2012屆高考數(shù)學(xué)(文)一輪復(fù)習(xí)課件：8-4第四節(jié)-直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(北師大版)

考綱點擊考情關(guān)注1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系．2．能用直線和圓的方程解決一些簡單問題．3．初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.高考中主要考查方程中有參數(shù)的直線與圓的位置關(guān)系的判斷，利用相切、相交的條件求參數(shù)的范圍，利用相切、相交求切線長或弦長．難度不是太大，多以選擇、填空題為主，有時也出現(xiàn)解答題，難度中等.1.直線與圓的位置關(guān)系(1)直線與圓的位置關(guān)系有三種：

判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的有兩種方法：①代數(shù)法：利用判別式Δ相離、相切、相交．②幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系

?相交

?相切

?相離(2)圓的切線方程若圓的方程為x2＋y2＝r2，點P(x0，y0)在圓上，則過P點且與圓x2＋y2＝r2相切的切線方程為

.注：點P必須在圓x2＋y2＝r2上．d<rd＝rd>rx0x＋y0y＝r22．圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系可分為五種：

判斷圓與圓的位置關(guān)系常用幾何法：設(shè)兩圓圓心分別為O1、O2，半徑為r1、r2(r1≠r2)，則|O1O2|>r1＋r2?

；|O1O2|＝r1＋r2?

；|r1－r2|<|O1O2|<r1＋r2?

；|O1O2|＝|r1－r2|?

；0<|O1O2|<|r1－r2|?

相離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含．相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含．3．圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與圓C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切線有且僅有(

)A．1條

B．2條C．3條

D．4條4．已知兩圓x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B兩點，則直線AB的方程是________．題型一圓的切線問題■

例1已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程；(2)從圓C外一點P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標(biāo)原點，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值時點P的坐標(biāo)．[思路分析]

(2)由|PO|＝|PM|，得x12＋y12＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2?2x1－4y1＋3＝0.即點P在直線l：2x－4y＋3＝0上．當(dāng)|PM|取最小值時，即|OP|取得最小值，直線OP⊥l，∴直線OP的方程為2x＋y＝0.①過點P作圓的切線有三種類型：當(dāng)P在圓外時，有2條切線；當(dāng)P在圓上時，有1條切線；當(dāng)P在圓內(nèi)時，不存在．②利用待定系數(shù)法設(shè)圓的切線方程時，一定要注意各種直線方程的存在性，有時要進(jìn)行恰當(dāng)分類．[互動訓(xùn)練1]已知圓的方程(x－1)2＋y2＝9，求過點(－2，4)的圓的切線方程．解：∵圓方程(x－1)2＋y2＝32，∴圓心C(1,0)，半徑r＝3.①當(dāng)過點(－2,4)的圓的切線斜率存在時，設(shè)過點(－2,4)的圓的切線為y－4＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋4＝0，題型二有關(guān)圓的弦長、中點弦問題■

[聽課記錄]

(1)解法一：如圖所示，AB＝4，D是AB的中點，CD⊥AB，AD＝2，AC＝4，在Rt△ACD中，可得CD＝2.①當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由點C到直線AB的距離公式得①有關(guān)圓的弦長的求法：已知直線的斜率為k，直線與圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，點C到l的距離為d，圓的半徑為r.答案：B題型三圓與圓的位置關(guān)系■

例3

(2010·徐州模擬)已知數(shù)列{an}，圓C1：x2＋y2－2anx＋2an＋1y－1＝0和圓C2：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圓C1與圓C2交于A，B兩點且這兩點平分圓C2的周長．(1)求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；(2)若a1＝－3，則當(dāng)圓C1的半徑最小時，求出圓C1的方程．[思路分析]

本題求解的關(guān)鍵是由“圓C1與圓C2交于A，B兩點且這兩點平分圓C2的周長”得到|C1C2|2＋r22＝r12.1.判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．2．若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項即可得到．3．兩圓公切線的條數(shù)(1)兩圓內(nèi)含時，公切線條數(shù)為0；(2)兩圓內(nèi)切時，公切線條數(shù)為1；(3)兩圓相交時，公切線條數(shù)為2；(4)兩圓外切時，公切線條數(shù)為3；(5)兩圓相離時，公切線條數(shù)為4.因此求兩圓的公切線條數(shù)主要是判斷兩圓的位置關(guān)系，反過來知道兩圓公切線的條數(shù)，也可以判斷出兩圓的位置關(guān)系．[互動訓(xùn)練3]圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝4，圓O2的圓心O2(2,1)．(1)若圓O2與圓O1外切，求圓O2的方程，并求內(nèi)公切線的方程；(2)若圓O2與圓O1相交于A，B兩點，且|AB|＝2，求圓O2的方程．題型四直線與圓的綜合問題■

例4已知圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.問在圓C上是否存在兩點A、B關(guān)于直線y＝kx－1對稱，且以AB為直徑的圓經(jīng)過原點？若存在，寫出直線AB的方程；若不存在，說明理由．[思路分析]

欲使圓上兩點A、B關(guān)于直線y＝kx－1對稱，也就是直線y＝kx－1是弦AB的垂直平分線，則需圓心C在直線y＝kx－1上，即可求得k的值．以AB為直徑的圓經(jīng)過原點，也就是OA⊥OB，轉(zhuǎn)化為kOA·kOB＝－1求解．[聽課記錄]

圓C的方程可化為(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圓心為C(1，－2)．假設(shè)在圓C上存在兩點A、B，則圓心C(1，－2)在直線y＝kx－1上，即k＝－1.于是可知，kAB＝1.設(shè)lAB：y＝x＋b，代入圓C的方程，整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)>0，由OA⊥OB，知x1x2＋y1y2＝0，也就是x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，∴b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化簡得b2＋3b－4＝0，解得b＝－4或b＝1，均滿足△>0.即直線AB的方程為x－y－4＝0，或x－y＋1＝0.[總結(jié)評價]

解答本題易出現(xiàn)先求出以AB為直徑的圓的方程，再求b的情況，此種解法較復(fù)雜，復(fù)習(xí)時要注意條件的深化．

當(dāng)直線與圓的問題不能用數(shù)形結(jié)合求解時，一般要視為直線與二次曲線的常規(guī)問題求解．解：(1)圓C的方程可化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴圓心坐標(biāo)為C(1,1)，半徑r＝1.當(dāng)b＝1時，點M(0,1)在圓C上，當(dāng)且僅當(dāng)直線l經(jīng)過圓心C時，MP⊥MQ，即k＝1.(2)(2010·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2＋y2＝4上有且只有四個點到直線12x－5y＋c＝0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是________．[答案]

(1)A

(2