四川省自貢市榮縣中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

榮縣中學(xué)校高2026屆2025年上半年入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（考試時間：120分鐘試卷總分：150）注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.空間向量在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)投影向量公式計算即可.【詳解】，，由投影向量的定義和公式可知在的投影向量為，故選：C.2.已知A為拋物線上一點，點A到拋物線C的焦點的距離為10，到y(tǒng)軸的距離為9，則（）A.2 B.3 C.6 D.9【答案】A【解析】【分析】利用拋物線的定義即可求解.【詳解】設(shè)拋物線的焦點為，由拋物線的定義知，解得.故選：A.3.如圖，在四棱錐中，底面，，底面為邊長為2的正方形，為的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角可求得結(jié)果.【詳解】因為底面，所以，又，所以以為原點，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，，，，，設(shè)異面直線與所成的角為，，則.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A【點睛】本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了利用空間向量求異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題.4.記為數(shù)列的前項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項和與第n項的關(guān)系推理判斷作答.，【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，即，則，有，兩式相減得：，即，對也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當(dāng)時，上兩式相減得：，當(dāng)時，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C5.記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（）．A.120 B.85 C. D.【答案】C【解析】【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求出公比，再根據(jù)的關(guān)系即可解出；方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)求解．【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當(dāng)時，，即為，易知，，即；當(dāng)時，，與矛盾，舍去．故選：C．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡化運算．6.已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：雙曲線的定義是入手點，利用余弦定理建立間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.7.已知F為拋物線的焦點，過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A，B兩點，直線與C交于D，E兩點，則|AB|＋|DE|的最小值為A.16 B.8 C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可判斷當(dāng)A與D，B與E關(guān)于y軸對稱，即直線DE的斜率為，|AB|+|DE|最小，根據(jù)弦長公式計算即可．【詳解】如圖，l1⊥l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，要使|AB|+|DE|最小，則A與D，B與E關(guān)于y軸對稱，即直線DE的斜率為，又直線l2過點（0，），則直線l2的方程為y＝x+，聯(lián)立方程組，整理得：，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴|DE|＝，∴|AB|+|DE|的最小值為2|DE|＝1.故選：C【點睛】本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)以及直線和拋物線的位置關(guān)系，弦長公式，對于過焦點的弦，能熟練掌握相關(guān)的結(jié)論，解決問題事半功倍，屬于中檔題．8.已知橢圓與雙曲線具有相同的左、右焦點，，點為它們在第一象限的交點，動點在曲線上，若記曲線，的離心率分別為，，滿足，且直線與軸的交點的坐標(biāo)為，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)橢圓、雙曲線的定義可得，結(jié)合離心率可得，在中，利用余弦定理可得，進(jìn)而結(jié)合橢圓性質(zhì)可知：當(dāng)為橢圓短軸頂點時，取到最大值，分析求解即可.【詳解】由題意可知：，解得，又因為，可得，由直線與軸的交點的坐標(biāo)為可得，在中，由余弦定理可得，可得，整理得，解得或（舍去），且，所以，由橢圓性質(zhì)可知：當(dāng)橢圓短軸頂點時，取到最大值，此時，且，則，所以，即.故選：A..【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵在于找到的兩種表達(dá)方式，構(gòu)造了關(guān)于的方程，從而得解.二、多項選擇題：本題共3小題.每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分.9.已知等差數(shù)列的前項和為，且，，，則（）A.數(shù)列是遞增數(shù)列 B.C.當(dāng)時，最大 D.當(dāng)時，的最大值為14【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)、前項和公式等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】在等差數(shù)列中，，，，，，公差，數(shù)列遞減數(shù)列，A錯誤；，，B正確；，，數(shù)列是遞減數(shù)列，當(dāng)時，最大，C正確；，，，，，當(dāng)時，n的最大值為14，D正確．故選：BCD10.已知直線與圓，點，則下列說法正確的是（）A.若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B.若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C.若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D.若點A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【解析】【分析】轉(zhuǎn)化點與圓、點與直線的位置關(guān)系為的大小關(guān)系，結(jié)合點到直線的距離及直線與圓的位置關(guān)系即可得解.【詳解】圓心到直線l的距離，若點在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A正確；若點在圓C內(nèi)，則，所以，則直線l與圓C相離，故B正確；若點在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯誤；若點在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.11.已知一條線段端點分別是，關(guān)于的方程，則（）A.當(dāng)時，方程所表示的曲線是以為直徑的圓B.當(dāng)時，方程所表示的曲線是雙曲線C.存在，使得方程所表示的曲線是橢圓D.任意，方程所表示的曲線圍成的封閉區(qū)域面積大于【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)題意結(jié)合向量的數(shù)量積運算判斷A，舉反例判斷B，化簡方程結(jié)合橢圓方程的特征判斷C，結(jié)合橢圓方程與圓的方程幾何特征判斷D.【詳解】對于A，記，則題干條件即為，則，方程所表示的曲線是以為直徑的圓，故A正確，對于B，我們令，，此時方程化為，即，化簡得，得到，即，故得到或，此時方程所表示的曲線不是雙曲線，故B錯誤，對于C，，，若要使該方程表示橢圓，只需即可，C正確；對于D，由C可得曲線方程為，記為的面積，為的面積．當(dāng)?shù)拈L半軸小于等于半徑時，，故D錯誤.故選：AC【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化方程的形式，結(jié)合圓錐曲線方程的特征，結(jié)合面積的放縮進(jìn)行判斷即可．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知方程表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是____．【答案】（）【解析】【分析】根據(jù)焦點在軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，可得到關(guān)于的不等式，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，方程表示焦點在軸上的橢圓，則必有，解可得：m＜2，即m的取值范圍是.故答案為:）【點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.13.經(jīng)過點作直線，若直線l與連接，兩點的線段總有公共點，則直線l斜率的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】畫出圖形，利用斜率坐標(biāo)公式，數(shù)形結(jié)合求出范圍.【詳解】如圖，直線的斜率，直線的斜率，而直線與線段總有公共點，所以直線l斜率的取值范圍為.故答案：14.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對折次，那么______.【答案】①.5②.【解析】【分析】（1）按對折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得，再根據(jù)錯位相減法得結(jié)果.【詳解】（1）由對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；故對折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項為120,第n次對折后的圖形面積為，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結(jié)論，猜想為種（證明從略），故得猜想，設(shè)，則，兩式作差得：，因此，.故答案為：；.【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；（3）對于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項相消法求和.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，的中點．（1）求證：平面平面EFG；（2）求平面與平面EFG間的距離．【答案】（1）證明見詳解；（2）﹒【解析】【分析】(1)要證面面平行，轉(zhuǎn)化為證明兩組線面平行，連接AC，證明EF∥AC∥，可證∥平面，同理可證EG∥平面；(2)由(1)知兩平面平行，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，兩平面間的距離為在法向量上的投影﹒【小問1詳解】∵E是AB中點，F(xiàn)是BC中點，∴連接AC得，EF∥AC，∵是平行四邊形，∴，又平面平面，∥平面，同理，連接可得，可得EG∥平面，與平面EFG，∴平面∥平面EFG﹒【小問2詳解】如圖：以D為原點，DA、DC、分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz﹒則∴，設(shè)平面的法向量為，則，取，則平面與平面EFG間的距離為﹒16.已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．（1）求的通項公式；（2）證明：當(dāng)時，．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項和公式求出，并與作差比較作答.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項公式是.【小問2詳解】方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，，當(dāng)時，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，所以當(dāng)時，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，所以當(dāng)時，.17.已知圓與x軸相切．（1）求圓C的圓心坐標(biāo)及半徑；（2）直線與圓C交于A，B兩點，求線段的長．【答案】（1）圓心坐標(biāo)為，半徑長為2（2）【解析】【分析】（1）首先化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)半徑與圓心坐標(biāo)的關(guān)系，即可求解；（2）首先計算圓心到直線的距離，再代入弦長公式，即可求解.【小問1詳解】配方得，由此可得圓心坐標(biāo)為．因為圓C與x軸相切，所以圓心到x軸的距離為．所以半徑長為2．【小問2詳解】因為直線與圓C交于A，B兩點，所以圓心C到直線l的距離為．由（Ⅰ）可知，所以．18.已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明【答案】（I），；（II）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【解析】【分析】（I）由等差數(shù)列的求和公式運算可得的通項，由等比數(shù)列的通項公式運算可得的通項公式；（II）（i）運算可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；（ii）放縮得，進(jìn)而可得，結(jié)合錯位相減法即可得證.【詳解】（I）因為是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．所以，所以，所以；設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，解得（負(fù)值舍去），所以；（II）（i）由題意，，所以，所以，且，所以數(shù)列是等比數(shù)列；（ii）由題意知，，所以，所以，設(shè)，則，兩式相減得，所以，所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：最后一問考查數(shù)列不等式的證明，因為無法直接求解，應(yīng)先放縮去除根號，再由錯位相減法即可得證.19.若橢圓：上的兩個點滿足，則稱M，N為該橢圓的一個“共軛點對”，點M，N互為共軛點.顯然，對于橢圓上任意一點，總有兩個共軛點.已知橢圓，點是橢圓上一動點，點的兩個共軛點分別記為.（1）當(dāng)點坐標(biāo)為時，求；（2）當(dāng)直線斜率存在時，記其斜率分別為，其中，求的最小值；（3