山東省臨沂市莒南縣2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷（含答案）

山東省臨沂市莒南縣2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z=5A．i B．－i C．1 D．－12．設(shè)直線a，b，c，若a與b是異面直線，a與c平行，則A．平行 B．相交 C．平行或異面 D．相交或異面3．已知向量|a+b|=5A．－1 B．－2 C．1 D．24．下圖為青島五四廣場主題鋼雕塑，由藝術(shù)家黃震設(shè)計，名為“五月的風(fēng)”.該雕塑以單純簡練的造型元素排列組合成旋轉(zhuǎn)騰空的“風(fēng)”，通體火紅，寓意五四運動是點燃新民主主義革命的“火種”及青島與五四運動的淵源.雕塑形狀可視為有公共底面的兩個相同圓錐的組合體Ω，且圓錐的底面半徑和圓錐的高均為15米，據(jù)此可知Ω的表面積為（）A．2232π平方米 B．C．6752π平方米 D．5．已知sin2α=sin(α+π2A．3 B．33 C．?336．已知向量a=(?1，2)，b=(2k，A．－1 B．?14 C．17．筒車是一種以水流作動力，取水灌田的工具，是中國古代人民偉大的發(fā)明之一.如圖，已知某個半徑為6m的筒車按逆時針方向每分鐘勻速旋轉(zhuǎn)2圈，筒車軸心O距水面3m，設(shè)筒車上某個盛水筒P，以P剛浮出水面時開始計算時間，則盛水筒P出水后第一次到達最高點的時間（單位：s）為（）A．7 B．8 C．9 D．108．已知B，C為單位圓O上的兩點，且BC=3，動點A在圓O上，則BAA．52 B．3 C．72二、多選題9．設(shè)a，b，c，為空間中三條不同的直線，α，β為空間中兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的為（）A．若a∥α，b?α，則a∥bB．若a∥b，b∥c，則a∥cC．若a∥α，a?β，α∩β=b，則a∥bD．若a∥α，b∥α，a?β，b?β，則α∥β10．已知函數(shù)f(x)=2A．f(x)的最小正周期為πB．[0，π4C．將f(x)圖象上所有點的橫坐標都拉伸2倍，得到y(tǒng)=2D．將f(x)的圖象向右平移π811．已知點O(0，0)，A(1，3)，A．當(dāng)λμ=2B．當(dāng)λ+μ=1時，點P在直線AB上C．當(dāng)λ=μ時，OPD．當(dāng)λ?μ=1時，OP在AB方向上的投影向量的模為212．在四面體ABCD中，AB=CD=AC=BD=2，且AD=BC=6，若用平面αA．α截四面體ABCD所得截面形狀可以為菱形B．當(dāng)BC//α?xí)r，C．當(dāng)AB//α，CD//D．四面體ABCD的外接球表面積為7π三、填空題13．如圖，A'O'B'是用斜二測畫法得到的△AOB的直觀圖，其中O14．在平行四邊形ABCD中，點E是邊AB的中點，點F在邊CD上，滿足DF=45DC，若|AB|=4，∠DAB=15．設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx?π3)(ω>0)，若f(x)在(016．拿破侖不僅是偉大的軍事家、政治家，在數(shù)學(xué)方面，他發(fā)現(xiàn)并證明了著名的拿破侖定理：“以任意三角形的三條邊向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的中心恰為另一個等邊三角形的頂點”.在△ABC中，以AB，BC，CA為邊向外構(gòu)造三個等邊三角形，其中心依次為O1，O2，O3，設(shè)△ABC，△O1O2O3的面積依次為S1，四、解答題17．設(shè)z1，z2均為復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)，已知z1對應(yīng)的點的坐標為(（1）若復(fù)數(shù)z1（2）若|z2|=3，且z218．如圖，在平面四邊形ABCD中，∠BAD+∠BCD=π.（1）若sin∠ADB（2）若AB=2，且AD=BC=CD=1，求四邊形ABCD的面積.19．如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，（1）求三棱錐E?A（2）證明：平面CFA20．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2?3（1）求角A的大??；（2）已知B為鈍角，且△ABC的面積S=34a21．如圖，在四棱錐E?ABCD中，AB//CD，（1）當(dāng)P為EF的中點時，證明：PB//（2）設(shè)平面EAD與平面EBC的交線為l，是否存在點P使得l//平面PBD？若存在，求EP22．設(shè)函數(shù)f(x)=|sin（1）設(shè)x0∈(0，2π)，f(x)在（2）關(guān)于x的方程f(x)=k+1k在區(qū)間

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】由題意，z=5故答案為：C

【分析】利用已知條件結(jié)合復(fù)數(shù)的乘除法運算法則得出復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)的虛部的定義，進而得出復(fù)數(shù)z的虛部。

2．【答案】D【解析】【解答】考慮正方體ABCD?A直線A1B1看做直線a，直線BC看做直線b，即直線a若直線C1D1看做直線c，可得a，c平行，則b若直線AB看做直線c，可得a，c平行，則b，c相交.若b，c平行，由a，c平行，可得a，b平行，這與a，b異面矛盾，故b，c不平行.故答案為：D.

【分析】利用已知條件結(jié)合線線平行的判斷方法、線線相交的判斷方法、異面直線的判斷方法，進而判斷出直線b，c的位置關(guān)系。3．【答案】C【解析】【解答】因為向量|a+b所以|a+b|2故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合數(shù)量積求向量的模的公式和數(shù)量積的運算法則，進而結(jié)合相減法得出a→4．【答案】B【解析】【解答】由題意，半徑r=15，高h=15，則母線l=h所以圓錐的側(cè)面積為πrl=15×152所以Ω的表面積為2×2252故答案為：B

【分析】由題意，半徑r=15，高h=15，再利用勾股定理得出母線長，再結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式得出圓錐的側(cè)面積，再結(jié)合組合體的表面積求解方法得出組合體Ω的表面積。

5．【答案】B【解析】【解答】∵sin2α=2sin又∵α∈(0，π∴sinα=12，即故答案為：B．

【分析】利用已知條件結(jié)合二倍角的正弦公式和誘導(dǎo)公式以及角的取值范圍，進而得出角的正弦值，從而得出角的值，再結(jié)合正切函數(shù)的定義得出角的正切值。6．【答案】A【解析】【解答】因為向量a=(?1，2)，b=(2k，所以a?b=(?1，2)?(2k所以?1×2k+2×1>0?1×1≠2k×2，解得k<1且k≠?所以實數(shù)k的值可以為-1，故答案為：A.

【分析】利用已知條件結(jié)合角的取值范圍和數(shù)量積的坐標表示以及向量共線定理，進而得出實數(shù)k的取值范圍，從而得出實數(shù)k可以的取值。7．【答案】D【解析】【解答】過O做OQ垂直水面，P1由題意得OQ=3，所以cos∠POQ=OQOP所以∠POP1=2π3又筒車每分鐘勻速旋轉(zhuǎn)2圈，可得周期為30秒，所以盛水筒P出水后第一次到達最高點用時13故答案為：D

【分析】過O做OQ垂直水面，P1為最高點，由題意得OQ=3，OP=6，再利用余弦函數(shù)的定義得出∠POQ的值，再結(jié)合兩角互補得出∠POP18．【答案】A【解析】【解答】以圓心為原點，建立直角坐標系，畫出單位圓，如圖所示，設(shè)C(1，過點O向BC作垂線，垂足為D，因為BC=3，所以cos∠OCD=CDOC=則設(shè)點B(?1設(shè)點A(cos所以BA=(cosθ+12，sinθ?所以BA=1所以當(dāng)θ+π3=0，即cos(θ+π故答案為：A

【分析】以圓心為原點，建立直角坐標系，畫出單位圓，設(shè)C(1，0)，過點O向BC作垂線，垂足為D，再結(jié)合BC=3和余弦函數(shù)的定義得出∠OCD的值，從而得出∠BOC的值，則設(shè)點B(?129．【答案】B,C【解析】【解答】對于A，若a∥α，b?α，則a，b可能平行也可能異面，A不符合題意；對于B，若a∥b，b∥c，根據(jù)平行關(guān)系的傳遞性，可得a∥c，B符合題意；對于C，若a∥α，a?β，α∩β=b，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得a∥b，C符合題意；對于D，若a∥α，b∥α，a?β，b?β，當(dāng)a，b相交時，α∥β，當(dāng)a，b平行時，推不出α∥β，D不符合題意，故答案為：BC

【分析】利用已知條件結(jié)合線線平行的判斷方法、面面平行的判定定理，進而找出結(jié)論正確的選項。10．【答案】A,D【解析】【解答】由f(x)=2sin(2x+當(dāng)x∈[0，π4]時，2x+π故[0，π4f(x)圖象上所有點的橫坐標都拉伸2倍，得到y(tǒng)=2將f(x)的圖象向右平移π8個單位長度后得到y(tǒng)=2sin[故答案為：AD

【分析】利用已知條件結(jié)合正弦型函數(shù)的最小正周期公式、正弦型函數(shù)的圖象判斷單調(diào)性的方法得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間、正弦型函數(shù)的圖象變換得出函數(shù)y=211．【答案】B,D【解析】【解答】由已知，AB對于A，由λμ=2，得λ=2μ(所以O(shè)P?AB=對于B，當(dāng)λ+μ=1時，由OP=λ得OP=λOA+對于C，若OP=AP+對于D，當(dāng)λ?μ=1時，OP=λ則OP在AB方向上的投影向量的模為||故答案為：BD

【分析】利用已知條件結(jié)合數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系、點與直線的位置關(guān)系、平面向量基本定理、數(shù)量積求投影向量的方法、向量的模的求解方法，進而找出結(jié)論正確的選項。12．【答案】A,C,D【解析】【解答】A：當(dāng)α過棱BC，AC，AD，BD的中點構(gòu)成的平面四邊形，∵AB=CD=AC=BD=2，∴由三角形中位線性質(zhì)可知：截面形狀為菱形，故正確；B：如圖，當(dāng)E為AD中點時，CE=BE=10此時△BCE中cos∠BEC=52若截面過E且BC//α，即面α與面ABC或面BCD的交線所以交線在向頂點A或D移動過程中∠BEC趨向于0，故△BCE可能為直角三角形，故錯誤；C：如圖，α截四面體ABCD所得截面為四邊形FGHI，∵α//AB，∴由線面平行的性質(zhì)可知：四邊形FGHI為平行四邊形，GHCD=AG∴GH2+GF∴平行四邊形FGHI的周長為定值，故正確；D：如圖，四面體ABCD可由棱長分別為3，3，1的長方體的對角線構(gòu)成，易知四面體ABCD的外接球即為長方體的外接球，外接球的直徑為長方體的體對角線的長度，∴外接球半徑為72，表面積為7π故答案為：ACD.

【分析】當(dāng)α過棱BC，AC，AD，BD的中點構(gòu)成的平面四邊形，再利用AB=CD=AC=BD=2和三角形中位線性質(zhì)可知截面形狀為菱形；當(dāng)E為AD中點時，CE=BE=102，再利用余弦定理和三角函數(shù)值在各象限的符號判斷方法，進而判斷出∠BEC為鈍角，若截面過E且BC//α，即面α與面ABC或面BCD的交線l//BC，所以交線在向頂點A或D移動過程中∠BEC趨向于0，再結(jié)合直角三角形的判斷方法判斷出三角形△BCE可能為直角三角形；利用α截四面體ABCD所得截面為四邊形FGHI結(jié)合α//AB，α//CD，所以由線面平行的性質(zhì)可知四邊形FGHI為平行四邊形，再利用兩直線平行對應(yīng)邊成比例，所以GH+GF=2，再利用平行四邊形的周長公式得出平行四邊形FGHI的周長為定值；利用四面體13．【答案】5【解析】【解答】由題意，根據(jù)斜二測畫法的原則，OA=O'A所以AB=O故答案為：5

【分析】利用已知條件結(jié)合斜二測畫法畫直觀圖的方法，再結(jié)合勾股定理得出AB的長。14．【答案】1【解析】【解答】以A為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)|AD|=a，則由題意可得E(2，0)，B(4，0)，所以EC=(2+a2因為EC⊥BF，所以EC?所以5a2+3a?8=0，解得a=1所以|AD故答案為：1.

【分析】以A為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)|AD|=a，則由題意可得點的坐標，再結(jié)合向量的坐標表示得出向量的坐標，再利用EC⊥BF結(jié)合數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系，所以EC?15．【答案】(【解析】【解答】因為f(x)=sin(ωx?π所以ωx?π因為f(x)在(0，π2所以π<π2ω?π3故答案為：(8

【分析】利用已知條件結(jié)合x的取值范圍和不等式的基本性質(zhì)，再結(jié)合零點存在性定理得出實數(shù)ω的取值范圍。16．【答案】2【解析】【解答】以AB，BC，CA為邊向外構(gòu)造三個等邊三角形分別為△ABM，△BCN，△CAP，如圖所示，設(shè)AB=c，BC=a，∴△ABC的面積S1∵O1為△ABM中心，∴∠O1同理可得∠O2BC=∵∠ABC=π6，∴∴由勾股定理得：O1∵△O1O∴S2∴λ=S2S∴實數(shù)λ的最小值為23故答案為：23

【分析】以AB，BC，CA為邊向外構(gòu)造三個等邊三角形分別為△ABM，△BCN，△CAP，設(shè)AB=c，BC=a，再結(jié)合三角形的面積公式得出三角形△ABC的面積，再利用點O1為△ABM中心，所以∠O1BA=π6，O1B=33c，同理可得∠O2BC=π6，O217．【答案】（1）解：由題可知z1=m∵復(fù)數(shù)z1為純虛數(shù)，∴m2?4m+3=0∴m=3.（2）解：∵x2?2ax+a2+1=0，∴∴關(guān)于x的方程x2?2ax+a2+1=0∵z2對應(yīng)的點在第一象限，∴z2=a+i∵|z2|=3∴a=2，或a=?∵a>0，∴a=2，∴z2=2∴z2【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的判斷方法，進而得出實數(shù)m的值。

（2）利用已知條件結(jié)合一元二次方程求解方法和復(fù)數(shù)的幾何意義得出z2=a+i且a>0，再利用復(fù)數(shù)求模公式得出a的值，從而得出復(fù)數(shù)，再結(jié)合復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系和復(fù)數(shù)的混合運算法則得出復(fù)數(shù)18．【答案】（1）解：∵∠BAD+∠BCD=π，∴sin∠ADB：由正弦定理ABsin∠ADB=AD不妨設(shè)AB=t，AD=3t，BD=7則由余弦定理得cos∠BAD=t∵∠BAD∈(0，∴∠BAD=π（2）解：在△ADB中，由余弦定理，可得BD∴BD同理可得BD∴5?4cos∠DAB=2?2cos∠DCB，∵∠BAD+∠BCD=π，∴cos∠BCD=cos(π?∠BAD)=?cos∠BAD，∴5?4cos∠BAD=2+2cos∠BAD，∴cos∠BAD=∵∠BAD∈(∴sin∠BAD>0∴sin∠BAD=1?co記四邊形ABCD的面積為S，△DAB的面積為S1，△DCB的面積為S∴S=S∴S=1【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合比例設(shè)法和兩角互補的關(guān)系、正弦定理、余弦定理，再結(jié)合三角形中角的取值范圍，進而得出∠BAD的值。

（2）利用已知條件結(jié)合余弦定理、誘導(dǎo)公式得出cos∠BAD的值，再利用三角形中角的取值范圍和三角函數(shù)的圖象以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式得出sin∠BAD的值，記四邊形ABCD的面積為S，△DAB的面積為S1，△DCB的面積為19．【答案】（1）解：顯然三棱錐E?A1BC與三棱錐C?∵長方體ABCD?A∴三棱錐C?A1BE的高為BC，且三棱錐C?A1∴三棱錐E?A1BC（2）證明：∵長方體ABCD?A∴AA1//∵點E，F(xiàn)分別為邊AA1，∴A1E=DF，∴四邊形A1∴A1又A1F?平面BDE，ED?平面∴A1F//如圖，連接AC交BD于點O，連接EO，∴點O為AC的中點，∴EO//又A1C?平面BDE，EO?平面∴A1C//∵A1∴平面CFA1//【解析】【分析】（1）利用已知條件，顯然三棱錐E?A1BC與三棱錐C?A1BE的體積相等，即VE?A1BC=VC?A1BE，再利用長方體ABCD?A1B1C1D1，所以，三棱錐C?A1BE的高為BC，且三棱錐C?A1BE的底面面積即△A1BE的面積，再結(jié)合三角形的面積公式得出三角形△A1BE的面積，再利用三棱錐的途徑公式得出三棱錐E?A1BC的體積。

（2）利用長方體ABCD?A1B1C1D1，所以A20．【答案】（1）解：由正弦定理asinA=∴2?3cosA=sin∴sin(A+∵角A為△ABC的內(nèi)角，∴A∈(0，π（2）證明：設(shè)BD=x，CD=y，∵A=π6，∴AD=2x，AB=3∴∠BDC=2π由題可知S=1所以2x在△BCD中，由余弦定理可得BC所以a2=x所以2x2+xy=∴BD=CD.【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合正弦定理和輔助角公式和三角形中角的取值范圍，從而得出角A的值。

（2）設(shè)BD=x，CD=y，利用A=π6，所以AD=2x，AB=3x，∠ADB=π3，再結(jié)合兩角互補得出∠BDC的值，由題意結(jié)合三角形的面積公式得出2x221．【答案】（1）解：如圖，設(shè)點G為棱ED的中點，連接AG，PG，∴GP=12DF=∵AB//CD，∴GP=AB，GP//∴四邊形ABPG為平行四邊形，∴AG//又PB?平面ADE，AG?平面ADE，∴PB//平面ADE（2）解：如圖，延長DA，CB相交于點H，連接EH，則直線EH為平面EAD與平面EBC的交線，連接HF，交BD于點I，若EH//平面PBD，由線面平行的性質(zhì)可知EH設(shè)HI=λ∵點F為棱CD的中點，AB//CD，∴HI=λ∵D，I，B三點共線，∴λ2+2λ=1，即所以當(dāng)EPPF=23時，PF又EH?平面PBD，PI?平面PBD，∴EH//平面PBD∴存在滿足條件的點P使得l//平面PBD，此時EP【解析】【分析】（1）設(shè)點G為棱ED的中點，連接AG，PG，再利用中點作中位線的方法和中位線的性質(zhì)，所以GP=14DC，GP//DC，再利用AB//CD，CD=4AB，再結(jié)合平行和相等的傳遞性，所以GP=AB，GP//AB，所以四邊形ABPG為平行四邊形，所以AG//P