2025高考數(shù)學(xué)考過關(guān)檢測六 解析幾何 專項訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)考二輪專題過關(guān)檢測六解析幾何-專項訓(xùn)

練

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分洪40分在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.

L橢圓9+3=1的長軸長為6,則該橢圓的離心率為()

2.(2024?河南三模)過拋物線V=8x的焦點(diǎn)的直線交拋物線于“4兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐

標(biāo)為4,則|“用=()

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3.已知雙曲線Ca一會=1(心0,6>0)的一條漸近線被圓N+產(chǎn)10尸0截得的線段長等于8,

則雙曲線C的離心率為()

AV15

4.已知4-3,0),8(3,0),C(0,3),一束光線從點(diǎn)尸(-1,0)出發(fā)經(jīng)/C反射后，再經(jīng)上點(diǎn)D反射,

落到點(diǎn)E(l,0)上，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為()

B仔2)

C.(l,2)D.(2,l)

5.已知拋物線V=8x的焦點(diǎn)為￡經(jīng)過點(diǎn)尸(1,1)的直線I與該曲線交于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)尸恰

好為AB的中點(diǎn)，則+|3n=()

6.(2022?全國甲，文11)已知橢圓諄+昌電乂〉。)的離心率為例分別為C的左、右

頂點(diǎn),3為C的上頂點(diǎn).若文?砒=-1,則C的方程為()

r2”2”2

C.—+D—+}^=1

G：(x+2)2+y2=i,C2：(x-2)2+/=49,Ci

7.已知圓動圓C滿足與G外切且與C2內(nèi)切,若/為

上的動點(diǎn)，且說?M=0,則|說|的最小值為()

A.V2B.V3C.2D.V5

8.瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在17世紀(jì)證明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一條直

線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”在平面直角坐標(biāo)系中作A/8C43=ZC=4,

點(diǎn)5(-1,3),點(diǎn)C(4,-2),且其“歐拉線”與圓M(x-a)2+e-a+3)2=r2相切.則圓/上的點(diǎn)到直線

x-y+3=0的距離的最小值為()

A.2V2B.3V2C.4V2D.6

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分在每小題給出的選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知橢圓+的左、右焦點(diǎn)分別是E尸2,左、右頂點(diǎn)分別是出血,點(diǎn)尸是橢圓

上異于小閆2的任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是()

人|「人|+|尸尸2|=5

B.直線口1與直線PA2的斜率之積為［

C.存在點(diǎn)P滿足NEP￡=90°

D.若AFiPB的面積為4而，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為上花

10.(2024?廣東廣州二模)雙曲線具有如下性質(zhì):雙曲線在任意一點(diǎn)處的切線平分該點(diǎn)與兩

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焦點(diǎn)連線的夾角.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C喘-與=10>0)的左、右焦點(diǎn)分別為尸1/2,

右頂點(diǎn)A到一條漸近線的距離為2,右支上一動點(diǎn)尸處的切線記為/,則()

A.雙曲線C的漸近線方程為尸號x

B.雙曲線C的離心率為爭

C.當(dāng)尸尸軸時，甲理=竽

D.過點(diǎn)F［作凡K，/,垂足為K,QK|=2而

11.(2024?新高考/,11)造型7可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中曲線C的一部分.已知

曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且曲線C上的點(diǎn)滿足橫坐標(biāo)大于-2,到點(diǎn)尸(2,0)的距離與到定直線

x=a(a<0)的距離之積為4,則()

A.〃=-2

B.點(diǎn)(2a,0)在曲線C上

C.曲線C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1

D.當(dāng)點(diǎn)(沈,詞在曲線C上時,次<-47

十/

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.(2022?全國甲，文14)設(shè)點(diǎn)/在直線2x+y-l=0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在O/上，則。/的方

程為.

13.圓錐曲線有豐富的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后,反射光線經(jīng)過

另一個焦點(diǎn);從拋物線焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物

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線的對稱軸.已知橢圓C：a+方=1(心6>0)過點(diǎn)(3,1).由點(diǎn)尸(2,1)發(fā)出的平行于X軸的光線

經(jīng)過拋物線G：y2=16x反射到橢圓C上后,反射光線經(jīng)點(diǎn)(-4,0),則橢圓C的方程

為.

14.已知拋物線Z-.x2=4y的焦點(diǎn)為凡圓尸猶2+什-1)』4與拋物線Z在第一象限的交點(diǎn)為

則m=gFAB周長的取值范圍為.

四'解答題:本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

15.(13分)已知點(diǎn)網(wǎng)｝,0),直線/:x=3動點(diǎn)尸到點(diǎn)F與到直線I的距離相等.

(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；

⑵過軌跡C上一點(diǎn)〃(3,迎)作圓(x-2)2+f=i的兩條切線，分別與軌跡C交于異于〃點(diǎn)的

43兩點(diǎn)，求M即

16.(15分)已知橢圓，+3=1(心6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為尸的,離心率為串過點(diǎn)尸2且斜

率不為0的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),AF1/F2的周長為4+2V3.

(1)求橢圓C的方程；

⑵設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|雨+礪|的取值范圍.

2

17.(15分)已知橢圓產(chǎn)r今+產(chǎn)=1的右頂點(diǎn)為/,點(diǎn)M(xo,yo)是橢圓尸上異于/的一點(diǎn),〃AUx

軸于點(diǎn)Nf是〃N的中點(diǎn)，過動點(diǎn)M(xo,yo)的直線l:x^+4y0y=4與直線48交于點(diǎn)C.

(1)當(dāng)xo=|時，求證:直線I與橢圓P只有一個公共點(diǎn)；

(2)求證:點(diǎn)C在定直線上運(yùn)動.

18.（17分）（2024?九省聯(lián)考）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸的直線/交拋物線C于

A,B兩點(diǎn)，過點(diǎn)尸與直線/垂直的直線交拋物線C于D,E兩點(diǎn),其中點(diǎn)B,D在x軸上方

分別為/5QE的中點(diǎn).

⑴證明:直線上W過定點(diǎn)；

（2）設(shè)G為直線AE與直線BD的交點(diǎn)，求AGMN面積的最小值.

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19.（17分X2024?湖南長沙模擬）定義一般地，當(dāng)拉0且屏1時，我們把方程會+鑫="。>6>0）

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表示的橢圓Q稱為橢圓a+a=1（Qb>0）的相似橢圓.

（1）如圖,已知點(diǎn)尸（苗,0）尸2（b,0）〃為OO：N+y2=4上的動點(diǎn),延長為/至點(diǎn)N,使得

也W|=|〃Ri|,EN的垂直平分線與尸2N交于點(diǎn)尸，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C,求曲線C的方程;

（2）在條件⑴下，已知橢圓Q是橢圓C的相似橢圓，跖,M是橢圓Q的左、右頂點(diǎn)點(diǎn)。是

Q上異于四個頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，當(dāng)4e2（e為曲線C的離心率）時,設(shè)直線。跖與橢圓C交

于點(diǎn)4及直線QNi與橢圓C交于點(diǎn)。，瓦求恒用+的值.

專題過關(guān)檢測六解析幾何答案

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.

1.B解析因?yàn)闄E圓9+《=1的長軸長為6,所以橢圓的焦點(diǎn)在了軸上，且加=32=9,所以橢

圓的離心率為等=|.

2.B解析設(shè)/(RM),5(x2,”),由題意知警=4,由拋物線的焦半徑公式得

|叫=8+2)+(&+2)=2'^^+4=2、4+4=12.故選口

3.D解析雙曲線宏-a=1(心0/>0)的漸近線方程為產(chǎn)壬9,即即26x=0.

圓的方程/+產(chǎn)10尸0可化為X2+(J_5)2=25,則圓心為(0,5),半徑為5,

圓心到漸近線的距離為［8之,由弦長公式可得8=2125-弄,

化簡可得b2=ya2,-'-c2=a2+b2=ya2,JS'Je=^=|.

4.C解析根據(jù)入射光線與反射光線的關(guān)系，分別作出關(guān)于NQBC的對稱點(diǎn)G,H,連

接GH灰BC于D,則點(diǎn)D即為所求,如圖.

由題意知/C所在直線方程為尸x+3尸(-1。,設(shè)G(x,y),

仁=%+3

則F2'解得x=-3,y=2,即G(-3,2).

1%+1=-15

由BC所在直線方程為>=-x+3,￡(l,0),同理可得”(3,2),

所以直線G"的方程為歹=2.

聯(lián)立%二一+3,解得x=i,片2,即。(1,2).

5.B解析拋物線產(chǎn)=h中,°=4,其焦點(diǎn)廠(2,0),準(zhǔn)線方程x=-2,過點(diǎn)/,瓦尸作準(zhǔn)線的垂線,

垂足分別為(圖略).

由拋物線定義可知,|/尸|+田尸|=MM+|8N|.

而尸恰好為的中點(diǎn)，故尸火是梯形/BMW的中位線，故MM+但M=2|PR|,

又尸(1,1),故1PAi=1+卜3,

所以月+田/1=2x3=6.

6.B解析由題意知M1(口0)血(見0)以0,6),

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則BA^BA2=(-a,-b),(?,-/))=-a+b=-1,?

,1,_1用2」_02-1)2_1b2

即從等②

聯(lián)立①②，解得.2=9,左=8.故選B.

7.B解析易知圓G的圓心Ci(-2,0),圓G的半徑為尸1=1.圓G的圓心G(2,0),半徑為

r2=7.|CiC21=4<|n-n\,

所以圓G內(nèi)含于圓Q.

設(shè)圓C的半徑為凡則｛因二L

故|CC1|+|CC2|=8>|C1C2|=4,

故圓心c的軌跡為橢圓，且該橢圓的焦點(diǎn)為a,c2.

設(shè)該橢圓的方程為《+《=1(。>6>0),焦距為2c(c>0),

貝2〃=8,可得。=4;由2c=4,可得c=2;b=Va2-c2=2V3,

所以點(diǎn)C的軌跡方程為最+*1.

ioiz

由國?領(lǐng)=0,得CM±CiM,S.\C^M\=l,

由橢圓的幾何性質(zhì)可得1Mlmm=6C=2,故|由|mm=/司扁/取|2=百.

8.A解析因?yàn)樵贏/臺。中48=/C=4,所以8c邊上的高線、垂直平分線和中線合一,

A

則其“歐拉線”為A/BC邊BC的垂直平分線AD.

因?yàn)辄c(diǎn)3(-1,3),點(diǎn)C(4,-2),

所以o(|；).

因?yàn)橹本€BC的斜率為號=-1,所以3c的垂直平分線的斜率為1.

-1-4

所以5c的垂直平分線方程為j-|=x-|,即x-y-1=0.

因?yàn)椤皻W拉線”與圓M:(x-a)2+(y-a+3)2=r2相切，

所以圓心伍止3)到“歐拉線”的距離為上詈十，可得廠=魚.因?yàn)閳A心(a,*3)到直線

x-y+3=0的距離為電浮=3/，所以圓M上的點(diǎn)到直線x-y+3=0的距離的最小值為

3V2-V2=2V2.

二'選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分在每小題給出的選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.BD解析由題意得。=5力=2有,°=有產(chǎn)1(-芯,0)產(chǎn)2(花,0)/1(-5,0)3(5,0),短軸一個頂

點(diǎn)S2(0,2V5),\PFi|+\PF2\=2a=l0,A錯誤；

設(shè)尸(無，頊則日+東1，1=20(點(diǎn)),

皿1鵬2=喜x專=為=20(1<)x木=[,B正確；

因?yàn)閠an/。為凡=需=蕓=所以0°</。昆尸2<45°,從而ZF1B2F2=2Z

\UD2\ZV5Z

0&B<90°,而P是橢圓上任一點(diǎn)，當(dāng)尸是短軸端點(diǎn)時NEPF2最大,因此不存在點(diǎn)P滿足

NEPF2=90°,C錯誤；

S&PF[F?一3尸i尸211ypl=西網(wǎng)=4相網(wǎng)=4,則噂+||=l,xp=±V5,D正確.

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10.ACD解析對于A,由雙曲線C:京-%=1。>0）可知。=2低右頂點(diǎn)/（2祈,0）,其漸近線

方程為了=與乎,由右頂點(diǎn)A到一條漸近線的距離為2,不妨取漸近線法-2圓=0,則

:黃：：=2,解得6=逐,故雙曲線C的漸近線方程為了=上系x=號%,A正確；

對于B,由。=2有力=但得c=J（2俑2+（有）2=5,故雙曲線。的離心率為￡=*=*B

錯誤；

對于C,由c=5可知凡（5,0）,當(dāng)尸尸2”軸時，將x=5代入葛一（=1中，得產(chǎn)5x（弟1）,所以

y=土當(dāng)即得|尸尸2尸亭由于P在雙曲線右支上，故=-^,C正確；

對于D,如圖，連接尸入并延長交EK的延長線于點(diǎn)E,

由題意知『K為NEPE的角平分線，因?yàn)镕,K1/,所以|「人|=,K為RE的中點(diǎn)，又O為

R&的中點(diǎn)，故QK|三尸閨三（|尸印|「7切）=!（甲/1卜干「2|）=1'20=2傷,口正確.

故選ACD.

11.ABD解析:曲線C上的點(diǎn)到點(diǎn)尸（2,0）的距離與到定直線x=a（a<0）的距離之積為4,

而點(diǎn)。在曲線C上，點(diǎn)。到點(diǎn)尸的距離為2,到定直線x="（"0）的距離為圖,.：2—（/）=4,

；.a=-2.；.A正確.

設(shè)點(diǎn)M（x,y）為曲線C上任意一點(diǎn)，則x>-2.由點(diǎn)/到點(diǎn)尸（2,0）的距離與到定直線x=-2的

距離之積為4,可得曲線C的方程為（X+2）7（X-2）2+y2=4（x>-2）.

將點(diǎn)（2夜,0）的坐標(biāo)代入上述方程式左邊，有（2夜+2）J（2近-2）2+02=4=右邊,.：點(diǎn)（2迎,0）

在曲線C上，.:B正確.

由(x+2)jQ-2)2+y2=4(x>-2),得曲線C的方程為爐=(2)2?一2)2@>-2)設(shè)

而)=(展)2-(x-2)2(x>0),則/(X)=-2M；X：；；3"6)(x>0).令8(丫)=/+4/-16@>0),則g((x)=3x2+8x

.：在區(qū)間(0,+8)內(nèi),g(x)恒大于0..：函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+co)內(nèi)單調(diào)遞增.

又g(l)=-ll<0,g(2)=8>0,.JxiC(l,2),使得g(xi)=0..：當(dāng)o<x<xi時,g(x)<0/(x)>(V(x)單調(diào)

遞增，當(dāng)X>X1時,g(x)>0/(x)<0於)單調(diào)遞減..次x)在X=X1處取得最大值，即當(dāng)X=X1時產(chǎn)取

得最大值，且產(chǎn)的最大值為人X1).又於1)次2)=1,?：產(chǎn)的最大值大于1,即Vmax>l.?：曲線。

在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值大于1,故C錯誤.

當(dāng)點(diǎn)（xo』o）在曲線C上時，有羽=（：J2-（X（）-2）2W（-，）2,.JoW：（xo>-2）,?：D正確.

uXQ+ZXQ+ZXQ+Z

故選ABD.

三'填空題:本題共3小題,每小題5分洪15分

I2.(x-1)2+O+1)2=5解析(方法1)設(shè)/(3,0)f(0,l),則線段Z2的垂直平分線方程為

4=3(%-|),即y=3x-4.

二注。解得X=1,

由

y=-1

即圓心〃■的坐標(biāo)為(1,-1).

設(shè)。/的半徑為r,

貝！］^=（3-1）2+12=5.

故所求。Af的方程為(x-l)2+(y+l)2=5.

（方法2）設(shè)圓心M（a,l-2a）,OM的半徑為r,貝！］^=（4/-3）2+（1-20）2=（0-0）2+（1-2^-1）2,

整理可得-10。+10=0,即a=l.

則圓心必1,-1),故所求OM的方程為(x-l)2+(y+l)2=5.

13.椅+《=1解析由題設(shè)知,拋物線G：產(chǎn)⑸的焦點(diǎn)為(4,0),

lo2

由點(diǎn)尸(2,1)發(fā)出的平行于x軸的光線經(jīng)過拋物線G反射后必過點(diǎn)(4,0),再經(jīng)過橢圓C反

射經(jīng)過(-4,0),

可知(4,0卜(-4,0)為橢圓C的兩個焦點(diǎn),

故c=4,而(3,1)在橢圓C上,

2+工=1，二；8,即橢圓0的方程為4+1=1.

由次十y4可得

?52_16,

14.2(4,6)解析如圖所示.

由卜2+(y-1)2=4,解得｛;_，'故m=2.

\x>0,y>0,

(X—「(Xt,2、

由｛/=4y,解得［y=所以"(代).

%=t,Y=t

由.%2+(y-1)2=4,解得,=；+在笆所以5&1+返/1

由拋物線的定義，知4F=/C,

AFAB的周長=FA+FB+AB=AC+AB+BF=BC+2=y/￥i^+4.

因?yàn)楫?dāng)(0,2),所以14-/+46(4,6).

四、解答題:本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

15.解(1)設(shè)點(diǎn)尸(x,y),根據(jù)題意得=|x+1|,

化簡得動點(diǎn)P的軌跡C的方程為j2=|x

(2)S*A/(3,V2),(x-2)2+j72=l,Zx=3即圓的一條切線力(3,-魚).

設(shè)過M的另一條切線斜率為扁件0,則切線方程為廣金=左(>3),又設(shè)5(修/1).

y-V2=k(%-3),

得/品+答2=。,

由方程組■22

y5

??V2+J；I=^,JI=^

;直線為下歷=3-3),其與圓相切,

,|2/c-0-3fc+V2|1.，魚

一千=1/"=不

",-yi=［.：'8滿足j2=|x,?

.:荏=(裳，￥),.：［明=|祠考.

'2a+2c=4+2V3,

16.ft?(1)由題意得c_V3

a~~5

(a—2

解得｛：行故"=4-3=1.

所以橢圓C的方程為￡+儼=1.

(2)因?yàn)槭?(V5,0),所以設(shè)直線48的方程為x=my+V3^4(xi,yi),S(X2?^2).

住+y2=1

由,4'消去工得(加2+4?2+2百加y-1=0,

久=my+V3,

2V3m

"以=干,

(為丫2=-而-

又。4+。8=(修+工2/1+'2)=(即1+町2+27^/1+/),所以|。4+OB\

22

J(my1+my2+2A/3)+(yt+y2)

3

令e(0,；］,所以萼%=焙等=苧=36戶+31.

m2+4V，4」"(4+4)2(m2+4)2

t2

因?yàn)槎魏瘮?shù)y=36/+3t在te(0月上單調(diào)遞增，所以y=36/2+3/e(0,3],

37n2+48

因此\OA+(m2+4)2m=0時取得最大值),

所以|。4+。8|￡（0,2F].

%2

17.證明（1）不妨設(shè)/＞0,當(dāng)配、時，由/+說=1得”三,

所以直線I的方程為*+4x3=4,即

55o4

356

y=-X+-X--

84

由

解得5

4

X2+21-

丁y-

y-5

故直線/與橢圓尸

所以直線/與橢圓P只有一個公共點(diǎn).

（2）因?yàn)镸（x。）。）（不妨取次＞O）,"AUx軸f是KN的中點(diǎn)，所以8（%o考）

yp

因?yàn)榇危?,所以無中2,所以直線48的方程為vT（x-2）,即y=-^x-2）,

%0-N4%0-N）

作0%+4yoy=4,

聯(lián)立Jy=%(02)得保+2R-2xo)x=4xo-8+4y*

【2(XQ-2)'

22

又因?yàn)?+羽=1,所以羽=吟，

因此%Q+2（1-4）-2￡0x=4xo-8+4（l-?）,即為o-2）2x=-（xo-2）2,

所以x=-2,所以點(diǎn)C在定直線x=-2上運(yùn)動.

18.（1）證明由拋物線C:f=4x,得/（1,0）,因?yàn)橹本€與直線DE垂直，所以兩條直線斜率

都存在且不為0,

設(shè)直線4民?！攴謩e為x=加了+1/=加2歹+1,有加1加2=-1,

消去x可得產(chǎn)-4機(jī)iy-4=04=16m：+16>0,故H+H=4加1/1竺=-4,

貝!]xi+X2=m\y\+1+m1J2+1=mi(yi-Hv2)+2=4mj+2,

故手=2/+1,空=2如，

即〃（2相+1,2如）,同理可得N（2m；+1,2加2）,

y

當(dāng)2田+厚2m|+l時，則癡尸2翦魯募+1儼2吟D+2加,

x2m^+l+2m1(62+61)x2mj+1-27nlm2-2近

即y=~F~K;v_2m?-1)+2m1=-

/啰-嗚\1/牝\+恤m2+ml7712+恤m2+ml7712+團(tuán)1

xl-2mim2

m2+mlm2+ml

由如加2=-1,得>=-----1+2=_1_@一3),故x=3時，有y=-(3-3)=0,此時MV過定

7712+mi7712+mim2+ml^2+ml

點(diǎn)，且該定點(diǎn)為(3,0),

當(dāng)2喑+1=2痛+1時，即討=m|時,又如加2=-1,即m\=±\時，有/跖門:=2+1=3,亦過定點(diǎn)

(3,0),故直線過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為(3,0).

(2)解由4(xi,人1)乃(%2必),￡(工3必),。(工4/4),

貝?。荨ㄍ哂蓎j=4xi,於=4x2,得廠號之。-口)+歹1=~^-------7^+%丫為二

%3-%i12yiyi4丫3+丫1ys+yiys+yi

T~~4

4%十

為+yiys+y?

(上+遼，

同理可得/如：了=2+2詈，聯(lián)立兩直線，即為?】弋7】有義+2詈=/+

y4+y274+72Iy=鈕_|_丫2y4ys+yiys+yiy4+y2

V74+72丫4+丫2'

言？即4論4+>2)+71y3。4+〉2)=4論3+>1)+>2Mp3+)1),有尸爾，；；：,；，：3^,，，),

、4+丫24(y4+y2-ys-yi)

由w=-4,同理為必=-4,

故%=y2y4(73+月)少。3(74+丫2)y2y3y4+y。2y4-yiy3y4-y，2y3-4(y2+y4-yi-y3)

=1,故XG=」,

'’4(丫4+丫2少3少1)