2022屆山東省高三下學期5月大聯(lián)考 數(shù)學試卷 附答案

2022年高三5月大聯(lián)考（新高考卷）數(shù)學本卷滿分150分，考試時間120分鐘。注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．設全集QUOTE，集合QUOTE，QUOTE，則A． B． C． D．2．已知復數(shù)在復平面內對應點的坐標為，則A． B． C． D．53．已知角的終邊與單位圓的交點在直線上，則A． B． C． D．4．通用技術老師指導學生制作統(tǒng)一規(guī)格的圓臺形容器，用如圖所示的圓環(huán)沿虛線剪開得到的一個半圓環(huán)(其中小圓和大圓的半徑分別是1和4)制作該容器的側面，則該圓臺形容器的高為A． B． C． D．5．若函數(shù)的最小正周期為4，則下列區(qū)間中單調遞增的是A． B． C． D．6．已知函數(shù)有兩個極值點，且，則的極大值為A． B． C． D．7．已知數(shù)列中，，，，則A．3 B． C． D．8．在中，，的內切圓的面積為，則邊長度的最小值為A．16 B．24 C．25 D．36二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．直線與圓交于兩點，為坐標原點，且為直角三角形，則實數(shù)的值可能為A． B． C． D．010．某次考試后，甲、乙兩班的數(shù)學老師分別統(tǒng)計了各自班級的數(shù)學成績(百分制，均位于內)，并將所得數(shù)據(jù)分為6組：，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法不正確的是A．甲班數(shù)學成績的平均分約為分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)B．乙班數(shù)學成績的最高分高于甲班數(shù)學成績的最高分C．甲班數(shù)學成績的及格率低于乙班數(shù)學成績的及格率(成績不低于60分為及格)D．甲班數(shù)學成績不低于80分的人數(shù)多于乙班數(shù)學成績不低于80分的人數(shù)11．已知正方體的棱長為1，為棱上的動點，平面過點且與平面平行，則A．B．三棱錐的體積為定值C．與平面所成的角可以是D．平面與底面和側面的交線長之和為12．已知點為拋物線的焦點，直線過點交拋物線于兩點，.設為坐標原點，，直線與軸分別交于兩點，則以下選項正確的是A．B．若，則C．若，則面積的最小值為D．四點共圓三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知向量，，則與夾角的余弦值為.14．若冪函數(shù)的圖象過點，則曲線在點處的切線方程為.15．已知雙曲線的右焦點為，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為.若直線與雙曲線的另一條漸近線交于點，且滿足(為坐標原點)，則雙曲線的離心率為.16．記為函數(shù)的階導數(shù)且，.若存在，則稱階可導.英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)：若在附近階可導，則可構造（稱為次泰勒多項式）來逼近在附近的函數(shù)值.據(jù)此計算在處的3次泰勒多項式為；在處的10次泰勒多項式中的系數(shù)為.（本題第一空2分，第二空3分）四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知的內角的對邊分別為，，，.（1）求；（2）若為銳角，求的面積.18．（12分）已知數(shù)列滿足．（1）請在集合中任取一個元素作為的值，求數(shù)列的通項公式；（2）若第（1）問取，令，求數(shù)列的前項和．若第（1）問取，求數(shù)列的前項和．注：如果同時選擇的兩個取值分別解答，按第一個解答計分.19．（12分）如圖，在三棱柱中，平面，，且，為棱的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）“學習強國”學習平臺是由中共中央宣傳部主管，以習近平新時代中國特色社會主義思想和黨的十九大精神為主要內容，立足全體黨員、面向全社會的優(yōu)質平臺，其中的“挑戰(zhàn)答題”更是趣味盎然、引人入勝.“挑戰(zhàn)答題”規(guī)則為：（1）挑戰(zhàn)開始后，挑戰(zhàn)者依次回答界面中出現(xiàn)的問題，答對就繼續(xù)下一題，答錯有兩種選擇：=1\*GB3①結束本局，挑戰(zhàn)結束；=2\*GB3②通過分享界面復活本局，復活之后可繼續(xù)本次挑戰(zhàn)，且答對題數(shù)可累加；（2）答對題或題以上均為挑戰(zhàn)成功，可獲得分，否則無積分可得；（3）每次挑戰(zhàn)，通過分享界面復活的機會只有一次.（1）如果甲對“挑戰(zhàn)答題”中的每一道題回答正確的概率均為，且各題是否回答正確互不影響，求甲挑戰(zhàn)一次就獲得成功的概率；（2）假設乙挑戰(zhàn)一次獲得成功的概率為，他在一周內(7天)每天都挑戰(zhàn)一次，且各次挑戰(zhàn)是否成功互不影響.設乙在一周內挑戰(zhàn)答題總得分為，求的分布列及數(shù)學期望.21．（12分）已知函數(shù).（1）若對任意的，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）設是兩個不相等的實數(shù)，且.求證：.22．（12分）已知直線與橢圓.過直線上一點作橢圓的兩條切線，切點分別為.（1）求證：直線恒過定點；（2）設為坐標原點，當點不在坐標軸上且時，求此時點的坐標.

2022年高三5月大聯(lián)考（新高考卷）數(shù)學·答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．12345678BAADCBDA二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．BC 10．ABD 11．AB 12．ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13． 14．（或） 15． 16．；四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）【解析】（1）由正弦定理，可得，又，，所以.（1分）因為，所以，所以.（3分）在中，因為，所以，所以為銳角，故.（5分）（2）方法一：由（1），得.因為為銳角，所以.（7分）由余弦定理，可得，解得（舍去）或.（9分）所以的面積為（10分）方法二：如圖，過點A作于點.因為，均為銳角，所以點D在線段BC上.在中，，.（7分）在中，，，則.所以.所以的面積為.（10分）18．（12分）【解析】（1）當取時，可得，（1分）所以，（4分）容易驗證，也滿足上式，（5分）所以.（6分）當取時，可得，（1分）所以，（3分）即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，（4分）故即.（6分）（2）當取時，所以，（9分）所以.（12分）當取時，，①若為偶數(shù)，則；（9分）②若為奇數(shù)，則.（11分）故.（12分）19．（12分）【解析】（1）方法一：如圖，取的中點，連接由題可得平面，所以，.因為，，所以，，（2分）又，所以平面，且四邊形為正方形，（4分）所以，，又，所以平面.（5分）方法二：如圖，取的中點，連接由題可得平面，所以，.因為，，所以，，（2分）又，所以平面，且四邊形為正方形．（4分）因為平面，所以平面平面,又平面平面，，所以平面.（5分）（2）由（1）可知，兩兩垂直,以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.令，則，.故,,,,.所以,,.（8分）由（1）可知為平面的一個法向量.設平面的法向量為，則，即，令則則為平面的一個法向量.（10分）所以.結合題意知二面角的余弦值為.（12分）20．（12分）【解析】（1）記事件為前題都回答正確；記事件為前題有且只有題回答錯誤，其余回答正確，且第題回答正確.記挑戰(zhàn)一次獲得成功為事件，則事件包含，兩個事件，且，互斥，所以.（2分）因為甲對挑戰(zhàn)答題中的每一道題回答正確的概率均為，所以.故甲挑戰(zhàn)一次就獲得成功的概率為.（4分）（2）設乙在一周內挑戰(zhàn)成功的次數(shù)為，由題意知，服從二項分布，即.（5分）因為，所以，，，，，，，，所以的分布列為：（10分）因為，（11分）所以.（12分）21．（12分）【解析】（1）當時，，因為，所以，即，不符合題意；（2分）當時，由可知，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減.（3分）所以.（4分）由恒成立可知，所以.（5分）又因為，所以的取值范圍為.（6分）（2）因為，所以，即.令，由題意可知，存在不相等的兩個實數(shù)，使得.（7分）由（1）可知在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減.不妨設，則.設，（8分）則，所以在上單調遞增，（9分）所以，即在區(qū)間上恒成立.因為，所以.（10分）因為，所以.（11分）又因為，，且在區(qū)間上單調遞增，所以，即.（12分）22．（12分）【解析】設，.（1）當時，不妨設.由可得，則，，所以橢圓在點處的切線方程為，整理可得.同理可得橢圓在點處的切線方程為.當時，橢圓在點處的切線方程滿足方程，同理也滿足，（2分）因為橢圓在點處的切線經過點，所以.同理橢圓在點處的切線也經過點，所以.所以直線既經過點，又經過點.所以直線的方程為，（4分）因為，所以，即，由可得.所以直線恒過定點.（6分）（2）方法一：由題意可知，直線的斜率存在且不為，設直線的方程為.由，可得.（7分）所以，.所以.（