新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學(xué)第29講 二項式定理（解析版）

第29講二項式定理【知識點總結(jié)】一、二項式定理.展開式具有以下特點：（1）項數(shù)：共項.（2）二項式系數(shù)：依次為組合數(shù).（3）每一項的次數(shù)是一樣的，都為次，展開式依的降冪、的升冪排列展開.特別地，.二、二項式展開式的通項（第項）二項式展開的通項為.其中的二項式系數(shù).令變量（常用）取1，可得的系數(shù).注通項公式主要用于求二項式展開式的指數(shù)、滿足條件的項數(shù)或系數(shù)、展開式的某一項或系數(shù).在應(yīng)用通項公式時要注意以下幾點：=1\*GB3①分清是第項，而不是第項；=2\*GB3②在通項公式中，含這6個參數(shù)，只有是獨立的，在未知的情況下利用通項公式解題，一般都需要先將通項公式轉(zhuǎn)化為方程組求和.三、二項式展開式中的系數(shù)（1）二項式系數(shù)與項的系數(shù)二項式系數(shù)僅指而言，不包括字母所表示的式子中的系數(shù).例如：的展開式中，含有的項應(yīng)該是，其中叫做該項的二項式系數(shù)，而的系數(shù)應(yīng)該是（即含項的系數(shù)）.二項式系數(shù)的性質(zhì)=1\*GB3①在二項式展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即，…，.=2\*GB3②二項展開式中間項的二項式系數(shù)最大.如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間項是第項，其二項式系數(shù)最大；如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間項有兩項，即為第項和第項，它們的二項式系數(shù)和相等并且最大.（3）二項式系數(shù)和與系數(shù)和=1\*GB3①二項式系數(shù)和.奇數(shù)項二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項二項式系數(shù)和，.=2\*GB3②系數(shù)和求所有項系數(shù)和，令；求變號系數(shù)和，令；求常數(shù)項，令?！镜湫屠}】例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）的展開式中，的系數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】的展開式通項為，的展開式通項為，所以，的展開式通項為，其中，、，令，得，得，所以，展開式中的系數(shù)為.故選：D.（多選題）例2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，則（）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】由題意，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，，，當(dāng)時，，所以.故選：ACD.例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若的展開式中各項系數(shù)的和為，則該展開式的常數(shù)項為___________.【答案】【詳解】因為的展開式中各項系數(shù)的和為0，令得，解得，所以的常數(shù)項為.故答案為：-120例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知的展開式的二項式系數(shù)和比的展開式的二項式系數(shù)和大992，則在的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為________．【答案】－8064－32【詳解】由題意知，，即，故，解得n＝5.由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大，故二項式系數(shù)最大的項為＝－8064.故答案為：－8064.例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）除以的余數(shù)是____．設(shè)復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位)，則____．【答案】##【詳解】解：.因為后十項均能被整除，所以除以的余數(shù)是.，則.故答案為：1；.例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）求的展開式中含的項．【詳解】由，可得展開式中含的項為：.【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））的展開式中項的系數(shù)為（）A． B． C．24 D．【答案】B【分析】將式子分成兩項之和，再利用二項式定理的展開式，求特定的項.【詳解】因為，所以的展開式中項的為，系數(shù)為.故選：B.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）的展開式中項的系數(shù)為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】將化簡為:,寫出二項展開式的通項公式,即可求得答案.【詳解】二項展開式的通項公式中不含項,無需求解.中含項,即當(dāng)時中含項,即當(dāng)時的展開式中項故選:A.【點睛】本題考查求二項式展開式中常數(shù)項,解題關(guān)鍵是掌握二項展開式的通項公式,考查分析能力和計算能力,屬基礎(chǔ)題.3．（2022·河南·溫縣第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知，二項式的展開式中所有項的系數(shù)和為192，則展開式中的常數(shù)項為（）A．66 B．36 C．30 D．6【答案】B【分析】利用賦值法求出a值，再分析計算二項式展開式的通項即可得解【詳解】因的展開式中所有項的系數(shù)和為192，則當(dāng)時，，解得，從而有展開式的通項為，因此，在中，當(dāng)，即時，與相乘可得常數(shù)項，當(dāng)，即時，與2相乘可得常數(shù)項，于是得：，所以展開式中的常數(shù)項為36.故選：B4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））的展開式中的中間項為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)8為偶數(shù)可知中間一項為第五項代入公式計算即可.【詳解】由題意得中間項為.故選：B5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）展開式中的常數(shù)項為－160，則a＝（）A．－1 B．1 C．±1 D．2【答案】B【分析】寫出該二項展開式的通項公式，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得常數(shù)項，再根據(jù)常數(shù)項等于-160求得實數(shù)a的值.【詳解】的展開式通項為，∴令，解得，∴的展開式的常數(shù)項為，∴∴故選：B.6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為()A．512 B．210C．211 D．212【答案】A【分析】根據(jù)題意求出n，二項式展開式奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和相等，故奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為.【詳解】∵的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，∴，解得n＝10，對于二項式，令x＝，可得其展開式的奇數(shù)項和偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為0，即奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和相等，又因為所有二項式系數(shù)之和為，∴的展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為，故選：A．7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）的展開式中系數(shù)為有理數(shù)的各項系數(shù)之和為（）A．1 B．20C．21 D．31【答案】C【分析】寫出二項式的通項公式，有理項x的次數(shù)為整數(shù)﹒【詳解】因為展開式的通項為，因此，要使系數(shù)為有理數(shù)，只需為整數(shù)，又因為0≤k≤5且k∈Z，所以k＝2，5，因此系數(shù)為有理數(shù)的項為,故所求系數(shù)之和為20＋1＝21.故選：C.8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若在(x＋1)4(ax－1)的展開式中，x4項的系數(shù)為15，則a的值為（）A．－4 B．C．4 D．【答案】C【分析】先把展開式中的常數(shù)項和的系數(shù)求出來，進而求(x＋1)4(ax－1)的x4項的系數(shù)，列出方程，求出a的值.【詳解】對的展開式通項公式，當(dāng)時，，當(dāng)時，，其中x4的系數(shù)為1×(－1)＋4a＝－1＋4a＝15，解得：a＝4故選：C.9．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））的展開式中的系數(shù)為（）A． B． C．24 D．36【答案】B【分析】由二項式定理寫出的展開式通項公式，結(jié)合乘積形式確定含項，即可得其系數(shù).【詳解】由題意得：的展開式的通項為；當(dāng)時，，此時只需乘以因式中的即可，得到；當(dāng)時，，此時只需乘以因式中的即可，得到；據(jù)此可得，的展開式中的系數(shù)為.故選：B.10．（2021·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三階段練習(xí)（理））已知，且恰能被14整除，則的取值可以是（）A．1 B．3 C．7 D．13【答案】D【分析】由并展開，根據(jù)展開式的特征，結(jié)合題設(shè)條件可得，即可確定取值.【詳解】由，∴要使恰能被14整除，只需能被14整除即可且，∴，當(dāng)k=1時，m=13滿足題意.故選：D11．（2021·全國·高三專題練習(xí)）今天是星期三，經(jīng)過7天后還是星期三，那么經(jīng)過天后是（）A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五【答案】C【分析】運用二項式展開式可得被7除得余數(shù)為1，即可得結(jié)果．【詳解】所以被7除得余數(shù)為1，故經(jīng)過天后是星期四故選：C12．（2021·全國·高三專題練習(xí)（理））在QBasic等程序語言中，通常用表示除以后得到的余數(shù)，例如，．則等于（）A．1 B．3 C．9 D．7【答案】C【分析】根據(jù)，利用二項展開得余數(shù)即可.【詳解】由，所以.故選：C.13．（2021·河南駐馬店·高三階段練習(xí)（理））若，且,則實數(shù)的值為A．1或3 B．-3 C．1 D．1或-3【答案】D【詳解】令得：，而，所以有.令得：，因此有，解得，或，故選：D二、多選題14．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知的二項展開式中二項式系數(shù)之和為64，則下列結(jié)論正確的是（）A．二項展開式中各項系數(shù)之和為 B．二項展開式中二項式系數(shù)最大的項為C．二項展開式中無常數(shù)項 D．二項展開式中系數(shù)最大的項為【答案】AB【分析】由二項式系數(shù)之和求得，令可求得各項系數(shù)和，由二項式系數(shù)的性質(zhì)可得二項式系數(shù)最大的項，寫出展開式通項公式，由的指數(shù)確定有無常數(shù)項，列不等式求得系數(shù)最大的項．【詳解】因為的二項展開式中二項式系數(shù)之和為64，所以，得，所以二項式為，則二項式展開式的通式公式，對于A，令，可得二項展開式中各項系數(shù)之和為，所以A正確；對于B，第4項的二項式系數(shù)最大，此時，則二項展開式中二項式系數(shù)最大的項為，所以B正確；對于C，令，則，所以二項展開式中的常數(shù)項為，所以C錯誤；對于D，令第項的系數(shù)最大，則，解得，因為，所以時，二項展開式中系數(shù)最大，則二項展開式中系數(shù)最大的項為，所以D錯誤，故選：AB.15．（2022·全國·模擬預(yù)測）下列關(guān)于多項式的展開式的結(jié)論中，正確的是（）A．各項系數(shù)之和為 B．各項系數(shù)的絕對值之和為C．不存在項 D．常數(shù)項為【答案】AD【分析】賦值法判斷A、B；根據(jù)已知多項式，結(jié)合二項式定理判斷C、D的正誤.【詳解】令得，故A正確﹔取多項式，將代入多項式可得，故B錯誤﹔由題設(shè)，，若要得到含項，只需個因式中個取，剩下個取，故C錯誤;個因式中個取，個取，剩下個取，得5個因式中個取個取，剩下個取，得，5個因式中均取，得.故常數(shù)項為，D正確.故選：AD.16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．中最大的是D．當(dāng)時，除以2000的余數(shù)是1【答案】ABD【分析】A賦值法求即可；B由，寫出展開式通項，求；C：由B求得，與比較大?。籇將代入右式，并確定、的值，即可.【詳解】A：令，，正確；B：由，則展開式通項為，故，，所以，正確；C：由B知：，顯然比大，錯誤；D：時，，而，，即可知除以2000的余數(shù)是1，正確.故選：ABD17．（2021·廣東·高三階段練習(xí)）已知，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)題意，分別令，和，可判定A、C正確，B錯誤，令，得到，結(jié)合二項展開式的通項，可判定D錯誤.【詳解】由令，可得，所以A正確；令，可得得，所以，所以B錯誤；令，可得得，C正確；令，則的展開式的通項為，所以，所以D錯誤．故選：AC．18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知(a＋b)n的展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，則n的值可以為（）A．7 B．8C．9 D．10【答案】ABC【分析】若為偶數(shù)，則展開式中間一項的二項式系數(shù)最大；若為奇數(shù)，則展開式中間兩項與的二項式系數(shù)和相等，且最大.【詳解】若展開式只有第五項的二項式系數(shù)最大，則，解得：n＝8；若展開式第四項和第五項的二項式系數(shù)最大，則，解得：n＝7；若展開第五項和第六項的二項式系數(shù)最大，則，解得：n＝9；故選：ABC19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在的展開式中，下列說法正確的有（）A．所有項的二項式系數(shù)和為128 B．所有項的系數(shù)和為1C．二項式系數(shù)最大的項為第4項 D．有理項共3項【答案】AB【分析】利用二項式定理以及展開式的通項，賦值法對應(yīng)各個選項逐個判斷即可．【詳解】解：選項A：所有項的二項式系數(shù)和為，故A正確；選項B：令，則，所以所有項的系數(shù)的和為1，故B正確；選項C：二項式系數(shù)最大的項為第4項和第5項，故C不正確；選項D：二項式的展開式的通項為，當(dāng)時，，二項式的展開式的第一項為有理項，當(dāng)時，，二項式的展開式的第三項為有理項，當(dāng)時，，二項式的展開式的第五項為有理項，當(dāng)時，，二項式的展開式的第七項為有理項，所以有理項有4項，故D不正確，故選：AB．20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，下列命題中，正確的是（）A．展開式中所有項的二項式系數(shù)的和為；B．展開式中所有奇次項系數(shù)的和為；C．展開式中所有偶次項系數(shù)的和為；D．.【答案】ACD【分析】由二項式定理知的所有項的二項式系數(shù)和為，分別令、，再將所得作和差處理，求奇偶次項的系數(shù)和，根據(jù)通項，即可求，進而判斷各選項的正誤.【詳解】A：由二項式知：，正確；當(dāng)時，有，當(dāng)有，B：由上，可得，錯誤；C：由上，可得，正確；D：由二項式通項知：，則，，…，，所以，正確.故選：ACD21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若(1＋mx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8且a1＋a2＋…＋a8＝255，則實數(shù)m的值為（）A．1 B．－1C．－3 D．3【答案】AC【分析】賦值法求解各項系數(shù)的和，列出方程，求出實數(shù)m的值.【詳解】當(dāng)x＝0時，a0＝1，當(dāng)x＝1，a0＋a1＋a2＋…＋a8＝(1＋m)8，則a1＋a2＋…＋a8＝(1＋m)8－1，所以(1＋m)8－1＝255，解得m＝1或－3.故選：AC.三、填空題22．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知二項式的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為，則該展開式中的常數(shù)項是_______．(用數(shù)字作答)【答案】【分析】由題意可得求出的值，再求出二項式展開式的通項，令的指數(shù)位置等于求得的值即可求得常數(shù)項.【詳解】由題意可得：，可得，所以展開式通項為，令可得常數(shù)項為，故答案為：.23．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若二項式的展開式中第項與第項的系數(shù)相同，則其常數(shù)項是___________.【答案】【分析】根據(jù)求出的值，再由二項式展開式的通項即可求出常數(shù)項.【詳解】由已知條件可得，所以，，二項式的展開式通項為，令，解得：，因此展開式中的常數(shù)項為，故答案為：.24．（2022·天津南開·高三期末）二項式的展開式中，常數(shù)項是________.【答案】7【分析】求出二項式的展開式的通項，再求出x的冪指數(shù)為0時的值，代入計算作答.【詳解】二項式的展開式的通項，由得，則，所以所求常數(shù)項是7.故答案為：725．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若的展開式中各項系數(shù)的和為，則該展開式的常數(shù)項為___________.【答案】【分析】根據(jù)的展開式中各項系數(shù)的和為0，令求得a，再利用通項公式求解.【詳解】因為的展開式中各項系數(shù)的和為0，令得，解得，所以的常數(shù)項為.故答案為：-12026．（2022·全國·高三專題練習(xí)）的展開式中的系數(shù)是___________．【答案】【分析】由可知展開式的通項為，令，然后再考慮展開式的通項，即可求解.【詳解】因為展開式的通項為，令得，，又展開式的通項為，令得，，所以的展開式中，的系數(shù)是.故答案為：.27．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若在的展開式中第項的二項式系數(shù)最大，則的展開式中，常數(shù)項是___________.【答案】60【分析】先求出k，再利用二項展開式的通項公式求出常數(shù)項.【詳解】的展開式中第項的二項式系數(shù)最大，則.的展開式通項，當(dāng)，即時為常數(shù)項，故常數(shù)項為.故答案為：6028．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若的展開式中，含的項是第四項，則展開式中的二項式系數(shù)和為______．【答案】256【分析】由二項式可得展開式通項，由含的項是第四項求出、，進而求展開式中的二項式系數(shù)和.【詳解】由題意，二項式展開式的通項為，當(dāng)時，，解得，則二項式系數(shù)和為256．故答案為：25629．（2021·全國·高三開學(xué)考試（理））的展開式中各項系數(shù)之和為，則該展開式中的系數(shù)為___________.【答案】-48【分析】令x=1，解得a=1，再利用的通項公式，進而得出．【詳解】令x=1,=2，解得a=1.又的通項公式，令5?2r=3，5?2r=5.解得r=1，r=0.∴該展開式中的系數(shù)為=?80+32=?48，故答案為：?48.【點睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用，根據(jù)通項公式求系數(shù)，屬于中等題.30．（2021·江蘇·鹽城中學(xué)一模）若，則__________．【答案】【詳解】令，則，為的系數(shù)，其中展開式中的系數(shù)為，展開式中的系數(shù)為，則.【點睛】解決二項式定理問題，第一常利用通項公式，求出展開式的某些指定項，第二要熟悉二項式系數(shù)及性質(zhì)，弄清楚二項式系數(shù)和項的系數(shù)，第三要掌握賦值法求系數(shù)和，第四要學(xué)會利用換元法轉(zhuǎn)化問題.31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知（x-3y）n的展開式中，第5項的二項式系數(shù)與第12項的二項式系數(shù)相等，則展開式共有___________項.【答案】16【分析】根據(jù)已知條件解出，可確定展開式共有項【詳解】由題可知，，則，展開式共有16項，故答案為：1632．（2021·福建·上杭一中模擬預(yù)測）除以88的余數(shù)是______．【答案】1【分析】把所給的式子化為，再利用二項式定理展開可得它除以88的余數(shù)．【詳解】解：由題意得：，故它除以88的余數(shù)為，故答案為：1．33．（2021·福建三明·模擬預(yù)測）設(shè)且，若能被5整除，則等于___________.【答案】.【分析】由，根據(jù)能被5整除，進而求得的值.【詳解】由，其中能被5整除，要使得能被5整除，只需能被5整除，所以.故答案為：.34．（2021·山東·高三階段練習(xí)）某同學(xué)在一個物理問題計算過程中遇到了對數(shù)據(jù)的處理，經(jīng)過思考，他決定采用精確到0.01的近似值，則這個近似值是________.【答案】【分析】根據(jù)，由二項式定理進行近似計算即可.【詳解】根據(jù)二項式定理可得：,故答案為：四、解答題35．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在(2x－3y)10的展開式中，求：（1）二項式系數(shù)的和；（2）各項系數(shù)的和；（3）奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；（4）奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和.【答案】（1）210（2）1（3）29，29（4）奇數(shù)項系數(shù)和為，偶數(shù)項系數(shù)和為【分析】（1）二項式系數(shù)的和直接使用公式進行求解；（3）奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和，直接利用公式進行求解；第（2）問和第（4）問：設(shè)(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10(*),各項系數(shù)和為a0＋a1＋…＋a10，奇數(shù)項系數(shù)和為a0＋a2＋…＋a10，偶數(shù)項系數(shù)和為a1＋a3＋a5＋…＋a9.由于(*)是恒等式，故可用“賦值法”求出相關(guān)的系數(shù)和.（1）二項式系數(shù)的和為.（2）令x＝y(tǒng)＝1，各項系數(shù)和為(2－3)10＝(－1)10＝1.（3）奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為，偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為.（4）設(shè)(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10令x＝y(tǒng)＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②其中①＋②得：，∴奇數(shù)項系數(shù)和為；①－②得：，∴偶數(shù)項系數(shù)和為.36．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，求：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）分別令和，作差即可得到結(jié)果；（2）令即可求得結(jié)果；（3）由和所得式子作和即可推導(dǎo)得到結(jié)果.（1）令得：；令得：，.（2）令得：.（3）由（1）（2）知：，兩式作和得：，.37．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：（1）a0＋a1＋a2＋…＋a5；（2）|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；（3）a1＋a3＋a5.【答案】（1）1；（2）243；（3）－121.【分析】（1）賦值法令x＝1，即得解；（2）利用通項分析可得a1，a3，a5為負值，|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，令x＝－1即得