2024-2025學年福建省福州市高二上冊第一次月考數學教學質量檢測試卷（含解析）

2024-2025學年福建省福州市高二上學期第一次月考數學教學質量檢測試卷友情提示：請將所填寫到答題卡上！請不要錯位、越界答題！一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則直線恒過定點（）A. B.C. D.2.已知兩點，，過點的直線與線段AB（含端點）有交點，則直線的斜率的取值范圍為（）A. B. C. D.3.下列命題中正確的是（）A.點關于平面對稱的點的坐標是B.若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C.若直線l方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為D.已知O空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，若，則4.已知為空間的一個基底，則下列各組向量中能構成空間的一個基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，5.過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）A. B.C.或 D.或6.如圖，在平行六面體中，底面是菱形，側面是正方形，且，，，若P是與的交點，則異面直線與的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.7.在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點，為棱上的一點，且，則點到平面的距離為（）A B. C. D.8.平面幾何中有定理：已知四邊形的對角線與相交于點，且，過點分別作邊，，，的垂線，垂足分別為，，，，則，，，在同一個圓上，記該圓為圓.若在此定理中，直線，，的方程分別為，，，點，則圓的方程為（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，，，則（）A. B.C. D.10.給出下列命題正確的是（）A.直線的方向向量為，平面的法向量為，則與平行B.直線恒過定點C.已知直線與直線垂直，則實數的值是D.已知三點不共線，對于空間任意一點，若，則四點共面11.如圖，平行六面體所有棱長均為2，，，兩兩所成夾角均為，點，分別在棱，上，且，，則（）A.，，，四點共面B.在方向上的投影向量為C.D.直線與所成角的余弦值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.，與直線平行，則直線與的距離為___________.13.已知是空間向量的一個基底，是空間向量的另一個基底，若向量在基底下的坐標為，則向量在基底下的坐標為_________．14.“曼哈頓距離”是人臉識別中的一種重要測距方式，其定義如下：設，，則，兩點間的曼哈頓距離已知，點在圓上運動，若點滿足，則的最大值為_________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，且分別為的中點.（1）證明：平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.16.已知的頂點邊上的中線所在直線的方程為的平分線所在直線的方程為.（1）求直線的方程和點C的坐標；（2）求的面積．17.設直線和直線的交點為.（1）若直線經過點，且與直線垂直，求直線的方程；（2）若直線與直線關于點對稱，求直線的方程.18.在空間幾何體中，四邊形均為直角梯形，，．（1）如圖1，若，求直線與平面所成角的正弦值；（2）如圖2，設（?。┣笞C：平面平面；（ⅱ）若二面角的余弦值為，求的值．19.已知圓經過坐標原點和點，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）設是圓兩條切線，其中為切點．①若點在直線上運動，求證：直線經過定點；②若點在曲線（其中）上運動，記直線與軸的交點分別為，求面積的最小值．2024-2025學年福建省福州市高二上學期第一次月考數學教學質量檢測試卷友情提示：請將所填寫到答題卡上！請不要錯位、越界答題！一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則直線恒過定點（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由題意可得，可得定點坐標.【詳解】因為，所以，由，可得，所以，當時，所以對為任意實數均成立,故直線過定點.故選：A.2.已知兩點，，過點的直線與線段AB（含端點）有交點，則直線的斜率的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】求出直線、的斜率后可求直線的斜率的范圍.詳解】，而，故直線的取值范圍為，故選：A.3.下列命題中正確的是（）A.點關于平面對稱的點的坐標是B.若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C.若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為D.已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，若，則【正確答案】C【分析】由空間點關于平面的對稱點的特點可判斷A；由向量的數量積的性質可判斷B；由線面角的定義可判斷C；由共面向量定理可判斷D.【詳解】對于A，點關于平面對稱的點的坐標是，A選項錯誤；對于B，若直線l的方向向量為，平面的法向量為，，有，則或，B選項錯誤；對于C，若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為，C選項正確；對于D，已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，若，則，解得，D選項錯誤.故選：C.4.已知為空間的一個基底，則下列各組向量中能構成空間的一個基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【正確答案】B【分析】根據空間向量基底的概念，空間的一組基底，必須是不共面的三個向量求解判斷.【詳解】對于A，設，即，解得，所以，，共面，不能構成空間的一個基底，故A錯誤；對于B，設，無解，所以不共面，能構成空間的一組基底，故B正確；對于C，設，解得，所以共面，不能構成空間的一個基底，故C錯誤；對于D，設，解得，所以共面，不能構成空間的一個基底，故D錯誤.故選：B.5.過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）A. B.C.或 D.或【正確答案】D【分析】分直線過原點和不過原點兩種情況討論，結合直線的截距式即可得解.【詳解】當直線過原點時在兩坐標軸上的截距都為，滿足題意，又因為直線過點，所以直線的斜率為，所以直線方程，即，當直線不過原點時，設直線方程為，因為點在直線上，所以，解得，所以直線方程為，故所求直線方程為或.故D項正確.故選：D6.如圖，在平行六面體中，底面是菱形，側面是正方形，且，，，若P是與的交點，則異面直線與的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據平行六面體的結構特征及向量對應線段位置關系，結合向量加法、數乘的幾何意義,將、，用基底表示出來，在應用向量數量積的運算律即可.【詳解】在平行六面體中,四邊形是平行四邊形,側面是正方形,又是的交點,所以是的中點,因為,,,所以，所以，所以又，所以，可得,，所以異面直線與的夾角的余弦值為.故選：A.7.在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點，為棱上的一點，且，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】建立空間直角坐標系，由點到平面的距離公式計算即可．【詳解】以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，．設平面的法向量為，則，取，得，所以點到平面的距離為，故選：D．8.平面幾何中有定理：已知四邊形對角線與相交于點，且，過點分別作邊，，，的垂線，垂足分別為，，，，則，，，在同一個圓上，記該圓為圓.若在此定理中，直線，，的方程分別為，，，點，則圓的方程為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】由已知可得，，，的坐標，根據垂直關系聯立方程組可分別求出，的坐標，根據，，三點在圓上，分別求線段，的垂直平分線所在直線方程，通過聯立解方程組求解圓心的坐標，即可求解圓的方程.【詳解】由得，由得，由得，因為，對角線與相交于點，所以，因為，所以所在直線方程為，與聯立方程組解得，因為，所以所在直線方程為，與聯立方程組解得，因為，所以線段垂直平分線方程為，線段的垂直平分線方程為，聯立，解得，所以，又，所以圓的方程為.故選.方法點睛：求圓的方程的常用方法：（1）直接法：直接求出圓心坐標和圓的半徑，寫出方程；（2）待定系數法：根據已知條件設出方程，代入求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，，，則（）A. B.C. D.【正確答案】BD【分析】利用空間向量的運算公式逐項判斷即可.【詳解】對于A，，故，故A錯誤；對于B，，，故B正確；對于C，，故，故C錯誤；對于D，，故，故D正確.故選：BD10.給出下列命題正確的是（）A.直線的方向向量為，平面的法向量為，則與平行B.直線恒過定點C.已知直線與直線垂直，則實數的值是D.已知三點不共線，對于空間任意一點，若，則四點共面【正確答案】BD【分析】根據空間向量、直線過定點、直線垂直、四點共面等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，，所以與不平行，A選項錯誤.B選項，由，得，由，解得，所以定點為，B選項正確.C選項，由，解得或，C選項錯誤.D選項，由于，其中，所以四點共面，D選項正確.故選：BD11.如圖，平行六面體的所有棱長均為2，，，兩兩所成夾角均為，點，分別在棱，上，且，，則（）A.，，，四點共面B.在方向上的投影向量為C.D.直線與所成角的余弦值為【正確答案】ABD【分析】在上取點，使得，可得四邊形、四邊形為平行四邊形，求出，可判斷A；對兩邊平方求出，再由投影向量的定義可判斷B；由的線性運算后再平方可判斷C；由向量的夾角公式計算可判斷D.【詳解】對于A，在上取點，使得，連接，因為，所以四邊形為平行四邊形，可得，因為，所以四邊形為平行四邊形，可得，所以，可得，，，四點共面，故A正確；對于B，因為平行六面體棱長均為2，、、兩兩所成夾角均為，所以，則，則，，故B正確；對于C，，，則，故C不正確；對于D，故，故直線與所成角的余弦值為，D正確.故選：ABD.關鍵點點睛：求向量模長解題的關鍵點是先對所求向量進行線性運算，再平方計算.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.，與直線平行，則直線與的距離為___________.【正確答案】【分析】根據兩直線平行的條件列出方程即可求出m的值，求出直線的方程，再由兩平行線間的距離公式求出直線與的距離．【詳解】因為//，所以，解得，，，由兩平行直線的距離公式可得：，故13.已知是空間向量的一個基底，是空間向量的另一個基底，若向量在基底下的坐標為，則向量在基底下的坐標為_________．【正確答案】【分析】設向量在基底下的坐標為，則，由此能求出向量在基底下的坐標.【詳解】設向量在基底下的坐標為，則，整理得：，，解得.向量在基底下的坐標是.故答案為.14.“曼哈頓距離”是人臉識別中的一種重要測距方式，其定義如下：設，，則，兩點間的曼哈頓距離已知，點在圓上運動，若點滿足，則的最大值為_________．【正確答案】##【分析】根據題意，作出點的軌跡，將問題轉化為點到圓的距離問題，從而得解.【詳解】由題意得，圓，圓心，半徑，設點Px0,故點的軌跡為如下所示的正方形，其中，，則，，則，即的最大值為.故答案為.關鍵點點睛，本題解決的關鍵是將點的曼哈頓距離轉化為圖形，從而利用數形結合即可得解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，且分別為的中點.（1）證明：平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）不妨設，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，由，得到，即可得證；（2）求出平面的法向量，利用空間向量法計算可得.【小問1詳解】不妨設，則，如圖建立空間直角坐標系，則，，，A1,0,0，，，所以，，，設m=x,y,z是平面則，取，則，所以平面的一個法向量，又，所以，因為平面，所以平面.【小問2詳解】因為平面，所以是平面的一個法向量，又因為，所以平面與平面夾角的余弦值為.16.已知的頂點邊上的中線所在直線的方程為的平分線所在直線的方程為.（1）求直線的方程和點C的坐標；（2）求的面積．【正確答案】（1），，（2）.【分析】（1）設點的坐標是，由的中點在直線上，求得點的坐標，再求出點關于直線的對稱點即可求得直線的方程，聯立方程組求出點坐標.（2）利用兩點間距離公式及點到直線距離公式求出三角形面積.【小問1詳解】由點在上，設點的坐標是，則的中點在直線上，于是，解得，即點，設關于直線對稱點為，則有，解得，即，顯然點在直線上，直線的斜率為，因此直線的方程為，即，由，解得，則點，所以直線的方程為，點C的坐標為.【小問2詳解】由（1）得，點到直線的距離，所以的面積.17.設直線和直線的交點為.（1）若直線經過點，且與直線垂直，求直線的方程；（2）若直線與直線關于點對稱，求直線的方程.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）聯立方程求得，根據垂直關系設出直線的方程，將點代入計算即可求解；（2）法一：根據平行關系設出直線的方程，然后利用到兩條直線的距離相等列式求解即可；法二，設直線上任意一點，利用對稱性求得點關于點對稱的點，將坐標代入已知直線方程，化簡即可求解.【小問1詳解】由得交點，由直線與直線垂直，則可設直線的方程為，又直線過點，代入得，則，所以直線的方程為；【小問2詳解】法一：由題意可得直線與直線平行，則可設直線方程為：，由直線與直線關于點對稱，得到兩條直線的距離相等，即，得（舍）或，所以直線的方程為.法二：設直線上任意一點，則點關于點對稱的點為，且點在直線上，得，化簡得直線的方程為.18.在空間幾何體中，四邊形均為直角梯形，，．（1）如圖1，若，求直線與平面所成角的正弦值；（2）如圖2，設（?。┣笞C：平面平面；（ⅱ）若二面角的余弦值為，求的值．【正確答案】（1）（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出線面角的正弦值；（2）（ⅰ）設，則，由，所以，求出平面、的法向量，利用空間向量法證明即可；（ⅱ）求出平面的法向量，利用空間向量法表示出二面角的余弦值，即可得到方程，求出，即可得到點坐標，再由夾角公式計算可得.【小問1詳解】因為，，即，，，如圖建立空間直角坐標系，則A0,0,0，，，，，，所以，，，設平面的法向量為，則，取，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.【小問2詳解】（ⅰ）如圖建立空間直角坐標系，設，則，因為，所以，所以，，，，，設平面的法向量為，則，取，設平面的法向量為，則，取，因為，所以，所以平面平面；（ⅱ）設平面的法向量為，則，取，設二面角的平面角為，所以，所以，即，解得或（舍去），則，所以，