【數(shù)學(xué)】復(fù)數(shù)的幾何意義課件-2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

第七章<<<7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義1.理解并可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對應(yīng)關(guān)系.2.掌握實(shí)軸、虛軸、模、共軛復(fù)數(shù)等概念.(重點(diǎn))3.掌握用向量的模來表示復(fù)數(shù)的模的方法.(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)19世紀(jì)末20世紀(jì)初，著名的德國數(shù)學(xué)家高斯在證明代數(shù)基本定理時，首次引進(jìn)“復(fù)數(shù)”這個名詞，他把復(fù)數(shù)與平面內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng)起來，創(chuàng)立了復(fù)平面，依賴平面內(nèi)的點(diǎn)或有向線段(向量)建立了復(fù)數(shù)的幾何基礎(chǔ).復(fù)數(shù)的幾何意義，從形的角度表明了復(fù)數(shù)的“存在性”，為進(jìn)一步研究復(fù)數(shù)奠定了基礎(chǔ).導(dǎo)語一、復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的關(guān)系二、復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量的關(guān)系及復(fù)數(shù)的模課時對點(diǎn)練三、共軛復(fù)數(shù)隨堂演練內(nèi)容索引四、復(fù)數(shù)的幾何應(yīng)用一復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的關(guān)系有序?qū)崝?shù)對是和坐標(biāo)平面上的點(diǎn)一一對應(yīng)的，復(fù)數(shù)能和坐標(biāo)平面上的點(diǎn)一一對應(yīng)嗎？問題1提示復(fù)數(shù)a+bi(a，b∈R)實(shí)質(zhì)上是實(shí)數(shù)的有序?qū)崝?shù)對(a，b)，復(fù)數(shù)可以和坐標(biāo)平面上的點(diǎn)一一對應(yīng).1.建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做

，y軸叫做

，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示

；除了

外，虛軸上的點(diǎn)都表示

.2.復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合是

的，即復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)，這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.實(shí)軸虛軸實(shí)數(shù)原點(diǎn)純虛數(shù)一一對應(yīng)(1)請完成以下表格.例

1復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)(0，0)(-2，0)(0，1)(-2，2)復(fù)數(shù)

-2

分類實(shí)數(shù)

0i-2+2i實(shí)數(shù)純虛數(shù)虛數(shù)(2)在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i對應(yīng)的點(diǎn)：①在虛軸上；②在第二象限內(nèi)；③在y=x的圖象上，分別求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(1)找對應(yīng)關(guān)系：復(fù)數(shù)的幾何表示法即復(fù)數(shù)z=a+bi(a，b∈R)可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)來表示，注意不是(a，bi).(2)列出方程：此類問題可根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)滿足的條件列出方程(組)或不等式(組)，進(jìn)而求解.

反思感悟利用復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系解題的步驟

當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時，復(fù)數(shù)z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)：(1)位于第四象限內(nèi)；跟蹤訓(xùn)練

1

(2)位于x軸負(fù)半軸上；

(3)在上半平面(含實(shí)軸)？要使點(diǎn)位于上半平面(含實(shí)軸)，則

m2+3m-28≥0，解得m≥4或m≤-7.二復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量的關(guān)系及復(fù)數(shù)的模平面向量可以用有序數(shù)對來表示，借助有序數(shù)對能建立復(fù)數(shù)與平面向量的聯(lián)系嗎？問題2提示在平面直角坐標(biāo)系中，每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的，這樣就可以用平面向量來表示復(fù)數(shù).

同一個

(1)設(shè)復(fù)數(shù)z1=-4+3i，z2=-4-3i.①在復(fù)平面內(nèi)畫出復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的點(diǎn)和向量；例

2

②求復(fù)數(shù)z1，z2的模，并比較它們的模的大小.

反思感悟(1)

下列命題中，假命題是A.復(fù)數(shù)的模是非負(fù)實(shí)數(shù)B.復(fù)數(shù)等于零的充要條件是它的模等于零C.兩個復(fù)數(shù)的模相等是這兩個復(fù)數(shù)相等的必要條件D.復(fù)數(shù)z1>z2的充要條件是|z1|>|z2|跟蹤訓(xùn)練

2√

不全為實(shí)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)不能比較大小，但任意兩個復(fù)數(shù)的?？偰鼙容^大小，故D錯誤.三共軛復(fù)數(shù)

a-bi

復(fù)數(shù)z=3-4i的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限例

3√

反思感悟互為共軛復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱.特別地，實(shí)數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)重合，且在實(shí)軸上.

(多選)下列說法正確的是A.復(fù)數(shù)和其共軛復(fù)數(shù)都是成對出現(xiàn)的B.實(shí)數(shù)不存在共軛復(fù)數(shù)C.互為共軛復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱D.復(fù)數(shù)和其共軛復(fù)數(shù)的模相等跟蹤訓(xùn)練

3√√由共軛復(fù)數(shù)的相關(guān)知識可知，AD正確.四復(fù)數(shù)的幾何應(yīng)用

(課本例3改編)設(shè)z∈C，且z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z，試說明滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形.(1)|z|=2；例

4方法一|z|=2說明復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離為2，這樣的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓.方法二設(shè)z=a+bi(a，b∈R)，由|z|=2，得a2+b2=4.故點(diǎn)Z對應(yīng)的集合是以原點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓.(2)1≤|z|≤2.

反思感悟(1)|z|表示在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.(2)設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用模的定義轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題求解.

設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1，Z2，|z1|=2，z2=3i，則Z1，Z2兩點(diǎn)之間距離的最大值為A.1 B.3 C.5 D.7跟蹤訓(xùn)練

4√因?yàn)閨z1|=2，說明復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z1到原點(diǎn)的距離為2，這樣的點(diǎn)Z1的集合是以原點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓.z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z2為(0，3)，則最大值為點(diǎn)Z2(0，3)到圓心O的距離加上半徑，即3+2=5.1.知識清單：(1)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量之間的對應(yīng)關(guān)系.(2)復(fù)數(shù)的模及幾何意義.(3)共軛復(fù)數(shù).2.方法歸納：待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū)：虛數(shù)不能比較大小，虛數(shù)的?？梢员容^大小.隨堂演練五1234

√

1234√∵z=m+(3m+2)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線y=2x上，∴3m+2=2m，解得m=-2.

12343-i

4.寫出一個同時滿足下列條件的復(fù)數(shù)z=

.

①|(zhì)z|=2；②復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.1234

1234

課時對點(diǎn)練六題號12345678答案DBBABDAAC0±1

2或0題號11

121314

15答案ACBD

對一對

答案123456789101112131415169.

答案123456789101112131415169.(2)設(shè)點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2=x2+y2i(x2，y2∈R)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x2，y2)，由對稱性可知，x2=-2，y2=-1，故z2=-2-i.答案1234567891011121314151610.

答案1234567891011121314151616.

答案1234567891011121314151616.答案

12345678910111213141516

123456789101112131415基礎(chǔ)鞏固√16

答案2.在復(fù)平面內(nèi)，表示復(fù)數(shù)z=a-1+(a+2)i的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a滿足A.-1<a<2 B.-2<a<1C.a>1 D.a<-2123456789101112131415√16

答案

√12345678910111213141516答案12345678910111213141516

答案1234567891011121314154.(多選)已知復(fù)數(shù)z=3-4i(其中i是虛數(shù)單位)，則下列命題中正確的為A.|z|=5B.z的虛部是-4C.z-3+4i是純虛數(shù)D.z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)在第四象限√16√√答案12345678910111213141516

答案

123456789101112131415√16答案12345678910111213141516

答案

12345678910111213141516√√答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516又sin2θ+cos2θ=1，

答案1234567891011121314157.若x-2+yi與3x-i互為共軛復(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)x，y之和為

.

016答案1234567891011121314158.復(fù)數(shù)z=a2-1+(a+1)i(a∈R)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，則a=

，|z|=

.

±1162或0由題意知a2-1=0，解得a=±1，則當(dāng)a=1時，z=2i，|z|=2；當(dāng)a=-1時，z=0，|z|=0.答案

12345678910111213141516

答案(2)如果(1)中的點(diǎn)B關(guān)于虛軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C，求點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù).12345678910111213141516設(shè)點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2=x2+y2i(x2，y2∈R)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x2，y2)，由對稱性可知，x2=-2，y2=-1，故z2=-2-i.答案123456789101112131415

16

答案11.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|2-2|z|-3=0，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是什么圖形A.一個圓 B.線段C.兩點(diǎn) D.兩個圓123456789101112131415√綜合運(yùn)用16答案12345678910111213141516∵|z|2-2|z|-3=0，∴(|z|-3)(|z|+1)=0，∴|z|=3(|z|=-1舍去)，∴復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以3為半徑的一個圓.答案12.在?ABCD中，點(diǎn)A，B，C分別對應(yīng)復(fù)數(shù)4+i，3+4i，3-5i，則點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)是A.2-3i B.4+8iC.4-8i D.