浙江省杭州市浙里特色聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

浙江省杭州市浙里特色聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．集合A={x|2≤x<4}，集合B={x|x2?5x+6>0}A．(2,4) B．(2,3) C．2．已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=3iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．設(shè)α,β,γ是三個(gè)不同平面，且α∩γ=l，β∩γ=m，則“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．若命題p:?x0,y0A．?x,y>0,x2+yC．?x,y≤0,x2+y5．已知向量a,b，滿足|a|=5，|bA．?3135 B．?1935 C．6．已知函數(shù)f(x)=|sinxcosx+1A．f(x)的周期為πB．f(x)的圖象關(guān)于直線x=πC．(π,14D．f(x)在區(qū)間[π7．如圖，透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器ABCD?A1B1C1D（1）（2）（3）A．沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形B．棱A1C．水面EFGH所在四邊形的面積為定值D．當(dāng)容器傾斜如圖（3）所示時(shí)，BE?BF是定值8．已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,A．934 B．932 C．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知復(fù)數(shù)z=?1+3i，z是z的共軛復(fù)數(shù)，則（）A．|z+3?2i|=B．z的虛部是3iC．z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限D(zhuǎn)．復(fù)數(shù)z是方程x210．已知非零向量a,A．若a?cB．若|a+C．若|a+b|>|aD．已知|a|=2，b=(0,11．如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱DDA．記C1D1的中點(diǎn)為N，CC1上存在一點(diǎn)B．動(dòng)點(diǎn)F軌跡的長(zhǎng)度為3C．三棱錐B1?D．當(dāng)三棱錐B1?三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知2a=3，log413．已知圓錐的底面圓周在球O的球面上，頂點(diǎn)為球心O，圓錐的高為3，且圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則球O的表面積為．14．如圖所示，為了測(cè)量某座山的山頂A到山腳某處B的距離（AB垂直于水平面），研究人員在距D研究所200m處的觀測(cè)點(diǎn)C處測(cè)得山頂A的仰角為30°，山腳B的俯角為15°．若該研究員還測(cè)得B到C處的距離比到D處的距離多80m，且∠BCD=60°，則AB=．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．已知復(fù)數(shù)z=51+2i+1+i（1）求z；（2）若復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程x2+mx+n=0的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)（3）若復(fù)數(shù)z1滿足|z116．在△ABC中，點(diǎn)P在邊AC上，PC=2AP，|AB|=2，（1）求BP的模；（2）求向量BA與BP夾角的余弦值；（3）若點(diǎn)M在邊AB上，求MB?17．三棱柱ABC?A1B1C1的棱長(zhǎng)都為2，D和（1）求證：直線DE∥平面ABC（2）若∠A1AC=60°，點(diǎn)B到平面ACC118．在銳角三角形△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為（1）求角B的值；（2）若b=23，求a19．已知函數(shù)f(x)=6x，（1）求f[g(x)]的解析式；（2）關(guān)于x的不等式f[g(x)]≥k?7x2的解集為R，求實(shí)數(shù)（3）關(guān)于x的不等式f[g(x)]>ax的解集中的正整數(shù)解恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：由x2?5x+6>0解得，x>3或x<2，即又A={x|2≤x<4}，所以A∩B=(3,故答案為：C.【分析】再根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合B，即可求出兩集合的交集．2．【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)閕2=?1，i3所以z=3i所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(3,故答案為：D.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：由α∩γ=l，β∩γ=m，l//m，則故“l(fā)//m”推不出“由α∩γ=l，β∩γ=m，α//β，由面面平行的性質(zhì)定理知故“α//β”能推出“故“l(fā)//m”是“故答案為：B.【分析】由充分條件和必要條件的定義結(jié)合線面、面面的位置關(guān)系對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.4．【答案】B【解析】【解答】解：存在量詞命題的否定是全稱(chēng)命題，將存在量詞改為全稱(chēng)量詞，并否定結(jié)論，

故命題?p為?x,y>0,故答案為：B．【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱(chēng)量詞命題，只需將存在量詞改為全稱(chēng)量詞，并否定結(jié)論即可得答案.5．【答案】D【解析】【解答】解：∵|a|=5，|b|=6，|a因此，cos<故答案為：D.【分析】計(jì)算出a?(a+b)6．【答案】A【解析】【解答】解：由函數(shù)f(x)=|sin由此可作出f(x)的函數(shù)圖象，如圖所示：

對(duì)于A中，由f(x+π)=14?|2sin2(x+π)+1|=所以f(x)關(guān)于直線x=π對(duì)于B中，由f(π?x)=1所以f(x)關(guān)于直線x=π對(duì)于C中，由函數(shù)f(x)圖象可知，f(x)不存在對(duì)稱(chēng)中心，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，因?yàn)閒(π4)=34所以函數(shù)f(x)在[π故答案為：A.【分析】利用二倍角公式化簡(jiǎn)可得f(x)=17．【答案】（1）C【解析】【解答】解：依題意將容器傾斜，隨著傾斜度的不同可得如下三種情形如圖所示：對(duì)于A：依題意，BC//水面EFGH，而平面BCC1B1∩平面EFGH=FG，BC?同理BC//EH，而B(niǎo)C//AD，BC=FG=EH=AD，

又BC⊥平面ABB1A1，平面因此有水的部分的幾何體是直棱柱，

長(zhǎng)方體去掉有水部分的棱柱，沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)锳1D1//BC//FG，F(xiàn)G?平面EFGH，A1D1?平面對(duì)于C：水面EFGH是矩形，線段FG的長(zhǎng)一定，從圖1到圖2，再到圖3的過(guò)程中，

線段EF長(zhǎng)逐漸增大，則水面EFGH所在四邊形的面積逐漸增大，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)容器傾斜如圖3所示時(shí)，有水部分的幾何體是直三棱柱，其高為BC，體積為V，又S△BEF=12BE?BF故選：C.【分析】根據(jù)傾斜度的圖形，根據(jù)線面平行的性質(zhì)及棱柱的定義判斷A，B，C，再根據(jù)柱體的體積公式判斷D.8．【答案】A【解析】【解答】解：因?yàn)閍cosB=(即sin(A+B)=2sinC又C∈(0,π)，sinC≠0，故cosA=1由余弦定理，結(jié)合a=3，可得cosA=即b2+c2=bc+9≥2bc故△ABC的面積S=12bc即△ABC的面積的最大值為93故答案為：A.【分析】利用正弦定理對(duì)已知條件進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，求得A，結(jié)合余弦定理以及不等式求得bc的最大值，再求三角形面積的最大值即可.9．【答案】A,C【解析】【解答】解：由題意可知z+3?2i=2+i，所以|z+3?2i|=5易知z的虛部是3，故B錯(cuò)誤；z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(?1,對(duì)于x2顯然z=?1?3i故選：AC【分析】利用復(fù)數(shù)的定義、模長(zhǎng)公式、幾何意義、共軛復(fù)數(shù)定義與方程的解法一一判定選項(xiàng)即可.10．【答案】B,D【解析】【解答】解：A選項(xiàng)，選項(xiàng)中若c=B選項(xiàng)，由|a+b|=|b|，兩邊平方后化簡(jiǎn)得a→2+2ab→=0，

則利用做差法比較大?。簗2b→|-|a→+2b→|?|2b→|2-|a→+2b→|2=-a→2-4a→b→；

由a【分析】A選項(xiàng)利用特殊值即可判斷；B與C選項(xiàng)平方化簡(jiǎn)即可及逆行判斷；D選項(xiàng)借助圖像即可判斷.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：選項(xiàng)A：當(dāng)點(diǎn)P為CC1的中點(diǎn)時(shí)，利用面面平行的判定即可證明出面NPB1∥面BEA1；A正確；

選項(xiàng)B：取CC1又E為棱DD1的中點(diǎn)，所以根據(jù)線面平行的判定可得B1M//平面A1BE又MN∩B1M=M，MN,B1M?又B1F//平面A1BE，B1∈又F為正方形C1CDD1內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），所以F∈面又面B1MN∩面C1CDD1=MN又MN=2選項(xiàng)C：易知B1C1⊥面C1所以△D如圖，由選項(xiàng)A知，F(xiàn)∈MN，易知F在N處時(shí)，△D此時(shí)S△D1EF=12對(duì)于選項(xiàng)D，如圖，當(dāng)三棱錐B1?D1DF如圖建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

設(shè)球心為O(x,y易知B1所以(x?2)2+yx2+(y?2)聯(lián)立①②③④解得，x=y=34,z=1，所以故答案為：ACD.【分析】由B1F//面A1BE，利用正方體特征找到平面B1MN//平面A112．【答案】27【解析】【解答】解：因?yàn)閘og45=b，所以4故答案為：27125【分析】由題意可得4b=5，再化簡(jiǎn)式子，結(jié)合已知條件即可求13．【答案】48π【解析】【解答】解：依題意圓錐高h(yuǎn)=3，設(shè)圓錐的底面半徑r，母線為l，圓錐的外接球的半徑為R，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則2πr=πl(wèi)l2=可知R=l=23，所以球O的表面積S=4π故答案為：48π.【分析】設(shè)圓錐的底面半徑r，母線為l，圓錐的外接球的半徑為R，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓可得l=2r=2314．【答案】2806【解析】【解答】解：設(shè)BD=t，則BC=80+t，在△BCD中，因?yàn)镃D=200,由余弦定理可得：t2=200則BD=760(m),過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，由題意可得：∠ECB=15則sin∠ECB=sin15cos∠ECB=cos15可得BE=840×6?2則AE=840×6所以AB=AE+BE=840×(6故答案為：2806【分析】根據(jù)題意利用余弦定理可得BD=760(m)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，結(jié)合直角三角形運(yùn)算求解.15．【答案】（1）解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z=51+2i（2）解：法一：因?yàn)閺?fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程x2+mx+n=0的一個(gè)根，所以可得4?4i+i2所以3+2m+n=0m+4=0，解得m=?4，法二：若復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程x2+mx+n=0的一個(gè)根，則根據(jù)韋達(dá)定理得2+i+(2?i)=?m，(2+i)(2?i)=n解得m=?4（3）解：設(shè)z1=x+yi，則|z求|z1則|z1【解析】【分析】（1）由復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)z，再求模長(zhǎng)即可；（2）將復(fù)數(shù)代入方程利用復(fù)數(shù)相等列關(guān)系式求解；（3）利用|z1?1|=216．【答案】（1）解：BP=23BA（2）解：cos?BA,BPcos?BA（3）解：設(shè)邊AB的中點(diǎn)為N，MB?|MN|∈[【解析】【分析】（1）運(yùn)用向量的運(yùn)算法則以及模長(zhǎng)公式即可得到結(jié)果；

（2）利用夾角的余弦值公式進(jìn)行求解即可；

（3）運(yùn)用向量的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，利用|MN17．【答案】（1）解：法一：在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB∥∵D和E分別是BB1和A1∴DF∥BC1，EF∥A又DF?面ABC1，BC1?面ABC1，且EF?∴DF∥面ABC1，EF∥面ABC1，又DF∩EF=F，∴面DEF∥平面ABC1，而DE?面DEF，故直線DE∥平面法二：連接CE交AC1于點(diǎn)G，連接CD交BC1于點(diǎn)在三棱柱ABC?A1B1C∴EGGC∴EGGC=DHHC，則DE∥HG，又DE?面ABC1，HG?面AB（2）解：如圖所示：∵直線DE∥平面ABC1，∴V所以平行四邊形ACC1A1邊由B到面ACC1A則V【解析】【分析】（1）法一，根據(jù)中位線可得線線平行，證明面面平行再證線面平行，法二，作出輔助線，證明DE//（2）根據(jù)線面平行可得VD?AB18．【答案】（1）解：因?yàn)?(acosC+ccosA)=2bsinB由正弦定理邊化角得3所以3sin(A+C)=3sinB=2sinBsinB所以sinB=32又B（2）解：由正弦定理asinA=csinC=所以a2=16?8cos2A?8cos2C=16?8cos2A?8cos2(π?A?=16?8cos2A?8(?=16+43因?yàn)樵阡J角三角形△ABC中0<A<π20<π?A?π3則12<sin(2A?π6)≤1，【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角后整理化簡(jiǎn)即可；（2）利用正弦定理得到a=4sinA,19．【答案】（1）解：由題意，函數(shù)f(x)=6x，g(x)=x所以函數(shù)f[g(x)]的解析式f[g(x)]=（2）解：由（1）和f[g(x