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范圍．解析：(1)當(dāng)a＝1時，不等式f(x)≥g(x)等價于x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①當(dāng)x＜－1時，①式化為x2－3x－4≤0，無解；當(dāng)－1≤x≤1時，①式化為x2－x－2≤0，從而－1≤x≤1；當(dāng)x＞1時，①式化為x2＋x－4≤0，從而1＜x≤eq\f(－1＋\r(17),2).所以f(x)≥g(x)的解集為x－1≤x≤eq