2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題 專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

微專題29立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題

［考情分析］“動(dòng)態(tài)”問(wèn)題是高考立體幾何問(wèn)題中最具創(chuàng)新意識(shí)的題型，它滲透了一些“動(dòng)

態(tài)”的點(diǎn)、線、面等元素，給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力，題型更新穎.同時(shí)，由于“動(dòng)

態(tài)”的存在，也使立體幾何題更趨多元化，將立體幾何問(wèn)題與平面幾何中的解三角形問(wèn)題、

多邊形面積問(wèn)題以及解析幾何問(wèn)題之間建立橋梁，使得它們之間靈活轉(zhuǎn)化.

■思維導(dǎo)圖

幾何體的結(jié)構(gòu)特征

1-動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題

空間幾何體中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系—(常見(jiàn)

立折疊、展開(kāi)問(wèn)題

空間向量及其應(yīng)用—1知識(shí)體題型

幾—最值、范圍問(wèn)題

三角函數(shù)及解三角形一何

中

的

動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題用定義法、兒何法及特殊值法一動(dòng)

態(tài)在折疊、展開(kāi)問(wèn)題上線線關(guān)系和數(shù)量

要清楚線線關(guān)系以及數(shù)量關(guān)系，通過(guò)兒何法問(wèn)贏關(guān)系不清晰

題

解決問(wèn)題~~解法一逑目在解決最值、范圍問(wèn)題時(shí)，引入新的

建系或引入變量，利用代數(shù)方法求解最值變量，忽略變量的取值范圍

典型例題

考點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)的軌跡

【典例1】（1）（多選）己知正方體ABCD-AiBiGA的棱長(zhǎng)為4,M為。A的中點(diǎn)，N為四邊形

所在平面上一動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的是（）

B.若MN=4,則MN的中點(diǎn)尸的軌跡所圍成圖形的面積為27t

C.若點(diǎn)N到直線8修與直線。C的距離相等，則點(diǎn)N的軌跡為拋物線

D.若QN與所成的角為全則點(diǎn)N的軌跡為雙曲線

答案ACD

解析如圖所示，對(duì)于A,

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，MO_L平面ABC。，所以/MN。為MN與平面ABC。所成的角，

TT11

所以NMND=w，所以。N=￡>M=]￡>A=1X4=2,

所以點(diǎn)N的軌跡是以。為圓心，2為半徑的圓，故A正確；

對(duì)于B,在RiAMDN中，DN=yjMN2~MD2=^/42-22=2^3,

取的中點(diǎn)E,因?yàn)镻為MN的中點(diǎn)，

而以.PE//DN,且PE=：DN=/,DNLED,所以

即點(diǎn)尸在過(guò)點(diǎn)E1且與垂直的平面內(nèi)，

又PE=小,所以點(diǎn)P的軌跡是以小為半徑的圓，其面積為兀?(市)2=3無(wú)，故B不正確；

對(duì)于C,連接A?,因?yàn)?81，平面A8CD,所以BBJNB,

所以點(diǎn)N到直線BBi的距離為NB,

所以點(diǎn)N到點(diǎn)B的距離等于點(diǎn)N到定直線CD的距離，

又8不在直線CD上，所以點(diǎn)N的軌跡是以8為焦點(diǎn)，CD為準(zhǔn)線的拋物線，故C正確;

對(duì)于D,以。為原點(diǎn)，DA,DC,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則44,0,0),8(4,4,0),01(0,0,4),

設(shè)NQ,y,0),則矗=(0,4,0),D^N=(x,y,—4),

因?yàn)椤?N與A8所成的角為?

所以|cos(AB,DiN)|—cos,

614Vl_______1

所m以4,7+尸+16—2,

整理得專一*=1,所以點(diǎn)N的軌跡為雙曲線，故D正確.

(2)(多選)(2021?新高考全國(guó)I)在正三棱柱ABC—481G中，A8=A4i=1,點(diǎn)尸滿足加=2病

+〃麗，其中4G[0,1],則()

A.當(dāng)九=1時(shí)，△ASP的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐尸一A/C的體積為定值

C.當(dāng)4=3時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得A1PLBP

D.當(dāng)〃4寸，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得AS平面A81P

答案BD

解析而=4病+〃麗(OW/lWl,OW〃W1).

對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)4=1時(shí)，點(diǎn)P在棱CG上運(yùn)動(dòng)，如圖1所示，此時(shí)△ABLP的周長(zhǎng)為AS+

”+/81=也+、1+必2+、1+（1-四）2=色+、1+〃2+、2-2〃+〃2,不是定值，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)〃=1時(shí)，點(diǎn)尸在棱BC1上運(yùn)動(dòng)，如圖2所示，

則憶棱錐A&BC=匕棱卷-BC=3SA?Cx曰=*SAPBC=*XTxiXl=*'為定值,故B正

確；

對(duì)于選項(xiàng)C,取BC的中點(diǎn)。，B1G的中點(diǎn)。1,連接。4由（圖略），則當(dāng)%=3時(shí)，點(diǎn)尸

在線段。G上運(yùn)動(dòng)，假設(shè)小尸，2尸，則小尸+3尸=4由2,即圖2+（1—〃）2+02+/=2,

解得〃=0或〃=1,所以點(diǎn)尸與點(diǎn)?；蚩谥睾蠒r(shí)，AiPlBP,故C錯(cuò)誤；

方法一對(duì)于選項(xiàng)D,易知四邊形為正方形，所以A/LABi,設(shè)4所與A］交于點(diǎn)

K,連接PK,要使42,平面45尸，需AiBLKP,所以點(diǎn)尸只能是棱CG的中點(diǎn)，故選項(xiàng)

D正確.

方法二對(duì)于選項(xiàng)D,分別取的，CG的中點(diǎn)E,F,連接所，則當(dāng)〃=；時(shí)，點(diǎn)尸在線段

EF上運(yùn)動(dòng),以點(diǎn)Ci為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則8（0,11），9（0,1,0）,

I，0),尸(o,1一九，所以篇=(—當(dāng)表1),瓦？=(o,T,9,若A18L平

;1

面ASP,則AiB_L8iP,所以一1+,=(),解得力=1,所以只存在一個(gè)點(diǎn)P,使得4B_L平面

ABiP,此時(shí)點(diǎn)P與尸重合，故D正確.

跟蹤訓(xùn)練1(多選)(2023?揚(yáng)州模擬)已知圓柱。。1的高為1,下底面圓。的直徑AB長(zhǎng)為2,

陶是圓柱OOi的一條母線,點(diǎn)P,Q分別在上、下底面內(nèi)(包含邊界),下列說(shuō)法正確的有()

A.若B4+PB=3,則點(diǎn)P的軌跡為圓

B.若直線。尸與直線。場(chǎng)所成的角為45。，則點(diǎn)尸的軌跡是拋物線的一部分

C.存在唯一的一組點(diǎn)P,Q,使得APLP。

D.AP+PQ+QBi的取值范圍是［行，2小+?。?/p>

答案BC

解析對(duì)于B,如圖，不妨以。為原點(diǎn)，以AB的垂直平分線，OA,。01分別為x,y,z軸

建立空間直角坐標(biāo)系，

貝1J0(0,0,0),A(0,l,0),B(0,-1,0),B1(O,-1,1),

設(shè)尸(尤，y,l),則遍=(0,-1,1),OP=(x,y,l),

由題意,行#半干二塞化簡(jiǎn)得尸十,

由于點(diǎn)尸在上底面內(nèi)，所以點(diǎn)P的軌跡是拋物線的一部分，故B正確;

對(duì)于A,必+PB=3,

即由2+8-1)+1+^/x2+Cy+l)2+l=3,

22

化簡(jiǎn)得寧X+5V=1,

420

即點(diǎn)P的軌跡為橢圓，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于C,設(shè)點(diǎn)P在下底面的投影為尸1,

則由勾股定理可得AP2=PPHAPL

<AP±PQ,貝ij4尸+尸°2=402,

則APHi2+PiQ2+l2=AQ1,

當(dāng)Pi在線段A。上時(shí)，AP彳+尸衛(wèi)2可取最小值，

由均值不等式，得A/+PQ2三2乂竽=竽，

當(dāng)且僅當(dāng)APi=PiQ=竽時(shí)，等號(hào)成立，

所以2=AQ2—（A代+P]Q2）w竽，即402^4,

而點(diǎn)。只有在與點(diǎn)2重合時(shí)，A。才能取到徂

此時(shí)點(diǎn)3與點(diǎn)。重合，點(diǎn)尸與點(diǎn)。1重合，故C正確；

對(duì)于D,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)修，點(diǎn)。與點(diǎn)A重合時(shí)，

AP+PQ+QBI的值為3Ap=3嚴(yán)萬(wàn)=3小>25+小，故D錯(cuò)誤.

考點(diǎn)二折疊、展開(kāi)問(wèn)題

【典例21（多選）如圖,在矩形ABCD中，/為的中點(diǎn),將沿直線AM翻折成

連接3。，N為3。的中點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（）

A.存在某個(gè)位置，使得CNLABi

B.翻折過(guò)程中，CN的長(zhǎng)是定值

C.若AB=BM,則

D.若AB=BM=1,當(dāng)三棱錐Bi—AM。的體積最大時(shí)，三棱錐丹一加如的外接球的表面積

是4%

答案BD

解析對(duì)于A,取的中點(diǎn)為E,連接CE交于點(diǎn)/，如圖1,

貝i]NE〃ABi,NF//MBi,如果CALLAS,貝1EN_LCN,

由于ABi±MBi,則ENLNF,

由于三線NE,NF,NC共面且共點(diǎn)，

故EN_LCN和硒_LNF不能同時(shí)成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,如圖1,由/CEN=NMABi,

iv/W/

B，一七-7c

圖1

ANE=^ABi,AM=EC,

.?.在△CEN中，由余弦定理得NC2=NE2+￡C2—2NEECcos/NEC,是定值，故NC也是定

值，故B正確；

對(duì)于C,如圖2,

/O\\////

B，---------------------c1

取AM的中點(diǎn)0,

\"AB=BM,

即則AALLBiO.

若由于810cB。=81,且囪。8QU平面。口以，

；.AM_L平面0081,O￡>u平面。。81,

：.OD±AM,則AZ)=MD,

由于AOWM。，故不成立，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,根據(jù)題意知，只有當(dāng)平面Bi4W_L平面AMD時(shí)，

三棱錐用一AM。的體積最大，取A。的中點(diǎn)E,

連接。E,BiE,ME,如圖2,

VAB=BM=1,則AS=SM=1,且平面BAMC平面AMD=AM,

：.BYOYAM,BiOu平面81AM,

.?.2。，平面AMD,OEU平面AMD,

:.B1O1.OE,

則AM=小,BiO=%M=*,OE—^DM—^AM—^,

從而EB1=N等+凈=1,

易知EA=ED=EM=1,

.,.AD的中點(diǎn)E就是三棱錐Bi-AMD的外接球的球心，球的半徑為1,表面積是4兀，故D

正確.

跟蹤訓(xùn)練2（多選）（2023?泰安模擬）如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為1,M,N分別為BC,CD

的中點(diǎn)，將正方形沿對(duì)角線AC折起，使點(diǎn)。不在平面ABC內(nèi)，則在翻折過(guò)程中，以下結(jié)論

中正確的是（）

A.異面直線AC與3。所成的角為定值

B.三棱錐。一ABC外接球的表面積為2兀

C.存在某個(gè)位置，使得直線與直線BC垂直

D.三棱錐M—ACN體積的最大值為景

答案ABD

解析對(duì)于A,取AC的中點(diǎn)。，連接。2,0D,貝ijAC_LOB,且AC_L。。,

,；ODCOB=O,OD,OBU平面OB。，

；.AC_L平面OBD,，AC_LB。，異面直線AC與8。所成的角為90。，為定值，故A正確；

對(duì)于B,"：OA=OB=OC=OD,

：.三棱錐D-ABC的外接球球心是O,

外接球半徑R=坐，

...三棱錐。一ABC外接球的表面積S=47tX停］』2兀，故B正確；

對(duì)于C,若直線與直線BC垂直，

VABXBC,ADHAB^A,AD,A3U平面

平面AB。，

J.BCLBD,又8O_LAC,ACHBC=C,AC,BCU平面ABC,

.?.2。_L平面ABC,J.BDLOB,

而△OB。是以08和。。為腰長(zhǎng)的等腰三角形，與題意不符，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,V三棱錐〃一ACN=V三棱錐N—ACM,當(dāng)平面DAC_L平面ABC時(shí)，三棱錐M-ACN的體積取

得最大值，

此時(shí)0￡>=乎，SAACM=|SAABC=1,

（V三梭蓋M-ACN）max=（Vm粳雛N-AcMmax=]義4X4=43，故D正確.

考點(diǎn)三最值、范圍問(wèn)題

【典例3】（多選）（2023?亳州模擬）已知圓錐的頂點(diǎn)為S,高為1,底面圓的直徑AC=2小，B為

圓周上不與A重合的動(dòng)點(diǎn)，歹為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，貝1（）

A.圓錐的側(cè)面積為2小兀

B.ASAB面積的最大值為小

C.直線SB與平面SAC所成角的最大值為60°

D.若8是AC的中點(diǎn)，則（SF+Cf下的最小值為10+行

答案AC

解析圓錐的底面圓半徑廠=小，

圓錐的母線長(zhǎng)為后力=2,則圓錐的側(cè)面積為〃/=2小兀，故A正確；

如圖1,平面&4c為圓錐的軸截面，。為底面圓心，則SO=1,SA=SC=2,

因?yàn)閠anNSCA=3,

所以NSCA=30。，所以NASC=120。，所以（TvNASBWlZO。，

設(shè)ZASB=仇0。＜6W120°）,

則S^sAB^SA-SBsinNAS3=2sin（9W2,故B不正確；

根據(jù)圓錐的結(jié)構(gòu)特征可知，點(diǎn)8在平面SAC上的投影在AC上，

又S8為定值，則當(dāng)點(diǎn)8到直線AC的距離最大時(shí)，直線S8與平面SAC所成的角最大，

所以當(dāng)8是AC的中點(diǎn)時(shí)，直線SB與平面SAC所成的角最大，

由AC=2小知，此時(shí)點(diǎn)2到平面SAC的距離為止，

又因?yàn)楦邽?,所以直線SB與平面SAC所成角的最大值為60。，故C正確；

當(dāng)8是AC的中點(diǎn)時(shí)，AB=BC=y[6,

此時(shí)ASAB為等腰三角形，△ABC為等腰直角三角形，

將△S4B,△ABC沿AB展開(kāi)至同一個(gè)平面，得到如圖2所示的平面圖形，

取AB的中點(diǎn)。，連接SC,SD,CD,

迎

.2

北2./ACCSD

所以sin/ABS=SB=4，

所以cosZCB5=cos（90°+ZABS）=-sinZABS=一邛，

所以SC2=22+6—2X2X加X(jué)（—手）

=10+2-715,

所以（S尸+C尸）22SC2=10+2MB,

當(dāng)且僅當(dāng)S,F,C三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，故D不正確.

跟蹤訓(xùn)練3（多選）（2023?永州模擬）已知四面體A8CD的所有棱長(zhǎng)均為也，M,N分別為棱

AD,BC的中點(diǎn)，尸為棱42上異于A,3的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.線段MN的長(zhǎng)度為1

B.周長(zhǎng)的最小值為陋+1

C./必叫的余弦值的取值范圍為0,1

D.直線FG與直線CO互為異面直線

答案AB

解析因?yàn)樗拿骟wABC。的所有棱長(zhǎng)均為啦，

所以四面體ABCD為正四面體，

將四面體ABC。放置在正方體中，則正方體的棱長(zhǎng)為1,

由M,N分別為棱A。，BC的中點(diǎn)，得M,N是正方體兩個(gè)對(duì)面的中心,

則MN=1,故A正確；

對(duì)于D,當(dāng)尸為A8的中點(diǎn)，G為的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)/為CD的中點(diǎn)，

由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知凡/,G三點(diǎn)共線，

此時(shí)直線FG與直線C。交于點(diǎn)/,故D錯(cuò)誤；

對(duì)于B,將等邊△ABC和等邊△A8D沿展開(kāi)成平面圖形，如圖所示,

則加尸+NF2MN,當(dāng)且僅當(dāng)M,N,尸三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立,

此時(shí)MN=也，

所以的最小值為也，即△FW周長(zhǎng)的最小值為也+1,故B正確;

對(duì)于C,如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則嗎61｝心，L9,

設(shè)廠(1,a,l~a)(O<a<l),

則尸M=(一；,~a,a—；),FN=(一；，1一a,。一；

則cos(FM,麗〉=學(xué)坐=

\FM\\FN\

W+42—〃+/—

則cos(FM,麗〉=

_______4-

~y]16t4+4t2+l，

當(dāng)a=0,即〃=/時(shí)，cos（FM,FN）=0,

當(dāng)5W0,即》e（o,/時(shí)，

——4戶44

cos（FM,FN）=I4?~~~J、

2"+1*+1A6鄰+2>+12

由-G（。，?，得、e（4,+°°）,

叭I0+2>+12>\（4+2>+12=4小，

所以飛

所以cos（FM,FN）e（o,陰，

綜上所述，cos{FM,FN）e0,雪），即cos/MEVG0,叫,故C錯(cuò)誤.

[總結(jié)提升]

求解動(dòng)態(tài)范圍的選擇、填空題，有時(shí)應(yīng)把這類動(dòng)態(tài)的變化過(guò)程充分地展現(xiàn)出來(lái)，通過(guò)動(dòng)態(tài)思

維，觀察它的變化規(guī)律，找到兩個(gè)極端位置，即用特殊法求解范圍.對(duì)于探究存在問(wèn)題或動(dòng)

態(tài)范圍（最值）問(wèn)題，用定性分析比較難或繁時(shí)，可以引進(jìn)參數(shù)，把動(dòng)態(tài)問(wèn)題化歸為靜態(tài)問(wèn)題.具

體地，可通過(guò)構(gòu)建方程、函數(shù)或不等式等進(jìn)行定量計(jì)算，以算促證.

熱點(diǎn)突破

1.（2023?株洲模擬）已知三棱錐A—8CO的側(cè)面展開(kāi)圖放在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，那

么在三棱錐A—8CQ中，與C￡）所成的角為（）

A兀C兀一兀C兀

A.gBqC'D，2

答案D

解析由圖可知，在三棱錐A—BCD中，AB=BC=BD=y[5,AC=AD=^2,CD=2,

取的中點(diǎn)E,連接AE,BE,

因?yàn)锽C=BD=3,AC=AD=?

所以A￡_LC7）,BELCD,

因?yàn)锳EC8E=E,AE,8EU平面ABE,

所以CD_L平面ABE,

因?yàn)锳BU平面ABE,

TT

所以CD_LA8,即AB與C￡）所成的角為]

2.（2023?九江模擬）如圖，正方體48。-4向。。1的棱長(zhǎng)為2,M是平面8CG3內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),

且。MLAC，則。M+MC的最小值為（）

5C,

二

AB

A.72+2B.2^2+2C.y[2+\[6D.2

答案c

解析如圖1,連接BD,“BC「i,DCi,易知AC平I面BOG,

f

AB8（c

圖1圖2

因?yàn)?。M_L4C,所以。Mu平面BOQ,即M在線段BG上，

將△BOG沿著8G展開(kāi)，使得。，B,C,G四點(diǎn)共面，如圖29

又因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2,則BG=2也，

當(dāng)。，M,C三點(diǎn)共線時(shí)，OM+MC取得最小值，

此時(shí)。M=,，MC=yj2,

所以O(shè)M+MC的最小值為CD=@+*.

JT

3.（2023?山東聯(lián)考）如圖，直三棱柱ABC—AiSG中，NACB=^,AC=AAi=l,BC=2,氤M

是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段4B上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。在平面AMG上移動(dòng)，則P,。兩點(diǎn)之間距

離的最小值為（）

4

A.B.gC.1D.1

答案A

解析連接AC交AG于點(diǎn)。，連接OM（圖略），

VO,M分別為AC,BC的中點(diǎn)，則。河〃48,

且OMU平面AMCi,由川平面AMCx,

〃平面AMCi,

則線段AbB上的點(diǎn)到平面AMG的距離相等，設(shè)為d,則P,。兩點(diǎn)之間距離的最小值為d,

即點(diǎn)Ai到平面AMCi的距離d,

：AiC的中點(diǎn)。在AG上，貝!|點(diǎn)C到平面AMCi的距離為d,

由題意可得AC=CM=CG=1,ACi=AM=MCi=y12,

,二/棱錐c—AMC[=%棱錐G—ACM，則馬XdX]X小義小x*=qX1X，義1X1,解得d=￡,

故P,。兩點(diǎn)之間距離的最小值為竽.

4.（多選）（2023?石家莊模擬）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-AiBtGDi的側(cè)面ABBiAi內(nèi)（包含邊

界）有一點(diǎn)P,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若點(diǎn)P到直線與到直線BiCi的距離之比為2：1,則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一部分

B.若點(diǎn)P到直線與到直線BiG的距離之比為1：1,則點(diǎn)尸的軌跡為拋物線的一部分

C.過(guò)P,C,。三點(diǎn)作正方體A8C￡>—AiBCbDi的截面，則截面圖形是平行四邊形

D.三棱錐P—A2C體積的最大值為春

答案BCD

解析如圖，以Bi為坐標(biāo)原點(diǎn)，以修4,BiCi,3由所在直線分別為x,y,z軸建立空間直

角坐標(biāo)系，

/D,

則很1（0,0,0）,設(shè)側(cè)面ABB1A1內(nèi)（包含邊界）點(diǎn)P（x,0,z）（0WxWl,0WzWl）,

對(duì)于A,點(diǎn)尸到直線AB的距離為l-z,

由正方體知BiG，平面A8814,又PBiU平面所以SG^PBi,

z+S

所以點(diǎn)尸到直線囪C的距離為PB1=，f+z2,故高三=2,整理得R4f

'Z3

9

所以點(diǎn)尸的軌跡為橢圓的一部分，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,點(diǎn)P到直線AB與到直線AG的距離之比為1：1,即點(diǎn)P到直線與到定點(diǎn)Bi

的距離相等，根據(jù)拋物線定義知點(diǎn)尸的軌跡為拋物線的一部分，故B正確；

對(duì)于C,過(guò)點(diǎn)P作施V〃AB,分別交AAi,881于點(diǎn)M,N,連接CN,DM,如圖，

則MN//CD且MN=CD,所以四邊形MNCD是平行四邊形，

則平行四邊形MNC。為過(guò)P,C,。三點(diǎn)的截面，故C正確；

對(duì)于D,當(dāng)點(diǎn)尸在All上時(shí)，點(diǎn)尸到平面ABCD的距離最大為1,

又SAABC為定值，故此時(shí)三棱錐產(chǎn)一ABC的體積最大，

V二棱隹P-ABC=：XSAA5cxi=焉，故D正確.

5.（多選）（2023?背澤模擬）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-AiBrCiDi中，P是側(cè)面881cle內(nèi)的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包含四個(gè)頂點(diǎn)），則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.三角形A￡）i尸的面積無(wú)最大值、無(wú)最小值

B.存在點(diǎn)P,滿足。尸〃平面ABiOi

C.存在點(diǎn)P,滿足DPLBP

D.8。與BP所成角的正切值的取值范圍為坐，啦］

答案BCD

解析在正方體ABC。一A19C1D1中,

平面BCCiBi//^ADDiAi,

AQU平面ADDiAi,

PG平面BCQBi,

則點(diǎn)P到ADi的距離的最小值為平面BCCiBi與平面ADDiAi的距離2,

此時(shí)點(diǎn)尸在BG上,

因?yàn)檎襟wA8C￡>-4BICLDI的對(duì)角面ABGP為矩形，且42=2,

又ADi—2^2,

此時(shí)△AGP的面積有最小值，故A錯(cuò)誤；

連接8。,。，由A可知，四邊形A8GA為矩形，即有BG〃4Oi,AZ^u平面ABA,

8cle平面ASA,則BCi〃平面AB。］,同理平面A8O1,又BCGBD=B,

BCi,8DU平面BOQ,因此平面80cl〃平面ASA,當(dāng)PGBG時(shí)，。尸〃平面AB01,故

B正確；

因?yàn)锽D=DCi=2小,取8G的中點(diǎn)P,貝!|OP_L8Ci,BPDPLBP,故C正確;

因?yàn)槭莻?cè)面281cle內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包含四個(gè)頂點(diǎn)），則射線BP必與折線段CGS存在交

點(diǎn)。，設(shè)GQ=2—t,0WtW2,則8。=后昌，￡）12=叱2*+4,而B(niǎo)Di=2^3,令BDX

與3P所成的角為0,

(2^3)2+(^^+4)2-(^(2-02+4)2

貝!]cos9=

2X2寸ixW+4

t+21

==

因此當(dāng)t0時(shí)，(COS9)min=3,當(dāng)t2時(shí),(COS8)max=3,

又因?yàn)槭琧os8在（0,習(xí)上單調(diào)遞減，尸tanx在（0,§上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)￡=0時(shí)，9最大，tan3=y［2,

當(dāng)r=2時(shí)，8最小，tan。=坐,貝ItanOd乎，陋］故D正確.

6.（多選）（2023?黃山模擬）如圖，圓柱。Oi的底面半徑和母線長(zhǎng)均為3,A8是底面直徑，點(diǎn)C

在圓。上且OCLA8,點(diǎn)E在母線80上，BE=2,點(diǎn)F是上底面的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，貝|（）

c

A.存在唯一的點(diǎn)R使得AF+阿=2匹

B.若AELCP,則點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)為4

C.若則四面體ACEP的外接球的表面積為40兀

D.若則點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)為2比兀

答案ACD

解析設(shè)E關(guān)于點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為戌，如圖，

貝I4尸+所=4尸+五￡'2AE'^AB2+BE'2=A/62+42=2V13,

所以4尸十尸￡22行，當(dāng)且僅當(dāng)A,F,E/三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，

故存在唯一的點(diǎn)E,使得AF+FE=2，I5,故A正確；

由題意知。C，A8,OOi±OC,OOi±AB,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。C,OB,。。1所在直線分

別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(O,—3,0),C(3,0,0),￡(0,3,2),設(shè)網(wǎng)x,y,3),

則麓=(0,6,2),CF=(x-3,y,3),AF=(x,y+3,3),EF=(x,y—3,1),

對(duì)選項(xiàng)B,當(dāng)AE_LCF時(shí)，A￡-CF=6y+6=0,所以y=-l,

所以點(diǎn)尸的軌跡為上底面圓Oi的一條弦MN,Oi到MN的距離為1,

所以MN=242—1=4陋,故點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)為4啦，故B錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)D,當(dāng)時(shí)，AF-EF=(x,y+3,3>(x,y—3,1)=0,所以N+VuG,

所以點(diǎn)尸的軌跡是以。1為圓心，,為半徑的圓，其軌跡長(zhǎng)為2加兀，故D正確；

對(duì)選項(xiàng)C,在△ACE中，AC=3?CE=#3柩2+22=4,A￡=^62+22=2^/70,

所以AC2+C￡2=A￡2,

所以△ACE為直角三角形，其外心為AE與。。1的交點(diǎn)。，且。。=1,QE=y[id,

而QF=qQ5+0]2=y22+6=回,

所以QP=QE=QC=QA,所以。為四面體ACEF的外接球的球心，球的半徑為皿，所以

球的表面積為40兀，故C正確.

7.(2023?南昌模擬)在四棱錐尸一A5C。中，底