2024-2025學(xué)年陜西寶雞金臺(tái)區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年陜西寶雞金臺(tái)區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)質(zhì)量

檢測(cè)試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知°=4+2百，C=4-2A/3,以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.若6,C三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，貝Ijb=4

B.若％6+8也6-百,c五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則6=4

C.若。c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則6=2

D.若6,c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則6=±2

2.已知橢圓x123*6+my2=l的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則實(shí)數(shù)小的值是（）

；或2

A.2B.■或4C.v

42

3.拋物線》=2%2的準(zhǔn)線方程為（）

1111

A.y=——B.y=——C.x=——>.x=——

8282

4.如圖，在四面體0/3。中，OA=a<礪=5，女=1點(diǎn)M、N分別在線段04、

8c上，且20M=M4,CN=2NB,則而等于（）

1-21-

B.——a+—br——c

333

1-2f2-

D.-a+—b+—c

333

5.已知直線/：V3x-j^+l=0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線/的傾斜角是g

6

B.若直線加：x-6_y+l=0，則/_1_加

C.點(diǎn)（6,0）到直線/的距離是1

D.過（2百,2）與直線/平行的直線方程是氐-歹-4=0

6.已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”.且§5=4,幾=12,則幾

A.16B.19

C.28D.36

7.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1,1，

2,3,...；該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩個(gè)數(shù)都是1,從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前

鄰兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，若記此數(shù)列為

{%}，則以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.%=5B.4=8

C.Q；+Q；---卜aj=”/“HiD.+a；H---=ah

8.若過點(diǎn)（2,1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切,貝!J圓心至!J直線2x—>一3二0的距離為

A.f2V5375n4V5

-----------U>------------

555

二、多選題（本大題共4小題）

22

9.若方程'+工=1所表示的曲線為C,則（）

5—tt—1

A.曲線C可能是圓

B.若1</<5,則C不一定是橢圓

C.若C為橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，則1<3

D.若。為雙曲線，且焦點(diǎn)在夕軸上，貝卜<1

10.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）

A.（x3+ex）*=3x2+e1B.（3*+sinx）'=3"ln3-cosx

C.［（3X+5）31=3（3x+5>D.=~2xsin^4cos-

VxJx

11.設(shè)拋物線V=4x,尸為其焦點(diǎn)，尸為拋物線上一點(diǎn).則下列結(jié)論正確的是（）

A.若尸（1,2）,則|產(chǎn)司=2

B.若P點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3,則P的坐標(biāo)為（2,2亞）.

C.若4（2,3）,則1Ml+|P典的最小值為而.

D.過焦點(diǎn)廠作斜率為2的直線與拋物線相交于A,8兩點(diǎn)，則|/同=6

12.如圖，在正方體/3CD-44GA中，點(diǎn)尸在線段耳。上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的

是（）

A.直線BD1平面

B.三棱錐尸-4G。的體積為定值

TTJT

c.異面直線/P與4。所成角的取值范圍是

D.直線CZ與平面4G。所成角的正弦值的最大值為逅

3

三、填空題(本大題共4小題)

13.焦點(diǎn)在％軸上，b=l,?=且的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

2

14.等比數(shù)列｛〃〃｝中，4+。3=5,4+。4=1°，則“5=.

15.曲線“X)=ln(5x+2)在點(diǎn)(-。0)處的切線方程為.

22

16.已知雙曲線5-方=1與直線＞相交于M、N兩點(diǎn)，且M、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之

積為-1，則該雙曲線的離心率為

2

四、解答題(本大題共6小題)

17.已知等差數(shù)列｛%｝的前3項(xiàng)和是24,前5項(xiàng)和是30.

(1)求這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)若北是｛%｝的前〃項(xiàng)和，則北是否存在最大值？若存在，求(的最大值及取得最大

值時(shí)〃的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

18.在平面直角坐標(biāo)系X(9y中，已知圓。：x?+y2=4和圓-4x+4y+4=0.

⑴若圓。與圓C關(guān)于直線/對(duì)稱，求直線/的方程；

(2)若圓。上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線了=2x+b的距離都等于1,求6的值.

19.已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且a用=S.+3("eN+).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵若，=〃+1,令C"=ci"b",求數(shù)列｛g｝的前"項(xiàng)和卻

20.如圖，已知點(diǎn)/(6,4),軸于點(diǎn)瓦￡點(diǎn)是線段。/上任意一點(diǎn)，ECL48于

點(diǎn)、C,軸于點(diǎn)D,OC與相交于點(diǎn)凡求點(diǎn)歹的軌跡方程.

22

21.已知雙曲線C:、-W=l(a>0,b>0)的漸近線方程是昨±2無，實(shí)軸長(zhǎng)為2.

(1)求雙曲線。的方程；

(2)若直線/與雙曲線。交于48兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為"(3,2),求直線/的斜率.

22.在四棱錐P-42CD中，△尸/5是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面48CD為直角梯

形，AB//CD,ABLBC,BC=CD=1,PD=g

(1)證明：ABLPD.

(2)求二面角/-尸2-C的余弦值.

答案

1.【正確答案】C

【分析】由等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)的定義逐一驗(yàn)證每一選項(xiàng)即可求解.

【詳解】對(duì)于A,若。也C三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則2b=a+c=8,b=4,故A不符合題

思；

對(duì)于B,若％"行也五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則26=a+c=83=4,

且當(dāng)6=4時(shí)，a,b+百也即4+26,4+6,4,4-W-X/3成等差數(shù)列，故B不符合

題意；

對(duì)于CD,若6,c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，貝1]62=4=（4+26）（4-26）=16-12=4,即

b=±2,故C符合題意，D不符合題意.

故選：C.

2.【正確答案】B

【分析】化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，然后代值計(jì)算即可.

2

一+匕—1

【詳解】由橢圓即2=1,即、+1-1,

m

所以"=1萬=,或/=J_/2=1,所以2=2x2）L或2）上=2x2,

mm\m\m

解得機(jī)=4或1.

4

選：B.

3.【正確答案】A

【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出準(zhǔn)線方程.

【詳解】拋物線方程y=2/可化為，=；了，則〃=；,故拋物線＞=2/的準(zhǔn)線方程為

_P_1

vi-

故選：A

4.【正確答案】A

【分析】由空間向量基本定理結(jié)合線段比例關(guān)系分解向量即可.

【詳解】由題意碣=礪+函=—!0+礪+麗=—礪+，就

333

，血赤+1須+網(wǎng)」￡+勺+匕.

33、,333

故選：A.

5.【正確答案】D

【分析】求解直線的傾斜角判斷A；利用直線的斜率乘積判斷B；點(diǎn)到直線的距離判

斷C；求解直線方程判斷D.

【詳解】直線/:后x-y+l=O,直線的斜率為：百，所以直線的傾斜角為：所以

A不正確；

直線m:x-6y+l=0的斜率為：號(hào),兩條直線不垂直，所以B不正確；

點(diǎn)(G,0)到直線/的距禺是：[3]=2,所以C不正確；

過(2。,2)與直線/平行的直線方程是由工-〉-4=0,正確，所以D正確；

故選：D.

6.【正確答案】C

【分析】利用S5,%-工，成等比數(shù)列求解.

【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S",所以$5，sw-s5,幾-九成等比數(shù)

列，因?yàn)楣?4,%=12,所以品，一工=8,幾-E0=16,故幾=12+16=28.

故選：C.

本題考查等比數(shù)列前n項(xiàng)性質(zhì)，熟記性質(zhì)是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

7.【正確答案】D

【分析】列舉法判斷AB,根據(jù)數(shù)列裂項(xiàng)消項(xiàng)求和判斷CD選項(xiàng).

【詳解】由題意數(shù)列前六項(xiàng)為：1,1,2,3,5,8,故AB正確；

由題意

則說=an(%+-％_])=altan+l-，可得：

a；+a[+…+a；=a；+(a2a3—)+(a3a4—a2a3)+…+(a.a.+i—a.-i%)

=a；+44+]一％g=%a“+i，所以選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤；

故選：D

8.【正確答案】B

【分析】由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為可得圓的半徑為

“，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)(2,1)在圓上，求得實(shí)數(shù)。的值，利用點(diǎn)到直線的距離

公式可求出圓心到直線2x-y-3=0的距離.

【詳解】由于圓上的點(diǎn)（2,1）在第一象限，若圓心不在第一象限，

則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，

設(shè)圓心的坐標(biāo)為（a,a）,則圓的半徑為。，

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（》-?！?（尸。）2=/.

由題意可得（2-“丫+（1-4）2=°2,

可得。2_6〃+5=0,解得。=1或Q=5,

所以圓心的坐標(biāo)為（1,1）或（5,5）,

圓心（1,1）到直線2,tv3-（）的距離均為4=巨=二3=拽；

A/55

圓心（S.5）到直線2.V-.V-3=0的距離均為42x553

=l-~l=逃

A/55

圓心至IJ直線2x-y-3=0的距離均為d=7=

V55

所以，圓心到直線-3=0的距離為也.

故選：B.

本題考查圓心到直線距離的計(jì)算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬

于中等題.

9.【正確答案】ABC

【分析】令"3即可判斷AB；由方程表示橢圓、雙曲線的條件即可判斷CD.

【詳解】對(duì)于AB,當(dāng)/=3時(shí)，曲線C的方程為f+「=2,所以曲線C可能是圓，

不一定是橢圓故AB正確；

對(duì)于C,若。為橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，則5T>/-1>0,解得1<1<3,故C正確;

對(duì)于D,若C為雙曲線，且焦點(diǎn)在y軸上，則”1>0>5-，解得？>5,故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

10.【正確答案】AD

【分析】由導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算以及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)逐一驗(yàn)算即可求解.

【詳解】由題意（V+e?=3/+e*,（3X+sinx/=3XIn3+cosx,

2cosx]'_-lx2sinx-4xcosx_-2xsinx-4cosx

[(3x+5)3]'=3x3(3x+5)2=9(3x+5)2,

-）二?=?>

故選：AD.

11.【正確答案】AC

【分析】由拋物線的性質(zhì)依次計(jì)算各選項(xiàng)所求，即可得出結(jié)果.

【詳解】拋物線V=4x,尸(1,0).

22

對(duì)于A,尸(1,2),|PF|=^(1-1)+2=2,A正確；

22

對(duì)于B,設(shè)尸卜±2五)，(X-1)+4X=3,尤=2,P的坐標(biāo)為(2,±2百).B錯(cuò)誤；

22

對(duì)于C,(|尸/|+|PF|)m]n=\AF\=^(2-1)+3=質(zhì),C正確；

對(duì)于D,直線/：y=2x-2,聯(lián)立y2=4x,得：x2—3x+1=0,

xA+xB=3,|48|=盯+XB+2=5,D錯(cuò)誤.

故選：AC.

12.【正確答案】ABD

【分析】在選項(xiàng)A中，利用線面垂直的判定定理，結(jié)合正方體的性質(zhì)進(jìn)行判斷即

可；

在選項(xiàng)B中，根據(jù)線面平行的判定定理、平行線的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積公式進(jìn)

行求解判斷即可；

在選項(xiàng)C中，根據(jù)異面直線所成角的定義進(jìn)行求解判斷即可；

在選項(xiàng)D中，以。為原點(diǎn)，D4為x軸，DC為了軸，。，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，利用向量法進(jìn)行求解即可.

【詳解】在選項(xiàng)A中，■：ACJBBi，BRcBBi，

且BlDl,BBlu平面網(wǎng)2,

4cl_L平面BB\D\,3。U平面BBR,

：.4G1BD、,

同理，DC,1BDX,

'：4GcA。=G,且4G,Z)Gu平面，

直線BA_L平面故A正確；

在選項(xiàng)B中，

■:A\DIIB\C,4Z)u平面4c①平面4c]。，

/.8]C//平面4G。,

???點(diǎn)p在線段8c上運(yùn)動(dòng)，

到平面的距離為定值，又A4G。的面積是定值，

三棱錐的體積為定值，故B正確；

在選項(xiàng)C中，

?/AXDHBXC,

.?.異面直線4尸與4。所成角為直線/尸與直線8。的夾角.

易知V/8C為等邊三角形，

當(dāng)P為用C的中點(diǎn)時(shí)，AP1B.C；

當(dāng)產(chǎn)與點(diǎn)與或C重合時(shí)，直線/尸與直線8c的夾角為三.

7T7?

故異面直線4尸與4。所成角的取值范圍是y,-,故C錯(cuò)誤;

在選項(xiàng)D中，

以。為原點(diǎn)，D4為x軸，。。為了軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

設(shè)正方體/3CD-4耳GA的棱長(zhǎng)為1，

則尸(°,1,°),G(0,1,1),5(1,1,0),°(0,0,1),

所以卒=(a,0,a-l),^5=(1,1,-1).

由A選項(xiàng)正確：可知用=。,1,-1)是平面4G。的一個(gè)法向量，

???直線GP與平面4G。所成角的正弦值為：

年取11

帝.印飛。+(…飛

.?.當(dāng)時(shí)，直線與平面4G。所成角的正弦值的最大值為如，故D正確.

23

故選：ABD

13.【正確答案】—+y2=l

【分析】結(jié)合橢圓的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】焦點(diǎn)在1軸上，b=l,

2

「2c2

貝!1二=解得=3，

a〃+。24

故〃2=/+(?=4

故所求橢圓的方程為：—+/=1.

4

故工+必=1.

4-

14.【正確答案】16

【分析】由基本量法列方程求出生應(yīng)即可求解.

【詳解】設(shè)｛%｝的公比為9,因?yàn)椋?。3=5,出+%=10,

%+—5;，故。5=%/

所以，解得=16.

3

axq+a1q=104=2

故答案為.16

15.【正確答案】y=5x+l

【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由直線的點(diǎn)斜式方程，可得所求切線

方程.

【詳解】/^)=1!1(5》+2)的導(dǎo)數(shù)為/(幻=三三，

可得曲線〃x)=ln(5x+2)在點(diǎn)(-50)處的切線斜率為斤=5,

則切線的方程為歹=5卜+(1,即y=5x+l.

故了=5x+l.

16.【正確答案】巫仁杷

33

T三一1

【分析】聯(lián)立方程組,消去x,得到關(guān)于了的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定

1

y=-x

：3

理即可求出6,即可得到雙曲線C的離心率.

【詳解】聯(lián)立方程組消去X,得（3〃一1b2_〃=0,

1

y=-x

3

_A21

由題意，-^=_上,得〃=1,

3b2-12

即雙曲線土72=],

3

故雙曲線C的離心率e

故巫

3

17.【正確答案】(1)〃〃=12—2〃,(〃sN*)

(2)當(dāng)"=5或〃=6時(shí)，(的最大值為4=Q=5X6=30.

【分析】(1)由等差數(shù)列求和公式基本量的計(jì)算即可求解.

(2)由等差數(shù)列求和公式結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)由題意設(shè)等差數(shù)列&｝的首項(xiàng)、公差分別為％S,

3x2」

3q+-----cl—24

2

則由題意解得%=104=-2,

5x4」

54+------d=30

2

所以這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為%=12-2〃,("€江).

(2)由(1)%=12-2〃,(〃eN*),所以北=〃(10+；-

而二次函數(shù)/=-/+15的對(duì)稱軸為x=5.5,開口向下,

所以當(dāng)"=5或”=6時(shí)，門的最大值為4=4=5x6=30.

18.【正確答案】(i)x-y-2=o

(2)±V5

【分析】(1)由題意所求直線方程即公共弦方程，兩個(gè)圓方程相減即可求解.

(2)將原問題轉(zhuǎn)換為圓心0(0,0)到直線y=2x+6的距離等于1,由點(diǎn)到直線的距離

公式即可得解.

【詳解】(1)由題意圓。：苫2+y2=4和圓C:，+y2-4x+4y+4=0即(x-2)~+(y+2y=4

關(guān)于直線/對(duì)稱.

兩式相減得，公共弦方程即直線/的方程為X-V-2=0.

(2)圓。：Y?2=4的圓心為o(o,o),半徑為廠=2,

若圓。上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線了=2x+b的距離都等于1,

貝!I圓心。(0,0)至IJ直線＞=2x+6的星巨離等于1,

所以d=J?'=1,解得6=±^5.

V1+4

19.【正確答案】⑴。"=3-2"T(〃eN+)

⑵Z,=3"2("eNj

【分析】(1)由等比數(shù)列基本量的計(jì)算即可得解.

(2)由錯(cuò)位相減法結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可得解.

【詳解】(1)由題意設(shè)等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為外,公比為0,且。“M=S“+3(〃eN+)

所以+3

=S2+3=(%+a聞)+3'

又。囚片0,所以解得％=3,q=2,

所以數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式為=3?2"T,(〃eN+).

(2)若”=〃+1,貝!|c“=。也=3(〃+l)-2"T,(〃eN+),

數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和Tn=3x[2x20+3x2]+…+(〃+1)2"一[,

27；=3X[2X21+3X22+---+(H+1)2"],

兩式相減得V=3x[2x20+2i+…+2"7-(〃+1)21

2x(1-2'1)

=6+3x—'---------+1)2=-%.，，

1-2l'

所以數(shù)列｛g｝的前n項(xiàng)和7；=3"2("eN+).

20.【正確答案】x2=9v,xe[0,6]

【分析】求解直線。/的方程，設(shè)出廠的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化求解C的坐標(biāo)，由向量共線，

求解即可.

2

【詳解】。/的方程為：＞=§x,xe[0,6],

設(shè)尸(x,y),xe[0,6],所以￡卜六)，

可得尸在線段0C上，

2

所以，礪//歷,得=6＞，整理得—=9%XE[0,6]

F的軌跡方程為.％2=9y,xe[0,6]

21.【正確答案】(1)/一二=1

4

⑵6

【分析】(1)利用漸近線方程、實(shí)軸長(zhǎng)求出6可得答案;

（2）設(shè)直線/的方程為＞-2=左卜-3）,與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得答案.

【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程是了=±2》，實(shí)軸長(zhǎng)為2,

所以。=1,2=2,6=2,

a

所以雙曲線。的方程為尤2一四