2024-2025學(xué)年人教版高二數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)：空間向量與立體幾何重難點(diǎn)突破（11類題型）解析版

空間向量與立體幾何重難點(diǎn)突破（11類題型）

總覽1題型解讀

重點(diǎn)題型

【題型1】通過基底表示目標(biāo)向量.................................................2

【題型2】共面問題..............................................................5

【題型3】夾角，數(shù)量積，投影計(jì)算...............................................9

中檔題型

【題型4】利用空間向量求線段長(zhǎng)................................................12

【題型5】立體圖形中的極化恒等式..............................................18

【題型6】點(diǎn)到直線距離問題....................................................22

【題型7】點(diǎn)到平面距離問題....................................................24

【題型8】求線面角.............................................................31

【題型9】求面面角，二面角....................................................37

壓軸題

【題型101利用空間向量求最值與范圍...........................................48

【題型11】綜合性問題（選填壓軸）.............................................55

1/67

模塊一I重點(diǎn)題型

【題型1】通過基底表示目標(biāo)向量

基礎(chǔ)知識(shí)

一般是插入相關(guān)點(diǎn)把向量拆分成基底相關(guān)的向量，在某些適當(dāng)?shù)臅r(shí)候也可以通過結(jié)合爪型圖來拆分

向量

1.在正四面體/BCD中，尸是NC的中點(diǎn)，￡是。尸的中點(diǎn)，若詼=￡DB=b^DC=c^貝I

1f一1f

C.—Q+6H—cD.—Q+6H—c

4422

【分析】由三角形法則和平行四邊形法則、數(shù)乘運(yùn)算求解即可.

【解析］屜=麗+瓦=_瓦+；麗=_麗+?3*+硝=；￡_3+?

2.如圖'M,N分別是四面體。胸的邊。a5C的中點(diǎn)，E是的三等分點(diǎn)，且管小用

向量力，礪，反表示無為（）

—?1—?1―?1—?

A.OE=-OA+OB+OCB.OE=-OA+-OB+-OC

6333

C.OE=-OA+-OB+-OCD.OE=-OA+-OB+-OC

663633

2/67

【答案】D

【解析】因?yàn)楣?=彳，所以NM=3NE,

NM3

所以加_而=3（礪_礪），即礪=]兩+§麗，

又兩=;弧而=g（礪+區(qū)），

―?1―?1—?1—?

所以QE=—CU+—0B+—OC.

633

故選：D

【鞏固練習(xí)1】如圖，已知空間四邊形。43C,MN分別是。43C的中點(diǎn)，且為=",礪=刃，歷=]

用〃,B,c表示向量A/N為（）

1-11-

A.—a+—b+—cB.—a——7b+—c

222222

1_1_1_1_1-1一

C.——a+—b+—cD.——a+—b——c

222222

【答案】C

【解析】如圖所示，連摟ON,AN,貝L

3/67

o

—?1—?1—?1-1——?—?——?11-1

ON=-OB+-OC=-b+-c,所以MN=ON—OM=一一a+-b+-c.

2222222

【鞏固練習(xí)2】如圖，平行六面體44G2中，瓦尸分別為。2,5。的中點(diǎn).若

FE=xAB+yAD+zAAx,貝！j(x,y,z)=()

D\G

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】空間共面向量定理的推論及應(yīng)用

【分析】根據(jù)題意，利用空間向量的線性運(yùn)算法，求得而=-萬(wàn)+；而+g京I,進(jìn)而求得x,y,z的

值，即可求解.

【詳解】因?yàn)槠叫辛骟w488-48。］。中，￡,廠分別為8c的中點(diǎn)，

^T^FE=ZE-ZF=ZD+-Z4I-28--ZD=-Z8+-ZD+-Z4I,

2222

—?--—■—.11,、，1

又因?yàn)?,可得x=-l,y=—/=3,即(x/,z)=—l，w，E.

22\22y

【鞏固練習(xí)3】在四面體O-/8C中，設(shè)方=扇礪=瓦。心=4,。為8C的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn),

貝卮=()

4/67

o

A.-a+-b+-cB.-a+-b--c

244232

C.-a+-b+-cD.-a--b+-c

344344

【答案】A

【解析】因?yàn)椤?c的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn),

^^OE=OA+AE=OA+^AD=OA+^x^(AB+AC)=OA+^x(OB-04+0C-OA)

1—1—?1—?11-1

=-OA+-OB+-OC=-a+-b+-c

244244

【題型2】共面問題

基礎(chǔ)知識(shí)

1.空間向量基本定理

如果向量三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任意向量，，存在有序?qū)崝?shù)組{x,%z},使得

p=xa+yb+zc.

2.四點(diǎn)共面

0為空間中一任意點(diǎn)，若麗=+y赤+2反，且x+y+z=l,則O,A,B,C四點(diǎn)共面

3,下列命題正確的是（）

A.^p=2x+3y,則萬(wàn)與無，下共面

B.若聲=2疝+3標(biāo)，則/,尸,48共面

C.若科+礪+反+歷=0，則42c。共面

—1—5—1—■

D.若OP=—OA+—OB——OC,則P,42,C共面

5/67

【答案】ABD

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量基本定理的應(yīng)用、判定空間向量共面

【分析】利用共面向量定理:即若一條向量用另外兩條向量線性表示，則這三條向量一定共面，用此

法可判斷三條向量共面，再利用有公共點(diǎn)的三條向量共面，進(jìn)而可判斷四點(diǎn)共面，針對(duì)

—?1?5—?1——3—?5—

OP=-OA+-OB--OC,可以利用線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化為尸C=-P4+-P8,再進(jìn)行判斷.

26322

【詳解】選項(xiàng)A,根據(jù)共面向量基本定理可知，萬(wàn)與無，?共面；所以選項(xiàng)A是正確的；

選項(xiàng)B,根據(jù)共面向量基本定理可知，而，疝，而共面,由于它們有公共點(diǎn)M,

所以Af,P,A,8共面；

選項(xiàng)C,舉反例說明，若O/,OB,0c是一個(gè)正方體同一個(gè)頂點(diǎn)O的三條棱所對(duì)應(yīng)的向量，

則它們的和向量是以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線向量，而0D是該對(duì)角線向量的相反向量，

此時(shí)顯然四個(gè)點(diǎn)4B,C,。不在同一個(gè)平面上，所以C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；

—?1—?5―?1―?_kk

選項(xiàng)D,由00=7。/+:05-彳℃可得6。尸二304+508—20。，

263

貝“0=3刀-3赤+5礪-5赤+2赤-2雙，即6=32+5而+2。，

則定=|?方+|?麗，此時(shí)與選項(xiàng)B一樣，可以判斷共面，即D選項(xiàng)是正確的

4,若忖石,己｝構(gòu)成空間的一組基底，則下列向量不共面的為()

A.a,a+b;a+cB.a,b,a+2b

C.a,ct—c>cD.b,a+c,a+6+c

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】判定空間向量共面

【分析】根據(jù)向量共面的條件對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可.

【詳解】｛7■寸構(gòu)成空間的一組基底，則己不共線，

假設(shè)a,a+b,a+c^面，則存在不全為零的實(shí)數(shù)sj,使a=s(a+b)+t(a+c),即

a=(s+t)a+sb+tc9

則s+%=0/3+瘧=0,則s=T,B=1,與不共線矛盾，故扇N++1不共面；

a=(a+2b)-2-b,故點(diǎn)+共面；

a=(a-c)+c9故5,5—乙己共面；

a+b+c=(a+c)+b,故B,5+,,5+3+5共面.

6/67

—?1—?1—■—.

5.。為空間任意一點(diǎn)，^AP=--OA+-OB+tOC,若A,B,C,尸四點(diǎn)共面，貝曠=

48

【答案】|

O

【知識(shí)點(diǎn)】空間向量共面求參數(shù)

____,1___k1____,____________

【分析】將后=——9+―礪+/反化簡(jiǎn)為：OP^-OA+-OB+tOC,利用四點(diǎn)共面定理可得

4848

31

-+-+t=\,即可求解.

48

【詳解】因?yàn)?OP—(24,4P=一~-OA+—OB+tOC,

48

所以麗-萬(wàn)二二方+!歷+灰,

48

—?3―?1—?—?

即OP=—04+—+,

48

31

由于A,B,C,尸四點(diǎn)共面，則:十二+%=1,

48

解得：t=-

8

一7-11-3

6,右向量”(I,-%.，b=1),c=(0,1,-5)共面,則“=

【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】空間向量共面求參數(shù)

【分析】根據(jù)給定條件，利用共面向量定理列式計(jì)算即得.

-113-

【詳解】由6=(5，-],1),c=(O,l,--),得兒己不共線，

________7113

由a,6,c共面，得。=xb+yc,x,yeR,即。，-〃，萬(wàn))=工弓廠聯(lián)口+雙。[,-/),

1,-1

2

1

則＜一,x+y=f,解得x=2,y=—1/=2,

37

x----y=—

22

所以劉=2.

【鞏固練習(xí)1】(多選)設(shè)x=a+b，y=b+cz=c+a，且｛。,正｝是空間的一個(gè)基底，給出下列

7/67

向量組：①｛。區(qū)尤｝；②｛x,y,z｝；③抄,c,z｝；④｛x,y,a+3+z｝,則其中可以作為空間的基底的向量

組有（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】BCD

【知識(shí)點(diǎn)】判定空間向量共面

【分析】利用空間向量為基底作出一個(gè)平行六面體，利用空間關(guān)系來觀察是否共面，即可得出判

斷.

【詳解】

x=a+b,根據(jù)平面向量基本定理得：a,b,x共面，｛或2?。荒茏鳛榭臻g向量的一個(gè)基

底.所以①不符合；

x=a+b,y=b+c,z=c+a,且｛落尻己｝是空間的-一個(gè)基底,

由圖可知，四點(diǎn)4練。，2不共面，所以-y,三不共面，低為科可作為空間向量的一個(gè)基

底.所以②符合

，由圖可知，四點(diǎn)44，。,C不共面，所以刃，c,三不共面，｛反己,彳｝可作為空間向量的一個(gè)基底,

所以③符合

,?*a+b+z=x+z,

J由圖可知，1+三與嚏共面于平面430,顯然亍對(duì)應(yīng)的直線ADX2平面平面48。，

所以x,y,5+石+三不共面，｛只5,1+3+2｝都可作為空間向量的一■個(gè)基底.所以④符合

故選;BCD.

【鞏固練習(xí)2】已知?jiǎng)狱c(diǎn)。在△N5C所在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若對(duì)于空間中不在平面上的任意一點(diǎn)尸,

都有而=_2泊+5詬+加而，則實(shí)數(shù)加的值為（）

A.0B.2C.-1D.-2

【答案】B

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【知識(shí)點(diǎn)】空間向量共面求參數(shù)

【分析】由三點(diǎn)共面得到系數(shù)之和為1,從而解出加的值.

【詳解】因?yàn)槎?-2萬(wàn)+5麗-機(jī)無，動(dòng)點(diǎn)。在△ZBC所在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所以-2+5-〃?=1,解得

m=2.

【鞏固練習(xí)3】已知向量Z=（2,—1,3）,6=（-1,4,-2）,"=（1,3㈤，若b,工共面，則4=（）

A.4B.2C.3D.1

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】空間向量共面求參數(shù)

【分析】根據(jù)共面定理得工=加Z+痛，即可代入坐標(biāo)運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)镼,b,°共面，所以存在兩個(gè)實(shí)數(shù)加、〃，使得。=加。+〃3,

2m—n=1m=1

即（1,3,入）=加（2,-1,3）+〃（一1,4,一2）,即〈一加+4〃=3,解得<〃=1.

3m—2n=A4=1

【鞏固練習(xí)4】如圖，在空間四邊形。43c中，G是△4BC的重心，若而=xE+y礪+z（^,則

x+y+z=.

C

。《匚二…卜…9〃

【答案】1

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的心的向量表示、空間向量加減運(yùn)算的幾何表示、用空間基底表示向量

【分析】結(jié)合G是△ABC的重心，根據(jù)向量的線性運(yùn)算，代入即可得出.

—■1—?1—.

【詳解】。為N8中點(diǎn)，連接OD,CD,有。。=5。/+］。6,

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G是ZUBC的重心，則G在C。上，且CG=2GQ,

即才=2①，則有赤-雙=2(歷-礪)，

——?2―?1—?2(1—-1—1—?1—?1―.1—.

所以O(shè)G=—OD+—。。=--OA+-OB\+-OC=-OA+-OB+-OC

333(22J3333

可得x=y=z=1,則有x+y+z=l.

【題型3】夾角，數(shù)量積，投影計(jì)算

基礎(chǔ)知識(shí)

與平面向量公式一致

7.(多選)已知空間向量初=(1,2,4),前=(0,-2,1),則()

A.~BA-BC=Q

B.0在五上的投影向量為(0,2,-1)

C.若向量屁=(1,0,6),則點(diǎn)E在平面45C內(nèi)

D.向量10,-20，字］是與打平行的一個(gè)單位向量

【答案】ABD

【分析】由空間向量垂直和平行坐標(biāo)運(yùn)算判斷AD,由空間向量基本定理判斷C,由投影向量判斷B.

【詳解】由已知可得法=(1,2,4)，丁=(0,-2,1),瓦?前=0-4+4=0,A正確；

由于胡18C,所以。在無上的投影向量即為無=(0,2,-1),B正確；

若麗在平面ABC內(nèi)，則存在實(shí)數(shù)x,y,使得'BE=xBA+yBC,而

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BE=(1,0,6),BA=(1,2,4),BC=(0,-2,l),

l=x

所以＜0=2x-2九

6=4x+歹

上述方程組無解，故點(diǎn)E不在平面ABC內(nèi)，C錯(cuò)誤;

所以D正確.

8,已知Z，b,展是空間中兩兩垂直的單位向量，則帆+3-24=()

A.7l4B.14C.V2D.2

【答案】A

【分析】利用空間向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解.

【詳解】依題意得，同=忖=同=1,a-b=a-c=c-b=0-,

所以B-2c\=^a+b-2c)2=yj9a2+b2+4c2+6a-b-na-c-4b-c=J9+1+4=V14,

【鞏固練習(xí)1】已知Z=(2,3,l),b=[1,-2-2),則1在書上的投影向量為()

A.2bB.-2b

C.-bD.

3-京

【答案】D

【分析】根據(jù)空間向量的投影向量公式進(jìn)行求解.

a.b_(2,3,1).(1,-2,-2)_2-6-2_2

［詳解］用=儼+(_2)2+(_2)2=-9—=一§'

故Z在B上的投影向量為

【鞏固練習(xí)2】已知同=4,空間向量)為單位向量，值沖=望，則空間向量5在向量3方向上的

投影向量的模長(zhǎng)為()

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A.2B.—2C.—D.g

22

【答案】A

a,c

【分析】由空間向量3在向量G方向上的投影數(shù)量為詞",運(yùn)算即可得解.

T―

【詳解】由題意，同=4,同=1,伍0=子，

則空間向量G在向量巨方向上的投影數(shù)量為匕=?"?3|_l|

=-4x=

W—R一〔”廠

所以所求投影向量的模長(zhǎng)為2.

【鞏固練習(xí)3】在空間四邊形CM3C中，OB=OC,NAOB=NAOC,則cos（方，亥的值為（）

A.；B.C.—D.0

222

【答案】D

【分析】先利用題給條件求得方.前的值，進(jìn)而求得cos（E,前）的值.

【詳解】如圖所示，

■：OABC^OA（J）C-OB）=OAOC-OA-OB

=網(wǎng)■|oc|cos^AOC-網(wǎng)■網(wǎng)cosZAOB,

又OB=OC,ZAOB=ZAOC,

則網(wǎng)?|oc|cosZAOC-網(wǎng)-西?cos/AOB=0

,《_L瑟，，前[=],cos（QA,BC^=0.

模塊二中檔題型

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【題型4】利用空間向量求線段長(zhǎng)

/核心?技巧/

先把所求線段拆分成基底的形式，再將等式兩邊同時(shí)平方

9.如圖，在四棱錐P-NBCO中，底面4BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱尸N的長(zhǎng)為2,且尸/與

AB、ND的夾角都等于60。，M是尸C的中點(diǎn)，設(shè)施=入AD=b，AP=c.

(1)試用a,3,c表示向量?jī)?;

⑵求BM的長(zhǎng).

__1-1-1-

【答案］⑴-6—a+-c

222

⑵手

2

【分析】利用空間向量基本定理用基底表示函7;(2)在第一問的基礎(chǔ)上運(yùn)用空間向量數(shù)量積運(yùn)算

法則進(jìn)行運(yùn)算.

【詳解】(1)JM=BC+CM=AD+^CP=AD+^(CB+BA+AP)

—?1—?1—?1—?1一1一1-

=AD——AD——AB+-AP=-b——a+-c

222222

/、--2(11-1-丫>21-21-2--1--1--

(2)BM=—b—a+—c=—b+—a+—c—a-b+—c-b—a-c

(2221444222

=—+—+1-0+—x2xlx---x2xlx—=—,所以=逅則BM的長(zhǎng)為.

4422222??22

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10.如圖在平行六面體48CD-48'C'D'中，48=3,40=1,44'=2,

/BAD=90°,/B44'=ND44'=60°,則/C'的長(zhǎng)是.

【知識(shí)點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的應(yīng)用

【分析】根據(jù)題意，由條件可得定=萬(wàn)+7萬(wàn)+N7,再由空間向量的模長(zhǎng)公式，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)樵?與+而+五？，所以|而『=（萬(wàn)+而+五J）?=|詬（+|亞『+|五7『

+21網(wǎng)畫cos90。+2網(wǎng).網(wǎng)cos60。+2畫.網(wǎng)cos60。=9+1+4+0

+2x3x2x；+2xlx2x；=22,則|%|=夜，所以4C'的長(zhǎng)是后.

11.如圖，二面角2-/-4等于120。，A、3是棱/上兩點(diǎn)，BD>/C分別在半平面。、夕內(nèi),

ACLl,BDLI,且45=4,AC=6,BD=8,則CD的長(zhǎng)等于.

【知識(shí)點(diǎn)】由二面角大小求線段長(zhǎng)度或距離、空間向量數(shù)量積的應(yīng)用、空間向量加減運(yùn)算的幾何表

示

【分析】根據(jù)二面角的定義，結(jié)合空間向量加法運(yùn)算性質(zhì)、空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即

可.

【詳解】由二面角的平面角的定義知（麗，元）=120。，

:.BD-AC=\BD\\AC\cos（BD,AC）=8x6xcosl20°=-24,

由/C_L/,BDLI,得就?茄=0,而.9=0,^DC=DB+BA+AC,

2???------?2?2?2*■,??.”

M二（DB+BA+AC）2=DB+BA+AC+2DB?BA+2DB?AC+2BA,AC

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=82+4?+62-2麗?就=96-2x(-24)=164,

所以|DC|=2同，即CO=2jZi

jr

12.(23-24高二上?重慶?期末)如圖，在平行六面體Z8CD-48cA中，ZAlAD=~,

Z.AXAB=,7.BAD=,AB=6,AD=4,AA1=36.,/C與3D相交于點(diǎn)O.

⑴求方.疝5;

(2)求4。的長(zhǎng).

【答案】⑴12

(2)4

【知識(shí)點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的應(yīng)用、求空間向量的數(shù)量積

【分析】(1)根據(jù)萬(wàn)?通=|方4?cos(萬(wàn),1萬(wàn))，代入數(shù)值直接求得結(jié)果;

(2)化簡(jiǎn)可得|葩卜;刀+；石-五《，然后采用先平方再開方的方法求解出R4,則4O的長(zhǎng)可

知.

【詳解】(1)2B-HZ)=|ZB|.|2D|-COS(M^5)=6X4XCOS|=12.

(2)因?yàn)槎?與_可=|■就一麴=g(益+而)_?=：萬(wàn)+g同一石,

+-AB-AD-AB-AA,-AA.-AD

211

=J—x36+—x16+18+—x6x4xcos--6X3A/2xcos--3A/2X4Xcos—

V442344

=j9+4+18+6-18-12=近

【鞏固練習(xí)1】在平行六面體/BCD-中，48=2,AD=2,AA1=2,

NB44=ZDAA,=60°,/BAD=90°,則|/Cj=

15/67

【答案】2百

【知識(shí)點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的應(yīng)用

【分析】根據(jù)題意，由條件可得苑=池+石+您，再由空間向量的模長(zhǎng)公式計(jì)算即可得.

【詳解】因?yàn)榛?7§+通+五彳，

所以|福卜西+而+而『=|-12+,『+|—12

+2畫.畫cos90。+2畫.網(wǎng)cos60。+2畫.畫cos60°

=4+4+4+0+2x2x2x—+2x2x2xi=20,

22

故函=回=2后

故答案為：26.

【鞏固練習(xí)2】如圖在一個(gè)60。的二面角的棱上有兩點(diǎn)/、B,線段/C、8。分別在這個(gè)二面角的兩

個(gè)半平面內(nèi)，且均與棱48垂直，若48=0,AC=1,BD=2,則8=.

【答案】45

【知識(shí)點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的應(yīng)用

【分析】利用刀，百，麗表示①，根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)求|無|即可.

【詳解】由已知可得而=0+方+而，所以西=向+方+西=+萬(wàn)+而丫，

因?yàn)榫€段NC、BD均與棱48垂直，所以刀_L。，,

因?yàn)槎娼堑拇笮?0。，所以（X,麗）=60°,

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1-----?------?-------\2/>2.2?2.“

所以Q)CA+AB+BD^=g+AB+BD+2CABD,

因?yàn)锳B=6,AC=l,BD=2,

所以CD+22+2xlx2x--=75

12J

【鞏固練習(xí)3】在正四面體/BCD中，M,N分別為棱8C、的中點(diǎn)，設(shè)在=￡,AC=b，

AD=c,用b,口表示向量力法=,異面直線。加與CN所成角的余弦值為.

1-1

【答案】-(?+/>-2c)-

26

【分析】畫出對(duì)應(yīng)的正四面體，設(shè)棱長(zhǎng)均為1,

由向量的三角形加法法則和平行四邊形加法法則得出答案；

(2)設(shè)異面直線ZW與CN所成角為6,將方耘，國(guó)用基底萬(wàn)，乙表示，代入公式計(jì)算得出答案.

【詳解】畫出對(duì)應(yīng)的正四面體，設(shè)棱長(zhǎng)均為1,則

(1)DM=DA+AM=-c+-^(a+b)=^(a+b-2c).

(2)由(1)DM=^(a+b-2c),又CN=AN-AC==；(a-2E).

又=Q,C=RC=；.設(shè)異面直線DA/與CN所成角為6.

|2贏.2球\(a+b-2c)-(a-2b)\

貝Ucos0=

12DM|-|2CN|V3-V3

^a-2a-b+a-b-2b2-25-c+46-c|+--2-1+21

3-3~6

【鞏固練習(xí)4]如圖，在平行六面體43cz)-4_8]CQi中，AB=5,AD=3,AAX=4,

NDAB=90。，/B44]=/D44=60。,E是CQ的中點(diǎn)，設(shè)池=2,AD=bAAx=c.

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(1)求/E的長(zhǎng)；

⑵求方和就夾角的余弦值.

【答案】(1)3指

⑵班

9

【知識(shí)點(diǎn)】向量夾角的計(jì)算、空間向量數(shù)量積的應(yīng)用

【分析】(1)根據(jù)空間向量基本定理得到亞=2+否+g",平方后結(jié)合空間數(shù)量積公式求出

次2=54,求出答案；

(2)先求出萬(wàn)?就=卜+6+；43=12,結(jié)合空間向量夾角余弦公式求出答案.

【詳解】(1)由題意得方=益+數(shù)+屋=￡+通+工西=2+1+工)，

22

文AB=5,AD=3,必=4,ZDAB=90°,^BAA}=ZDAA}=60°,

故萬(wàn)2=(a+b+-c]=a2+b2+-c2+2a-b+b-c+a-c

I2J4

=5?+32+；x42+2同.J,cos90°+J,-|c|cos60°+同?同cos60°

=25+9+4+2x5x3*0+3x4x1+5x4x1

22

=25+9+4+6+10=54,

故卜目=3指；

(2)=+==|?|-|&|cos90°+|fe|2+1|c|-|fe|cos600

11

=5x3x0+392+—x3x4x—=9+3=12,

22

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AE-BC12276

則cosZE,sc-

HR376x3丁

【題型5】立體圖形中的極化恒等式

/核心?技巧/

在三角形ABC中（M為BC的中點(diǎn)），則方.就=|/叫2一忸閭2

證明（基底法）：因?yàn)锽C=2BM,

所以瓦.就=（屈+癡）.（屈+標(biāo)）=|/閭2-忸叫2

13.如圖，半徑為1的球。是圓柱。02的內(nèi)切球，線段是球。的一條直徑，點(diǎn)P是圓柱。02表

面上的動(dòng)點(diǎn)，則萬(wàn).麗的取值范圍為（）

A.[0,1]B.[0,73]

C.[0,2]D.[1,2]

【答案】A

【分析】先把刀，詼都用A0表示，再根據(jù)而的模長(zhǎng)的范圍求出數(shù)量積的范圍即可.

【詳解】-：PAPB=（Pd+OA）（Pd+OB）,

因?yàn)榫€段22是球O的一條直徑，

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..5=礪,網(wǎng)=幽=1,

222PO=

■.?JE4PB=（TO+a4）（P0-a4）=TO-O4=|to|-1,又而[M=1，\\MAX>:百.麗e[O,l]

14,已知所是棱長(zhǎng)為8的正方體外接球的一條直徑，點(diǎn)M在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，則標(biāo).礪的最小

值為.

【答案】-32

【分析】根據(jù)已知條件及正方體的體對(duì)角線為正方體外接球的直徑，再利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)

算，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算即可求解.

【詳解】由題意可知，斯為棱長(zhǎng)為8的正方體外接球的一條直徑，。為球心，M為正方體表面上的

任意一點(diǎn)，如圖所示

則球心O也就是正方體的中心，

所以正方體的中心O到正方體表面任意一點(diǎn)"的距離的最小值為正方體的內(nèi)切球半徑，它等于棱長(zhǎng)

的一半為4,石尸的長(zhǎng)為正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為J&2+8?+82=8力.

該訴=（彷+碼.（布+而）=（布+歷）.（荻一礪）=|而『一函2

=西-=|OA1|-48,所以標(biāo).加的最小值為4?-48=-32.

15,正四面體羽CD的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)P是該正四面體內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)沙.而取得最小值時(shí),

點(diǎn)尸到的距離為.

【分析】利用等體積法求得r=如，根據(jù)空間向量運(yùn)算可得強(qiáng).而二尸尸-,，則當(dāng)尸E的長(zhǎng)度最小

124

時(shí)，互5.所取得最小值，結(jié)合正四面體的結(jié)構(gòu)特征運(yùn)算求解.

【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為X,ABCD的中心為G,連接

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即四面體4BCD的高為逅，則其體積為L(zhǎng)x^xlxlx也=

3322312

設(shè)正四面體48co內(nèi)切球的半徑為r,

由等體積可得4X!X』X1X1X——xr=,解得/=——,

3221212

如圖，取力。的中點(diǎn)為后,

-----?-?------?-----?------?------?------2------------?------------?------------------2

則尸/.PZ)=(PE+E/>(PE+EZ))=PE+PE\EA+ED)+EA-EDPE

4

顯然當(dāng)PE的長(zhǎng)度最小時(shí)，刀.而取得最小值.

設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為o,可求得o/=1_"=Y5,

3124

V2

因?yàn)榍蛐腛到點(diǎn)E的距離d=yJOA2-AE2=

4

所以球。上的點(diǎn)尸到點(diǎn)E的最小距離為d-，=正一如=些-也

41212

即當(dāng)莎?麗取得最小值時(shí)，點(diǎn)尸到AD的距離為36■一屈

3亞-布

故答案為:

~12

【鞏固練習(xí)1】已知是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)尸在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，正方體的棱長(zhǎng)是

2,則西7.麗的取值范圍為（）

A.[0,4]B.[0,2]C.[1,4]D.[1,2]

【答案】B

[分析】利用向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算律可得PM.PN=PO2-i，根據(jù)正方體的特點(diǎn)確定|PO|

最大值和最小值，即可求解

【解析】設(shè)正方體內(nèi)切球的球心為。，則OM=ON=1,

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---?---?/---?---?\/--?---?\---?2---?/---?---?\---?----

PM-PN=^PO+OMyyPO+ON^=PO+PO（OM+ON）+OMON,

因?yàn)槭钦襟w內(nèi)切球的一條直徑，

所以而+加=0,OMON=-\,

所以兩7?麗=麗2_1，

又點(diǎn)P在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，

所以當(dāng)戶為正方體頂點(diǎn)時(shí)，po|最大，且最大值為百；

當(dāng)尸為內(nèi)切球與正方體的切點(diǎn)時(shí)，po1最小，且最小為1；

所以04所2-142，所以尸的取值范圍為[0,2]

【鞏固練習(xí)2】已知正方體N6CE>-44G。的棱長(zhǎng)為4,球O是正方體的內(nèi)切球，MN是球O的直

徑，點(diǎn)G是正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則而.而的取值范圍為（）

A.[0,8]B.[0,8）C.[0,4]D.[0,4）

【答案】A

【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的性質(zhì)，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)榍?。是正方體的內(nèi)切球，是球。的直徑，

所以O(shè)M=ON=2,OM=-ON,OA/-O2V=2x2x（-l）=-4,

因?yàn)檠?而=（詼+兩卜（彷+而）=（彷+而>（彷_加）=詼2_麗2=|彷『_4,

又因?yàn)辄c(diǎn)G是正方體表面上的一?個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

所以當(dāng)點(diǎn)G為正方體頂點(diǎn)時(shí)，修外有最大值，最大值為1542+4z+42=2小,

當(dāng)點(diǎn)G為內(nèi)切球與正方體的切點(diǎn)時(shí)，|詼|有最小值，最小值為2,

?P2<|GO|<2V3^>4<|GO|2<12^0<|GO|2-4<8,

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即而.曲的取值范圍為[0,8]

【鞏固練習(xí)3】已知正方體/BCD-44G。的棱長(zhǎng)為2,球。是正方體的內(nèi)切球，點(diǎn)G是內(nèi)切球。

表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則無.沃1的取值范圍為（)

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，取3c中點(diǎn)為則面.品GH2-HC2=GH2-1＜再結(jié)合向量的運(yùn)算，代入

計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】

取3c中點(diǎn)為〃，因?yàn)樯?麗+麗，GC=GH+HC,

所以雷杳=罰一反2=癡一1-

又麗=詼+而，則曲2=詼2+而2+2的?而，

又正方體的棱長(zhǎng)為2,則正方體的內(nèi)切球半徑為1,^|GO|=1,|OH|=V2,

所以GH2=3+2&COS?,OH）,

所以赤.沅=麗2-1=2+2缶0$（詼,麗），

所以當(dāng)前，而反向時(shí)，cos（GO,O〃）=-l,^.岳有最小值為？-2】！;

當(dāng)?shù)?，而同向時(shí)，cos（而，而）=1,而反1有最大值為2+2JI.

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【題型6】點(diǎn)到直線距離問題

/核心?技巧/

點(diǎn)到直線的距離

已知直線1的單位方向向量為1,A是直線1上的定點(diǎn)，P是直線1外一點(diǎn)，設(shè)向量萬(wàn)=￡在直線/

上的投影向量為Z。，則點(diǎn)P到直線1的距離為J/_(ZG)2(如圖).

【注意】也可以用此法求“兩條平行直線直接的距離”，即在一直線上任取一點(diǎn)，再利用點(diǎn)到直線的

距離求得.

16.在空間直角坐標(biāo)系中，已知4(14,-