函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題題型方法總結(jié)（考前閱讀）

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題題型方法總結(jié)

一、導(dǎo)一單惆橫、極值、蟲值的直接2用

二、二JL星根的臺(tái)有

三，又慢人先求生號(hào)篇④

(一)惟應(yīng)更之景值的直送點(diǎn)用

(^)惺吸及e臺(tái)喜帶檄

(^)恒朗比之前福生號(hào)量④

0、不一柔證明

(^)作是證照系等式

(^)麥形構(gòu)造備核證明系備虻

(^)替換構(gòu)設(shè)系塔式證明系塔/

樂備檄易導(dǎo)激雌質(zhì)的徐合運(yùn)用

A導(dǎo)檄輅合三角褊熬

書中常用結(jié)論

sinx

(I)sinx<x,x￡(0,1)，變形即為一-<1,其幾何意義為y=sinx,x￡(O,7r)上的的點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率小于

x

1.

⑵Sx+1

(3)A>ln(x+l)

⑷lnx<x<e,x>0.

在解題中常用的有關(guān)結(jié)論(/要氯憶):

⑴曲線"/(%)在％=%處的切線的斜率等于八天))，切線方程為尸廣*0)0_與)+/(X,)

(2)若可導(dǎo)函數(shù))，=/(x)在x=x0處取得極值，則八%)=0。反之，不成立。

(3)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)/(x),不等式/(x)>O(vO)的解集決定函數(shù)f(x)的遞增(減)區(qū)間。

(4)函數(shù)/⑴在區(qū)間I上遞增(減)的充要條件是：Vxe/八大)20(40)恒成立

⑸函數(shù)八］)在區(qū)間I上不單調(diào)等價(jià)于/(X)在區(qū)間I上有極值，則可等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程

r(x)=O在區(qū)間I上有實(shí)根且為非二重根。(若((X)為二次函數(shù)且I=R,則有AA。)。

(6)/(用在區(qū)間I上無極值等價(jià)于八X)在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù)，進(jìn)而得到廣")20或

,(x)￡0在I上恒成立

(7)若Vxd,八幻〉0恒成立，則f(X)min>。；若VX￡/,/(幻<0恒成立，則f(X)max<0

(8)若使得/(.7)>0,則f(X)max>0；若三天￡/,使得/(與)<0,則f(X)min<0.

(9)設(shè)/0)與g(x)的定義域的交集為D若WxeD/。)〉g(x)恒成立則有［/(此一(切叫>o

(10)若對(duì)V%一、x2eI2,/a)>g(%2)恒成立,則f(X)min>g(X)max?

若對(duì)VX,G,3X2GZ2,使得/(X))>g(%2)，則/(X)min>g(X)min-

若對(duì)\/王￡/［,3x2G/2,使得/(xJvgCrl，則/(幻3<g(x)gx-

(11)已知/(x)在區(qū)間/］上的值域?yàn)锳,,g(x)在區(qū)間八上值域?yàn)锽,

若對(duì)VX|￡/“m工2￡，2，使得/(M)=g*2)成立，則B。

(12)若三次函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則方程ra)=o有兩個(gè)不等實(shí)根x、w，且極大值大

于0,極小值小于0.

(13)證題中常用的不等式:

①\nx<x-1(x>0)②ln(x+l)<x(x>-l)③ex>1+x

x

(4)lnxx-1［、@Inx11/八、

e~>\-x@——(zx>1)⑼—r(x>0)

x+2x~2NY

一、導(dǎo)鼎單倜槌、微值、素他的直接應(yīng)用

I.已知函數(shù)f(x)=—x2+2ax,g(x)=3^2Inx+b.

⑴設(shè)兩曲線)，二/(幻與)，=g(x)有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同，若。>0,試建立人關(guān)于。的函數(shù)關(guān)

系式，并求人的最大值；

⑵若bG[0,2],h(x)=/(x)+g(x)-(2a-b)x在(o,4)上為單調(diào)函數(shù),求。的取值范圍。

解：(I)設(shè)》=與)=>0)在公共點(diǎn)(工。，>)處的切線相同.

,(N〉?工+2a,g'(_r)=由題意知/(Xo)=&(-)，，《工0)=g(x0)

2

[+2ajc0=3aInXu+b

叫…3°z

'.TQ

解得見、-a或JCOh—30(舍去?)6=/02—3a*Ina(0>0).

-5.-Goiiui-8-2。(1—3AM).

—>舊｛；1工>0"V。V，W3V°T；]工v0厘0>3

可UM?！龊?-2〉-ye*……7分

(fl)AZ(X)■X+替一6依?國<0或N3>0恒成立

①當(dāng)，(工)40時(shí)1+￥—.??工+446

FW[0,2]?只需*+料40VxG(0,4>不存在

t?

②當(dāng)A'GO=。時(shí),工十對(duì)一%>。，?：工十竺

，xx

**'b￡[0,2[,只*x4->2A3ar》x(2—x)做成立

Vz6(0>4>ASa1>1

J9

?±，0的取值題國為a《一§或a》噂

2.(是一道設(shè)計(jì)巧妙的妙?題，同忖用到e底指、對(duì)數(shù)，需要構(gòu)造函數(shù)，證存在且唯一時(shí)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理

不好想，⑴⑵聯(lián)系緊密)

已知函數(shù)f(x)=\nx,g(x)=e\

X+\

⑴若函數(shù)(P⑴=/(X)-—，求函數(shù)3⑴的單調(diào)區(qū)間；

X-1

⑵設(shè)直線/為函數(shù)/(力的圖象上一點(diǎn)43)，f(xo))處的切線，證明：在區(qū)間(1,+8)上存在唯一的不，使得直線/

與曲線產(chǎn)g(x)相切.

....Tx/\x+1.x+1\12+1

解：(ZI)(p(x)=f(x)-------=]nx---------,(p[x}=-+y_^7=-7-----

.Ix-\x(x-1)"x(x-l)-

???X>0且Xw1,???°'(x)>o函數(shù)取X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(1,+8).

（II）Vf\x）=-,???./（.”）」，

*%

切線/的方程為y-lnx（）=-！-（工一工0）,即y=-!-x+lnx（）-l,①

設(shè)直線/與曲線y=g(x)相切于點(diǎn)(*,ex'),

,:g'(x)=丁，:.ex'=—,Xj=-In%,:.g(_])=67n%=—.

%為

工直線/也為y------=—(x+lnx。)，BPy=—xH-----+—?②

%/%%與

由①②得In%—1=------H----，/.Inx0=—_-.

M%"

下證：在區(qū)間(1,+8)上/存在且唯一.

Y+1

由(I)可知，(p[x}=Inx--—在區(qū)間(1,+8)上遞增.

x-1

又“(e)==——<0>(pke1)=Ine2--y—-=—5~~->0,

e-\e-\e-1e—1

結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，說明方程0(x)=O必在區(qū)間叵，]上有唯一的根，這個(gè)根就是所求的唯一方,故結(jié)論

成立.

已知函數(shù)/(X)=111X一！火2-(〃-1)工(。<0).

3.

2

(I)求函數(shù),f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(11)記函數(shù))，=/。)的圖象為曲線。.設(shè)點(diǎn)4(8,)1),8(9,月)是曲線。上的不同兩點(diǎn).如果在向線。

上存在點(diǎn)M(Xo，y°),使得：①與="4；②曲線C在點(diǎn)/處的切線平行于直線4B,則稱函數(shù)尸(處

存在“中值相依切線”.試問：函數(shù)/(x)是否存在“中值相依切線”，請(qǐng)說明理由.

解：(I)易知函數(shù)/(x)的定義域是(0,+8),

16Z(A-1)(%+-)

f'(x)=——ax+a-\=-------------------................1分

XX

①當(dāng)一~!■<1時(shí)，即6<-1時(shí)，令f'(X)>0,解得0<X<一?!"或1;

aa

令/'(x)<0,解得一.........2分

所以，函數(shù)在(0,--)和(1,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增，在(-1)上單調(diào)遞減

②當(dāng)一1=1時(shí)，即。=—1時(shí)，顯然，函數(shù)/(幻在(0,+。。)上單調(diào)遞增：.........3分

a

③當(dāng)一_L>]時(shí)，即一ivavO時(shí)，令解得0<為<1或x>—

aa

令/'(x)vO,解得1cxv-........4分

所以，函數(shù)/(X)在(0,1)和(--,-KX))上單調(diào)遞增，在(1,—!)上單調(diào)遞減

aa

綜上所述，

⑴當(dāng)CY-1時(shí)，函數(shù)/(X)在(0,--)和(1+00)上單調(diào)遞增，在(--J)上單調(diào)遞減：

aa

⑵當(dāng)4=一1時(shí)，函數(shù)/(X)在(0,+0。)上單調(diào)遞增；

⑶當(dāng)一1<。<0時(shí)，函數(shù)/(x)在(0,1)和(一L+8)上單調(diào)遞增，在(1,一3上單調(diào)遞減..........5分

aa

(II)假設(shè)函數(shù)/(k)存在“中值相依切線”.

設(shè)A(xl,y),3(%,%)是曲線>'=/(X)上的不同兩點(diǎn)，且0<*<%，

v_、，（In占一-'2）+（。-1）",一X。

則以〃=上入=—:--------2----------------:-

x2-X1x2-內(nèi)

In-Inx,1.、/八

=---=-----L——4（玉+x,）+（a-1）7分

x2-x12

曲線在點(diǎn)M（x0,.%）處的切線斜率

k=f\x）=八+三）=——-a-弋衛(wèi)+（〃-1）,

Q8分

2xy+x22

In-Inx,1,、/I、2x.+x.

依題意得:z1X

x2-x}2'X]+x22

2(--1)

化簡(jiǎn)可得：生如二g=，,即m二=也=12二」_..........]o分

七一凡X+.X超+七七+1

王

設(shè)z=r(r>l),上式化為：hw=也心=2---,即lnr+/一二2......12分

占t+\t+\t+\

，一、4，/、I4(r-1)2

令g?)=ln/+—；,g(0=——-~~-T=---T.

r+1t。+1)r(/+l)*

因?yàn)閒>1,顯然g'(f)>0,所以gS在(l,+oo)上遞增，顯然有g(shù)(t)>2恒成立.

4

所以在(1,轉(zhuǎn))內(nèi)不存在f，使得Inf+——=2成立.

1+1

綜上所述，假設(shè)不成立.所以，函數(shù)/(x)不存在“中值相依切線”..........14分

4.(2011湖南文，第2問難，單調(diào)性與極值，好題)

設(shè)函數(shù)/。)二工一,一〃111工(〃￡/?).

X

⑴討論函數(shù)/(幻的單調(diào)性；

⑵若/(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)%,%，記過點(diǎn)A(0/a)),33,/3))的直線斜率為八問：是否存在《,使得

%=2-。？若存在，求出。的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解：⑴fM的定義域?yàn)?0,+8).f?(X)=I+-!7--='H

XXX

2

令g(x)=r-av+1,其判別式A=a-4.

①當(dāng)I〃區(qū)2時(shí),△＜0,/'(x)＞0,故/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

②當(dāng)。＜—2時(shí),QO.gahO的兩根都小于0,在(0,+8)上，/'(x)＞0,故/⑴在。a)上單調(diào)遞增.

③當(dāng)。＞2時(shí),QO,g(x)=O的兩根為r=。-亞)=絲也三，

,2-2

當(dāng)。＜工＜當(dāng)時(shí)，/,Cv)＞0；當(dāng)為〈人＜工2時(shí)，/,Cv)＜0；當(dāng)人＞々時(shí)，/'W＞0,故/(幻分別在

(0,玉),(占,+8)上單調(diào)遞增，在(西,馬)上單調(diào)遞減.

(2)由⑴知，若/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)％,毛，則只能是情況③，故。＞2.

因?yàn)?x2)+-、-〃(lnx)-lnx2),

中2

1In-Inx2

所以k二J八/=]+

%一々%一々

InX-Inx

又由⑴知，內(nèi)/二1，于是攵=2-。??2

七一九2

Inx.-Inx,,

若存在。，使得女=2—a則---------=1.即111%-111工2=西一々?

占一七

亦即%--——21n)=0(">1)(*)

再由⑴知，函數(shù)/?(r)=f—Lzinr在(0,+8)上單調(diào)遞增，而電＞1，所以

1

工2—一21nx2＞1一,-21nl=0.這與(*)式矛盾.故不存在。，使得攵=2-。.

5.(變形構(gòu)造)

已知二次函數(shù)/(x)=aV+b:+c和“偽二次函數(shù)”且(6=汗+法+clnx("、b、ceR,abcw。),

⑴證明：只要。＜(),無論人取何值，函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù)；

(II)在二次函數(shù)/(x)=〃f+岳?+(，圖象上任意取不同兩點(diǎn)4(音,丁)成5)，2),線段八8中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

/，記直線AB的斜率為女，

(i)求證:k=r(x。)；

(ii)對(duì)于“偽二次函數(shù)“g(6=a?+版+clnx,是否有①同樣的性質(zhì)?證明你的結(jié)論.

解：(I)如果X>o,g*)為增函數(shù)，則g'(x)=2or+〃+￡=2a廣+.+C>0⑴恒成立,

XX

當(dāng)x>0時(shí)恒成立，2ad+法+C>O(2)

???〃<0,由二次函數(shù)的性質(zhì),(2)不可能恒成立.則函數(shù)g(x)不可能總為增函數(shù).3分

(ID(i)=2”+尻

x2-X)x2-xt

f'(x)=2ax+b,f\xQ)=+b,貝ij%=八%)-----5分

(ii)不妨設(shè)七>內(nèi),對(duì)于“偽二次函數(shù)”：

cln—

2ax0+b+—立，⑶7分

xXX

X2~\1~\

由(i)中(l)g'(x())=2aro+Z?+￡，如果有(i)的性質(zhì)，則g'(/)=R,(4)

X。

cln強(qiáng)In上

比較(3)(4)兩式得_生=￡,CW0,即:玉_2，(4)--------10分

為x2-x,X1+x2

不妨令/啜/>i,罟⑸

2/-2

設(shè)$(1)=Int

/+1

???s(f)在(1,+<?)上遞增，:.5(r)>5(l)=0.

???(5)式不可能成立，(4)式不可能成立,/(%)?h

「?jìng)味魏瘮?shù)“g(x)=aF-bx+clnx不具有(i)的性質(zhì).....12分

二、袞?與根的今布

6.(2008四川22,交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的分布)

已知x=3是函數(shù)/(^)=?ln(l+x)+x2-1Ox的一個(gè)極值點(diǎn).

⑴求。；

⑵求函數(shù)/(外的單調(diào)區(qū)間；

⑶若直線y=匕與函數(shù)y=/(X)的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍.

解：⑴/(幻=〃111(1+幻+/一]0工，/'(x)=y^-+2x-10

X=3是函數(shù)/(x)=〃ln(l+x)+9一104的一個(gè)極值點(diǎn).

/?(3)=--4=0,4=16

4

(2)由(Df(x)=161n(l+x)+x2-10x,工￡(-1,+8)八x)二至+2工_]0=2r-8x+6=2(1)(x-3)

1+xx+\x+1

令/'")=(),得％=1,x=3,斐G)和f(x)隨4的變化情況如下:

X(-1.1)1(1,3)3(3,+8)

/'U)+0一0+

/⑺增極大值減極小值增

/(X)的增區(qū)間是(一1,1),(3,+8)；減區(qū)間是(1,3).

⑶由②知，/(x)在(-1/)上單調(diào)遞增，在(3,+8)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減.

???/(力極大=/⑴=16In2-9,極小=/(3)=32ln2-2I.

又X-—1+時(shí)，/(幻一―8；X一>+<力時(shí)，/(X)f+8；

可據(jù)此畫出函數(shù)y=/(x)的草圖［圖啥)，由圖可知，

當(dāng)直線》=〃與函數(shù)y=/(x)的圖像有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍為(321n2-21,161n2—9).

7.已知函數(shù)〃1)=-3+4工2+法十。在(一%0)上是減函數(shù)，在(0,1)上是增函數(shù)，函數(shù)“X)在R上有三

個(gè)零點(diǎn).

(1)求b的值;

(2)若1是其中一個(gè)零點(diǎn)，求/(2)的取值范圍；

(3)若。=1，g(x)=/(尤)+3/+lnx,試問過點(diǎn)(2,5)可作多少條直線與曲線y=g(x)相切？請(qǐng)說明

理由.

(1)JR：'//(x)=-x3+ar2+dx+c>/./r(x)=-3x2+2ax+2>.

???f(x)在(T：0)上是減函數(shù)，在(01I上是噌函數(shù)，

...當(dāng)K=O時(shí)，f(x)取到極小值，即r(o)=o.

「?6=0?.......二二:二二;：：4分

(2)解：由(1)知，fIx)=-X"+ox*+c>

是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，BP/(l)=0>c=l-a.........5分

f'(xl=-3x:+2ax=0的兩個(gè)根分別為演=0,七=p.

???f(M在(0①上是噌函數(shù)，且函數(shù)/(可在R上有三個(gè)零點(diǎn)，

=->1>SPC7>—.

?32

,?f(2)=-8+4a+(j)=34-7>

■

自/(2)的取值范圍為……二：工8分

⑶g(x)=2r+lnx,設(shè)過點(diǎn)(2,5)與曲線g(x)的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為(七,%)

：?九一5=g'(X。)(x0-2)即2x0+lnx0-5=(2+-2)

，“0

2212

.,.lnXo+------2=0,令h(x)=lnx+—2/.h(x)=--------r=0,x=2

x()x,xx-

?』沁在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+oo)上單調(diào)遞增

?2

??,又〃(一)=2—ln2>0,h(2)=ln2-l<0,/i(e2)=—>0

2e2

???h(x)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，，過點(diǎn)(2,5)可作2條曲線y=g(x)的切線.

8.(交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的分布)

已知函數(shù)/(x)=-x2+8x,^(x)=61nx+m.

⑴求f(x)在區(qū)間［//+1］上的最大值/?(0；

⑵是否存在實(shí)數(shù)"?，使得y=/(x)的圖像與y=g(x)的圖像有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出的

取值范圍；若不存在，說明理由。

解：⑴/@)=*+81=-4)2+16.

當(dāng)/+1<4,即/<3時(shí)，/(工)在卜,Z+1］上單調(diào)遞增，

h(t)=/(/+1)=-(/+1)2+8(，+1)=-尸+67+7;

當(dāng)/S4sz+1,即3W/W4時(shí)，以。=/(4)=16;

當(dāng)”4時(shí)，吐x)在&J+1］上單調(diào)遞減,〃")=/〉)=-?+&.

-r+6f+7,f<3,

綜上3<r<4,

-r+8r,/>4

⑵函數(shù)y=fM的圖像與y=g(x)的圖像有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)

0(1)=g(x)-/(x)的圖像與x軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)。

,/(p(x)=x2-8x+61nx+m,

區(qū)“、、062x~—8x+62(x—l)(x—3)

/."(x)=2x-8+-=-----------------=--------------------(x>0),

XXX

當(dāng)xw(0,l)時(shí),"(x)>0,。。)是增函數(shù);

當(dāng)xe(0,3)時(shí)，。'(幻<0,0(工)是減函數(shù)；

當(dāng)X￡(3,+00)時(shí),，(1)>0,夕(幻是增函數(shù)：

當(dāng)x=l,或x=3時(shí)，，。'(1)=0.

0(幻班大值=。⑴=陽-7,。(乃最小值=^(3)=/n+61n3-15.

???當(dāng)x充分接近0時(shí),“(當(dāng)〈充當(dāng)工充分大時(shí),。⑶>0.

二.要使。(幻的圖像與x軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，必須旦只須

“(X)最大值=加_7>0,

即7VMe15-6如3

。(幻最小值=/n+61n3-15<0,

.??存在實(shí)數(shù)機(jī)，使得函數(shù)y=/(x)與)，=g(x)的圖像有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，〃？的取值范圍為

(7,15-61n3).

9.(交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的分布)

3,

已知函數(shù)=ln(2+3x)--^\

⑴求/")在［0,1］上的極值；

⑵若對(duì)任意x￡,口,不等式|。—Inx|+ln"'(x)+3力＞0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

⑶若關(guān)于X的方程/a)=-2x+b在［(),1］上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

3^^-3(X+1)(3X-1)

解：(1)八外二3

2十3A3八十2

令/<x)=0得x=g或工二一1(舍去)

當(dāng)0Wx<g時(shí)，/(x)>0,/(幻單調(diào)遞增；當(dāng);<xW1時(shí),/'(X)<0J(x)遞減.

=皿3-!為函數(shù)在［0,1］上的極大值.

36

(2)由|a-InXI+ln"'(x)+3x］>0得

3、3

6/>In.r-In--------或。<lnx+In---------

2+3x2+3x

2

MI....,.3.2x+3x/、i,i33x

設(shè)h(x)=lnx-ln--------=In------------，g(x)=\nx+In——=In-——，

2+3x32+3x2+3x

依題意知a>/?(x)或。<g(工)在xe4i］上恒成立，

63

，/、2+3x3(2+3x)-3x?32八

???g'(x)=--------------------------——=------------>0,

3x(2+3x/x(2+3x)

3.g(2+6x)=2+6x

h\x)=>0,

2x+3x22x+3x2

以外與/?(X)都在已』上單增，要使不等式①成立,

63

當(dāng)且僅當(dāng)a>足)或a<gj),即a>In1或"ln4

3635

3,

⑶由/(x)=-2x+b=>ln(2+3x)--+2x-b=0.

,Q*"7Q-2

令(p(x)=ln(2+3x)-—x2+2x-/?,則(p\x)=—:------3x4-2=.........-

22+3x2+3/

當(dāng)x￡［0,?］時(shí)”(外>0,于是0(x)在［0,，］上遞增：

萬萬

X￡［彳,1］時(shí)/。)<0,于是夕⑴在［彳,1］上遞減，

33

而以4)>叭。),?！?〉"⑴，

f(x)=-2x+〃即夕(x)=0在［0內(nèi)恰有兩個(gè)不同實(shí)根等價(jià)于

^(0)=ln2-/7<0

Jif-7

^>(—)=ln(2+77)>0

366

力⑴=ln5+-^-/?<0

?.ln5+-</?<ln(2+V7)--+—.

263

10.(2009天津文，利用根的分布討論)

設(shè)函數(shù)f(X)=--X3+x2+(w2-1)X(XGR),其中"7〉0

⑴當(dāng)機(jī)=1時(shí)，求曲線y二/(A-)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線的斜率

⑵求函數(shù)/(上)的單調(diào)區(qū)間與極值

⑶已知函數(shù)/(M有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0、內(nèi)、/，且王<々，若對(duì)任意的工￡［%，%］，/(同〉/(1)恒成立，

求次的取值范圍.

解：(1)當(dāng)小=1時(shí)，/。)=,1+%2/(幻=/+2乂切'(1)=1

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線斜率為1.

⑵/(幻=一/+2x+〃/-1,令/'(x)=0,得到x=l-"?,x=l+m

因?yàn)椤ǎ?gt;0,所以1+小〉I-m,

當(dāng)?shù)谧兓瘯r(shí)，fMJ'M的變化情況如F表：

x(-oo,l-m)\-m(1-z?,l+/?)\+m(l+，〃,+8)

f'M+o-o+

fM1極小值t極大值I

f(x)在(-00,1-m)和(1+"7,+8)內(nèi)減函數(shù)，在(1一+小)內(nèi)增函數(shù)。

21

函數(shù)/(x)在X=1+〃z處取得極大值/(I+⑼，且/a+ni)=-m3+fn2--

G1

函數(shù)/(x)在X=1-6處取得極小值/(I-m),且/(I-m)=--〃廣+〃/一

JJ

⑶由題設(shè)/(x)=x(-^x2+x+m2-1)=一;工(工一為)(工一丁2)

1>74T

所以方程一+X+"廣一1=0由兩個(gè)相異的實(shí)根』,馬，故2+工2=3,且A=l+§（〃廠-1）>0,解

得〃7〈一式（舍），m>-

22

3

因?yàn)轫?xiàng)<“2，所以2%>X\+=3,板2>—>（難點(diǎn)）

2

若芭Wl<w，則”1）二—31—再）（1一看）20,而/a）=0,不合題意：

若1<玉<X2,則對(duì)任意的xwg，/]有工一七>0,x-x2<0,

則/。）=一：工"一七）。一工2）20,又/（為）=0,所以函數(shù)/（幻在的最小值為°，于是對(duì)

任意的xwf（x）〉f⑴恒成立的充要條件是/⑴=〃/-：<0,解得—Y3cm<包，綜上，

333

m的取值范圍是（g,1?）

11.已知函數(shù)/（力=加+加—3X（〃,Z?ER）在點(diǎn)（1J⑴）處的切線方程為y+2=（）.

⑴求函數(shù)/（x）的解析式；

⑵若對(duì)于區(qū)間[-2,2]上任意兩個(gè)自變量的值不/都有|/（X）-/（W）|〈C,求實(shí)數(shù)c的最小值;

⑶若過點(diǎn)〃（2,〃7）（加工2）可作曲線），=/（x）的三條切線，求實(shí)數(shù)用的取值范圍.

解：⑴/'（6=3奴2+2/以_3..........................................2分

/⑴=-2,（a+b-3=-2,[a=1

根據(jù)題意，得《'/、即1解得《................3分

:（1）=0,[3〃+處-3=0,[b=0

所以〃力二/一3兀.................................................4分

(2)令/'(x)=0,即3/-3=0.得了=±1.

X-2(2.1)-1(T1)1(L2)2

?。?—+

?。?2增極大值減極小值增2

因?yàn)?(—1)=2,/(1)=-2,

所以當(dāng)日-2,2］時(shí)，/（4「2,.................................6分

則對(duì)于區(qū)間［-2,2］上任意兩個(gè)自變量的值%,占，都有

|/（.）一/5）閆/⑴四一/⑴局=4,所以

所以c的最小值為4.....................................................................................8分

⑶因?yàn)辄c(diǎn)"（2,根）（機(jī)工2）不在曲線y=/（x）上，所以可設(shè)切點(diǎn)為（毛,%）.

則3（）--vo—3x0?

因?yàn)?'（玉）=3片一3,所以切線的斜率為3片-3......................................9分

則3江-3J；-3%一〃,...................................

11分

王）-2

即2片-6片+6+/n=0.

因?yàn)檫^點(diǎn)M（2,?。╩*2）可作曲線y=/（x）的三條切線，

所以方程2片-+6+m=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.

所以函數(shù)g（x）=2V-6V+6+，”有三個(gè)不同的零點(diǎn).

則，（x）=6d—12工.令g'（x）=O,則x=0或x=2.

X(fo)0（0,2）2(3)

g'(x)+—+

g(x)增吸大值減吸小值增

則Jg⑼〉。’即J6+加>0'解得-6v〃zv2?

Z(2)<2-2+m<0

12.（2011省模，利用⑴的結(jié)論，轉(zhuǎn)化成根的分布分題）

已知teR,函數(shù)f（x）=4+lnx-l,g（x）=（lnx-l）e'+x,（其中《才2.718）

x

（I）求函數(shù)/（X）在區(qū)間（o,4上的最小值：

（II）是否存在實(shí)數(shù)與w（O,e］,使曲線），=g（x）在點(diǎn)了=須）處的切線與y軸垂直？若存在，求出花的值；若不

存在，請(qǐng)說明理由。

解(I)v/(x)=y+Inx-1,xG(o,e］，，/(z)=-+十=

令/(大)=。，得z=a........................................................................................2分

①若aSO,則/(#)>O/(x)在區(qū)間(O,e〕上單調(diào)遞增.此時(shí)函數(shù)/G)無最小值.

②若0<a<%當(dāng)xw(O,a)時(shí)J(“)<0,函數(shù)/(G在區(qū)間(0,。)上單調(diào)遞減,

當(dāng)”w(a,e］時(shí)/(#)>0,函數(shù)/(%)在區(qū)間(a,e］上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)“=。時(shí),函數(shù)/(%)取得最小值Ina.

③若aNS0,函數(shù)人外在區(qū)間(O.e)上單調(diào)遞)i.

所以當(dāng)寓-e時(shí)，函數(shù)/G)取得出小值?.

然:上可知.當(dāng)aSOBh函數(shù)/(*)在區(qū)間(0工］上無最小值；

30<a<c時(shí).函數(shù)/G)在區(qū)間(0")上的最小值為Ina；

當(dāng)a之e時(shí).函數(shù)/(%)在區(qū)間(0同上的最小值為：.............6分

(D)Vjf(x)=(Inx-l)e**x.xc(O.e］,.

???6'(x)=(Inx-1)V?(Inx-1)(/)*?1=-?(1?-l)e-?1

s(~-41Inx~1)e*?!.

x

由(I)可知,當(dāng)a=?時(shí)/(%)=++12-1.

此時(shí)/(G在區(qū)間(O.e)上的最小值為Iniw0,即:?Inx-IN0..............9分

當(dāng)小￡(O.e］.C>0,-?lnx-1^0.

xo0

???/(&)?(-?In^-i)e-*?1>1>0.

曲線y=&(*)%點(diǎn)％=與處的切線與)軸垂直等價(jià)于方程/(%)=0有實(shí)效解，

而/(%)>0.即方程4'(與)?0無實(shí)JMR

故不存在XOC(0.C),使曲線y-gM在點(diǎn)xcXO處的切或與y軸垂直......

三、永善式恒成先一多母范⑧

恒成立之最值的直接應(yīng)用

13.已知函數(shù)8(幻=“產(chǎn)-2向:+1+雙〃。0力<1),在區(qū)間［2,3］上有最大值4,最小值1,設(shè),/(x)=3.

x

(I)求出6的值：

(II)不等式/(2‘)一女,2’20在xw［—1,1］上恒成立，求實(shí)數(shù)k的范圍；

2

(III)方程/(|2、-ID+Mk^-與nO有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的范圍.

12Tl

解：(I)(l)g(x)=〃CE-l)2+l+b-〃

當(dāng)a〉0時(shí)，g(x)在［2,3］上為增函數(shù)

=(3)=29a-6。+2+〃=5a=1

故」=>=>

g⑵=54。-4a+2+b=2[Z?=0

當(dāng)。<0時(shí)，g(x)在[2,3]上為減函數(shù)

fg⑶=2(9a-6a+2+b=2[a=-\

故<=>=>?

[g(2)=214a-4〃+2+b=5[b=3

'：b<\a=1〃=0即g(x)=x2-2x+l.f^x)=x+--2.

X

(II)方程f(2、)一h2、20化為2'+二一2Nh2、

1.JJ

2令打=/，

14-(—)-2—X>/：,Xk<r-2t+\

2A22

???A-e[-l,l].*./€[-,2]記0⑺=/一2，+1，。(/)min=0；?kWO

(III)方程/(I2X-1|)+〃(E」—3)=(“四|2X—I|+^^，—(2+3〃)=0

I2-I|I2-1|

|2v-112-(2+3幻|2'-1|+(1+2攵)=0,12X-1k0

令|2"-l|=f,則方程化為產(chǎn)一(2+3Qf+(l+2A)=0(twO)

]+2k

丁方程12、-11+kT-Q+3k)=°有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,

I2-1|

???由1=)2'-1|的圖像知,

「一(2+3%"+(1+2攵)=0有兩個(gè)根r2,

且0<[<1<"或0<"<1,t2=1

記9(f)=J一(2+3%?+(1+2%)

0(0)=1+2k>0

尹(0)=1+2k>0

則《或4夕⑴=-k=0k>0

^(l)=-k<0八2+3k?

0<--------<1

2

14.已知函數(shù)f(x)=(l+,)[l+ln(x+l)],設(shè)g(x)=f.r(x)(%>0)

x

(1)是否存在唯一實(shí)數(shù)?！?”,〃葉1),使得g(〃)=0,若存在，求正整數(shù)m的值；若不存在，說明理由。

(2)當(dāng)I>0時(shí)，/")>〃恒成立，求正整數(shù)n的最大值。

解：(1)由/'(x)=x_l_?(x+l),得^U)=x-l-ln(x+l)(,r>0),

廠

x

則，(戈)=」〉0,因此g(x)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增。.........4分

X+1

因?yàn)間(2)=l-ln3v0,^(3)=2(l-ln2)>0,

即g(x)=O存在唯一的根〃e(2,3),于是m=2,........6分

(2)由/*)>〃得，n<f(x)且xw(0,+oo)恒成立，由第(1)題知存在唯一的實(shí)數(shù)aG(2,3)，使得g(a)=0,

且當(dāng)0cxva時(shí)，g(x)<0,<f(x)<0；當(dāng)時(shí)，g(x)>0/(x)>0,因此當(dāng)工=a時(shí)，f(x)取得最

小值/(〃)=("D"m-DJ.........9分

a

rtlg(a)=O,得6Z—l-ln(tz+l)=0,即14ln(rt+1)=tz,于是f(a)=a+1

又由。w(2,3),得/(a)￡(3,4),從而〃43,故正整數(shù)n的最大值為3。.....12分

15.（2011遼寧理21,變形構(gòu)造函數(shù)，二次）

已矢」函數(shù)/（1）=（a+l）lnx+rzx2+1.

⑴討論函數(shù)/（x）的單調(diào)性；

⑵設(shè)〃＜一1,如果對(duì)任意用,小￡（°，+8），I/（XI）-/（X2）|^4|XI-X2I，求。的取值范圍.

解：⑴/5）的定義域?yàn)椋?,+8）.廣（外="1+2*=肛上空1.

xx

當(dāng)a20時(shí)，f\x）＞0,故/（x）在（0,+8）單調(diào)增加；

當(dāng)aW-l時(shí)，/'（幻V0,故/（%）在（0,+8）單調(diào)減少;

當(dāng)一IV。V0時(shí)，令/'"）=0,解得工二再

則當(dāng)）時(shí)，/（X）＞0；XE（J----,4~00）時(shí)，f（X）＜0.

故/（X）在（0,再）單調(diào)增加，在（再,4-00）單調(diào)減少.

⑵不妨假設(shè)內(nèi)之工2,而?！匆?，由⑴知在（0,+8）單調(diào)減少，從而

V.q,%e（0,+oo）,|/（^）-/（^2）|＞4|^-x2|

等價(jià)于"w（0，+8）,/（工2）+4々2/（%）+4%....①

令g（x）=/（x）+"則屋公+4

x

①等價(jià)于g（x）在（0,+8）單調(diào)減少，即也■+2at+4W0.

x

—4v-1-4JC—1

從而公序才設(shè)〃⑴二玄#〉。）'并設(shè)

一81

/-I3

A=---?