《全概率公式》教學(xué)設(shè)計(jì)

《全概率公式》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教材分析1、教材版本與章節(jié)本課程使用的教材為人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)，章節(jié)為第七章隨機(jī)變量及其分布中的7.1.2全概率公式。2、教材內(nèi)容主旨全概率公式是概率論中的一個(gè)重要公式。它將復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為在不同條件下發(fā)生的簡(jiǎn)單事件的概率之和。這一公式有助于學(xué)生進(jìn)一步理解概率的概念，以及如何通過已知的條件概率和基本事件概率來計(jì)算復(fù)雜事件的概率，為后續(xù)學(xué)習(xí)貝葉斯公式等內(nèi)容奠定基礎(chǔ)。二、學(xué)情分析1、知識(shí)基礎(chǔ)學(xué)生在之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了概率的基本概念，包括古典概型、幾何概型以及條件概率等知識(shí)。他們已經(jīng)能夠計(jì)算簡(jiǎn)單事件的概率，并且對(duì)條件概率有了一定的理解，這為學(xué)習(xí)全概率公式提供了必要的知識(shí)儲(chǔ)備。2、學(xué)習(xí)能力高中學(xué)生具備一定的邏輯思維能力和抽象思維能力，但全概率公式相對(duì)比較抽象，在理解公式的內(nèi)涵和應(yīng)用場(chǎng)景方面可能會(huì)存在一些困難。因此，教學(xué)過程中需要通過具體的實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生逐步理解公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。三、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能目標(biāo)學(xué)生能夠理解全概率公式的定義和意義，熟練掌握全概率公式的表達(dá)式P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_{i})P(A|B_{i})。能夠運(yùn)用全概率公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際概率問題，如計(jì)算多個(gè)互斥事件影響下某一事件發(fā)生的概率。2、過程與方法目標(biāo)通過對(duì)具體實(shí)例的分析和解決，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，提高學(xué)生的邏輯思維和抽象思維能力。引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷全概率公式的推導(dǎo)過程，體會(huì)從特殊到一般、從具體到抽象的數(shù)學(xué)思維方法。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)概率論的興趣，讓學(xué)生感受到概率論在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和勇于探索的精神，通過小組合作學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)。四、教學(xué)重難點(diǎn)1、教學(xué)重點(diǎn)全概率公式的推導(dǎo)過程和理解。全概率公式的應(yīng)用，特別是如何正確確定公式中的事件\(B_{i}\)和\(A\)以及相應(yīng)的概率。2、教學(xué)難點(diǎn)全概率公式的理解，尤其是對(duì)于公式中求和符號(hào)背后的意義以及不同條件概率之間的關(guān)系的理解。在實(shí)際問題中，如何準(zhǔn)確地劃分樣本空間，確定全概率公式中的各個(gè)要素。五、教學(xué)方法1、講授法講解全概率公式的定義、推導(dǎo)過程和應(yīng)用要點(diǎn)，使學(xué)生對(duì)全概率公式有一個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。2、實(shí)例教學(xué)法通過大量具體的實(shí)例，如抽獎(jiǎng)問題、疾病診斷問題等，讓學(xué)生在實(shí)際問題中感受全概率公式的應(yīng)用，加深對(duì)公式的理解。3、小組合作學(xué)習(xí)法安排小組合作學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生在小組中討論和解決實(shí)際概率問題，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作能力和自主學(xué)習(xí)能力。六、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）1、趣味故事引入講述這樣一個(gè)故事：有三個(gè)盒子，第一個(gè)盒子里有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，第二個(gè)盒子里有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，第三個(gè)盒子里有4個(gè)紅球和1個(gè)白球。從這三個(gè)盒子中隨機(jī)選擇一個(gè)盒子，然后再?gòu)倪x中的盒子里隨機(jī)取出一個(gè)球，求取出紅球的概率。讓學(xué)生思考如何解決這個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧之前學(xué)過的概率知識(shí)，如古典概型和條件概率，發(fā)現(xiàn)直接計(jì)算比較困難，從而引出本節(jié)課要學(xué)習(xí)的全概率公式。（二）新課講授（25分鐘）1、全概率公式的推導(dǎo)設(shè)\(B_{1},B_{2},\cdots,B_{n}\)是樣本空間\(\Omega\)的一個(gè)劃分（即\(B_{i}\)兩兩互斥，且\(\bigcup_{i=1}^{n}B_{i}=\Omega\)），對(duì)于事件\(A\subseteq\Omega\)，我們來推導(dǎo)全概率公式。因?yàn)閈(A=A\cap\Omega=A\cap(\bigcup_{i=1}^{n}B_{i})=\bigcup_{i=1}^{n}(A\capB_{i})\)，且\((A\capB_{i})\)兩兩互斥。根據(jù)概率的加法公式和條件概率公式，我們有\(zhòng)(P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(A\capB_{i})=\sum_{i=1}^{n}P(B_{i})P(A|B_{i})\)，這就是全概率公式。在推導(dǎo)過程中，通過圖形（可以簡(jiǎn)單地畫幾個(gè)集合的關(guān)系圖）或者具體數(shù)字例子（比如假設(shè)\(n=2\)，給出具體的概率值來演示）來幫助學(xué)生理解。2、全概率公式的解讀解釋公式中各個(gè)符號(hào)的意義。\(P(B_{i})\)表示事件\(B_{i}\)發(fā)生的概率，它是先驗(yàn)概率，是在沒有考慮事件\(A\)發(fā)生的情況下，\(B_{i}\)自身發(fā)生的概率。\(P(A|B_{i})\)表示在事件\(B_{i}\)發(fā)生的條件下事件\(A\)發(fā)生的概率。而全概率公式的意義在于，當(dāng)我們要計(jì)算一個(gè)復(fù)雜事件\(A\)的概率時(shí)，如果可以找到樣本空間的一個(gè)合適劃分\(\{B_{i}\}\)，就可以通過計(jì)算各個(gè)條件概率\(P(A|B_{i})\)和先驗(yàn)概率\(P(B_{i})\)的乘積之和來得到\(P(A)\)。（三）實(shí)例講解（30分鐘）1、抽獎(jiǎng)問題假設(shè)有三個(gè)抽獎(jiǎng)箱，一號(hào)箱中有10個(gè)紅球和20個(gè)白球，二號(hào)箱中有15個(gè)紅球和15個(gè)白球，三號(hào)箱中有20個(gè)紅球和10個(gè)白球。首先隨機(jī)選擇一個(gè)抽獎(jiǎng)箱，然后從選中的抽獎(jiǎng)箱中隨機(jī)抽取一個(gè)球，求抽到紅球的概率。解：設(shè)\(B_{1}\)表示選擇一號(hào)箱，\(B_{2}\)表示選擇二號(hào)箱，\(B_{3}\)表示選擇三號(hào)箱，\(A\)表示抽到紅球。則\(P(B_{1})=P(B_{2})=P(B_{3})=\frac{1}{3}\)。而\(P(A|B_{1})=\frac{10}{10+20}=\frac{1}{3}\)，\(P(A|B_{2})=\frac{15}{15+15}=\frac{1}{2}\)，\(P(A|B_{3})=\frac{20}{20+10}=\frac{2}{3}\)。根據(jù)全概率公式\(P(A)=\sum_{i=1}^{3}P(B_{i})P(A|B_{i})=\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{9}+\frac{1}{6}+\frac{2}{9}=\frac{2+3+4}{18}=\frac{1}{2}\)。2、疾病診斷問題（結(jié)合時(shí)事：某種傳染病的檢測(cè)概率）在對(duì)一種傳染病進(jìn)行檢測(cè)時(shí)，已知在人群中，真正患病的概率為\(0.01\)（設(shè)為\(P(B_{1})\)），不患病的概率為\(P(B_{2})=1-0.01=0.99\)。如果一個(gè)人患病，檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的概率為\(0.95\)（即\(P(A|B_{1})=0.95\)），如果一個(gè)人不患病，檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性（誤檢）的概率為\(0.02\)（即\(P(A|B_{2})=0.02\)）?，F(xiàn)在隨機(jī)對(duì)一個(gè)人進(jìn)行檢測(cè)，求檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的概率。解：根據(jù)全概率公式\(P(A)=\sum_{i=1}^{2}P(B_{i})P(A|B_{i})=0.01\times0.95+0.99\times0.02=0.01\times0.95+0.0198=0.0293\)。然后可以進(jìn)一步提問學(xué)生：如果檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，這個(gè)人真正患病的概率是多少呢？（這就為后續(xù)學(xué)習(xí)貝葉斯公式埋下伏筆）（四）課堂練習(xí)（25分鐘）1、基礎(chǔ)練習(xí)有兩個(gè)工廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，甲廠產(chǎn)品的次品率為\(0.05\)，乙廠產(chǎn)品的次品率為\(0.03\)。甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品占市場(chǎng)份額的\(60\%\)（設(shè)為\(P(B_{1})\)），乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品占市場(chǎng)份額的\(40\%\)（設(shè)為\(P(B_{2})\)）。從市場(chǎng)上隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，求這件產(chǎn)品是次品的概率。學(xué)生獨(dú)立完成，然后請(qǐng)一位同學(xué)到黑板上寫出解答過程。解：設(shè)\(A\)表示抽到次品。則\(P(B_{1})=0.6\)，\(P(B_{2})=0.4\)，\(P(A|B_{1})=0.05\)，\(P(A|B_{2})=0.03\)。根據(jù)全概率公式\(P(A)=\sum_{i=1}^{2}P(B_{i})P(A|B_{i})=0.6\times0.05+0.4\times0.03=0.03+0.012=0.042\)。2、拓展練習(xí)設(shè)有三個(gè)車間生產(chǎn)同一種零件，第一車間的產(chǎn)量占總產(chǎn)量的\(25\%\)，第二車間的產(chǎn)量占總產(chǎn)量的\(35\%\)，第三車間的產(chǎn)量占總產(chǎn)量的\(40\%\)。第一車間生產(chǎn)的零件次品率為\(0.02\)，第二車間生產(chǎn)的零件次品率為\(0.03\)，第三車間生產(chǎn)的零件次品率為\(0.04\)。從這批零件中隨機(jī)抽取一個(gè)，求抽到次品的概率。學(xué)生分組討論完成，每個(gè)小組選出一名代表匯報(bào)討論結(jié)果。解：設(shè)\(B_{1}\)表示零件來自第一車間，\(B_{2}\)表示零件來自第二車間，\(B_{3}\)表示零件來自第三車間，\(A\)表示抽到次品。則\(P(B_{1})=0.25\)，\(P(B_{2})=0.35\)，\(P(B_{3})=0.4\)，\(P(A|B_{1})=0.02\)，\(P(A|B_{2})=0.03\)，\(P(A|B_{3})=0.04\)。根據(jù)全概率公式\(P(A)=\sum_{i=1}^{3}P(B_{i})P(A|B_{i})=0.25\times0.02+0.35\times0.03+0.4\times0.04=0.005+0.0105+0.016=0.0315\)。（五）課堂小結(jié)（10分鐘）1、知識(shí)總結(jié)回顧全概率公式的定義\(P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_{i})P(A|B_{i})\)，強(qiáng)調(diào)公式中各個(gè)符號(hào)的含義。總結(jié)全概率公式的推導(dǎo)過程，從樣本空間的劃分到公式的得出，讓學(xué)生再次理解公式的本質(zhì)。2、方法總結(jié)歸納在解決實(shí)際概率問題時(shí)，如何確定樣本空間的劃分（即如何確定\(B_{i}\)），如何計(jì)算先驗(yàn)概率\(P(B_{i})\)和條件概率\(P(A|B_{i})\)。強(qiáng)調(diào)在遇到復(fù)雜概率問題時(shí)，要學(xué)會(huì)將問題轉(zhuǎn)化為全概率公式的應(yīng)用場(chǎng)景，通過分析事件之間的關(guān)系來求解概率。（六）布置作業(yè)（5分鐘）1、書面作業(yè)課本上相關(guān)章節(jié)的習(xí)題\(1-3\)題。補(bǔ)充題：有四個(gè)盒子，里面分別裝有不同數(shù)量的紅球和白球，同時(shí)每個(gè)盒子被選中的概率也不同，已知在每個(gè)盒子中抽取紅球的條件概率，求從這四個(gè)盒子中隨機(jī)抽取一個(gè)盒子并從中抽取一個(gè)球?yàn)榧t球的概率。2、拓展作業(yè)（選做）查閱資料，了解全概率公式在人工智能中的貝葉斯分類器中的應(yīng)用，并寫一篇\(300~500\)字的小短文介紹其原理。七、教學(xué)反思1、教學(xué)效果在教學(xué)過程中，通過實(shí)例教學(xué)和小組合作學(xué)習(xí)等方法，大部分學(xué)生能夠理解全概率公式的推導(dǎo)過程和應(yīng)用。但仍有部分學(xué)生在確定樣本空間劃分和計(jì)算條件概率時(shí)