2025年高考數(shù)學(xué)拓展：高考中的概率與統(tǒng)計(jì)（學(xué)生版）VIP

?盤??龍?zhí)浦械母辐B統(tǒng)針

OLZEJ

高發(fā)考點(diǎn)一:頻率分布宜方用...............................................................1

高強(qiáng)才點(diǎn)二:成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（經(jīng)除同歸線性方程及其應(yīng)用）...............................5

高頻考點(diǎn)三:成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（經(jīng)It同為非畿性方程及其應(yīng)用）.............................7

高發(fā)考點(diǎn)0:成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（做立性檢瞼）..............................................12

高發(fā)考點(diǎn)五:梃率與統(tǒng)計(jì)（離款型或機(jī)變量及其分布列）.......................................17

高強(qiáng)考點(diǎn)六:梃率與統(tǒng)計(jì)（概率與統(tǒng)計(jì)的球合問題）...........................................20

（考點(diǎn)七:概率與*1計(jì)（正態(tài)分布的螺合問題）.............................................25

c（考點(diǎn)歸類）

高頻考點(diǎn)一:頻率分布直方圖

1.（24-25高三上?云南昆明?階段練習(xí)）從某小型加工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取100件作為樣本，將該樣本進(jìn)

行某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值測量,下圖是測量結(jié)果x的頻率分布直方圖.若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)

值作代表，則在下列選項(xiàng)中，關(guān)于該樣本統(tǒng)計(jì)量的敘述不正確的選項(xiàng)是（）

A.指標(biāo)值在區(qū)間［195,205）的產(chǎn)品約有33件B.指標(biāo)值的極差介于50與70之間

C.指標(biāo)值的第60百分位數(shù)大于205D.指標(biāo)值的方差的估計(jì)值是150

2.（24-25高二上?重慶?開學(xué)考試）為了落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的環(huán)境治理要求，重慶

市政府積極鼓勵(lì)居民節(jié)約用水.計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)

M噸），一位居民的月用水量不超過力的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出劣的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用

水情況，通過抽樣，獲得了某年200位居民每人的月均用水量（單位:噸），將數(shù)據(jù)按照［0,1），口,2）,…，

［8,9）分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中0.4a=b.

頻率

湎

0.26

⑴求直方圖中a,b的值,并由頻率分布直方圖估計(jì)該市居民用水的平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)

值作為代表）；

（2）設(shè)該市有40萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于2噸的人數(shù),并說明理由；

（3）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)工（噸），估計(jì)c的值,并說明理由.

3.（23—24高一下?浙江杭州?期末）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn):將200

只小鼠隨機(jī)分成兩組，每組100只，其中4組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液.每

只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)

離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

記。為事件:“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不高于5.5",根據(jù)直方圖得到P（C）的估計(jì)值為0.30.

⑴求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值；

（2）求甲離子殘留百分比的第75百分位數(shù)；

（3）估計(jì)乙離子殘留百分比的均值.（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）

MS

4.（24-25高二上?湖南郴州?開學(xué)考試）隨著時(shí)代不斷地進(jìn)步，人們的生活條件也越來越好,越來越多的人

注重自己的身材，其中體脂率是一個(gè)很重要的衡量標(biāo)準(zhǔn)根據(jù)一般的成人體準(zhǔn)，女性體脂率的正常范圍

是20%至25%,男性的正常范圍是15%至18%.這一范圍適用于大多數(shù)成年人，可以幫助判斷個(gè)體是否

存在肥胖的風(fēng)險(xiǎn).某市有關(guān)部門對全市100萬名成年女性的體脂率進(jìn)行一次抽樣調(diào)查統(tǒng)計(jì)，抽取了

1000名成年女性的體脂率作為樣本繪制頻率分布直方圖如圖.

°"101520253035體脂東人

⑴求a；

⑵如果女性體脂率為25%至30%屬“偏胖”，體脂率超過30%屬“過胖”，那么全市女性“偏胖”，“過

胖”各約有多少人？

（3）小王說:“我的體脂率是調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù).”小張說:“我的體脂率是調(diào)查所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)

那么誰的體脂率更低？

MS

5.（23—24高一下?貴州黔西?期末）2023年8月5日—9日，首屆貴州科技節(jié)在貴陽召開，為了了解活動(dòng)成

效，從參會(huì)人員中隨機(jī)抽取50人進(jìn)行調(diào)查并統(tǒng)計(jì)其滿意度評分（分?jǐn)?shù)均在［60,100］內(nèi)）,將所得分?jǐn)?shù)分

成5組：［60,68）,［68,76）476,84）,［84,92）,［92,100］,制成頻率分布直方圖如圖所示，其中滿意度評分

在［76,84）的參會(huì)人數(shù)為18.

（1）求頻率分布直方圖中a,b的值；

（2）從抽取的50名參會(huì)人員中滿意度評分在［60,68）及［92,100］的人員中用分層抽樣的方法抽取5人,

再從抽取的5人中隨機(jī)抽取2人，求這2人中恰有1人的滿意度評分在［60,68）的概率.

MS

高頻考點(diǎn)二:成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（經(jīng)驗(yàn)回歸線性方程及其應(yīng)用）

6.（23-24高二下?四川德陽?期末）高溫可以使病毒中的蛋白質(zhì)失去活性，從而達(dá)到殺死病毒的效果，某科

研團(tuán)隊(duì)打算構(gòu)建病毒的成活率與溫度的某種數(shù)學(xué)模型，通過實(shí)驗(yàn)得到部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

溫度工（七）6810

病毒數(shù)量以萬個(gè)）302220

由上表中的數(shù)據(jù)求得回歸方程為9=標(biāo)+或可以預(yù)測當(dāng)溫度為1TC時(shí)，病毒數(shù)量為（）

Z儂一可（仇一號）

參考公式：6=旦二----------,y=bx+a

f（電-可2

￡=1

A.12B.10C.9D.11

7.（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）已知宓和夕之間的一組數(shù)據(jù)如下表,y與x線性相關(guān)，且回歸方程為y

=fee+0.25,?7i為尤的方差的1.2倍，則當(dāng)2；=8時(shí)，夕=.

X0123

ymm+252m+3

8.（24-25高三上?陜西漢中?開學(xué)考試）奶茶店老板對本店在2021年12月份出售熱飲的杯數(shù),與當(dāng)天的

平均氣溫x/℃進(jìn)行線性回歸分析，隨機(jī)收集了該月某4天的相關(guān)數(shù)據(jù)（如下表），并由最小二乘法求得

回歸方程為3=45-2T.表中有一個(gè)數(shù)據(jù)看不清楚，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為.

氣溫x/℃1062-2

售出熱飲的杯數(shù)沙24■4248

9.（23-24高二下?山東威海?期末）近年來，為響應(yīng)節(jié)能減排號召，國家相關(guān)部門重點(diǎn)扶持新能源汽車的發(fā)

展，以純電動(dòng)汽車為主力的新能源汽車逐漸成為中國汽車的新名片.據(jù)統(tǒng)計(jì)，2017年至2023年全國新

能源汽車保有量（百萬輛）如下：

年份2017201820192020202120222023

年份代碼工1234567

保有量"1.92.84.14.45.710.612.5

77

并計(jì)算得，￡(x-x^y-y)=49,2?為=217.

i=li=l

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求出U關(guān)于c的回歸直線方程；

（2）根據(jù)回歸直線方程,預(yù)測2028年全國新能源汽車保有量；

（3）根據(jù)往年的汽車銷售數(shù)據(jù)可知今年汽車保有量的增量為3.5百萬輛，設(shè)新能源汽車保有量的年增量

???

的估計(jì)值與今年汽車保有量的增量的比為p,用P作為今年購車的客戶購買新能源汽車概率的估計(jì)值.

記某汽車銷售公司今年50位客戶中，恰有k位購買新能源汽車的概率為Pk，求k為何值時(shí)，pk有最大

值.

nn

電一元）（勿一虧）匯工新一口談y

附：5=?------------=----------,d=y—bx.

日（?-元）2^xl-nx2

i=li=l

10.（2024.陜西榆林.模擬預(yù)測）為實(shí)施鄉(xiāng)村振興,科技興農(nóng)，某村建起了田園綜合體,并從省城請來專家進(jìn)

行技術(shù)指導(dǎo).根據(jù)統(tǒng)計(jì)，該田園綜合體西紅柿畝產(chǎn)量的增加量小千克）與某種液體肥料每畝使用量

M千克）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下.

力（千克）24568

式千克）300400400400500

（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合,與2的關(guān)系,請計(jì)算相關(guān)系數(shù)度并加以說明（若H>

0.75,則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）；

（2）求y關(guān)于C的線性回歸方程,并預(yù)測當(dāng)液體肥料每畝使用量為20千克時(shí),西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約

為多少千克？

附:對于一組數(shù)據(jù)（?，弘），（G,統(tǒng)），…，（工”,為）,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式，相關(guān)

1=1

系數(shù)r的公式分別為5=—-----------,a=y—bx,r=—「—1n.

f3-⑹2、/（電-行）2J丈（仇一））2

4=1Vi=lVi=l

參考數(shù)據(jù)：，正仁3.16.

MS

高頻考點(diǎn)三:成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（經(jīng)驗(yàn)回歸非線性方程及其應(yīng)用）

11.（23-24高二下?河南南陽?期中）某研發(fā)團(tuán)隊(duì)實(shí)現(xiàn)了從單點(diǎn)光譜儀到超光譜成像芯片的跨越.為制定下

一年的研發(fā)投入計(jì)劃,該研發(fā)團(tuán)隊(duì)需要了解年研發(fā)資金投入量M單位:億元）對年銷售額y（單位：億元）

的影響.結(jié)合近12年的年研發(fā)資金投入量2和年銷售額該團(tuán)隊(duì)建立了兩個(gè)函數(shù)模型：①夕="+

仰巴②夕=及+t,其中均為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù).經(jīng)對歷史數(shù)據(jù)的初步處理,得到散點(diǎn)圖如

圖.令仙=成出=111%。=1,2,--,12）,計(jì)算得到如下數(shù)據(jù).

1歹/億元

80-.

75■:

70-

65?,

601..?

為1015202530/點(diǎn)元

121212

f（色-可2f（仇一方

XyX（居一可（紇一可

i=li=le=i

206677020014

121212

f他一行丫f（%一5）2

uVZ（M—記）3一歹）

i=l，=12=1

4604.2031250000.30821500

⑴設(shè)變量u和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)為八,變量力和變量v的樣本相關(guān)系數(shù)為r2,請從樣本相關(guān)系數(shù)

的角度，選擇一個(gè)“與力相關(guān)性較強(qiáng)的模型.

（2）⑴根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立“關(guān)于力的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；

（ii）若下一年銷售額需達(dá)到80億元，預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量.

_2（傷一行）（仇一團(tuán)

附：句《8.9443,e43820?80；樣本相關(guān)系數(shù)r=:]“；經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=a+bx,K

Jix◎-譚fx%-虧）2

Vi=l

n

.^（Xi-x）（yt-y）,

中6=i”----------------,d=y—bx.

MS

12.（23-24高二下?河北石家莊?期末）一個(gè)調(diào)查學(xué)生記憶力的研究團(tuán)隊(duì)從某中學(xué)隨機(jī)挑選100名學(xué)生進(jìn)行

記憶測試，通過講解100個(gè)陌生單詞后，相隔十分鐘進(jìn)行聽寫測試，間隔時(shí)間t（分鐘）和答對人數(shù)"的統(tǒng)

計(jì)表格如下：

時(shí)間t（分鐘）102030405060708090100

答對人數(shù)沙987052363020151155

igg1.991.851.721.561.481.301.181.040.70.7

時(shí)間t與答對人數(shù)沙和場夕的散點(diǎn)圖如下:

個(gè)答對人數(shù)y

120-2.50

100-.2.00■?■

??

80-1.50*

60-°**

1.00-*

40-??.??

20-???0.50

11!1*f1?????>

O20406080100120O20406080100120

時(shí)間，時(shí)間1

1010101010

附：22跨=38500,22^=342,21g%=13.52,22^=10960,以g%=621.7,對于一組數(shù)據(jù)

i=li=li=li=li=l

（”1，5）,（〃2，號2），…，（4,號九），其回歸直線方程由=凌+6”的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：6=

y^^UjVj—nu0v

上、----------,a=v-pu.請根據(jù)表格數(shù)據(jù)回答下列問題：

y^^Uj—nu2

i=l

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，U=砒+b與Igu=a+d哪個(gè)更適宜作為線性回歸模型？（給出判斷即可,不必

說明理由）

（2）根據(jù)⑴的判斷結(jié)果，建立,與土的回歸方程；（a,6或c,d的計(jì)算結(jié)果均保留到小數(shù)點(diǎn)后三位）

（3）根據(jù)（2）請估算要想答對人數(shù)不少于75人，至多間隔多少分鐘需要重新記憶一遍.（結(jié)果四舍五入

保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：lg220.3,lg3仁0.48）.

MS

13.（23-24高二下?山東濱州?期中）某小微企業(yè)對其產(chǎn)品研發(fā)的年投入金額c（單位:萬元）與其年銷售量

“（單位:萬件）的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，整理后得到如下的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表：

X15789

y236811

z=Ing0.71.11.82.12.4

（1）公司擬分別用①沙=bx+a^@y=砂計(jì)"，兩種模型作為年銷售量y關(guān)于年投入金額比的回歸分析

模型,根據(jù)上表數(shù)據(jù),分別求出兩種模型的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

（2）統(tǒng)計(jì)學(xué)中常通過殘差的平方和比較兩個(gè)模型的擬合效果，若模型①和②的殘差的平方和分別為9.9

和4.2,請?jiān)冖俸廷谥羞x擇擬合效果更好的模型，并估計(jì)當(dāng)年投入金額為10萬元時(shí)的年銷售量.

參考公式:對于一組數(shù)據(jù)（為%）（i=l,2,3,…"）,其回歸直線）=應(yīng)+&的斜率和截距的最小二乘估計(jì)

_n_

225一可（為一虧）

,=

分別為：b—'n-----------,a=y—bx.

之（◎-常

2=1

55

參考數(shù)據(jù)：25—司（%一歹）=42,可（之￡—司=8.6'e2-48^11.94.

i=li=l

???

14.（23-24高二下?廣東江門?階段練習(xí)）數(shù)據(jù)顯示，某企業(yè)近年加大了科技研發(fā)資金的投入，其科技投入

M百萬元）與收益加百萬元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下:

科技投入力1234567

收益沙19202231405070

根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，甲認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在指數(shù)型曲線y=2牡+。的周圍，據(jù)此他對數(shù)據(jù)進(jìn)行了一些初步處理.

如下表：

77777

Z^XiZi■（仇一刃2

i=li=li=li=li=l

514012391492134130

其中4=log2%，三=；

*i=l

⑴請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立"關(guān)于田的回歸方程（系數(shù)B精確到0.1）；

（2）①乙認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在直線y=mx+n的周圍，并計(jì)算得線性回歸方程為y=8.25x+3,以及該回

歸模型的決定系數(shù)R2=0-893,試比較甲、乙兩人所建立的模型,誰的擬合效果更好？

②由①所得的結(jié)論，計(jì)算該企業(yè)欲使收益達(dá)到1億元，科技投入的費(fèi)用至少要多少百萬元？（精確到

0.1）

附:對于一組數(shù)據(jù)（如,5），（的珀，……，（外,”“），其線性回歸直線方=強(qiáng)+&的斜率和截距的最小二

nn

z（3一石）3—可￡u.g一疝v

乘法估計(jì)公式分別為b=J------—=丹---------，6=萬—防，決定系數(shù)：#=1一

f（0一五丫f涕一"常

i=li=l

免3一6）2

胃-------.參考數(shù)據(jù)：log5?2.3.

￡3一萬丫2

???

15.（2024?福建南平?模擬預(yù)測）某大型商場的所有飲料自動(dòng)售賣機(jī)在一天中某種飲料的銷售量“（單位:瓶）

與天氣溫度工（單位：。C）有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，為能及時(shí)給飲料自動(dòng)售賣機(jī)添加該種飲料,該商場對天氣

溫度x和飲料的銷售量y進(jìn)行了數(shù)據(jù)收集,得到下面的表格：

X10152025303540

y41664256204840968192

經(jīng)分析，可以用夕=a?2處作為y關(guān)于c的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求"關(guān)于c的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（結(jié)果保留兩位小數(shù)）;

（2）若飲料自動(dòng)售賣機(jī)在一天中不需添加飲料的記1分,需添加飲料的記2分，每臺(tái)飲料自動(dòng)售賣機(jī)在

一天中需添加飲料的概率均為［,在商場的所有飲料自動(dòng)售賣機(jī)中隨機(jī)抽取3臺(tái)，記總得分為隨機(jī)變

量X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

參考公式及數(shù)據(jù):對于一組數(shù)據(jù)（%%），3,統(tǒng)），…，（彩，久），經(jīng)驗(yàn)回歸方程5=位+益的斜率和截距的

〉2（⑻一了）（仇一虧）7

最小二乘估計(jì)公式分別為b=i=1?----------,a=y—bx-,x=25,支（為—x）'=700

2（…2I

i=l

高頻考點(diǎn)四:成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（獨(dú)立性檢驗(yàn)）

16.（24-25高三上?重慶?階段練習(xí)）心流是由心理學(xué)家米哈里提出的概念，指人們在進(jìn)行某項(xiàng)活動(dòng)時(shí)，完全

投入并享受其中的狀態(tài).某中學(xué)的學(xué)習(xí)研究小組為設(shè)計(jì)創(chuàng)新性學(xué)習(xí)活動(dòng)，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)

研，男生與女生的人數(shù)之比為3：2,其中女生有35名自述活動(dòng)過程中體驗(yàn)到心流，男生有15名沒有體

驗(yàn)到心流.

心流無心流總計(jì)

女生35

男生15

合計(jì)100

（1）完成2x2列聯(lián)表，依據(jù)表中數(shù)據(jù)，以及小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為學(xué)生在創(chuàng)新性學(xué)

習(xí)活動(dòng)中是否體驗(yàn)到心流與性別有關(guān)？

（2）在體驗(yàn)到心流的學(xué)生中，有人，口兩名同學(xué)表示特別喜愛這種創(chuàng)新性學(xué)習(xí)活動(dòng)，希望參加到進(jìn)一步

的學(xué)習(xí)中，在接下來的進(jìn)一步學(xué)習(xí)中，研究小組將每次從體驗(yàn)到心流的學(xué)生中不放回的隨機(jī)抽

以卜=4,5,6,7,8）名同學(xué)參加,記抽取兩次后抽中人或B的概率為當(dāng)卜為何值時(shí)p（fc）最大？請證

明你的結(jié)論.

參考公式（）（黑茨）（）其中幾

"=a+bi'—a+b+c+d.

參考數(shù)據(jù)：

a0.100.050.0100.005

2.7063.8416.6357.879

17.（24-25高三上?四川成都?階段練習(xí)）2024年7月26日，第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在法國巴黎正式

開幕.人們在觀看奧運(yùn)比賽的同時(shí),開始投入健身的行列.某興趣小組為了解成都市不同年齡段的市民

每周鍛煉時(shí)長情況，隨機(jī)從抽取200人進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：

周平均鍛煉時(shí)長

年齡合計(jì)

周平均鍛煉時(shí)間少于4小時(shí)周平均鍛煉時(shí)間不少于4小時(shí)

50歲以下4060100

50歲以上（含50）2575100

合計(jì)65135200

（1）試根據(jù)a=0.05的％2獨(dú)立性檢驗(yàn),分析周平均鍛煉時(shí)長是否與年齡有關(guān)？（*精確到0.001）；

（2）現(xiàn)從50歲以下的樣本中按周平均鍛煉時(shí)間是否少于4小時(shí)，用分層隨機(jī)抽樣法抽取5人做進(jìn)一步

訪談,再從這5人中隨機(jī)抽取3人填寫調(diào)查問卷.記抽取3人中周平均鍛煉時(shí)間不少于4小時(shí)的人數(shù)為

X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

n(ad—bc)2

參考公式及數(shù)據(jù)，其中7i=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)

18.（23-24高三下?河北?階段練習(xí)）《道路交通安全法實(shí)施條例》第六十二條規(guī)定:司機(jī)在開車時(shí)使用手機(jī)

屬于違法行為.會(huì)存在嚴(yán)重的安全隱患，危及自己和他人的生命.為了研究司機(jī)開車時(shí)使用手機(jī)的情

況，某交警部門隨機(jī)調(diào)查了500名司機(jī)，得到如下2X2列聯(lián)表.

開車時(shí)使用手機(jī)開車時(shí)不使用手機(jī)合計(jì)

男性司機(jī)人數(shù)125100225

女性司機(jī)人數(shù)75200275

合計(jì)200300500

（1）依據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為開車時(shí)使用手機(jī)與司機(jī)的性別有關(guān)？

（2）為了進(jìn)一步調(diào)查開車時(shí)由于使用手機(jī)造成過交通事故的情況，若用上述樣本估計(jì)總體，以頻率作為

概率，若從開車時(shí)使用手機(jī)的人中隨機(jī)抽取3人，求所抽取的司機(jī)中男性司機(jī)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù):

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-bc)2

參考公式，其中72=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(fe+d)

???

19.（24-25高三上?河南焦作?開學(xué)考試）交通強(qiáng)國，鐵路先行，每年我國鐵路部門都會(huì)根據(jù)運(yùn)輸需求進(jìn)行鐵

路調(diào)圖，一鐵路線Z上有自東向西依次編號為1，2,…，21的21個(gè)車站.

（1）為調(diào)查乘客對調(diào)圖的滿意度，在編號為10和11兩個(gè)站點(diǎn)多次乘坐列車P的旅客中，隨機(jī)抽取100

名旅客，得出數(shù)據(jù)（不完整）如下表所示：

車站編號滿意不滿意合計(jì)

102840

113

合計(jì)85

完善表格數(shù)據(jù)并計(jì)算分析:依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),在這兩個(gè)車站中，能否認(rèn)為旅客滿意

程度與車站編號有關(guān)聯(lián)?

（2）根據(jù)以往調(diào)圖經(jīng)驗(yàn)，列車P在編號為8至14的終到站每次調(diào)圖時(shí)有之的概率改為當(dāng)前終到站的西

側(cè)一站，有弓的概率改為當(dāng)前終到站的東側(cè)一站，每次調(diào)圖之間相互獨(dú)立.已知原定終到站編號為11

的列車P經(jīng)歷了3次調(diào)圖，第3次調(diào)圖后的終到站編號記為X,求X的分布列及均值.

n(ad-bc)2

附：%2，其中？2=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)

a0.10.010.001

2.7066.63510.828

??

20.(24-25高三上?重慶渝中?階段練習(xí))為研究“眼睛近視是否與長時(shí)間看電子產(chǎn)品有關(guān)”的問題,對某班

同學(xué)的近視情況和看電子產(chǎn)品的時(shí)間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得到如下的列聯(lián)表：

每天看電子產(chǎn)品的時(shí)間

近視情況合計(jì)

超過一小時(shí)一小時(shí)內(nèi)

近視10人5人15人

不近視10人25人35人

合計(jì)20人30人50人

附表:

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

2

2_n(acZ—6c)

為(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

(1)根據(jù)小概率值a=0.05的*獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷眼睛近視是否與長時(shí)間看電子產(chǎn)品有關(guān)；

(2)在該班近視的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，則至少有兩人每天看電子產(chǎn)品超過一小時(shí)的概率是多少？

(3)以頻率估計(jì)概率，在該班所在學(xué)校隨機(jī)抽取2人,記其中近視的人數(shù)為X,每天看電子產(chǎn)品超過一小

時(shí)的人數(shù)為匕求P(X=Y)的值.

高頻考點(diǎn)五:概率與統(tǒng)計(jì)（離散型隨機(jī)變量及其分布列）

21.（23-24高二下?江蘇南京?階段練習(xí)）在一次知識(shí)競賽中，參賽選手應(yīng)從8個(gè)不同的題目中隨機(jī)抽取3

個(gè)題目進(jìn)行作答.已知這8個(gè)題目中，選手甲只能正確作答其中的6個(gè),而選手乙正確作答每個(gè)題目的

概率均為0.75,且甲、乙兩位選手對每個(gè)題目作答都是相互獨(dú)立的.

（1）記選手甲正確作答的題目的個(gè)數(shù)為X,乙正確作答的題目個(gè)數(shù)為Y,求X,Y概率分布；

（2）結(jié)合你所學(xué)過的概率知識(shí)說明：甲乙兩名選手誰更優(yōu)秀.

22.（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）某外賣公司為提高外賣騎手的服務(wù)意識(shí)和服務(wù)水平，對騎手的服務(wù)水

平進(jìn)行了考核，并從中隨機(jī)抽取了100名騎手，根據(jù)這100名騎手的服務(wù)水平評分制成如下的頻率分布

直方圖，已知所有騎手的服務(wù)水平評分均在區(qū)間［76,100］內(nèi).

（1）求a及服務(wù)水平評分的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中間值為代表，結(jié)果保留1

位小數(shù)）；

（2）從服務(wù)水平評分在區(qū)間［88,92）,［92,96）,［96,100］內(nèi)的騎手中用分層抽樣的方法抽取12人,再從這

12人中隨機(jī)抽取4人，記X為4人中評分落在［92,96）內(nèi)的人數(shù)，求X的分布列和期望.

MS

23.(24-25高二下?全國?課后作業(yè))為了鍛煉學(xué)生身體,豐富高中生活，減輕高三畢業(yè)生的壓力，某體育老

師在課上帶領(lǐng)同學(xué)們做了一組投籃活動(dòng):選出4人進(jìn)行定點(diǎn)投籃，4人都投籃一次為一輪活動(dòng)，已知選

出的4位同學(xué)中有兩位同學(xué)進(jìn)球的概率為4，另外兩位同學(xué)進(jìn)球的概率為-I.

(1)記一輪活動(dòng)結(jié)束后，進(jìn)球個(gè)數(shù)為X,求X的分布列與方差；

(2)若隨機(jī)變量Y=mX+"(巾>0),其中E(Y)=11,。(Y)=16,求

24.(2024?四川.一模)甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，據(jù)以往訓(xùn)練數(shù)據(jù)，甲每次投籃命中的概率為，乙

每次投籃命中的概率為y，各次投籃互不影響、現(xiàn)甲、乙兩人開展多輪次的定點(diǎn)投籃活動(dòng)，每輪次各投

2個(gè)球，每投進(jìn)一個(gè)球記1分，未投進(jìn)記-1分.

(1)求甲在一輪投籃結(jié)束后的得分不大于0的概率；

(2)記甲、乙每輪投籃得分之和為X.

①求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②若x>o,則稱該輪次為一個(gè)“成功輪次”.在連續(xù)九⑺>8)輪次的投籃活動(dòng)中，記“成功輪次”為y,

當(dāng)"為何值時(shí)，P(y=8)>P(Y=a)(0W%Wn,ReN)恒成立？

25.（24-25高三上?廣西柳州?階段練習(xí)）箱中裝有大小相同的黃、白兩種顏色的乒乓球，黃、白乒乓球的數(shù)

量比為3:2.現(xiàn)從箱中每次任意取出一個(gè)球，若取出的是黃球則結(jié)束，若取出的是白球，則將其放回箱

中，并繼續(xù)從箱中任意取出一個(gè)球，但取球的次數(shù)最多不超過幾次，以￡表示取球結(jié)束時(shí)已取到白球的

次數(shù).

（1）求￡的分布列；

（2）求￡的數(shù)學(xué)期望.

高頻考點(diǎn)六:概率與統(tǒng)計(jì)（概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題）

26.（24-25高三上?廣西柳州?階段練習(xí)）在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點(diǎn)

生產(chǎn)口罩、防護(hù)服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng),在國際社會(huì)上贏得一片贊譽(yù).我國

某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時(shí),狠抓質(zhì)量管理，不定時(shí)抽查口罩質(zhì)量、該廠質(zhì)檢人員從某日生產(chǎn)的

口罩中隨機(jī)抽取了100個(gè)，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下五組：[100,110）,[110,120）,[120,130）,[130,140）,

[140,150],得到如下頻率分布直方圖.規(guī)定：口罩的質(zhì)量指標(biāo)值越高,說明該口罩質(zhì)量越好，其中質(zhì)量指

標(biāo)值低于130的為二級口罩，質(zhì)量指標(biāo)值不低于130的為一級口罩.

⑴求該廠商生產(chǎn)口罩質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和第60百分位數(shù)；

（2）現(xiàn)從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8個(gè)口罩，再從中抽取3個(gè)，記其中一級口罩個(gè)數(shù)為

〃，求〃的分布列及方差；

⑶在2024年''五一”勞動(dòng)節(jié)前，甲、乙兩人計(jì)劃同時(shí)在該型號口罩的某網(wǎng)絡(luò)購物平臺(tái)上分別參加A,B

兩店各一個(gè)訂單“秒殺”搶購，其中每個(gè)訂單由九⑺>2,%eN*）個(gè)該型號口罩構(gòu)成.假定甲、乙兩人在

_2cos匹

兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為——記甲、乙兩人搶購成功的口罩總數(shù)量為X,求當(dāng)

n2n

X的數(shù)學(xué)期望E（X）取最大值時(shí)正整數(shù)n的值.

27.（2024?山西長治?模擬預(yù)測）某汽車公司最新研發(fā)了一款新能源汽車,并在出廠前對100輛汽車進(jìn)行了單

次最大續(xù)航里程（理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠(yuǎn)里程）的測

試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如下的頻率分布直方圖：

（1）估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值現(xiàn)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）由頻率分布直方圖計(jì)算得樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為49.75.根據(jù)大量的汽車測試數(shù)據(jù),可以認(rèn)為這款

汽車的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布,其中“近似為樣本平均數(shù)濟(jì)。近似為樣本

標(biāo)準(zhǔn)差S.

（i）利用該正態(tài)分布，求P（250.25VX<399.5）；

（ii）假設(shè)某企業(yè)從該汽車公司購買了20輛該款新能源汽車，記Z表示這20輛新能源汽車中單次最大

續(xù)航里程位于區(qū)間（250.25,399.5）的車輛數(shù)，求E（Z）；

參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量5服從正態(tài)分布N（〃02）,則p（〃—a<￡<〃+Q=o.6827,

—+=0.9545,P（“—3（rV￡<〃+3。）=0.99731.

（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車,現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲,送大獎(jiǎng)”活動(dòng)，客戶可根據(jù)

拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在刀軸上從原點(diǎn)O出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都

得，客戶每擲一次硬幣,遙控車向右移動(dòng)一次，若擲出正面，則遙控車向移動(dòng)一個(gè)單位，若擲出反面，則

遙控車向右移動(dòng)兩個(gè)單位，直到遙控車移到點(diǎn)（59,0）（勝利大本營）或點(diǎn)（60,0）（失敗大本營）時(shí)，游戲

結(jié)束，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優(yōu)惠券.設(shè)遙控車移到點(diǎn)（n,O）的概率為

2（14口<60）,試證明數(shù)列｛R—2-｝是等比數(shù)列（2Wn<59）,求出數(shù)列｛R｝（1WTIW60）的通項(xiàng)公

式，并比較29和入。的大小.

28.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）某工廠為了提高精度，采購了一批新型機(jī)器，現(xiàn)對這批機(jī)器的生產(chǎn)效能進(jìn)行測

試，對其生產(chǎn)的第一批零件的內(nèi)徑進(jìn)行測量，統(tǒng)計(jì)繪制了如下圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求a的值以及這批零件內(nèi)徑的平均值T和方差s2（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）以頻率估計(jì)概率，若在這批零件中隨機(jī)抽取4個(gè),記內(nèi)徑在區(qū)間⑵45,2.55）內(nèi)的零件個(gè)數(shù)為Z,求

Z的分布列以及數(shù)學(xué)期望；

（3）已知這批零件的內(nèi)徑X（單位：mm）服從正態(tài)分布N（〃02）,現(xiàn)以頻率分布直方圖中的平均數(shù)元作

為H的估計(jì)值，頻率分布直方圖中的標(biāo)準(zhǔn)差s作為a的估計(jì)值,則在這批零件中隨機(jī)抽取200個(gè)，記內(nèi)

徑在區(qū)間［2.285,2.705］上的零件個(gè)數(shù)為V,求V的方差.

參考數(shù)據(jù)：，OH七0.105,若X?則P（“—bWX&zz+Q七0.6827,P（〃-2aWXW〃+2（7）7

0.9545,P（〃-3aWXW〃+3G七0.9973.

MS

29.（2024高三?全國?專題練習(xí)）某校為了解該校學(xué)生“停課不停學(xué)”的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)效率,隨機(jī)抽查了高一年級

100位學(xué)生的某次數(shù)學(xué)成績（單位:分），得到如下所示的頻率分布直方圖：

（1）估計(jì)這100位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的平均值人（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）

（2）根據(jù)整個(gè)年級的數(shù)學(xué)成績可以認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X近似地服從正態(tài)分布N（〃，〃）,經(jīng)計(jì)算，（1）

中樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為10,用樣本平均數(shù)下作為〃的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為（7的估計(jì)值，

現(xiàn)任抽取一位學(xué)生，求他的數(shù)學(xué)成績恰在64分到94分之間的概率；（若隨機(jī)變量X?N（〃，〃），則P5

0.6827,-2。WX<〃+2Q仁0.9545,-3。&XW必+3（r）20.9973）

（3）該年級1班的數(shù)學(xué)老師為了能每天督促學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)，提高學(xué)生每天的作業(yè)質(zhì)量及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積

極性，特意在微信上設(shè)計(jì)了一個(gè)每日作業(yè)小程序，每當(dāng)學(xué)生提交的作業(yè)獲得優(yōu)秀時(shí)，就有機(jī)會(huì)參與一次

小程序中”玩游戲，得獎(jiǎng)勵(lì)積分”的活動(dòng),開學(xué)后可根據(jù)獲得積分的多少向老師領(lǐng)取相應(yīng)的小獎(jiǎng)品.小程

序頁面上有一列方格，共15格，剛開始有只小兔子在第1格，每點(diǎn)一下游戲的開始按鈕，小兔子就沿著

方格跳一下,每次跳1格或跳2格，概率均為］,依次點(diǎn)擊游戲的開始按鈕,直到小兔子跳到第14格（獎(jiǎng)

勵(lì)0分）或第15格（獎(jiǎng)勵(lì)5分）時(shí),游戲結(jié)束，每天的積分自動(dòng)累加,設(shè)小兔子跳到第八（1WnW14）格的

概率為2,試證明｛2+1—2｝是等比數(shù)列,并求外（獲勝的概率）的值.

MS

30.(2024.福建龍巖.三模)某企業(yè)對某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進(jìn)行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級劃分為五

個(gè)層級，分別對應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：［45,55),［55,65),［65,75),［75,85),［85,95］.根據(jù)長期檢測結(jié)果,

得到芯片的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布"(〃,，)，并把質(zhì)量指標(biāo)值不小于80的產(chǎn)品稱為人等品，其它

產(chǎn)品稱為B等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件作為樣本,統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分

布直方圖.

⑴根據(jù)長期檢測結(jié)果,該芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為11,用樣本平均數(shù)W作為〃的近似值，

用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為。的估計(jì)值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計(jì)該芯片為A等品的概率(保留小

數(shù)點(diǎn)后面兩位有效數(shù)字)；

(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表;②參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量￡服從正態(tài)分布N(〃,4),則p

(〃一0<￡(“+(7)U0.6827,2。<￡<〃+2行)70.9545,+3。)20.9973.)

(2)(i)從樣本的質(zhì)量指標(biāo)值在［45,55)和［85,95］的芯片中隨機(jī)抽取3件,記其中質(zhì)量指標(biāo)值在［85,

95］的芯片件數(shù)為〃，求〃的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(切該企業(yè)為節(jié)省檢測成本，采用隨機(jī)混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知一件4等品芯

片的利潤是m(l<m<24)元，一件B等品芯片的利潤是ln(25-巾)元,根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,試求m

的值,使得每箱產(chǎn)品的利潤最大.

MS

高頻考點(diǎn)七:概率與統(tǒng)計(jì)(正態(tài)分布的綜合問題)

31.(23-24高二下?浙江?期中)某手機(jī)銷售商為了了解一款5G手機(jī)的銷量情況，對近100天該手機(jī)的日銷

售量X(單位：部)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),經(jīng)計(jì)算得到了樣本的平均值文=300,樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s=50.

(1)經(jīng)分析，可以認(rèn)為該款手機(jī)的日銷售量X近似服從正態(tài)分布"(ad),用樣本的平均值N作為〃的

近似值，用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s作為b的近似值，現(xiàn)任意選取一天,試估計(jì)這一天該款手機(jī)的銷量恰好在

[300,400)之間的概率；

(2)為了促銷,該銷售商推出了“摸小球、送手機(jī)”的活動(dòng),活動(dòng)規(guī)則為:①每位購買了一部該款手機(jī)的顧

客參加一次活動(dòng);②箱子中裝有紅球2個(gè)和白球4個(gè),如果摸到的是白球,則獲得1個(gè)積分,如果摸到的

是紅球，則獲得2個(gè)積分.放回后進(jìn)行下一次摸取.設(shè)顧客的初始積分為0,顧客的積分之和為

n(nCN)的概率為P(n),

(i)求P(0),P⑴的值,并證明：數(shù)列{P(")—P(n—1)}⑺CN*)是等比數(shù)列；

(ii)銷售商家規(guī)定當(dāng)積分之和達(dá)到19或20時(shí),游戲結(jié)束,如果最終積分為19,顧客獲得二等獎(jiǎng),手機(jī)的

售價(jià)減免1000元;如果最終的積分為20,顧客獲得一等獎(jiǎng),手機(jī)的售價(jià)減免2000元.活動(dòng)的第一天共

有300位顧客各購買了一部該手機(jī)，且都參加了活動(dòng)，試估計(jì)獲得一等獎(jiǎng)的顧客人數(shù).(結(jié)果四舍五入

取整數(shù))

參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量E?N(u,*)，則?0.6827,

P(w-25<f<ti+23)?0.9545,P(u-35<f<tt+33)?0.9973.

MS

32.（23-24高二下?重慶?期末）國家對化學(xué)元素錢（Ga）相關(guān)物項(xiàng)實(shí)施出口管制.錢在高端半導(dǎo)體領(lǐng)域有著

非常重要的作用，其應(yīng)用前景十分廣闊.某錢合金研制單位為了讓錢合金中的錢元素含量百分比穩(wěn)定

在一定范圍內(nèi)，由質(zhì)檢員每天17次隨機(jī)抽取并檢測錢元素在錢合金材料中的含量百分比.設(shè)

?（i=l,2,…,17）表示一天的17次檢測得到的錢含量（單位：%）的監(jiān)測數(shù)據(jù)，并記監(jiān)測數(shù)據(jù)的平均數(shù)

元=行￡%標(biāo)準(zhǔn)差S=J五￡（0—出）2?設(shè)X表示像合金中錢含量（單位：％），且X?N（〃,cr2）,當(dāng)k

為正整數(shù)時(shí)，令Pk=—kff<X</Li+附，根據(jù)表中的力和Pk值解答：

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