湖南省長(zhǎng)沙市麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷

麓山國(guó)際屆高三入學(xué)考試試卷高三年級(jí)數(shù)學(xué)試卷命題人黃海波審題人蔡尚?？偡?分時(shí)量:分鐘:本題共8小題，每小題5分，共分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.或【答案】C【解析】【分析】首先通過(guò)聯(lián)立方程，求解的元素，再根據(jù)集合的形式，判斷選項(xiàng).【詳解】聯(lián)立，得，所以.故選：C2.若復(fù)數(shù)滿足，則其共軛復(fù)數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算結(jié)合共軛復(fù)數(shù)概念即可求解.【詳解】由，可得：，所以，故選：B第1頁(yè)/共19頁(yè)3.等比數(shù)列中，，則（）A.2B.4C.9D.252【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義求解即可.【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，設(shè)其公比為，所以，解得，所以.故選：B.4.設(shè)，，是非零向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】分別判斷充分性和必要性成立情況得出結(jié)論.【詳解】若，則，；若，則，即.“”是“”的必要而不充分條件；故選：B.5.若函數(shù),恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分析該分段函數(shù)在各段上的零點(diǎn)情況，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與在上有一個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題，結(jié)合函數(shù)的圖象即得參數(shù)的范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，由可得，第2頁(yè)/共19頁(yè)依題意，時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)，即方程在上有一個(gè)實(shí)根，也即直線與在上有一個(gè)交點(diǎn).如圖作出函數(shù)的圖象.因在上單調(diào)遞增，由圖可知，此時(shí).綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D6.過(guò)直線上一點(diǎn)P作⊙M：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若使得的點(diǎn)P有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A.B.C.或D.或【答案】B【解析】【分析】易得，根據(jù)題意可得圓心到直線的距離，進(jìn)而可得出答案.【詳解】⊙M：的圓心，半徑，由，得，由題意可得圓心到直線的距離，即，解得.故選：B.第3頁(yè)/共19頁(yè)7.如圖，過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作軸、的垂線，且分別交橢圓于點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，則，由，共線，點(diǎn)在橢圓上，得坐標(biāo)關(guān)系，聯(lián)立求解即可.【詳解】設(shè)，則，由，則，即，①由三點(diǎn)共線，則，即，②又因?yàn)?，即，③將①②代入③得，則.故選：D.8.已知正數(shù)，滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A.B.C.D.第4頁(yè)/共19頁(yè)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，分離參數(shù)可得，即可得到，再結(jié)合二次函數(shù)的值域，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以等價(jià)于，又，所以，則，即，又，所以，即實(shí)數(shù)的最小值為.故選：A二、選擇題本題共3小題，每小題6分，共分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下面命題中是假命題的有（）A中，若，則B.若，則是第一象限角或第二象限角C.若一個(gè)扇形所在圓的半徑為，其圓心角為弧度，則扇形的周長(zhǎng)為D.函數(shù)的最小值為【答案】BD【解析】【分析】利用正弦定理結(jié)合大邊對(duì)大角可判斷A選項(xiàng)；利用三角函數(shù)值的符號(hào)與角的終邊的關(guān)系可判斷B選項(xiàng)；利用扇形的弧長(zhǎng)公式可判斷C選項(xiàng)；取可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，中，若，則，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則是第一象限角或第二象限角或角的終邊在軸的非負(fù)半軸，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若一個(gè)扇形所在圓的半徑為，其圓心角為弧度，則扇形的周長(zhǎng)為，C對(duì)；第5頁(yè)/共19頁(yè)對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，D錯(cuò).故選：BD.10.已知二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是，則下列說(shuō)法正確的是（）A.展開式共有6項(xiàng)B.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)C.展開式的常數(shù)項(xiàng)為540D.展開式有理項(xiàng)共有3項(xiàng)【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法求出冪指數(shù)，再結(jié)合展開式的通項(xiàng)，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是，得當(dāng)時(shí)，，解得，對(duì)于A，展開式共7項(xiàng)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，B正確；二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，對(duì)于C，由，得，則展開式的常數(shù)項(xiàng)，C正確；對(duì)于D，由為整數(shù)，得，因此展開式的有理項(xiàng)共有4項(xiàng)，D錯(cuò)誤.故選：BC已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為dn項(xiàng)和為）A.當(dāng)時(shí)，最大B.使得成立的最小自然數(shù)C.D.數(shù)列中的最小項(xiàng)為【答案】ACD【解析】第6頁(yè)/共19頁(yè)、、前n項(xiàng)和的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】若，則，，故，所以，即等差數(shù)列是遞減數(shù)列，A：由上分析，數(shù)列前7項(xiàng)為正，其余項(xiàng)為負(fù)，故時(shí)，最大，對(duì)；B：由，，則，，所以成立的最小自然數(shù)，錯(cuò)；C：，則，對(duì)；D：當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由，，所以數(shù)列中的最小項(xiàng)為，對(duì).故選：ACD三、填空題本題共3小題，每小題5分，共分.12.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布．質(zhì)量指標(biāo)介于99至101之間的產(chǎn)品為良品，為使這種產(chǎn)品的良品率達(dá)到，則需調(diào)整生產(chǎn)工藝，使得至多為________．(若，則)【答案】##0.5【解析】【分析】根據(jù)題意以及正態(tài)曲線的特征可知，的解集，即可根據(jù)集合的包含關(guān)系列出不等式組，從而得解．【詳解】依題可知，，再根據(jù)題意以及正態(tài)曲線的特征可知，的解集，由可得，，第7頁(yè)/共19頁(yè)所以，解得：，故σ至多為．故答案為：．13.正方體的棱長(zhǎng)為3EF是棱，截正方體所得截面的周長(zhǎng)為________【答案】【解析】【分析】由直線EF與分別交于G，H，連接AG，AH分別交，于點(diǎn)M，N，得到五邊形為平面截正方體所得的截面，然后根據(jù)E，F(xiàn)為中點(diǎn)，利用三角形相似，確定點(diǎn)M，N的位置求解.【詳解】解：如圖所示：直線EF與分別交于G，H，連接AG，AH分別交，于點(diǎn)M，N，則五邊形為平面截正方體所得的截面，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，所以易得，所以，因?yàn)?，所以，可得，同理可得，所以五邊形的周長(zhǎng)為，第8頁(yè)/共19頁(yè)故答案為：14.若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的最大值為；解法一：利用方程根的判別式求出參數(shù)的取值范圍，并分類討論是否符合題意即可求出結(jié)果；解法二：結(jié)合圖象對(duì)的兩根的分布情況進(jìn)行分類討論即可求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】令，得；設(shè)，則方程，即，易知，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，易知當(dāng)時(shí)，時(shí)，趨近于時(shí)，趨近于0趨近于時(shí)，趨近于，作出的大致圖象如圖所示．?dāng)?shù)形結(jié)合可得，且方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．解法一：由，得或．第9頁(yè)/共19頁(yè)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程在上至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根，不合題意，當(dāng)時(shí)，設(shè)方程在上的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，則，所以需，得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．解法二：設(shè)方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根分別為，則，或，．①當(dāng)，時(shí)，由，得，則在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，由，得或，與，矛盾．②當(dāng)，時(shí)，若方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則，解得．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此類問(wèn)題需注意以下幾點(diǎn)，（1）會(huì)轉(zhuǎn)化，即會(huì)將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根的問(wèn)題；（2）會(huì)作圖，即會(huì)根據(jù)基本初等函數(shù)的圖象或利用導(dǎo)數(shù)畫出相關(guān)函數(shù)的大致圖象；（3）會(huì)觀察，即會(huì)利用數(shù)形結(jié)合思想得到參數(shù)的取值范圍．四、解答題:本題共5小題，共分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟.15.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．已知．第10頁(yè)/共19頁(yè)（1）求；（2）若，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】1，再利用正弦的和角公式得到，即可求角；（21解.【小問(wèn)1詳解】由，得到，即，得到，又，，所以，又，得到.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，因?yàn)橛?，所以，即，又由正正弦定理得，即，其中為外接圓的半徑，所以，所以的面積為.第11頁(yè)/共19頁(yè)16.隨著“雙十一購(gòu)物節(jié)”3別可以再店內(nèi)無(wú)門檻優(yōu)惠10元?20元和301供下一位顧客抽取.若某天抽獎(jiǎng)金額少于202得，否則正常抽取.（1）求第二天獲得優(yōu)惠金額的數(shù)學(xué)期望；（2）記“第天抽取1張獎(jiǎng)券”的概率為，寫出與的關(guān)系式并求出.【答案】（1）（2）.【解析】1）根據(jù)乘法公式求解概率，即可由期望公式求解，（2）由題意得，即可利用構(gòu)造法求解為等比數(shù)列，即可由等比數(shù)列的通項(xiàng)求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)第二天獲得的優(yōu)惠券金額為的可能取值為1張獎(jiǎng)券的概率為2張獎(jiǎng)券的概率為，若抽2張獎(jiǎng)券，優(yōu)惠金額20元概率為，優(yōu)惠金額30元的概率為，，，，故第二天獲得優(yōu)惠金額的數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)2詳解】記“第天抽取1張獎(jiǎng)券”的概率為，則“第天抽取2張獎(jiǎng)券”的概率為，第12頁(yè)/共19頁(yè)則“第天抽取1張獎(jiǎng)券”的概率為，，設(shè)，則，又，則，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，.17.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）0；（2）.【解析】1）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，求出最小值.（21時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)探討存在實(shí)數(shù)使得得解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，第13頁(yè)/共19頁(yè)所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值.【小問(wèn)2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，則，由（1）知，，，而，即有，因此恒成立，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，而恒成立，不等式不恒成立，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.18.如圖所示，四邊形為正方形，四邊形，為兩個(gè)全等的等腰梯形，，，，．（1）當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段和平面的夾角的余弦值的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間角的向量求法求出平面和平面的夾角的余弦值的表達(dá)式，進(jìn)行合理變形，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得余弦的最值，即可求得答案．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且，所以，因?yàn)椋宜倪呅螢檎叫?，故，?4頁(yè)/共19頁(yè)所以，而平面，故平面，又平面，所以；【小問(wèn)2詳解】設(shè)正方形的中心為，分別取的中點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，由（1）知四點(diǎn)共面，且平面，連接，平面，故，又平面，故平面平面，且平面平面，由題意可知四邊形為等腰梯形，故，平面，故平面，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則，又，故，設(shè)到底面的距離為，四邊形，為兩個(gè)全等的等腰梯形，且，故，又，故，則，，設(shè)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，第15頁(yè)/共19頁(yè)則，令，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，，故，令，則，令，則，令，則在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，即平面和平面的夾角的余弦值得取值范圍為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于求出平面夾角的余弦值之后，要對(duì)其表達(dá)式進(jìn)行變形，從而結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性求得余弦的最值，從而得到其取值范圍.19.在平面內(nèi)，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側(cè)的頂點(diǎn)到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，其離心率為，且點(diǎn)為雙曲線與曲線相切于點(diǎn)的漸近線交于、在點(diǎn)為在其上第16頁(yè)/共19頁(yè)一點(diǎn)處的切線方程為．（1）求雙曲線的方程；（2）若是四邊形的等線，求四邊形的面積；（3的軌跡為曲線在點(diǎn)處的切線為的等線．【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】1）在雙曲線的方程中，令，結(jié)合已知條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)“等線”的定義可得出關(guān)于、、的方程組，解出、的值，即可得出雙曲線的方程；（2）利用給定定義，求解關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，最后得到四邊形面積即可.（3）利用給定條件和新定義證明即可.【小問(wèn)1詳解】解：在雙曲線的方程中，令，解得，因?yàn)橹本€為的等線，顯然點(diǎn)在直線的上方，故有，又、，有，，，解得，，所以的方程為．【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，由題意有方程為，①第17頁(yè)/共19頁(yè)漸近線方程為，聯(lián)立得，，故，所以是線段的