蘇科版數(shù)學八年級上冊期中考試重難點題型（舉一反三）（解析版）

八年級數(shù)學上冊期中考試重難點題型【舉一反三】

【蘇科版】

【知識點a全等三角形的性質(zhì)

全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等.

【知識點2］全等三角形的判定

兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊''或"SAS”

兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“角邊角''或"ASA”。

兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊''或"AAS”

三邊對應相等的三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”

斜邊、直角邊公理斜邊和一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊公理”或

“HL”）

【知識點3】軸對稱的概念

把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形完全重合，

那么這兩個圖形關于這條直線對稱，也稱這兩個圖形成軸對稱，

這條直線叫對稱軸，兩個圖形中對應點叫做對稱點

【知識點4】軸對稱圖形的概念

把一個圖形沿某條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠完全重合，

1

那么成這個圖形是軸對稱圖形，這條直線式對稱軸

【知識點5】垂直平分線

垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線

【知識點6】軸對稱性質(zhì)：

1、成軸對稱的兩個圖形全等

2、如歌兩個圖形成軸對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線

3、成軸對稱的兩個圖形的任何對應部分成軸對稱

4、成軸對稱的兩條線段平行或所在直線的交點在對稱軸上

【知識點7】線段的對稱性

1、線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是對稱軸

2、線段的垂直平分線上的點到線段兩端距離相等

3、到線段兩端距離相等的點在垂直平分線上

【知識點8】角的對稱性

1、角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是對稱軸

2、角平分線上的點到角的兩邊距離相等

3、到角的兩邊距離相等的點在角平分線上

【知識點9】等腰三角形的性質(zhì)

1、等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線所在直線是對稱軸

2、等邊對等角

3、三線合一

【知識點10］等腰三角形判定

1、兩邊相等的三角形是等邊三角形

2、等邊對等角

直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半

【知識點11】等邊三角形判定及性質(zhì)

1、三條邊相等的三角形是等邊三角形

2、等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸

3、等邊三角形每個角都等于60。

（補充）等腰梯形：兩腰相等的梯形是等腰梯形

2

【知識點12］等腰梯形性質(zhì)

1、等腰梯形是軸對稱圖形，過兩底中點的直線是對稱軸

2、等腰梯形在同一底上的兩個角相等

3、等腰梯形對角線相等

【知識點13］等腰梯形判定

1.、兩腰相等的梯形是等腰梯形

2、在同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形

【知識點14］勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方a2+b2=c2

【知識點151勾股定理逆定理

如果一個三角形三邊a、b、c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形

【知識點16］勾股數(shù)

滿足a?+b2=c2的三個正整數(shù)a、b、c稱為勾股數(shù)

【考點1全等三角形的判定】

【例1】(2018秋?利津縣期中)如圖，AB//CD,BC//AD,AB=CD,AE=CF,其中全等三角形的對數(shù)是

()

A.4B.3C.2D.1

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可.

【答案】,：AB//CD,BC//AD,

：.NBAC=ZACD,NDAC=ZACB.

在aABC和△CD4中

，ZBAC=ZACD

,AC=CA.

ZDAC=ZACB

AAABC^ACDA(ASA),

3

：.AD=BC,AB=CD.

在△ABE和△(7￡)/中

'AB=CD

?NBAE=/DCF，

AE=CF

：./\ABE^/\CDF(SAS),

：.BE=DF.

"：AE=CF,

：.AE+EF=CE+EF,

：.AF^CE,

在△A。尸和△CBE中

'BE=DF

<AD=BC，

AF=CE

/.△ADF^ACBE(555),

即3對全等三角形，

故選：B.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，能正確根據(jù)定理進行推理是解此

題的關鍵，注意：①全等三角形的判定定理有S4S,ASA,A4S,SSS,②全等三角形的對應邊相等，對

應角相等.

【變式1-1](2018秋?思明區(qū)校級期中)如圖，已知，ZCAB^ZDAE,AC=AD,增加下列條件：①AB

=AE；②BC=EO；③NC=/D；④NB=NE；⑤N1=N2.其中能使△4BCZ/V1E。的條件有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】根據(jù)已有的條件NCA8=ND4E,AC=AD,利用全等三角形的判定定理分別進行分析即可.

【答案】解：'：ZCAB=ZDAE,AC=AD,

①加上條件可利用SAS定理證明△ABC也△4EZ)：

②加上BC=ED不能證明△4BC絲△4ED；

4

③加上NC=NO可利用ASA證明△A8C咨A4E力；

④加上N2=NE可利用A4s證明△ABC絲△AEZ）：

⑤加上/1=/2不能證明△力8c四△4E。；

故選：B.

【點睛】此題主要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA.

AAS,HL.

注意：A4A、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角

對應相等時，角必須是兩邊的夾角.

【變式1-2]（2018秋?東臺市期中）根據(jù)下列已知條件，能夠畫出唯■-Z\ABC的是（）

A.AB=6,BC=5,NA=50°B.48=5,BC=6,AC=13

C.ZA=50°,ZB=80°,AB=8D.ZA=40°,ZB=50°,NC=90°

【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法可知只有C能畫出唯一三角形.

【答案】解：A、已知A3、BC和BC的對角，不能畫出唯一三角形，故本選項錯誤；

B、"：AB+BC=5+6=\\<AC,

.?.不能畫出△A8C;

故本選項錯誤；

C、已知兩角和夾邊，能畫出唯一△ABC,故本選項正確；

D、根據(jù)N4=40°,NB=50°,ZC=90°不能畫出唯一三角形，故本選項錯誤；

故選：C.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定方法：一般三角形全等的判定方法有SS5、SAS、ASA、AAS,熟

練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵.

【變式1-3]（2018秋?東臺市期中）如圖，給出下列四組條件：

①AB=DE,BC=EF,AC=DF；

②AB=DE,BC=EF,NB=NE；

③NB=NE,/C=NF,BC=EF；

?AB=DE,AC=DF,NB=NE.

其中，能使△ABC會的條件共有（）

5

D

A.1組B.2組C.3組D.4組

【分析】根據(jù)全等三角形判定的條件，可得答案.

【答案】解：?AB=DE,BC=EF,AC=DF；

②AB=DE,BC=EF,NB=NE；

③NB=NE,/C=NF,BC=EF；

故選：C.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定是解題關鍵.

【考點2等腰三角形中的分類討論思想】

【例2】（2018春?鄴城縣期末）等腰三角形的周長為15am其中一邊長為3cm則該等腰三角形的腰長為

（）

A.3cmB.6cmC.3cmBJC6cmD.8C/H

【分析】此題要分情況考慮：3cm是底或3cm是腰.根據(jù)周長求得另一邊，再進一步根據(jù)三角形的三邊

關系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，判斷是否能夠組成三角形.

【答案】解：當3cm是底時，則腰長是（15-3）+2=6（cm）,此時能夠組成三角形；

當3c”是腰時，則底是15-3X2=9（CTM）,此時3+3<9,不能組成三角形，應舍去.

故選:B.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到

兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的

關鍵.

【變式2-1］（2018春?金水區(qū)校級期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在的直線的夾角為

40°,則此等腰三角形的頂角是（）

A.50°B.130°C.50°或140°D.50°或130°

【分析】由題意可知其為銳角等腰三角形或鈍角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以應分開來

討論.

【答案】解：當為銳角時，如圖：

6

A

VZADE=40°,NAED=90°,

ZX=50°,

當為鈍角時，如圖：

，頂角/BAC=180°-50°=130°.

故選：D.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，分類討論是正確解答本題的關犍.

【變式2-2］（2018秋?綏棱縣期末）已知一個等腰三角形底邊的長為5c加，一腰上的中線把其周長分成的

兩部分的差為3c加，則腰長為（）

A.2cmB.8cmC.2。*或8c，wD.10cm

【分析】作出圖形，根據(jù)三角形的中線的定義可得AD=CD,然后求出兩三角形的周長的差等于腰長與

底邊的差，然后分情況討論求解即可.

【答案】解：如圖，???2。是△ABC的中線，

：.AD=CD,

.?.兩三角形的周長的差等于腰長與底邊的差，

BC=5cm,

；.4B-5=3或5-A8=3,

解得A8=8或AB=2,

7

若48=8,則三角形的三邊分別為8。〃、8cm、5cm,

能組成三角形，

若A8=2,則三角形的三邊分別為2c，〃、2cm5cm,

V2+2=4<5,

不能組成三角形，

綜上所述，三角形的腰長為8cm.

故選：B.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中線，難點在于分情況討論并利用三角形的三邊關系

判斷是否能組成三角形.

【變式2-3】（2018秋?沙依巴克區(qū)校級期中）等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊的長度的一半，

則其頂角等于（）

A.30°B.30°或150°

C.120°或150°D.30°或120°或150°

【分析】題中沒有指明等腰三角形一腰上的高是哪邊長的一半，故應該分三種情況進行分析，從而不難

求解.

【答案】解：①如圖，,AD=^ABf

2

???N8=30°,

*：AC=BC,

：.ZCAB=30°,

AZ/1CB=180°-30°-30°=120°.

②如圖，VZADB=9Q°,AD=LAC,

2

：.ZACD=30°,

VAC=BC,

：.ZCAB=ZB=\50,180°-30°=150°.

8

③如圖，:NADB=90。,AD=1-BC,

.../8=30°,

'：AB=BC,

：.ZCAB=ZC=J5°,

.?./8=30°.

故選：D.

【點睛】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及三角形外角性質(zhì)的綜合運用.

【考點3勾股定理與折疊】

【例3】（2019?云陽縣校級模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB=\,BC=2,將其折疊使AB落在對角線

AC上，得到折痕AE,那么BE的長度為（）

近Tc遍TD遍T

2'2,2

a

【分析】根據(jù)對稱性可知：BE=FE,ZAFE=ZABE=90,又NC=NC,所以△CE『s/sc4B,根據(jù)

相似的性質(zhì)可得出：巫=煦，BE=EF=^XAB,在△A8C中，由勾股定理可求得AC的值，AB=1,

ABACAC

CE=2-BE,將這些值代入該式求出BE的值.

【答案】解：設BE的長為x,貝i]BE=FE=x、CE=2-x

9

=22=

在RtzXABC中，ACJAB+BC

VZC=ZC,/AFE=/A8E=90°

...△CEFs△CAB（兩對對應角相等的兩三角形相似）

???EFCE一

AB_AC_

；.FE=x=絲XAB=^^X1,x=y5Tl

ACV52

.?.8E=x=立二一,

2

故選：c.

【點睛】本題考查的是翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此題的關鍵.

【變式3-1］（2018春?江夏區(qū)期中）如圖，矩形ABC。中，AB=5,AD=4,M是邊CQ上一點，將△ACM

沿直線AM對折，得△AMW,連BN,若DM=I,則△A8N的面積是（）

A.136B,112C.些D.150

15171517

【分析】延長交AB延長線于點2，由矩形的性質(zhì)得出NOM4=/MAQ,由折疊性質(zhì)得出/DM4=

ZAMQ,AN=A￡>=4,MN=MD=\,得出NMAQ=/AMQ,證出MQ=AQ,設NQ=x,PIOAQ=MQ

=l+x,證出/ANQ=90°,在RtZ\AN。中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=7.5,4。=8.5,即

可求出△A8N的面積.

【答案】解：延長交A8延長線于點°,如圖1所示：

:四邊形ABCD是矩形，

：.AB//DC,

：.ZDMA=ZMAQ,

由折疊性質(zhì)得：XANMWXADM,

J.ZDMA^ZAMQ,AN=AD=4,MN=MD=T,

：.ZMAQ=ZAMQ,

：.MQ=AQ,

10

設NQ=x,則AQ=MQ=\+x,

VZANM=90°,

???N4VQ=9(T,

在Rt^ANQ中，由勾股定理得：AQ1=AN2+NQ1,

：.(x+1)2=42+X2,

解得：x=7.5,

，NQ=7.5,AQ=8.5,

???A3=5,AQ=8.5,

：

-'-S^NAB=—S^NAQ=—X—AN-NQ=1^-X_LX4X7.5=1^L

1717217217

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)勾股定理等知識；本題綜合性強，難度較大，熟練掌握矩形和折疊的性

質(zhì)，證明三角形相似和三角形全等是解決問題的關鍵.

【變式3-2］如圖，在矩形ABC。中，AB=4,BC=6,點E為BC的中點，將AABE沿AE折疊，使點8

A.旦B.段C.至D.經(jīng)

5555

【分析】連接BF,根據(jù)三角形的面積公式求出BH,得到BF,根據(jù)直角三角形的判定得到N8FC=90

。，根據(jù)勾股定理求出答案.

【答案】解:連接8凡

：BC=6,點E為BC的中點,

：.BE=3,

又?；AB=4,

11

AA￡=VAB2+BE2=5,

由折疊知，BFLAE（對應點的連線必垂直于對稱軸）

.XH=AB><BE=12

AE-T，

貝lj8尸=21,

5

,:FE=BE=EC,

ZBFC=90°,

【點睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊

前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解題的關鍵.

【變式3-3］如圖，△ABC中，NBAC=90°,AB=3,AC=4,點。是BC的中點，將△AB。沿AO翻折

A.2B."C."D.工

435

【分析】如圖連接BE交A。于0,作AH_L8c于，.首先證明AO垂直平分線段BE,&BCE是直角三

角形，求出8C、BE,在RtZXBCE中，利用勾股定理即可解決問題.

【答案】解：如圖連接BE交AC于0,作AH_L8c于H.

在RtZ\48C中，VAC=4,AB=3,

?*?BC~J32+42-5,

,:CD=DB,

：.AD=DC=DB=^-,

2

12

?：L>BC'AH=^AB'AC,

22

：.AH=H,

5

\'AE=AB,

...點A在BE的垂直平分線上.

'：DE=DB=DC,

...點。在BE的垂直平分線上，ABCE是直角三角形,

垂直平分線段BE,

L-AD>80=—-HD'AH,

22

：.0B=12-,

5

BE=20B=絲,

5

在R5CE中,￡C=^BC2_BE2=/52_(^.)2=1

Vo□

【點睛】本題考查翻折變換、直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用

面積法求高，屬于中考?？碱}型.

【考點4軸對稱中的最值問題】

【例4】（2018秋?吳江區(qū)期中）如圖，/AO8=45°,點P是乙4OB內(nèi)的定點，且OP=1,若點M、N分

別是射線。4、。8上異于點。的動點，則△PMN周長的最小值是（）

A.B.C.2D.1.5

13

【分析】設點P關于0A的對稱點為C,關于。8的對稱點為。，當點M、N在線段CO上時，4PMN

的周長最小，再依據(jù)勾股定理，即可得到△PMN周長的最小值.

【答案】解：如圖，分別作點P關于。4、08的對稱點C、D,連接C￡>,分別交0A、08于點M、N,

連接。C、OD、PM,PN.

:點P關于0A的對稱點為C,關于0B的對稱點為D,

：.PM=CM,OP=OC,ZCOA^ZPOA；

,:點、P關于0B的對稱點為D,

：.PN=DN,OP=OD,ZDOB=ZPOB,

；.0C=00=8=1,NCOD=NCOA+NPOA+NPOB+ND0B=2NPOA+2NP0B=2NAOB=90°,

...△C。。是等腰直角三角形，

,8={CC|2+D02=M.

叢PMN的周長的最小值=/?用+加%+產(chǎn)%=?！?加%+。％與6'￡>=加，

故選：A.

【點睛】此題主要考查最短路線問題，熟知兩點之間線段最短是解答此題的關鍵.凡是涉及最短距離的

問題，--般要結合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關于某直線的對稱點.

【變式4-1］（2018秋?如皋市期中）如圖，在Rt&4BC中，/ACB=90°,AC=6,8c=8,AB=10,AD

是NBAC的平分線.若尸，0分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是（）

AR

14

A.2.4B.4.8C.4D.5

【分析】過點C作交AB于點M,交AD于點P,過點P作PQLAC于點Q,由AD是NB4C

的平分線.得出PQ=PM,這時PC+PQ有最小值，即CM的長度，運用勾股定理求出再運用S^BC

=LwCM=L4c?8C,得出CM的值，即PC+PQ的最小值.

22

【答案】解：如圖，過點C作CMLAB交A8于點M,交4。于點P,過點P作尸Q_L4c于點Q,

是N8AC的平分線.

：.PQ=PM,這時PC+尸。有最小值，即CM的長度，

：AC=6,A8=10,ZACB=90°,8c=8,

'.，S^ABC=—AB'CM=LAC^C,

22

.?.CM=AC"B'C=_gj,

AB5

B|1PC+PQ的最小值為絲.

5

故選:B.

【點睛】本題主要考查了軸對稱問題，解題的關鍵是找出滿足PC+PQ有最小值時點尸和Q的位置.

【變式4-2]（2018秋?大連期中）如圖，點P是/AOB內(nèi)任意一點，OP=4,點C和點。分別是射線04

和射線OB上的動點，△PCQ周長的最小值是4,則NAO8的度數(shù)是（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

【分析】分別作點P關于04、OB的對稱點F、E,連接FE,分別交OA、OB于點C、D,連接OE、

OF、PC、PD、CD,依據(jù)軸對稱的性質(zhì)，即可得到OE=OF=EF,即△OEF是等邊三角形，進而得出

ZAOB=30°.

15

【答案】解：分別作點P關于。4、。8的對稱點F、E,連接FE,分別交OA、OB于點C、。,此時PD+PC+CD

的值最小，連接OE、OF、PC、PD、CD,如圖所示：

:點P關于0A的對稱點為F,關于0B的對稱點為E,

：.PC=FC,OP=OF,ZFOA=ZPOA；

:點P關于OB的對稱點為E,

:.PD=ED,OP=OE,NEOB=NPOB,

：.OE^OP=OF,ZAOB=1-ZCOD,

2

'：/\PCD周長的最小值是4,

：.PD+PC+CD=4,

：.DE+CF+CD=4,

即EF=4=0P,

：.OE=OF=EF,即△0￡：尸是等邊三角形,

：.ZEOF=60°,

.?.乙4。8=30°,

故選：B.

【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、最短路線問題、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，

證明三角形是等邊三角形是解決問題的關鍵.

【變式4-3］（2018?營口）如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4,NA8C=60°,80平分/ABC,交AC

于點O,M,N分別是BO,8c上的動點，則CM+MN的最小值是（）

A

BC

16

A.V3B.2C.2V3D.4

【分析】從已知條件結合圖形認真思考，通過構造全等三角形，利用三角形的三邊的關系確定線段和的

最小值.

【答案】解：如圖，在8A上截取

因為/ABC的平分線交AC于點D,

所以NEBM=NNBM,

在△8ME與△8MN中，

'BE=BN

，ZEBM=ZNBM

BK=BM

所以△8MEZZX8MN（SAS）,

所以用E=MN.

所以CM+MN=CM+ME》CE.

因為CM+MN有最小值.

當CE是點C到直線AB的距離時，即C到直線A8的垂線段時，CE取最小值為：4Xsin60°=2M.

故選：C.

【點睛】本題考查了軸對稱的應用.易錯易混點：解此題是受角平分線啟發(fā)，能夠通過構造全等三角形，

把CM+MN進行轉化，但是轉化后沒有辦法把兩個線段的和的最小值轉化為點到直線的距離而導致錯

誤.規(guī)律與趨勢：構造法是初中解題中常用的?種方法，對于最值的求解是初中考查的重點也是難點.

【考點5線段垂直平分線的應用】

【例5】（2018?太倉市模擬）如圖，在鈍角△ABC中，已知NA為鈍角，邊A3、4c的垂直平分線分別交

BC于點。、E,若呂爐+）二。^2,則NA的度數(shù)為°.

17

【分析】連接。A、EA,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到D4=O8,EA=EC,得到ZEAC

=/C,根據(jù)勾股定理的逆定理得到/ZME=90°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可.

【答案】解：連接D4、EA,

?.?邊48、AC的垂直平分線分別交8c于點。、E,

：.DA=DB,EA=EC,

；.NDAB=NB,NEAC=NC,

'：BD1+CE1=DE1,

：.AD1+AEi=DE1,

：.ZDAE=90°,

.,.2ZB+2ZC+90"=180°,

；.NB+NC=45°,

.*.ZBAC=135°.

故答案為：135.

【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相

等是解題的關鍵.

【變式5-1］（2018春?葉縣期中）如圖所示，在△ABC中，AB=AC,NB4c為鈍角，BC=6,AB,4c的

垂直平分線分別交BC于點。、E,連接A。、AE,那么△AOE的周長為.

【分析】根據(jù)垂直平分線性質(zhì)得AE=EC,所以△ADE周長=8C.

【答案】解：..飛從AC的垂直平分線分別交8c于。、E,

：.AD=BD,AE=CE,

/.L^ADE=^D+DE+AE=BD+DE+CE=BC=6.

故答案為：6

18

【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，關鍵是根據(jù)垂直平分線性質(zhì)得AO=8/）,AE=EC.

【變式5-2]（2018秋?江都區(qū)期中）如圖，在△ABC中，DM、EN分別垂直平分AC和BC交A8于A/、N,

ZACB=118°,則/MCN的度數(shù)為.

MNB

【分析】據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NA+N8；根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得/ACM+NBCN的度數(shù)，然后求解.

【答案】解：：/ACB=118°,

ZA+ZB=62°.

"：AM=CM,BN=CN,

：.ZA^ZACM,NB=NBCN,

：.NACM+NBCN=62°.

：.ZMCN=ZACB-（NACM+NBCN）=118°-62°=56°.

故答案為：56°.

【點睛】此題考查了線段垂直平分線性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識點，滲透了整體求值的思想方法，

難度不大.

【變式5-3]（2018秋?豐縣期中）如圖，/A4c的平分線與BC的垂直平分線相交于￡>,過。作OELAB

于E,作￡>F_LAC于F,若CO=5,。尸=4,則BE=.

【分析】根據(jù)中垂線、角平分線的性質(zhì)來證明,然后根據(jù)全等三角形的對應

邊相等推知8E=CF.再利用勾股定理求解可得.

【答案】解：如圖，連接

19

A

E

DJ、

?.?點。在BC的垂直平分線上，

：.DB=DC；

：。在N54C的平分線上，DELAB,DFVAC,

:.DE=DF；

,:NDFC=NDEB=90°,（已知），

.'.RtADCF^RtADBE（HL）,

；.CF=BE（全等三角形的對應邊相等）.

"：CD=5,DF=4,

BE=CF=JCD2-DF2=F52-42=3,

故答案為：3.

【點睛】本題綜合考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì).解答此

題時是通過作輔助線BD構建全等三角形△OCF絲△OE8（4Z.）來證明全等三角形的對應線段CF=BE.

【考點6復雜的尺規(guī)作圖】

【例6】（2018秋?六合區(qū)期中）在七年級我們就學過用一副三角板畫出一些特殊度數(shù)的角.在八年級第二

章，我們學會了一些基本的尺規(guī)作圖，這些特殊的角也能用尺規(guī)作出.下面請各位同學開動腦筋，只用

直尺和圓規(guī)完成下列作圖.

己知：如圖，射線。A.

求作：NA08,使得NAOB在射線OA的上方，且NAO8=45°（保留作圖痕跡，不寫作法）

?-----------------------------------

0A

【分析】反向延長OA到點O,過點O作直線D4的垂直平分線OC,再作/AOC的平分線即可得.

【答案】解：如圖所示，/AO8即為所作.

20

【點睛】本題主要考查作圖-復雜作圖，解題的關鍵是掌握過直線上一點作己知直線的垂線和角平分線

的尺規(guī)作圖.

【變式6-1](2018秋?泗洪縣期中)己知：如圖，在△A8C中，4CCAB且/C=2/8

(1)用直尺和圓規(guī)作出一條過點4的直線1,使得點C關于直線的對稱點落在邊AB上(不寫作法，保

留作圖痕跡)

(2)設(1)中直線/與邊BC的交點為。，請寫出線段A&AC、CO之間的數(shù)量關系并說明理由.

【分析】(1)點C關于直線的對稱點落在邊AB上，則該直線為N84C的角平分線：

(2)依據(jù)SAS判定△ACD絲△4￡：￡>,即可得到QE=CD,NAED=NC=2NB,再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，

即可得到乙4ED=/8+NBDE,進而得出即可得到8E=OE=C。，依據(jù)4B=AE+8E,即

可得至ljAB=AC+CD.

(2)線段AB、AC、CD之間的數(shù)量關系為：AB=AC+CD.

理由：由題可得，AE=AC,ZCAD^ZEAD,AD^AD,

：./\ACD^AAED(SAS),

21

：.DE=CD,NAED=NC=2NB,

XVNAED=/B+NBDE,

:.NB=NBDE,

：.BE=DE=CD,

5L'：AB=AE+BE,

：.AB=AC+CD.

【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合幾何

圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結合幾何圖形的基本性

質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

【變式6-2]（2018秋?丹陽市期中）如圖，△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5.

備用圖

（1）試用直尺和圓規(guī)，在直線AB上求作點P,使aPBC為等腰三角形.要求：①保留作圖痕跡；②若

點P有多解，則應作出所有的點P,并在圖中依次標注尸1、P2、23、…；

（2）根據(jù)（1）求刑的長（所有可能的值）

【分析】（1）以C點為圓心，C3為半徑畫弧交直線48于％,以3點為圓心，BC為半徑畫弧交直線

AB于尸2,打，作BC的垂直平分線交直線于R；

（2）先利用勾股定理的逆定理證明△48C為直角三角形，N84C=90°,當。8=（78時一，利用等腰三

角形的性質(zhì)得到AP1=A8=3；當BP2=8尸3=8C=5時，易得AP2=AB+BP2=8；AP3=BP3-AB=2；

當尸4C=RB時，設4P4=x,則尸4C=P48=X+3,利用勾股定理得到）+42=（x+3）2,解方程即可.

【答案】解：（1）如圖，點外、P2、2、24為所作；

(2)'：AB=3,AC=4,BC=5.

22

:.AB2+AC1=BC2,

.?.△ABC為直角三角形，ZBAC=90Q,

當CPi=C8時，

'：CA±BPi，

.".APi—AB—3；

當BPa=BP3=BC=5時，

4尸2=人8+8。2=3+5=8；

AP3=BP3-AB^5-3=2；

當P4c=尸4臺時，

設AP4=X，則P4C=P48=X+3,

在中，A-2+42=(X+3)2,解得、=工，

6

即AP4——.

6

綜上所述，AP的值可能為2、3、8、工.

6

【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾

何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結合幾何圖形的基本

性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì).

【變式6-3](2018?惠山區(qū)二模)如圖，已知AABC(ACVABVBC),請用直尺(不帶刻度)和圓規(guī)，按

下列要求作圖(不要求寫作法，但要保留作圖痕跡)：

(1)在邊BC上確定一點P,使得以+PC=BC；

(2)作出一個△￡>EF,使得：①△OEF是直角三角形；②△￡>￡：廠的周長等于邊BC的長.

【分析】(I)作A8的垂直平分線，交BC于點P,則點P即為所求；

(2)在8c上取點C,過點。作BC的垂線，在垂線上取點E使。E=OB,連接EC,作EC的垂直平分

線交BC于點F；則RtADEF即為所求.

【答案】解：(1)如圖，作A8的垂直平分線，交8c于點P,則點P即為所求；

23

(2)如圖，①在BC上取點。，過點。作BC的垂線，②在垂線上取點E使QE=Z)B,連接EC,③作

EC的垂直平分線交BC于點F；

...RtZ\￡>E尸即為所求.

【點睛】本題主要考查了復雜作圖，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結合幾何圖形的

基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

【考點7與直角三角形性質(zhì)的有關綜合】

【例7】(2018秋?泗洪縣期中)如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,DELBC,垂足為點E,連接AC交

OE于點F,點G為AF的中點，ZACD^2ZACB.

(1)說明DC=DG；

【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得OG=AG,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得/G4C

=ZGDA,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得/CGO=2NGA。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量關系可得/AC/)

=ZCGD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CQ=OG；

(2)根據(jù)勾股定理即可求解.

【答案】(1)證明：?.,OELBC,

:.NDEB=90°,

,.,AD//BC,

：.ZADE+ZDEB^\S00,

ZADE=90°,

；G為AF的中點，

：.DG=AG,

24

：.ZDAF=ZADG,

：.2DGC=ZDAF+ZADG^2ZDAC,

\'AD//BC,

，ZACB=ADAC,

'：ZACD=2ZACB,

:./DGC=/DCA,

：.DC=DG；

(2)解：；在RtZ\OEC中，NDEC=90°,DG=DC=1,CE=4,

...由勾股定理得：D￡=^72_42=V33.

【點睛】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)的應用，解此題的關鍵

是求出力G=OC,注意：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

【變式7-1](2018秋?海州區(qū)校級期中)如圖，AABC是等腰直角三角形，AB=AC,。是斜邊BC的中點，

E、F分別是AB、AC邊上的點，S.DELDF.

(1)請說明：DE=DF；

(2)請說明：BE2+Cf2=EF2；

R(3)若BE=6,CF=8,求△OEF的面積(直接寫結果).

B

ApC

【分析】(1)連接A。，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出/B=/C=NBAO

=ZDAC=45°,AD=BD,求出NBOE=NAOF,根據(jù)ASA證△8OE烏△AQF即可；

(2)根據(jù)44S證△ADE絲△CDF,推出AE=CF,根據(jù)勾股定理求出即可：

(3)求出EF長，根據(jù)勾股定理求出OE和。凡根據(jù)三角形的面積公式求出即可.

【答案】(1)證明：連接AD,

25

B

???等腰直角三角形ABC,

.?./C=N8=45°,

為BC的中點,

：.AD±BC,AD=BD=DC,A。平分NBAC,

.?./CAC=N&4D=45°=NB,ZADC=90°,

'：DELDF,

.?.NEO尸=90°,

AZADF+ZFDC=90°,NFDC+NBDE=90°,

/.NBDE=^ADF,

在△/?￡)￡和△A。尸中

fZB=ZDAF

-BD=AD，

ZBDE=ZADF

:.△BDEQADF,

：.DE=DF.

(2)證明：；△BOE好△A。凡

：.BE=AF,

'：ZEDF=ZADC=90°,

ZEDA+ZADF^ZADF+ZFDC=90°,

:.NEDA=NFDC,

在△人￡)￡：和△CDF中

'/EDA=/FDC

?ZEAD=ZC，

DE=DF

/\ADE^/\CDF,

26

：.CF=AE,

r.E產(chǎn)=AK+A產(chǎn)=BK+C尸，

即BE1+CF2=EF2.

(3)解：E尸usF+ckulOO,

：.EF=W,

根據(jù)勾股定理DE=DF=5近，

△QEF的面積是工OEXOF=LX5〃X5M=25.

22

答：△￡)￡尸的面積是25.

【點睛】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等

知識點的應用，關鍵是①小題構造三角形凡證4BOE和△4。尸全等，②小題求出CF=4E,目比

較典型，但有點難度.

【變式7-2](2018秋?高郵市期中)如圖，AQ是△ABC的高，CE是aABC的中線.

(1)若40=12,80=16,求DE；

(2)已知點尸是中線CE的中點，連接OF,若乙4EC=57°,NDFE=90°,求NBCE的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)勾股定理和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到結論；

(2)由￡>E=OC得到NOEC=NOCE,由DE=BE得到NB=/EDB,由此根據(jù)外角的性質(zhì)來求NBCE

的度數(shù).

【答案】解：(1)'CADLBC,

.?.乙4。8=90°,

/MB=VAD2+BD2=20,

是中線，

是斜邊48上的中線，

：.DE=kAB=\O-,

2

(2)\'DF±CF,/是CF的中點,

27

：.DE=DC,

：.4DEC=NDCE,

二NEDB=NDEC+NDCE=2NBCE,

,:DE=BE,

：.ZB=ZEDB,

：./B=2NBCE,

:.NAEC=3NBCE=57°,則N8CE=19°.

【點睛】本題考查了勾股定理，也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關

鍵.

【變式7-3](2018秋?太倉市期末)如圖，在△ABC中，CF_LAB于凡BE_L4c于E,歷為BC的中點，

BC=10.

(1)若NA2C=50°,ZACB=60c,求/EMF的度數(shù)：

(2)若EF=4,求AME尸的面積.

【分析】(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計算;

(2)作/于M根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到根=工8。=5,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形面

2

積公式計算.

【答案】解：(1)：CF_L48,M為BC的中點，

：.BM=FM,

VZABC=50°,

AZMFB=ZMBF^50°,

...N8MF=180°-2X50°=80°,

同理，NCME-180°-2X60°=60°,

：.ZEMF^\8QQ-N8W-/CME=40°；

(2)作MNLEF于N,

28

'：CF±AR,M為BC的中點，

.?.MF是RtZSBFC斜邊上的中線，

.L。8c=5,

2

同理可得，ME=5,

...△EFM是等腰三角形，

；EF=4,

：.F