2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考專用)專題30平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用(原卷版+解析)

2/2專題30平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 4【考點1】數(shù)量積的計算 4【考點2】數(shù)量積的應(yīng)用 5【考點3】平面向量的綜合應(yīng)用 6【分層檢測】 7【基礎(chǔ)篇】 7【能力篇】 9【培優(yōu)篇】 10考試要求：1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的長度的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算.4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.5.會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題.知識梳理知識梳理1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念(1)向量的夾角：已知兩個非零向量a和b，O是平面上的任意一點，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.(2)數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cos__θ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.(3)投影向量如圖，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則eq\o(OM1,\s\up6(→))與e，a，θ之間的關(guān)系為eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cosθe.2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.(1)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(3)夾角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時等號成立)?|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).3.平面向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a(交換律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).4.平面幾何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系；(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.1.兩個向量a，b的夾角為銳角?a·b>0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角?a·b<0且a，b不共線.2.平面向量數(shù)量積運算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3.數(shù)量積運算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，兩邊不能約去同一個向量.真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高考真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．3．（2023·全國·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．4．（2022·全國·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．65．（2022·全國·高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2二、填空題6．（2023·全國·高考真題）已知向量，滿足，，則．7．（2022·全國·高考真題）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則．8．（2021·全國·高考真題）已知向量，，，．9．（2021·全國·高考真題）已知向量，若，則．10．（2021·全國·高考真題）已知向量．若，則．考點突破考點突破【考點1】數(shù)量積的計算一、單選題1．（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知向量，滿足，，且與的夾角為，則（

）A． B． C．1 D．132．（2024·湖北·模擬預(yù)測）直線與圓交于M、N兩點，O為坐標(biāo)原點，則（）A． B． C．1 D．2二、多選題3．（2024·廣東廣州·二模）在梯形中，，則（

）A． B． C． D．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知是兩個單位向量，若，，則（

）A．三點共線 B．C． D．三、填空題5．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知向量，，若，則的取值范圍為．6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知向量，，，反思提升：平面向量數(shù)量積的兩種運算方法(1)基底法：當(dāng)已知向量的模和夾角θ時，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計算問題；(2)坐標(biāo)法：當(dāng)平面圖形易建系求出各點坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解.【考點2】數(shù)量積的應(yīng)用一、單選題1．（2024·四川眉山·三模）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．2．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知向量的夾角為，且，若，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2022·全國·模擬預(yù)測）在邊長為正六邊形中，是線段上一點，，則下列說法正確的有（

）A．若，則B．若向量在向量上的投影向量是，則C．若為正六邊形內(nèi)一點（包含端點），則的取值范圍是D．若，則的值為4．（2023·河北唐山·二模）已知向量，，，下列命題成立的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．設(shè)，，當(dāng)取得最大值時，三、填空題5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知平面向量滿足，則實數(shù)的值為．6．（2024·四川·模擬預(yù)測）平面向量，滿足，，且，則的值為．反思提升：(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：若a，b為非零向量，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)(夾角公式)，a⊥b?a·b＝0等，可知平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度、垂直問題.(2)計算向量的模：①當(dāng)向量有坐標(biāo)或適合建坐標(biāo)系時，可用模的計算公式；②利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算；③幾何法，利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.【考點3】平面向量的綜合應(yīng)用一、單選題1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知是邊長為的正三角形，點是所在平面內(nèi)的一點，且滿足，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．2．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）在中，角、、的對邊分別為、、，若，，的平分線的長為，則邊上的中線的長等于（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·廣東廣州·二模）已知雙曲線的左右焦點分別為，左頂點為，點是的右支上一點，則（

）A．的最小值為8B．若直線與交于另一點，則的最小值為6C．為定值D．若為的內(nèi)心，則為定值4．（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物，巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底（由三個相同的菱形組成）巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜，如圖是一個蜂巢的正六邊形開口ABCDEF，它的邊長為1，點P是△DEF內(nèi)部（包括邊界）的動點，則（

）A．B．C．若P為EF的中點，則在上的投影向量為D．的最大值為三、填空題5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等邊的外接圓的面積為，動點在圓上，若，則實數(shù)的取值范圍為．6．（2024·河北秦皇島·二模）已知雙曲線C：的左焦點為F，過坐標(biāo)原點O的直線與C交于A，B兩點，且，，則C的離心率為.反思提升：向量數(shù)量積綜合應(yīng)用的方法和思想(1)坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決.(2)基向量法：適當(dāng)選取一組基底，寫出向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來進行求解.(3)利用向量運算進行轉(zhuǎn)化，化歸為三角函數(shù)的問題或三角恒等變換問題是常規(guī)的解題思路和方法，以向量為載體考查三角形問題時，要注意正弦定理、余弦定理等知識的應(yīng)用.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·湖南長沙·二模）已知向量中，是單位向量，與的夾角為，則（

）A．2 B． C． D．-12．（2024·浙江·三模）已知單位向量滿足，則（

）A．0 B． C． D．13．（2023·山東青島·二模）已知為坐標(biāo)原點，復(fù)數(shù)，，分別表示向量，，，若，則（

）A． B． C． D．4．（2024·湖北武漢·二模）已知，向量，且，則在上的投影向量為（

）A． B．5 C． D．二、多選題5．（23-24高三下·山東菏澤·開學(xué)考試）已知單位向量，的夾角為，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．在方向上的投影向量為C．若，則D．若，則6．（2023·山東·二模）下列說法正確的是（

）A．B．非零向量和，滿足且和同向，則C．非零向量和滿足，則D．已知，，則在的投影向量的坐標(biāo)為7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量，若，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量為三、填空題8．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知平面內(nèi)非零向量在向量上的投影向量為，且，則與夾角的余弦值為．9．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量，若，則.10．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知向量，，若，則實數(shù).四、解答題11．（23-24高三上·北京·階段練習(xí)）在中，．(1)求C；(2)若，求的最小值．12．（2024·黑龍江·二模）已知向量，，且函數(shù)在上的最大值為．(1)求常數(shù)的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．【能力篇】一、單選題1．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知向量，則（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知向量，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．的最大值為6D．若，則三、填空題3．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知正方形的邊長為，兩個點，（兩點不重合）都在直線的同側(cè)（但，與在直線的異側(cè)），，關(guān)于直線對稱，若，則面積的取值范圍是.四、解答題4．（2024·廣東惠州·一模）在中，已知，，分別為角，，的對邊．若向量，向量，且．(1)求的值；(2)若，，成等比數(shù)列，求的值．【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2024·廣東佛山·二模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點A，B在C上，且滿足，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2023·福建·模擬預(yù)測）半圓形量角器在第一象限內(nèi)，且與軸、軸相切于、兩點.設(shè)量角器直徑，圓心為，點為坐標(biāo)系內(nèi)一點.下列選項正確的有（

）

A．點坐標(biāo)為 B．C． D．若最小，則三、填空題3．（2024·上海長寧·二模）已知平面向量滿足：，若，則的最小值為．專題30平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 9【考點1】數(shù)量積的計算 9【考點2】數(shù)量積的應(yīng)用 12【考點3】平面向量的綜合應(yīng)用 17【分層檢測】 24【基礎(chǔ)篇】 24【能力篇】 30【培優(yōu)篇】 33考試要求：1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的長度的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算.4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.5.會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題.知識梳理知識梳理1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念(1)向量的夾角：已知兩個非零向量a和b，O是平面上的任意一點，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.(2)數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cos__θ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.(3)投影向量如圖，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則eq\o(OM1,\s\up6(→))與e，a，θ之間的關(guān)系為eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cosθe.2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.(1)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(3)夾角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時等號成立)?|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).3.平面向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a(交換律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).4.平面幾何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系；(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.1.兩個向量a，b的夾角為銳角?a·b>0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角?a·b<0且a，b不共線.2.平面向量數(shù)量積運算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3.數(shù)量積運算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，兩邊不能約去同一個向量.真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高考真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．3．（2023·全國·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．4．（2022·全國·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．65．（2022·全國·高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2二、填空題6．（2023·全國·高考真題）已知向量，滿足，，則．7．（2022·全國·高考真題）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則．8．（2021·全國·高考真題）已知向量，，，．9．（2021·全國·高考真題）已知向量，若，則．10．（2021·全國·高考真題）已知向量．若，則．參考答案：1．D【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.【詳解】因為,所以,即,即,所以.如圖,設(shè),由題知,是等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,.故選:D.2．A【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得，或然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定的最大值.【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得

當(dāng)點位于直線異側(cè)時或PB為直徑時，設(shè)，則：，則當(dāng)時，有最大值.

當(dāng)點位于直線同側(cè)時，設(shè)，則：，，則當(dāng)時，有最大值.綜上可得，的最大值為.故選：A.【點睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題，考查了學(xué)生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.3．D【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出．【詳解】因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．4．C【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求得【詳解】解：,,即,解得,故選：C5．C【分析】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運算求解即可.【詳解】解：∵，又∵∴9，∴故選：C.6．【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運算律運算求解；法二：換元令，結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解.【詳解】法一：因為，即，則，整理得，又因為，即，則，所以.法二：設(shè)，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為：.7．【分析】設(shè)與的夾角為，依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得．【詳解】解：設(shè)與的夾角為，因為與的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．故答案為：．8．【分析】由已知可得，展開化簡后可得結(jié)果.【詳解】由已知可得，因此，.故答案為：.9．【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出．【詳解】因為，所以由可得，，解得．故答案為：．【點睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，設(shè)，，注意與平面向量平行的坐標(biāo)表示區(qū)分．10．.【分析】利用向量的坐標(biāo)運算法則求得向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零求得的值【詳解】,，解得,故答案為：.【點睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運算，平面向量垂直的條件，屬基礎(chǔ)題，利用平面向量垂直的充分必要條件是其數(shù)量積.考點突破考點突破【考點1】數(shù)量積的計算一、單選題1．（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知向量，滿足，，且與的夾角為，則（

）A． B． C．1 D．132．（2024·湖北·模擬預(yù)測）直線與圓交于M、N兩點，O為坐標(biāo)原點，則（）A． B． C．1 D．2二、多選題3．（2024·廣東廣州·二模）在梯形中，，則（

）A． B． C． D．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知是兩個單位向量，若，，則（

）A．三點共線 B．C． D．三、填空題5．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知向量，，若，則的取值范圍為．6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知向量，，，參考答案：1．B【分析】根據(jù)，結(jié)合數(shù)量積運算求解.【詳解】根據(jù)題意，，則.故選：B2．C【分析】先聯(lián)立方程，結(jié)合韋達定理可求出，根據(jù)向量數(shù)量積可求答案.【詳解】聯(lián)立,得，則，即，所以，設(shè)，則：，，故選：C3．ABD【分析】在中由正弦定理求解判斷A；利用兩角和差公式求解判斷B；利用向量數(shù)量積計算判斷C；利用數(shù)量積計算判斷D．【詳解】在中，，則，由正弦定理知，即，故A正確；，，，故B正確；，故C錯誤；，故，即，故D正確．故選：ABD4．ABD【分析】利用平面向量共線的性質(zhì)判斷A，利用向量模的性質(zhì)判斷B，用定義計算向量積判斷C，D即可.【詳解】對于選項A：，，所以，于是三點共線，故A正確.選項B：設(shè)的夾角為，則，，，，所以，故，同理，所以，故，因此，故B正確.選項C：易知，所以，，，因為的值不確定，所以無法比較大小，故C不正確.選項D：，，，顯然，故D正確.故選：ABD5．【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到，再利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可求出其范圍.【詳解】因為，，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以的取值范圍為.故答案為：6．【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算及數(shù)量積的性質(zhì)即可得結(jié)論.【詳解】因為向量，，，所以，因此，．故答案為：．反思提升：平面向量數(shù)量積的兩種運算方法(1)基底法：當(dāng)已知向量的模和夾角θ時，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計算問題；(2)坐標(biāo)法：當(dāng)平面圖形易建系求出各點坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解.【考點2】數(shù)量積的應(yīng)用一、單選題1．（2024·四川眉山·三模）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．2．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知向量的夾角為，且，若，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2022·全國·模擬預(yù)測）在邊長為正六邊形中，是線段上一點，，則下列說法正確的有（

）A．若，則B．若向量在向量上的投影向量是，則C．若為正六邊形內(nèi)一點（包含端點），則的取值范圍是D．若，則的值為4．（2023·河北唐山·二模）已知向量，，，下列命題成立的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．設(shè)，，當(dāng)取得最大值時，三、填空題5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知平面向量滿足，則實數(shù)的值為．6．（2024·四川·模擬預(yù)測）平面向量，滿足，，且，則的值為．參考答案：1．A【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律求出、、，即可求出、、，再根據(jù)夾角公式計算可得.【詳解】由題意得，則有，解得，又由，則有，解得，同理可得，所以，，，所以.故選：A2．A【分析】利用平面向量的數(shù)量積運算公式結(jié)合已知直接計算即可.【詳解】因為，所以，即，因為，向量的夾角為，所以，所以，即.故選：A.3．AC【分析】由向量線性運算可利用表示出，知A正確；由投影向量定義可求得向量在上的投影向量為，知B錯誤；以為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可知C正確；設(shè)，根據(jù)可求得的值，進而得到，知D錯誤.【詳解】對于A，若，則為中點，，A正確；對于B，由正六邊形的性質(zhì)知向量與的夾角為，則向量在上的投影向量為，，B錯誤；對于C，以為坐標(biāo)原點，正方向為軸，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，，，C正確；對于D，由題意知：，，，設(shè)，，，，解得：，，，，即，D錯誤.故選：AC.4．AD【分析】若，則，結(jié)合兩角差的正弦公式即可判斷A；若，則，再結(jié)合二倍角的正弦公式及正弦函數(shù)的值域即可判斷B；若，則，再結(jié)合二倍角的余弦公式即可判斷C；求出再結(jié)合兩角差的余弦公式即可判斷D.【詳解】對于A，若，則，即，所以，即，故A正確；對于B，若，則，即，即，因為，所以，所以，所以，所以，故B錯誤；對于C，，由，得，即，即，則，則或，所以或，故C錯誤；對于D，，，則，當(dāng)取得最大值時，，此時，所以，故D正確.故選：AD.5．1或【分析】結(jié)合平面向量的相關(guān)知識，將兩邊平方，計算即可.【詳解】將兩邊平方，得，得，即，解得或．故答案為：或.6．【分析】首先求出的坐標(biāo)，依題意，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.【詳解】因為，，所以，又，所以，解得.故答案為：反思提升：(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：若a，b為非零向量，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)(夾角公式)，a⊥b?a·b＝0等，可知平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度、垂直問題.(2)計算向量的模：①當(dāng)向量有坐標(biāo)或適合建坐標(biāo)系時，可用模的計算公式；②利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算；③幾何法，利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.【考點3】平面向量的綜合應(yīng)用一、單選題1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知是邊長為的正三角形，點是所在平面內(nèi)的一點，且滿足，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．2．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）在中，角、、的對邊分別為、、，若，，的平分線的長為，則邊上的中線的長等于（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·廣東廣州·二模）已知雙曲線的左右焦點分別為，左頂點為，點是的右支上一點，則（

）A．的最小值為8B．若直線與交于另一點，則的最小值為6C．為定值D．若為的內(nèi)心，則為定值4．（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物，巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底（由三個相同的菱形組成）巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜，如圖是一個蜂巢的正六邊形開口ABCDEF，它的邊長為1，點P是△DEF內(nèi)部（包括邊界）的動點，則（

）A．B．C．若P為EF的中點，則在上的投影向量為D．的最大值為三、填空題5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等邊的外接圓的面積為，動點在圓上，若，則實數(shù)的取值范圍為．6．（2024·河北秦皇島·二模）已知雙曲線C：的左焦點為F，過坐標(biāo)原點O的直線與C交于A，B兩點，且，，則C的離心率為.參考答案：1．C【分析】可由重心的性質(zhì)結(jié)合向量運算得到點的軌跡，再結(jié)合圓上的點到圓外定點的距離最小值為圓心到定點減半徑得到；亦可建立適當(dāng)平面直角坐標(biāo)系，借助向量的坐標(biāo)運算結(jié)合圓的性質(zhì)得解.【詳解】法一：設(shè)的重心為，則，點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，又，的最小值是.法二：以所在直線為軸，以中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，即，化簡得，點的軌跡方程為，設(shè)圓心為，，由圓的性質(zhì)可知當(dāng)過圓心時最小，又，故得最小值為.故選：C.2．A【分析】由設(shè)，可得的值，進而可求得的值，結(jié)合余弦定理可得，由可求得，即可求得結(jié)果.【詳解】由題意知，設(shè)，則，如圖所示，由可得，整理得，即，又因為，所以，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以，由是邊上的中線，得.所以，中線長.故選：A3．ACD【分析】根據(jù)雙曲線的定義判斷A；取直線可判斷B；由向量的數(shù)量積公式和運算律進行化簡判斷C；根據(jù)雙曲線的定義判斷D.【詳解】對A，得，所以，所以，當(dāng)為雙曲線右支與軸交點時，取等號，即的最小值為8，故A正確；對B，若直線經(jīng)過，當(dāng)直線的斜率為0時，直線的方程為，與雙曲線的兩個交點為，此時，故B錯誤；對C，因為，所以，，兩式相加得，，所以，故C正確；對D，設(shè)為的內(nèi)心，，，，在雙曲線上，,為定值，D正確，故選：ACD．4．AD【分析】對于A：根據(jù)正六邊形的性質(zhì)結(jié)合向量的線性運算求解；對于C：根據(jù)結(jié)合投影向量的定義分析判斷；對于BD：建系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求解.【詳解】對于選項A：因為，故A正確；對于選項C：由題意可知：，若P為EF的中點，所以在上的投影向量為，故C錯誤；對于選項BD：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則，可得，所以，故B錯誤；設(shè)，可知，則，可得，則，可知當(dāng)，即點與點重合時，的最大值為，故D正確；故選：AD.5．【分析】根據(jù)正三角形的幾何性質(zhì)可得外接圓半徑，再由正弦定理得邊長，取線段的中點，取線段的中點，根據(jù)向量的線性運算及數(shù)量積的運算性可得，且再由三角形三邊關(guān)系列不等式得結(jié)論.【詳解】依題意，設(shè)的外接圓的半徑為，則，故，在等邊中由正弦定理得，則；取線段的中點，連接，則，所以；取線段的中點，連接，則在線段上，且，所以，則又，故，則．故答案為：.6．【分析】記C的右焦點為，連接，，由雙曲線的定義結(jié)合題意可得，，再由數(shù)量積的定義和余弦定理可得，即可求出答案.【詳解】記C的右焦點為，連接，，如圖所示.過坐標(biāo)原點O的直線與C交于A，B兩點，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為，，所以，.因為，所以.在中，由余弦定理可得，因為，所以，即，即C的離心率為.故答案為：.反思提升：向量數(shù)量積綜合應(yīng)用的方法和思想(1)坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決.(2)基向量法：適當(dāng)選取一組基底，寫出向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來進行求解.(3)利用向量運算進行轉(zhuǎn)化，化歸為三角函數(shù)的問題或三角恒等變換問題是常規(guī)的解題思路和方法，以向量為載體考查三角形問題時，要注意正弦定理、余弦定理等知識的應(yīng)用.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·湖南長沙·二模）已知向量中，是單位向量，與的夾角為，則（

）A．2 B． C． D．-12．（2024·浙江·三模）已知單位向量滿足，則（

）A．0 B． C． D．13．（2023·山東青島·二模）已知為坐標(biāo)原點，復(fù)數(shù)，，分別表示向量，，，若，則（

）A． B． C． D．4．（2024·湖北武漢·二模）已知，向量，且，則在上的投影向量為（

）A． B．5 C． D．二、多選題5．（23-24高三下·山東菏澤·開學(xué)考試）已知單位向量，的夾角為，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．在方向上的投影向量為C．若，則D．若，則6．（2023·山東·二模）下列說法正確的是（

）A．B．非零向量和，滿足且和同向，則C．非零向量和滿足，則D．已知，，則在的投影向量的坐標(biāo)為7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量，若，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量為三、填空題8．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知平面內(nèi)非零向量在向量上的投影向量為，且，則與夾角的余弦值為．9．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量，若，則.10．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知向量，，若，則實數(shù).四、解答題11．（23-24高三上·北京·階段練習(xí)）在中，．(1)求C；(2)若，求的最小值．12．（2024·黑龍江·二模）已知向量，，且函數(shù)在上的最大值為．(1)求常數(shù)的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．參考答案：1．B【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義及運算律求解.【詳解】，所以.故選：B2．B【分析】計算出，，，利用向量夾角余弦公式求出答案.【詳解】，，故，，故，所以.故選：B3．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義確定向量，，的坐標(biāo)，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運算即可求得的值，從而可得的值.【詳解】由題意可得，，所以又，所以，所以則.故選：C.4．C【分析】借助向量垂直可得，結(jié)合投影向量定義計算即可得解.【詳解】由，則有，即，則，故.故選：C.5．AB【分析】由題意可得，根據(jù)可判斷A；根據(jù)在方向上的投影向量為可判斷B；根據(jù)可判斷C；根據(jù)數(shù)量積的運算律可判斷D.【詳解】因為，都是單位向量，所以，所以，即，故A正確；在方向上的投影向量為，故B正確；若，則，即，即，因為，所以，故C錯誤；若，則，所以，即，故D錯誤.故選：AB6．AC【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律判斷A、C，根據(jù)向量的定義判斷B，根據(jù)投影向量的定義判斷D.【詳解】對于A：根據(jù)數(shù)量積的運算律可知，故A正確；對于B：向量不可以比較大小，故B錯誤；對于C：非零向量和滿足，則，即，所以，則，故C正確；對于D：因為，，所以，，所以在的投影向量為，故D錯誤；故選：AC7．ABD【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示求出x，再結(jié)合向量的坐標(biāo)運算逐項判斷即得.【詳解】對于A，由，，得，解得，A正確；對于B，，則，于是，B正確；對于C，，，則與不垂直，C錯誤；對于D，，則在上的投影向量為，D正確．故選：ABD8．【分析】利用投影向量公式計算即可.【詳解】設(shè)與的夾角為，因為，即，又，則，即．故答案為：.9．【分析】先利用向量垂直的坐標(biāo)運算求得，然后代入模的坐標(biāo)運算公式求解即可.【詳解】，，，.故答案為：10．【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，由可得即可得解.【詳解】由得，，.故答案為：11．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)兩角和正弦余弦公式化簡可得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡可得；（2）由余弦定理求出的取值范圍后即可求出.【詳解】（1）因為，所以，，即即，因為是的內(nèi)角，所以，即，所以.（2）在中，，得，因為是的邊長所以，所以，即因為，所以，所以的最小值為.12．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積運算、二倍角和輔助角公式可化簡，根據(jù)正弦型函數(shù)最大值可構(gòu)造方程求得的值；（2）采用整體代換的方式，構(gòu)造不等式，解不等式即可求得單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】（1），，，解得：.（2）由（1）知：，令，解得：，的單調(diào)遞減區(qū)間為.【能力篇】一、單選題1．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知向量，則（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知向量，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．的最大值為6D．若，則三、填空題3．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知正方形的邊長為，兩個點，（兩點不重合）都在直線的同側(cè)（但，與在直線的異側(cè)），，關(guān)于直線對稱