數(shù)列-2025屆高三二輪復(fù)習(xí)解答題高頻考點(diǎn)過關(guān)含答案

2025屆高三二輪復(fù)習(xí)解答題高頻考點(diǎn)過關(guān)第2講數(shù)列高頻考點(diǎn)分析高頻考點(diǎn)分析

真題速遞真題速遞1．（2024·全國(guó)甲卷（理）·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2024·全國(guó)甲卷（文）·高考真題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

3．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．4．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．

5．（2024·全國(guó)I卷·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中任取兩個(gè)數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．

6．（2024·全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過作斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；(3)設(shè)為的面積，證明：對(duì)任意正整數(shù)，.

7．（2024·天津·高考真題）已知為公比大于0的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式及；(2)設(shè)數(shù)列滿足，其中．（?。┣笞C：當(dāng)時(shí)，求證：；（ⅱ）求．

8．（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對(duì)數(shù)列進(jìn)行如下變換：將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作；將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡(jiǎn)記為．(1)給定數(shù)列和序列，寫出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個(gè)符合條件的；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項(xiàng)都相等”的充要條件為“”．

實(shí)戰(zhàn)演練一：等差數(shù)列的概念與性質(zhì)實(shí)戰(zhàn)演練一：等差數(shù)列的概念與性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)解析】1.等差數(shù)列的定義：；；.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)：.3.等差數(shù)列前項(xiàng)和.4.等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)（1）若，則.（2）若，則.（3）若、、為等差數(shù)列，則，為、的等差中項(xiàng).（4）若為等差數(shù)列，則、、…依舊是等差數(shù)列.（5）當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減.5.等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)（1）且；（2）且為等差數(shù)列；（3）等差數(shù)列的前項(xiàng)和是一個(gè)二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最小值,當(dāng)時(shí)，有最大值；其中：=1\*GB3①若已知和，則當(dāng)且僅當(dāng)取最接近對(duì)稱軸的正整數(shù)時(shí)，有最值；=2\*GB3②若未知和，則需找出的正負(fù)交界值；（4）、、依舊是一個(gè)等差數(shù)列.6.含有絕對(duì)值的求和方法：（1）找到的臨界值；（2）若，；若，.【實(shí)戰(zhàn)演練】1．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求出的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列前項(xiàng)和最小時(shí)的取值．2．（24-25高三上·廣東湛江·期末）已知在等差數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

3．（23-24高三上·貴州·階段練習(xí)）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.4．（24-25高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若對(duì)于任意正整數(shù)，都有，求實(shí)數(shù)的最小值.

實(shí)戰(zhàn)演練二：等比數(shù)列的概念與性質(zhì)實(shí)戰(zhàn)演練二：等比數(shù)列的概念與性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)解析】1.等比數(shù)列的證明：(1)(2)(3).2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：.3.等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：.4.等比數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)=1\*GB3①若，則.=2\*GB3②若，則.=3\*GB3③若、、為等比數(shù)列，則，為、的等比中項(xiàng).=4\*GB3④若為等比數(shù)列，則、、…依舊是等比數(shù)列.=5\*GB3⑤當(dāng)且時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增；當(dāng)且時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減.5.等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)=1\*GB3①、、依舊是一個(gè)等比數(shù)列【實(shí)戰(zhàn)演練】1．（24-25高三上·貴州銅仁·期末）在數(shù)列中，點(diǎn)在直線上；在等比數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

2．（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（24-25高三上·山東·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前50項(xiàng)之和.4．（24-25高三上·黑龍江綏化·階段練習(xí)）已知數(shù)列是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

實(shí)戰(zhàn)演練三：數(shù)列通項(xiàng)公式的求解實(shí)戰(zhàn)演練三：數(shù)列通項(xiàng)公式的求解【知識(shí)點(diǎn)解析】1.定義法：已知為等差數(shù)列或等比數(shù)列（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：.（2）等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式：.（3）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：.（4）等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：.2.法（1）因?yàn)?1\*GB3①，=2\*GB3②所以（）.（2）注意事項(xiàng)=1\*GB3①.=2\*GB3②因?yàn)楫?dāng)時(shí)，才有意義，所以需檢驗(yàn)通項(xiàng)公式當(dāng)時(shí)是否成立.若不成立，需寫成分段數(shù)列的形式.=3\*GB3③不一定每次都能得到的具體表達(dá)式，有可能需要進(jìn)一步化簡(jiǎn).=4\*GB3④若題目求或出現(xiàn)二項(xiàng)式，需要將題目所給條件中的反向化為，對(duì)進(jìn)行探索.=5\*GB3⑤代表數(shù)列的前項(xiàng)和.3.累加法：已知或（1）若已知，賦值從到，得到個(gè)式子，累加得.（2）若已知，賦值從到，得到個(gè)式子，累加得.（3）可以是等差數(shù)列，也可以是等比數(shù)列或者可裂項(xiàng)的數(shù)列.4.累乘法：已知或（1）若已知，則賦值從到，得到個(gè)式子，累加得.（2）若已知，則賦值從到，得到個(gè)式子，累加得.（3）如論是或，均需注意最后求和的項(xiàng)數(shù).5.構(gòu)造法（1）若已知，則構(gòu)造數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，則，解方程得.（2）若已知，則構(gòu)造數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，則，解方程得和.（3）若已知，則構(gòu)造數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，則，解方程得.（4）若已知，則構(gòu)造數(shù)列為公差為的等比數(shù)列.（5）若題干已給出構(gòu)造目標(biāo)，則根據(jù)定義法代入構(gòu)造目標(biāo)進(jìn)行證明.6.倒數(shù)法：已知(1)取倒數(shù)得(2)若，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.(3)若，則進(jìn)行二次構(gòu)造等比數(shù)列.【實(shí)戰(zhàn)演練】考向一法求數(shù)列通項(xiàng)公式1．（24-25高二上·福建·期中·節(jié)選）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，其中.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；2．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)·節(jié)選）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求出的通項(xiàng)公式；3．（24-25高三上·廣東東莞·階段練習(xí)·節(jié)選）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

4．（2024·四川自貢·三?！す?jié)選）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；5．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)·節(jié)選）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；6．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)·節(jié)選）已知數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意，有(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

考向二累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式1．（2024·廣東·二?！す?jié)選）數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；2．（23-24高三上·廣西百色·階段練習(xí)·節(jié)選）已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列是以4為公差的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

3．（23-24高三上·山東青島·開學(xué)考試·節(jié)選）已知數(shù)列中，，，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式：4．（22-23高三下·河南濮陽·開學(xué)考試·節(jié)選）在數(shù)列中，，．(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

考向三累乘法求數(shù)列通項(xiàng)公式1．（24-25高三上·山東日照·開學(xué)考試·節(jié)選）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；2．（24-25高三上·山東德州·期中·節(jié)選）在數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為，且（且）.(1)求的通項(xiàng)公式；

3．（23-24高二下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中·節(jié)選）已知在數(shù)列中，，前項(xiàng)和.(1)求、；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；4．（23-24高三上·廣東·階段練習(xí)·節(jié)選）已知數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，且滿足，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

考向四構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式1．（24-25高三上·甘肅白銀·期末·節(jié)選）已知數(shù)列滿足，且.2．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)·節(jié)選）數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足且首項(xiàng).(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

3．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)·節(jié)選）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)若，求；(2)若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，求首項(xiàng)的取值范圍.4．（24-25高三上·河北·期中·節(jié)選）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

5．（24-25高三上·河北·階段練習(xí)·節(jié)選）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；6．（24-25高三上·四川瀘州·開學(xué)考試·節(jié)選）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

7．（23-24高三下·河北張家口·開學(xué)考試·節(jié)選）已知數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；8．（24-25高三上·寧夏中衛(wèi)·階段練習(xí)·節(jié)選）已知數(shù)列，滿足(1)證明：為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；(2)若，記前n項(xiàng)和為，對(duì)任意的正自然數(shù)n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍．

考向五倒數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng)公式1．（24-25高三上·廣東廣州·階段練習(xí)·節(jié)選）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，求．2．（23-24高二下·遼寧·期末·節(jié)選）已知數(shù)列滿兄，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式，

實(shí)戰(zhàn)演練四：數(shù)列前實(shí)戰(zhàn)演練四：數(shù)列前項(xiàng)和的求解【知識(shí)點(diǎn)解析】1.定義法：已知為等差數(shù)列或等比數(shù)列（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：.（2）等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式：.（3）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：.（4）等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：.2.裂項(xiàng)相消法（1）裂項(xiàng)相消法：基本思想是將一個(gè)復(fù)雜的分?jǐn)?shù)拆分成兩個(gè)簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)的差，從而簡(jiǎn)化求和過程.（2）裂項(xiàng)相消法的常見模型=1\*GB3①等差型：=2\*GB3②無理型：=3\*GB3③指數(shù)型：=4\*GB3④常見裂項(xiàng)：，.，.，.

3.錯(cuò)位相減法：且為等差數(shù)列，公差為，為等比數(shù)列，公比為.（1）=1\*GB3①（2）=2\*GB3②（3）=1\*GB3①-=2\*GB3②得（4）求和得（5）化簡(jiǎn)得最終答案.（6）,則，其中，.（不建議直接用）4.倒序相加法（1）.（2）.（3）上述兩式相加，得（4）若數(shù)列在滿足的情況下，則.（5）所以5.分組求和法：（1）記的前項(xiàng)和為，記的前項(xiàng)和為，記的前項(xiàng)和為.（2）分別求與.（3）.

【實(shí)戰(zhàn)演練】考向一裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前項(xiàng)和1．（24-25高三上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求證：．2．（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·期末）已知數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式．(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

3．（24-25高三上·江西撫州·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)積，數(shù)列的前項(xiàng)和為，，滿足.(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（24-25高三上·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.

考向二錯(cuò)位相減法求數(shù)列前項(xiàng)和1．（23-24高三下·天津·階段練習(xí)）已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，，，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)若數(shù)列滿足：，求．2．（24-25高三上·山東濰坊·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列前項(xiàng)積為，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

3．（24-25高三上·新疆喀什·階段練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．4．（24-25高三上·陜西漢中·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

考向三倒序相加法求數(shù)列前項(xiàng)和1．（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知：，（）．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求和：．2．（23-24高三上·云南·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：（），數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求.

3．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知，數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，令，求數(shù)列的前2024項(xiàng)和.考向四分組（并項(xiàng)）求數(shù)列前項(xiàng)和1．（2025·江西·一模）已知數(shù)列滿足.(1)若為遞增數(shù)列，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的前項(xiàng)之積.

2．（24-25高三上·海南·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.3．（24-25高三上·安徽淮南·階段練習(xí)）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.4．（24-25高三上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足：且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

實(shí)戰(zhàn)演練五：奇偶數(shù)列問題實(shí)戰(zhàn)演練五：奇偶數(shù)列問題【知識(shí)點(diǎn)解析】1.奇偶數(shù)列求和：已知，其中的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為.思路一：分類討論(1)(2)若為偶數(shù)，則(3)若為奇數(shù)，則思路二：并項(xiàng)求和(1)記(2)(3)若為偶數(shù)，則(4)若為奇數(shù)，則2.常見奇偶數(shù)列模型(1)若，則，相減得.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列為以為首項(xiàng)，為公差得等差數(shù)列.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列為以為首項(xiàng)，為公差得等差數(shù)列.(2)若，則，相除得.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列為以為首項(xiàng)，為公差得等比數(shù)列.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列為以為首項(xiàng)，為公差得等比數(shù)列.(3)若，則直接按奇偶分開討論.

【實(shí)戰(zhàn)演練】1．（24-25高三上·江西·階段練習(xí)）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前100項(xiàng)和.2．（24-25高三上·內(nèi)蒙古包頭·期末）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足.數(shù)列是等差數(shù)列，且.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)求數(shù)列的前20項(xiàng)和.

3．（24-25高三上·湖北·期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，(1)求(2)若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求4．（24-25高三上·河南·期末）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.

實(shí)戰(zhàn)演練六：數(shù)列插項(xiàng)問題實(shí)戰(zhàn)演練六：數(shù)列插項(xiàng)問題【知識(shí)點(diǎn)解析】1.插項(xiàng)的核心：插入的項(xiàng)數(shù)與插入的數(shù)據(jù)類型.2.常見插項(xiàng)問題（1）在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，記這個(gè)等差數(shù)列的公差為，則，整理的.（2）在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，記這個(gè)等比數(shù)列的公比為，則，整理的.（3）在和之間插入個(gè)，組成新數(shù)列求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和，需分清和各有多少項(xiàng)，分組求和.【實(shí)戰(zhàn)演練】1．（24-25高三上·四川眉山·階段練習(xí)）已知數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，，，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在數(shù)列的和項(xiàng)之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其中，將所有插入的數(shù)組成新數(shù)列，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．3．（23-24高三上·河南南陽·期中）已知數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)此等差數(shù)列的公差為，求．4．（22-23高三上·河北唐山·期中）已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，且是與的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；(2)保持中各項(xiàng)的先后順序不變，在與之間插入個(gè)，構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列的前24項(xiàng)和.

實(shí)戰(zhàn)演練七：數(shù)列最值問題實(shí)戰(zhàn)演練七：數(shù)列最值問題【知識(shí)點(diǎn)解析】1.求最值的常見方法（1）二次函數(shù)法.（2）基本不等式法.（3）三角函數(shù)法.（4）函數(shù)單調(diào)性法.2.求數(shù)列單調(diào)性的方法：（1）作差法（與“0”比較大?。?）作商法（與“1”比較大?。m然數(shù)列可近似視為函數(shù)（定義域?yàn)檎麛?shù)），但是一般不會(huì)用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，因?yàn)榍髮?dǎo)太復(fù)雜.【實(shí)戰(zhàn)演練】1．（24-25高三上·遼寧丹東·期中）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求使取得最大值時(shí)的值．

2．（24-25高三上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)之積為，且．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求的最大值．3．（24-25高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足(1)求證為等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．(3)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．4．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，若是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的范圍.

實(shí)戰(zhàn)演練八：數(shù)列新定義問題實(shí)戰(zhàn)演練八：數(shù)列新定義問題【知識(shí)點(diǎn)解析】新定義問題的方法和技巧：（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡(jiǎn)單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對(duì)此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.【實(shí)戰(zhàn)演練】1．（24-25高三下·湖南長(zhǎng)沙·開學(xué)考試）已知數(shù)列為個(gè)數(shù)的一個(gè)排列，其中，且．若在集合中至少有一個(gè)元素i使得，則稱數(shù)列A具有性質(zhì)T．(1)當(dāng)時(shí)，寫出4個(gè)具有性質(zhì)T的數(shù)列A；(2)若數(shù)列和均為等差數(shù)列，且，證明：對(duì)于所有的偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列不具有性質(zhì)T；(3)在所有由的排列組成的數(shù)列A中任取一個(gè)，記具有性質(zhì)T的數(shù)列的概率為，證明：對(duì)于任意．

2．（24-25高三上·黑龍江·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有，其中d為非零常數(shù)．(1)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：；(3)若且，從，，，…，（且）中任取兩個(gè)數(shù)，記這兩個(gè)數(shù)是無理數(shù)，且這兩個(gè)無理數(shù)中間僅包含一個(gè)整數(shù)的概率為，若，求正整數(shù)的最小值．公式：（其中n為正整數(shù)）．

3．（24-25高三上·河北邢臺(tái)·期末）若數(shù)列的首項(xiàng)，對(duì)任意的，都有（為常數(shù)，且），則稱為有界變差數(shù)列，其中為數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)差值的上界．已知數(shù)列是有界變差數(shù)列，的前項(xiàng)和為．(1)當(dāng)時(shí)，證明：．(2)當(dāng)中各項(xiàng)都取最大值時(shí)，對(duì)任意的恒成立，求的最大值；(3)當(dāng)中各項(xiàng)都取最大值時(shí)，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，都有，求的取值范圍．

4．（2025·陜西咸陽·一模）若無窮數(shù)列滿足：對(duì)于，，其中A為常數(shù)，則稱數(shù)列為“A數(shù)列”．(1)若等比數(shù)列為“A數(shù)列”，求的公比q；(2)若數(shù)列為“A數(shù)列”，且，．①求證：；②若，且是正項(xiàng)數(shù)列，，求滿足不等式的的最小值．第2講數(shù)列高頻考點(diǎn)分析高頻考點(diǎn)分析

真題速遞真題速遞1．（2024·全國(guó)甲卷（理）·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，所以即，而，故，故，∴數(shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）,所以故所以，.2．（2024·全國(guó)甲卷（文）·高考真題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?故，所以即故等比數(shù)列的公比為，故，故，故.（2）由等比數(shù)列求和公式得，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.3．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)即可求出；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可解出．【詳解】（1）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，所以，化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)都滿足上式，所以．（2）因?yàn)?，所以，，兩式相減得，，，即，．4．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，即，解得，所以，（2）因?yàn)?，令，解得，且，?dāng)時(shí)，則，可得；當(dāng)時(shí)，則，可得；綜上所述：.5．（2024·全國(guó)I卷·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中任取兩個(gè)數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）首先，我們?cè)O(shè)數(shù)列的公差為，則.由于一個(gè)數(shù)列同時(shí)加上一個(gè)數(shù)或者乘以一個(gè)非零數(shù)后是等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)該數(shù)列是等差數(shù)列，故我們可以對(duì)該數(shù)列進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，得到新?shù)列，然后對(duì)進(jìn)行相應(yīng)的討論即可.換言之，我們可以不妨設(shè)，此后的討論均建立在該假設(shè)下進(jìn)行.回到原題，第1小問相當(dāng)于從中取出兩個(gè)數(shù)和，使得剩下四個(gè)數(shù)是等差數(shù)列.那么剩下四個(gè)數(shù)只可能是，或，或.所以所有可能的就是.（2）由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個(gè)數(shù)可以分為以下兩個(gè)部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，共組.（如果，則忽略②）故數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.（3）定義集合，.下面證明，對(duì)，如果下面兩個(gè)命題同時(shí)成立，則數(shù)列一定是可分?jǐn)?shù)列：命題1：或；命題2：.我們分兩種情況證明這個(gè)結(jié)論.第一種情況：如果，且.此時(shí)設(shè)，，.則由可知，即，故.此時(shí)，由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個(gè)數(shù)可以分為以下三個(gè)部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，共組；③，共組.（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）故此時(shí)數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.第二種情況：如果，且.此時(shí)設(shè)，，.則由可知，即，故.由于，故，從而，這就意味著.此時(shí)，由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個(gè)數(shù)可以分為以下四個(gè)部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，，共組；③全體，其中，共組；④，共組.（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）這里對(duì)②和③進(jìn)行一下解釋：將③中的每一組作為一個(gè)橫排，排成一個(gè)包含個(gè)行，個(gè)列的數(shù)表以后，個(gè)列分別是下面這些數(shù)：，，，.可以看出每列都是連續(xù)的若干個(gè)整數(shù)，它們?cè)偃〔⒁院螅瑢⑷”橹谐_五個(gè)集合，，，，中的十個(gè)元素以外的所有數(shù).而這十個(gè)數(shù)中，除開已經(jīng)去掉的和以外，剩余的八個(gè)數(shù)恰好就是②中出現(xiàn)的八個(gè)數(shù).這就說明我們給出的分組方式滿足要求，故此時(shí)數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.至此，我們證明了：對(duì)，如果前述命題1和命題2同時(shí)成立，則數(shù)列一定是可分?jǐn)?shù)列.然后我們來考慮這樣的的個(gè)數(shù).首先，由于，和各有個(gè)元素，故滿足命題1的總共有個(gè)；而如果，假設(shè)，則可設(shè)，，代入得.但這導(dǎo)致，矛盾，所以.設(shè)，，，則，即.所以可能的恰好就是，對(duì)應(yīng)的分別是，總共個(gè).所以這個(gè)滿足命題1的中，不滿足命題2的恰好有個(gè).這就得到同時(shí)滿足命題1和命題2的的個(gè)數(shù)為.當(dāng)我們從中一次任取兩個(gè)數(shù)和時(shí)，總的選取方式的個(gè)數(shù)等于.而根據(jù)之前的結(jié)論，使得數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的至少有個(gè).所以數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率一定滿足.這就證明了結(jié)論.6．（2024·全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過作斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；(3)設(shè)為的面積，證明：對(duì)任意正整數(shù)，.【答案】(1)，(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）由已知有，故的方程為.當(dāng)時(shí)，過且斜率為的直線為，與聯(lián)立得到.解得或，所以該直線與的不同于的交點(diǎn)為，該點(diǎn)顯然在的左支上.故，從而，.（2）方法一：由于過且斜率為的直線為，與聯(lián)立，得到方程.展開即得，由于已經(jīng)是直線和的公共點(diǎn)，故方程必有一根.從而根據(jù)韋達(dá)定理，另一根，相應(yīng)的.所以該直線與的不同于的交點(diǎn)為，而注意到的橫坐標(biāo)亦可通過韋達(dá)定理表示為，故一定在的左支上.所以.這就得到，.所以.再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.方法二：因?yàn)?，，，則，由于，作差得，，利用合比性質(zhì)知，因此是公比為的等比數(shù)列.（3）方法一：先證明一個(gè)結(jié)論：對(duì)平面上三個(gè)點(diǎn)，若，，則.（若在同一條直線上，約定）證明：.證畢，回到原題.由于上一小問已經(jīng)得到，，故.再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.所以對(duì)任意的正整數(shù)，都有.而又有，，故利用前面已經(jīng)證明的結(jié)論即得.這就表明的取值是與無關(guān)的定值，所以.方法二：由于上一小問已經(jīng)得到，，故.再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.所以對(duì)任意的正整數(shù)，都有.這就得到，以及.兩式相減，即得.移項(xiàng)得到.故.而，.所以和平行，這就得到，即.方法三：由于，作差得，變形得①，同理可得，由（2）知是公比為的等比數(shù)列，令則②，同時(shí)是公比為的等比數(shù)列，則③，將②③代入①，即，從而，即.7．（2024·天津·高考真題）已知為公比大于0的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式及；(2)設(shè)數(shù)列滿足，其中．（ⅰ）求證：當(dāng)時(shí)，求證：；（ⅱ）求．【答案】(1)(2)①證明見詳解；②【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，即，可得，整理得，解得或（舍去），所?（2）（i）由（1）可知，且，當(dāng)時(shí)，則，即可知，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以；（ii）由（1）可知：，若，則；若，則，當(dāng)時(shí)，，可知為等差數(shù)列，可得，所以，且，符合上式，綜上所述：.8．（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對(duì)數(shù)列進(jìn)行如下變換：將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作；將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡(jiǎn)記為．(1)給定數(shù)列和序列，寫出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個(gè)符合條件的；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項(xiàng)都相等”的充要條件為“”．【答案】(1)(2)不存在符合條件的，理由見解析(3)證明見解析【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列，由序列可得；由序列可得；由序列可得；所以.（2）解法一：假設(shè)存在符合條件的，可知的第項(xiàng)之和為，第項(xiàng)之和為，則，而該方程組無解，故假設(shè)不成立，故不存在符合條件的；解法二：由題意可知：對(duì)于任意序列，所得數(shù)列之和比原數(shù)列之和多4，假設(shè)存在符合條件的，且，因?yàn)?，即序列共?項(xiàng)，由題意可知：，檢驗(yàn)可知：當(dāng)時(shí)，上式不成立，即假設(shè)不成立，所以不存在符合條件的.（3）解法一：我們?cè)O(shè)序列為，特別規(guī)定.必要性：若存在序列，使得的各項(xiàng)都相等.則，所以.根據(jù)的定義，顯然有，這里，.所以不斷使用該式就得到，必要性得證.充分性：若.由已知，為偶數(shù)，而，所以也是偶數(shù).我們?cè)O(shè)是通過合法的序列的變換能得到的所有可能的數(shù)列中，使得最小的一個(gè).上面已經(jīng)說明，這里，.從而由可得.同時(shí)，由于總是偶數(shù)，所以和的奇偶性保持不變，從而和都是偶數(shù).下面證明不存在使得.假設(shè)存在，根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)，，即.情況1：若，則由和都是偶數(shù)，知.對(duì)該數(shù)列連續(xù)作四次變換后，新的相比原來的減少，這與的最小性矛盾；情況2：若，不妨設(shè).情況2-1：如果，則對(duì)該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來的至少減少，這與的最小性矛盾；情況2-2：如果，則對(duì)該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來的至少減少，這與的最小性矛盾.這就說明無論如何都會(huì)導(dǎo)致矛盾，所以對(duì)任意的都有.假設(shè)存在使得，則是奇數(shù)，所以都是奇數(shù)，設(shè)為.則此時(shí)對(duì)任意，由可知必有.而和都是偶數(shù)，故集合中的四個(gè)元素之和為偶數(shù)，對(duì)該數(shù)列進(jìn)行一次變換，則該數(shù)列成為常數(shù)列，新的等于零，比原來的更小，這與的最小性矛盾.綜上，只可能，而，故是常數(shù)列，充分性得證.解法二：由題意可知：中序列的順序不影響的結(jié)果，且相對(duì)于序列也是無序的，（?。┤?，不妨設(shè)，則，①當(dāng)，則，分別執(zhí)行個(gè)序列、個(gè)序列，可得，為常數(shù)列，符合題意；②當(dāng)中有且僅有三個(gè)數(shù)相等，不妨設(shè)，則，即，分別執(zhí)行個(gè)序列、個(gè)序列可得，即，因?yàn)闉榕紨?shù)，即為偶數(shù)，可知的奇偶性相同，則，分別執(zhí)行個(gè)序列，，，，可得，為常數(shù)列，符合題意；③若，則，即，分別執(zhí)行個(gè)、個(gè)，可得，因?yàn)椋傻?，即轉(zhuǎn)為①，可知符合題意；④當(dāng)中有且僅有兩個(gè)數(shù)相等，不妨設(shè)，則，即，分別執(zhí)行個(gè)、個(gè)，可得，且，可得，因?yàn)闉榕紨?shù)，可知的奇偶性相同，則為偶數(shù)，且，即轉(zhuǎn)為②，可知符合題意；⑤若，則，即，分別執(zhí)行個(gè)、個(gè)，可得，且，可得，因?yàn)闉榕紨?shù)，則為偶數(shù)，且，即轉(zhuǎn)為④，可知符合題意；綜上所述：若，則存在序列，使得為常數(shù)列；（ⅱ）若存在序列，使得為常數(shù)列，因?yàn)閷?duì)任意，均有成立，若為常數(shù)列，則，所以；綜上所述：“存在序列，使得為常數(shù)列”的充要條件為“”.

實(shí)戰(zhàn)演練一：等差數(shù)列的概念與性質(zhì)實(shí)戰(zhàn)演練一：等差數(shù)列的概念與性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)解析】1.等差數(shù)列的定義：；；.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)：.3.等差數(shù)列前項(xiàng)和.4.等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)（1）若，則.（2）若，則.（3）若、、為等差數(shù)列，則，為、的等差中項(xiàng).（4）若為等差數(shù)列，則、、…依舊是等差數(shù)列.（5）當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減.5.等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)（1）且；（2）且為等差數(shù)列；（3）等差數(shù)列的前項(xiàng)和是一個(gè)二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最小值,當(dāng)時(shí)，有最大值；其中：=1\*GB3①若已知和，則當(dāng)且僅當(dāng)取最接近對(duì)稱軸的正整數(shù)時(shí)，有最值；=2\*GB3②若未知和，則需找出的正負(fù)交界值；（4）、、依舊是一個(gè)等差數(shù)列.6.含有絕對(duì)值的求和方法：（1）找到的臨界值；（2）若，；若，.【實(shí)戰(zhàn)演練】1．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求出的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列前項(xiàng)和最小時(shí)的取值．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,滿足上式，所以.（2）因?yàn)?，所以，?則數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，數(shù)列前項(xiàng)和有最小值，最小值為.2．（24-25高三上·廣東湛江·期末）已知在等差數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意得，解得.所以，，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得，所以，所以，.3．（23-24高三上·貴州·階段練習(xí)）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】(1)(2)8872【詳解】（1）由則設(shè)的公差為則則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由題可知，.4．（24-25高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若對(duì)于任意正整數(shù)，都有，求實(shí)數(shù)的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，且，，，當(dāng)時(shí)，；經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，滿足上式.（2）由，則，而，所以，即的最小值為.

實(shí)戰(zhàn)演練二：等比數(shù)列的概念與性質(zhì)實(shí)戰(zhàn)演練二：等比數(shù)列的概念與性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)解析】1.等比數(shù)列的證明：(1)(2)(3).2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：.3.等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：.4.等比數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)=1\*GB3①若，則.=2\*GB3②若，則.=3\*GB3③若、、為等比數(shù)列，則，為、的等比中項(xiàng).=4\*GB3④若為等比數(shù)列，則、、…依舊是等比數(shù)列.=5\*GB3⑤當(dāng)且時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增；當(dāng)且時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減.5.等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)=1\*GB3①、、依舊是一個(gè)等比數(shù)列【實(shí)戰(zhàn)演練】1．（24-25高三上·貴州銅仁·期末）在數(shù)列中，點(diǎn)在直線上；在等比數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）易知故求數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為.（2）由（1）知：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則則數(shù)列的前n項(xiàng)和.2．（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，得.當(dāng)時(shí)，，所以.所以是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，故.（2）由已知得，所以.3．（24-25高三上·山東·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前50項(xiàng)之和.【答案】(1)(2)1275【詳解】（1）依題意，設(shè)公比為，由題意得，，解得或（舍去），，所以，（2）因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)，公差等差數(shù)列.所以數(shù)列的前50項(xiàng)和為.4．（24-25高三上·黑龍江綏化·階段練習(xí)）已知數(shù)列是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，∵是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，則，，則，解得或（舍），又，所以，解得，所以（2），所以

實(shí)戰(zhàn)演練三：數(shù)列通項(xiàng)公式的求解實(shí)戰(zhàn)演練三：數(shù)列通項(xiàng)公式的求解【知識(shí)點(diǎn)解析】1.定義法：已知為等差數(shù)列或等比數(shù)列（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：.（2）等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式：.（3）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：.（4）等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：.2.法（1）因?yàn)?1\*GB3①，=2\*GB3②所以（）.（2）注意事項(xiàng)=1\*GB3①.=2\*GB3②因?yàn)楫?dāng)時(shí)，才有意義，所以需檢驗(yàn)通項(xiàng)公式當(dāng)時(shí)是否成立.若不成立，需寫成分段數(shù)列的形式.=3\*GB3③不一定每次都能得到的具體表達(dá)式，有可能需要進(jìn)一步化簡(jiǎn).=4\*GB3④若題目求或出現(xiàn)二項(xiàng)式，需要將題目所給條件中的反向化為，對(duì)進(jìn)行探索.=5\*GB3⑤代表數(shù)列的前項(xiàng)和.3.累加法：已知或（1）若已知，賦值從到，得到個(gè)式子，累加得.（2）若已知，賦值從到，得到個(gè)式子，累加得.（3）可以是等差數(shù)列，也可以是等比數(shù)列或者可裂項(xiàng)的數(shù)列.4.累乘法：已知或（1）若已知，則賦值從到，得到個(gè)式子，累加得.（2）若已知，則賦值從到，得到個(gè)式子，累加得.（3）如論是或，均需注意最后求和的項(xiàng)數(shù).5.構(gòu)造法（1）若已知，則構(gòu)造數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，則，解方程得.（2）若已知，則構(gòu)造數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，則，解方程得和.（3）若已知，則構(gòu)造數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，則，解方程得.（4）若已知，則構(gòu)造數(shù)列為公差為的等比數(shù)列.（5）若題干已給出構(gòu)造目標(biāo)，則根據(jù)定義法代入構(gòu)造目標(biāo)進(jìn)行證明.6.倒數(shù)法：已知(1)取倒數(shù)得(2)若，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.(3)若，則進(jìn)行二次構(gòu)造等比數(shù)列.【實(shí)戰(zhàn)演練】考向一法求數(shù)列通項(xiàng)公式1．（24-25高二上·福建·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，其中.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以.2．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求出的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,滿足上式，所以.3．（24-25高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，且，，，當(dāng)時(shí)，；經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，滿足上式.4．（2024·四川自貢·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）數(shù)列滿足①，當(dāng)時(shí)，有②，①②可得：，即，變形可得，故數(shù)列是以為等差的等差數(shù)列；5．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）因?yàn)棰?，所以②，③，由③得：，所以，?①得：，整理得：，又因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以，所以是公差的等差數(shù)列，．6．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意，有(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由，，兩式相減得，即，因?yàn)椋裕?，故是首?xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以；考向二累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式1．（2024·廣東·二模）數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又因此是以為首?xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，設(shè)的前n項(xiàng)和為，則，又由，得，，當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)也滿足，∴．2．（23-24高三上·廣西百色·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列是以4為公差的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）根據(jù)題意可得；當(dāng)時(shí)，，又符合上式，所以；3．（23-24高三上·山東青島·開學(xué)考試）已知數(shù)列中，，，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式：【答案】(1)【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是公差為1的等差數(shù)列，因?yàn)?，，所以所以所以，，，……，所以所以所以因?yàn)檫m合上式，所以4．（22-23高三下·河南濮陽·開學(xué)考試）在數(shù)列中，，．(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）解：因?yàn)?，，且，所以，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，又時(shí)也符合上式，所以.考向三累乘法求數(shù)列通項(xiàng)公式1．（24-25高三上·山東日照·開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）由題意知：當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，滿足；綜上所述：.2．（24-25高三上·山東德州·期中）在數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為，且（且）.(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）因?yàn)?，代入，整理得，所以，以上個(gè)式子相乘得，.當(dāng)時(shí)，，符合上式，所以.3．（23-24高二下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）已知在數(shù)列中，，前項(xiàng)和.(1)求、；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由及得，由及、得；（2）當(dāng)時(shí)，，整理得，∴，驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)符合，∴當(dāng)時(shí)，；4．（23-24高三上·廣東·階段練習(xí)）已知數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，且滿足，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）由已知，所以，當(dāng)時(shí)，，兩個(gè)等式相減得，整理可得，即，，，，，，等式左右分別相乘可得，因?yàn)椋?，考向四?gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式1．（24-25高三上·甘肅白銀·期末）已知數(shù)列滿足，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，且，則，可知數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，可得，所以.2．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足且首項(xiàng).(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)證明見解析，【詳解】（1）由已知可得時(shí)，，兩式相減得，即，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，∴，故有，∴，∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴，故.3．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)若，求；(2)若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，求首項(xiàng)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，則，可得，若，則，可知是以首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，則，所以.（2）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則，兩式相減可得，則，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則，解得，且，解得，綜上所述：首項(xiàng)的取值范圍為.4．（24-25高三上·河北·期中）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）∵，∴當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，，整理得，即，令得，，，，∴是以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列.5．（24-25高三上·河北·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)；【詳解】（1）數(shù)列中，由，得，而，因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.6．（24-25高三上·四川瀘州·開學(xué)考試）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；【答案】(1)證明見詳解；【詳解】（1）由題設(shè)易知，因?yàn)椋?，所以，又，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.7．（23-24高三下·河北張家口·開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)；【詳解】（1）由已知，所以，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，所以，即.8．（24-25高三上·寧夏中衛(wèi)·階段練習(xí)）已知數(shù)列，滿足(1)證明：為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；(2)若，記前n項(xiàng)和為，對(duì)任意的正自然數(shù)n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍．【答案】(1)證明見解析；【詳解】（1）因?yàn)椋詢蛇呁缘茫?，即，又因?yàn)椋缘氖醉?xiàng)，所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以考向五倒數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng)公式1．（24-25高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，求．【答案】【詳解】由，，得，，所以，又故數(shù)列是首項(xiàng)、公比均為的等比數(shù)列，則，故．2．（23-24高二下·遼寧·期末）已知數(shù)列滿兄，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式，【答案】(1)，【詳解】（1），，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，；，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，；

實(shí)戰(zhàn)演練四：數(shù)列前實(shí)戰(zhàn)演練四：數(shù)列前項(xiàng)和的求解【知識(shí)點(diǎn)解析】1.定義法：已知為等差數(shù)列或等比數(shù)列（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：.（2）等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式：.（3）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：.（4）等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：.2.裂項(xiàng)相消法（1）裂項(xiàng)相消法：基本思想是將一個(gè)復(fù)雜的分?jǐn)?shù)拆分成兩個(gè)簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)的差，從而簡(jiǎn)化求和過程.（2）裂項(xiàng)相消法的常見模型=1\*GB3①等差型：=2\*GB3②無理型：=3\*GB3③指數(shù)型：=4\*GB3④常見裂項(xiàng)：，.，.，.

3.錯(cuò)位相減法：且為等差數(shù)列，公差為，為等比數(shù)列，公比為.（1）=1\*GB3①（2）=2\*GB3②（3）=1\*GB3①-=2\*GB3②得（4）求和得（5）化簡(jiǎn)得最終答案.（6）,則，其中，.（不建議直接用）4.倒序相加法（1）.（2）.（3）上述兩式相加，得（4）若數(shù)列在滿足的情況下，則.（5）所以5.分組求和法：（1）記的前項(xiàng)和為，記的前項(xiàng)和為，記的前項(xiàng)和為.（2）分別求與.（3）.

【實(shí)戰(zhàn)演練】考向一裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前項(xiàng)和1．（24-25高三上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由①，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，②，①-②，得，數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，．經(jīng)驗(yàn)證符合上式，所以．（2）由（1）知，．則，故，所以，故．2．（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·期末）已知數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式．(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在，【詳解】（1）在①中，令得，，解得，當(dāng)時(shí)，②，①②得，，故，當(dāng)時(shí)，，滿足要求，綜上，的通項(xiàng)公式為.（2）由，則，則，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，，只有當(dāng)，即時(shí)，為常數(shù)，其他值均不合要求，故當(dāng)時(shí)，是等差數(shù)列．3．（24-25高三上·江西撫州·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)積，數(shù)列的前項(xiàng)和為，，滿足.(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以，，.因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，兩式作差得，即，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，，，，，，上述等式全部相乘得，所以，，也滿足，所以，對(duì)任意的，.（2）因?yàn)?所以，.由已知，即，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.4．（24-25高三上·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，，當(dāng)時(shí)，則有，可得，當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差可得，可得，所以數(shù)列為等比數(shù)列，且其首項(xiàng)和公比都為，所以.（2）由（1）可得，則，則，所以，所以.考向二錯(cuò)位相減法求數(shù)列前項(xiàng)和1．（23-24高三下·天津·階段練習(xí)）已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，，，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)若數(shù)列滿足：，求．【答案】(1)，(2)(3)【詳解】（1）設(shè)公差為，公比為，，，，解得或，，，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，，，，解得，，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）根據(jù)題意，，則，①，②①－②：，所以；（3）根據(jù)題意，，則．2．（24-25高三上·山東濰坊·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列前項(xiàng)積為，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2).【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)適合上式，所以；（2），，，令①，②，①－②得，所以，所以.3．（24-25高三上·新疆喀什·階段練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)，【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，所以，化簡(jiǎn)得，又，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.（2）因?yàn)?，所以，，兩式相減得，，所以，故，．4．（24-25高三上·陜西漢中·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)=【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，由，得，則.因?yàn)椋?（2）（方法一）由（1）可得.則，①則，②①，得，從而.（方法二）由（1）可得，令，則令，且，則，整理得，則，解得，故..考向三倒序相加法求數(shù)列前項(xiàng)和1．（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知：，（）．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求和：．【答案】(1)證明見解析，(2)【詳解】（1）由，有，又，故，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，即，故，兩式相減得，即，所以，因此的通項(xiàng)公式為．（2）設(shè)，則由（1）知，又，兩式相加得：，因?yàn)?，，，所?2．（23-24高三上·云南·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：（），數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，①，②，①－②得：，∴，當(dāng)時(shí)，，∴.（2）∵，∴∴①，②，又∵∴①＋②得：∴.3．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知，數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，令，求數(shù)列的前2024項(xiàng)和.【答案】(1)(2)1012【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，所以，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闈M足上式，所以；（2）因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以①，又②，?②，得，所以.考向四分組（并項(xiàng)）求數(shù)列前項(xiàng)和1．（2025·江西·一模）已知數(shù)列滿足.(1)若為遞增數(shù)列，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的前項(xiàng)之積.【答案】(1)；(2)證明見解析，.【詳解】（1）由題設(shè)，即，恒成立，而在上單調(diào)遞減，則，所以；（2）由題設(shè)，則，又，所以是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，故，所以，則，所以.2．（24-25高三上·海南·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，又符合上式，所以；（2）由（1）知，所以.3．（24-25高三上·安徽淮南·階段練習(xí)）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，因?yàn)?，，成等差?shù)列，則，即，可得，解得或（舍去），所以的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可知：，則，所以.4．（24-25高三上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足：且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)或(2)或【詳解】（1）設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為，由成等比數(shù)列，得，則，又，即，解得或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為或.（2）由題意得，當(dāng)時(shí)，，則，所以數(shù)列的前項(xiàng)和；當(dāng)時(shí)，，則，且，故是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，則，.故數(shù)列的前項(xiàng)和或.

實(shí)戰(zhàn)演練五：奇偶數(shù)列問題實(shí)戰(zhàn)演練五：奇偶數(shù)列問題【知識(shí)點(diǎn)解析】1.奇偶數(shù)列求和：已知，其中的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為.思路一：分類討論(1)(2)若為偶數(shù)，則(3)若為奇數(shù)，則思路二：并項(xiàng)求和(1)記(2)(3)若為偶數(shù)，則(4)若為奇數(shù)，則2.常見奇偶數(shù)列模型(1)若，則，相減得.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列為以為首項(xiàng)，為公差得等差數(shù)列.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列為以為首項(xiàng)，為公差得等差數(shù)列.(2)若，則，相除得.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列為以為首項(xiàng)，為公差得等比數(shù)列.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列為以為首項(xiàng)，為公差得等比數(shù)列.(3)若，則直接按奇偶分開討論.

【實(shí)戰(zhàn)演練】1．（24-25高三上·江西·階段練習(xí)）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前100項(xiàng)和.【答案】(1)(2)200【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，，得，解得，則所以的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得，所以.2．（24-25高三上·內(nèi)蒙古包頭·期末）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足.數(shù)列是等差數(shù)列，且.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）因?yàn)?，①所以?②②-①得.所以數(shù)列成以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.所以.又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，且.所以.所以.（2）因?yàn)樵O(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以.故.3．（24-25高三上·湖北·期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，(1)求(2)若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求【答案】(1)；(2)【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，，又，是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，，又時(shí)也滿足上式，；（2），，，4．（24-25高三上·河南·期末）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，即，由，解?由，所以是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列.所以.（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以.

實(shí)戰(zhàn)演練六：數(shù)列插項(xiàng)問題實(shí)戰(zhàn)演練六：數(shù)列插項(xiàng)問題【知識(shí)點(diǎn)解析】1.插項(xiàng)的核心：插入的項(xiàng)數(shù)與插入的數(shù)據(jù)類型.2.常見插項(xiàng)問題（1）在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，記這個(gè)等差數(shù)列的公差為，則，整理的.（2）在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，記這個(gè)等比數(shù)列的公比為，則，整理的.（3）在和之間插入個(gè)，組成新數(shù)列求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和，需分清和各有多少項(xiàng)，分組求和.【實(shí)戰(zhàn)演練】1．（24-25高三上·四川眉山·階段練習(xí)）已知數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，，，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【詳解】（1）因?yàn)楣蕯?shù)列為等差數(shù)列，公差為2，又，所以.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.因?yàn)棰佗冖?②可得，當(dāng)n=1時(shí)，，故是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.因?yàn)樗曰?jiǎn)得：.（2）由（1）知，.所以.所以.設(shè)數(shù)列中存在3項(xiàng)，，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.則，所以，即.又因?yàn)閙，k，p成等差數(shù)列，所以，所以，化簡(jiǎn)得，所以，又，所以與已知矛盾.所以在數(shù)列中不存在3項(xiàng)，，成等比數(shù)列.2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在數(shù)列的和項(xiàng)之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其中，將所有插入的數(shù)組成新數(shù)列，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，即，所以，當(dāng)時(shí)，符合，所以；（2）依題意，，，，?．所以，即，①則，②由①②可得，，所以．3．（23-24高三上·河南南陽·期中）已知數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)此等差數(shù)列的公差為，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，兩式相減得，即．因?yàn)闈M足上式，所以．（2）由題意可得，，．4．（22-23高三上·河北唐山·期中）已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，且是與的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；(2)保持中各項(xiàng)的先后順序不變，在與之間插入個(gè)，構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列的前24項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，且是與的等比中項(xiàng)，所以，解得或（舍去），所以，，所以；（2）解：由題意可知，新數(shù)列為，，，，，，，，，，…按照此規(guī)律，假設(shè)第24項(xiàng)在與之間，則，解得當(dāng)時(shí)，.

實(shí)戰(zhàn)演練七：數(shù)列最值問題實(shí)戰(zhàn)演練七：數(shù)列最值問題【知識(shí)點(diǎn)解析】1.求最值的常見方法（1）二次函數(shù)法.（2）基本不等式法.（3）三角函數(shù)法.（4）函數(shù)單調(diào)性法.2.求數(shù)列單調(diào)性的方法：（1）作差法（與“0”比較大小）（2）作商法（與“1”比較大?。m然數(shù)列可近似視為函數(shù)（定義域?yàn)檎麛?shù)），但是一般不會(huì)用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，因?yàn)榍髮?dǎo)太復(fù)雜.【實(shí)戰(zhàn)演練】1．（24-25高三上·遼寧丹東·期中）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求使取得最大值時(shí)的值．【答案】(1)；(2)3.【詳解】（1）解：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，且，，所以當(dāng)時(shí)，則有，兩式相減，得（為等差數(shù)列的公差），解得；當(dāng)時(shí)，則有，即，，解得，所以；（2）由（1）知，所以，所以，當(dāng)取得最大值時(shí)，則有，即，整理得，解得，所以又因?yàn)?，解得，所以最大，?所以當(dāng)取得最大值時(shí)，.2．（24-25高三上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)之積為，且．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求的最大值．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，①，則②，①②可得，也滿足上式，所以，③．因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)之積為，則當(dāng)時(shí)，，代入③可得，所以，，則.（2），所以，，則，即，即單調(diào)遞減，故的最大值為．3．（24-25高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足(1)求證為等差數(shù)列，并求出數(shù)列的