江西省2024-2025學年高二上學期期末考試數(shù)學試題【含答案解析】

江西省2024—2025學年第一學期期末考試高二數(shù)學試卷試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.考查范圍：選擇性必修第一冊.2.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡指定位置上.3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，請將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知隨機變量，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質直接求解即可.【詳解】由，得，故．故選：B2.若隨機變量，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項分布的方差公式計算可得.【詳解】因為，故．故選：C．3.如圖，在四面體OABC中，為BC的中點，，且為OG的中點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運算求解即可.【詳解】由題意，,故選：A4.直線與圓的公共點個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.無法判斷【答案】C【解析】【分析】求出圓心到直線距離，和半徑比較后得到答案.【詳解】的圓心為，半徑為25，到的距離為，故直線與圓相交，公共點個數(shù)為2.故選：C5.已知雙曲線過點，且與雙曲線有相同的漸近線，則的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設雙曲線方程為，將代入，求出，可求雙曲線的標準方程．【詳解】因為雙曲線過點，且與雙曲線有相同的漸近線，所以設雙曲線方程，將代入，可得，則，所求雙曲線的標準方程是．故選：D．6.二項式的展開式中有理項的個數(shù)為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】由二項式展開式的通項公式求出通項，然后由指數(shù)為整數(shù)得到的取值，得出結果.【詳解】二項式展開式的通項為．其中當k的值分別為0，2，4時，為有理項，共有3項．故選：B．7.已知圓與圓有三條公切線，則（）A.5 B.16 C.32 D.36【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩圓有三條公切線可判斷兩圓外切，再利用兩圓外切的判定方法列方程即得.【詳解】由可知圓心為，半徑為2；由可知且圓心為，半徑為.因兩個圓有三條公切線可知兩圓外切，即，解得：.故選：C.8.在正方體中，空間中一動點滿足，則直線與直線所成角正弦值的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設正方體的棱長為1，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，設點，由條件求得，設直線與直線所成角為，利用空間向量夾角公式求出，通過換元，將其化成，利用的范圍和不等式性質即可求得.【詳解】如圖，設正方體的棱長為1，以點為坐標原點建立空間直角坐標系.則，設點，則，由可得：，解得，則，，設直線與直線所成角為，則，于是，設，因，故，則即，因，則，則，即，因，則得.故選：B【點睛】方法點睛：求解異面直線的夾角的方法主要有：平移法：將異面直線中的一條或兩條利用平移使其相交，通過解三角形求得；坐標法：通過建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標和向量坐標，利用空間向量夾角的坐標公式求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知向量，則（）A. B.同方向上的單位向量的坐標為C. D.在上的投影向量的模為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)空間向量的運算逐項判斷即可.【詳解】因為，，所以.對于A：因為，故A錯誤；對于B：因為，即方向上的單位向量是，故B正確；對于C：因為，故C錯誤；對于D：由，故D正確.故選：BD.10.記，則（）A.若S的展開式中存在常數(shù)項，則n是7的倍數(shù)B.若S的展開式中存在常數(shù)項，則n是6的倍數(shù)C.若n是奇數(shù)，則第項一定是S的展開式中系數(shù)最大的項D.若n是偶數(shù)，則第項是S的展開式中二項式系數(shù)最大的項【答案】AD【解析】【分析】利用二項展開式的通項公式寫出的展開式的通項，再研究常數(shù)項，及當是奇數(shù)和偶數(shù)時的情況即可.【詳解】易得該二項展開式的通項為，對于A，B選項，若S的展開式中存在常數(shù)項，則是常數(shù)，即，因為r，n為正整數(shù)，故n是7倍數(shù)，故A正確，B錯誤；對于C選項，因為n是奇數(shù)，設，則，所以第項為，其系數(shù)為，不能確定正負，故C錯誤；對于D選項，因為n是偶數(shù)，設，則，所以第項為，其二項式系數(shù)最大，故D正確．故選：AD.11.已知某高校開展一項課外研學活動，參與活動并提交研學論文可以獲得學分，且該高校對論文的評定分為兩個等級：合格，不合格．評定為合格可以獲得0.2學分，評定為不合格不能獲得學分．若評定為不合格，則下一次評定為合格的概率為，若評定為合格，則下一次評定為合格的概率為．已知包括小明與小剛在內共名同學均參加了3次研學活動，且每次研學活動結束后，這名同學排隊依次提交研學論文，則（）A.若小明第一次評定為不合格，則小明最終獲得0.4學分的概率為B.若小剛第一次評定為合格，則小剛第三次評定為合格的概率為C.若在某一次研學活動中，小明和小剛既不是最先也不是最后提交研學論文，則有種提交順序D.若在某一次研學活動中，小明和小剛提交研學論文的順序不相鄰，則有種提交順序【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)獨立事件乘法公式計算判斷A，應用全概率公式結合對立事件概率計算判斷B，應用乘法原理結合組合公式計算判斷C，先求所有排序情況減去小明和小剛相鄰時的排法判斷D.【詳解】對于A，若小明第一次評定為不合格，則小明獲得0.4學分的概率為，故A正確；對于B，設事件“第i次評定為合格”，由全概率公式可得小剛第三次合格的概率為，故B正確；對于C，先排小明，有種方式，再排小剛，有種方式，最后排其余所有人，有種方式，則一共有種方式，故C錯誤；對于D，無限制時，排序方式有種方式，小明和小剛相鄰時，將小明和小剛視一組，有2種方式，與其余人排序，有種方式，所以一共有種方式，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線滿足，則______.【答案】1【解析】【分析】由兩直線垂直的判定方法列方程求解即得.【詳解】由可得：，解得：或（舍去），即.故答案為：1.13.根據(jù)下表數(shù)據(jù)得到y(tǒng)關于x的線性回歸方程，則______．x1234y1458【答案】1【解析】【分析】根據(jù)給定的數(shù)表求出樣本的中心點，再利用回歸直線方程求出的值.【詳解】，所以，解得．故答案為：114.現(xiàn)將8個體積相同但質量均不同的小球放入恰好能容納8個小球且底面圓直徑與小球直徑相同的圓柱形卡槽內，這8個小球分別為2個紅球、4個白球、2個黑球，若4個白球互不相鄰，且其中一個白球不能放入卡槽的兩端，則共有______種不同的放法；若2個紅球之間恰好有白球和黑球各1個，則共有______種不同的放法．【答案】①.1728②.3840【解析】【分析】依題意可將把8個小球放入卡槽內的過程轉化為這8個小球位置上的排列組合問題，若4個白球互不相鄰，且其中一個白球不能放入卡槽的兩端，先排紅球和黑球，再利用插空法排白球，按照分步乘法計數(shù)原理計算可得；若2個紅球之間恰好有白球和黑球各1個，先任選1個白球，1個黑球放入2個紅球中間，再將1個白球，1個黑球和2個紅球進行捆綁與剩余的4個小球進行全排列，按照分步乘法計數(shù)原理計算可得.【詳解】由題意可將把8個小球放入卡槽內的過程轉化為這8個小球位置上的排列組合問題，若4個白球互不相鄰，且其中一個白球不能放入卡槽的兩端，先排紅球和黑球共有種方法，再排其中1個白球有種方法，最后排剩余的3個白球有種方法，所以共有種不同的放法．若2個紅球之間恰好有白球和黑球各1個，先任選1個白球，1個黑球放入2個紅球中間，有種方法，又2個紅球的放法有種，再將1個白球，1個黑球和2個紅球進行捆綁與剩余的4個小球進行全排列有種，所以共有種不同的放法．故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知點是拋物線上一點，為的焦點，且.（1）求的準線方程；（2）若點位于第一象限，求在點處的切線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線焦半徑公式計算得出，再得出拋物線方程進而得出準線方程即可；（2）先設直線方程，再聯(lián)立方程組，再分和..兩種情況，直線與相切求參即可得出直線方程.【小問1詳解】因為拋物線，，所以，所以，可得所以的準線方程為.【小問2詳解】因為點在拋物線上，所以，又位于第一象限，所以，所以，過點的直線與相切，若直線斜率不存在，不符合題意；設直線與，由，得，當時，，即，即，當時，，與拋物線相交，不符合題意；所以的方程為，即.16.現(xiàn)有一質地均勻的正方體骰子（六個面分別標著數(shù)字1~6），連續(xù)投擲兩次，記m，n分別為第一次、第二次投擲后朝上的點數(shù)，設離散型隨機變量．（1）求和的值；（2）求X的分布列和數(shù)學期望．【答案】（1），（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）由古典概型概率公式求解即可；（2）由古典概型概率公式求得概率，再結合期望公式求解即可；【小問1詳解】由題意可得離散型隨機變量X表示連續(xù)兩次投擲得到的點數(shù)中大的點數(shù)與小的點數(shù)的差，連續(xù)投擲兩次骰子，得到的點數(shù)共有36種可能，其中得到的點數(shù)中點數(shù)之差為0的可能情況有6種，故．其中得到的點數(shù)中大的點數(shù)與小的點數(shù)的差為1的可能情況有10種，，故．【小問2詳解】由題意可得X的可能取值有0，1，2，3，4，5，的情況有，8種，的情況有，6種，的情況有，4種，的情況有，2種，所以，，可得分布列如下：X012345P故．17.如圖，三棱錐的棱上存在一點，使得平面底面，點在棱上，且平面.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直可得線面垂直，再得線線垂直，可得線面垂直；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求平面與平面夾角的余弦即可.【小問1詳解】因為平面底面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以.又因為平面，平面，所以.又，平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）知平面，平面，所以，以點為坐標原點，所在直線分別為軸，過點A垂直底面的直線為軸，建立如圖所示的空直角坐標系.因為平面，平面，所以.又，所以，得則，故，依題意，平面的一個法向量為設平面的一個法向量為，則，即，取，則設平面與平面的夾角為，所以，因此平面與平面夾角的余弦值為18.已知橢圓的左焦點為，過且斜率不為0的直線交于兩點，過點分別作的垂線，交于兩點.當?shù)男甭什淮嬖跁r，四邊形的面積為6.（1）求的方程；（2）求的取值范圍；（3）證明：.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）當?shù)男甭什淮嬖跁r，橢圓方程中，令，得坐標，則由四邊形面積建立方程，結合解方程組可得；（2）設點，則，利用兩點距離公式得求函數(shù)最值可得；（3）設相關各點坐標，結合（2）式，化斜為直，將所證結論轉化為證明，再設出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理得關系進而消參，同樣的方法處理，再利用直線方程分別化簡可得相等關系.【小問1詳解】由題意可得，①當?shù)男甭什淮嬖跁r，在橢圓方程中，令，可得，所以，由題意可知四邊形為矩形，則其面積，②聯(lián)立①②解得故的方程為．【小問2詳解】設，因為點在橢圓上，且斜率不為0，則，且，所以，則，由，故．【小問3詳解】設，且，故，且.由（2）可得，，同理有.故要證，即證（）.由題意直線斜率不為，則直線和的斜率存在，設斜率為，則的方程為，聯(lián)立，得，即，當時，由韋達定理得，故；當時，由韋達定理得，也適合上式；故；同理可得.所以代入（）式化簡整理可得，（）左邊；（）右邊；①當直線的斜率存在且不為時，的方程為，故，則，且，則（）左邊；（）右邊；故．②當?shù)男甭什淮嬖诩磿r，則，等式顯然成立．綜上所述，得證．【點睛】關鍵點點睛：解決此題的關鍵有兩點，一是借助橢圓方程坐標代入，將化簡為（利用橢圓第二定義也可得到），同理可化簡，進而將所證結論轉化為證明；二是聯(lián)立直線與橢圓方程，應用韋達定理得到及的關系，進而代入消參、化簡求證結論.19.對于樣本空間中的隨機事件A和隨機事件B，定義：表示在事件A發(fā)生的條件下事件B的發(fā)生強度，表示在事件發(fā)生的條件下事件B的發(fā)生強度．某著名生物科研所為研究上班族患有肥胖癥與經(jīng)常喝“肥宅快樂水”的關系，隨機調查了某地區(qū)100位上班族，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示．患有肥胖癥不患有肥胖癥合計經(jīng)常喝16不經(jīng)常喝1852合計100（1）完善上述列聯(lián)表并判斷是否有99.5%的把握認為該地區(qū)上班族患有肥胖癥與經(jīng)常喝“肥宅快樂水”之間有關聯(lián)；（2）證明；（3）從該地區(qū)的上班族中任取一位，記事件A為“此人患有肥胖癥”，B為“此人經(jīng)常喝肥宅快樂水”，利用調查的樣本數(shù)據(jù)，估計的值．附：，其中．0.10.050.0