2025年廣西河池市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案解析）

2025年廣西河池市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.（5分）已知向量a=（—L3）,b=（2,m）,右a〃b,貝！J加=（）

A.-4B.-6C.6D.4

2.（5分）已知集合4={x|"+6=2}（a,beR）,若4=R,貝!JQ+6=（）

A.1B.2C.3D.4

3.（5分）葫蘆擺件作為中國傳統(tǒng)工藝品，深受人們喜愛，它們常被視為吉祥物，象征福祿、多子多福.如

圖所示的葫蘆擺件從上到下可近似看作由一個圓柱與兩個完整的球組成的幾何體，若上、中、下三個幾

何體的高度之比為3：3：4,且總高度為20°加，則下面球的體積與上面球的體積之差約為（）（n

仁3）

_A

A.存銀行

B.投資股票

C.投資基金

第1頁（共19頁）

D.投資基金和投資股票均可

5.（5分）已知"6N*,則“〃是偶數(shù)”是“（x+已產(chǎn)的展開式中存在常數(shù)項”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要冬件

D.既不充分又不必要條件

6.（5分）已知雙曲線E：l（a>0,6>0）的離心率為左、右焦點分別為b2,點為關(guān)

于C的一條漸近線的對稱點為/,若Mg|=2,則△/后尸2的面積為（）

A.2B.4C.6D.2V10

—>—>—>

7.（5分）已知正三棱錐尸-48。中，以，尸2,尸。兩兩垂直，以=2,點0滿足4。=/148+〃4。，A￡[0,1],

^G[0,1],且PQ=VZ則cos/NP。的取值范圍是（）

A.[0,孥]B.[-1,攀]

C.（0,攀）D.孥）

8.（5分）已知/（xi，yi）,B（處/2）是圓/+產(chǎn)=9上的兩個不同的動點，若xiy2=x2yi,則3xi+x2+3yi+y2

的最大值為（）

A.18B.12C.9D.6V2

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

（多選）9.（6分）已知復(fù)數(shù)2=a+（a-3）i（aGR）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線x+2y=0上，則（）

A.zz=V5B.（z-z）2是純虛數(shù)

C.Z>1-iD.ITATTI=1

1i—2i1

（多選）10.（6分）已知函數(shù)/（x）=sin3x（3>0）,則下列命題正確的是（）

A.若/（X）在（T，3）上單調(diào)遞增，則3的取值范圍是（0,1]

B.若/（x）在（0,冷）上恰有3個零點，則3的取值范圍是（6,8）

C.若/（x）在[0,等]上的值域為[-1,1],則3的取值范圍是[2,+8）

D.若/（x）在（0,守）上有最大值，沒有最小值，則3的取值范圍是弓，1]

第2頁（共19頁）

(多選)11.(6分)已知定義在R上的函數(shù)八x)滿足：V久，yER,f(x)+f(y)=*/(室)/(十)，/(%)

不恒為0,f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則()

A.f(0)=4B.f(x)為偶函數(shù)

11

C.八2)=打(1)/(1)D.f(2x)=打2(%)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)已知拋物線C：，=8x的焦點為尸，在。上有一點尸，|尸尸|=8,則點尸到x軸的距離

為.

13.(5分)近年來，直播帶貨成為一種新的營銷模式，成為電商行業(yè)的新增長點.某直播平臺第一年初的

啟動資金為600萬元，當(dāng)年要再投入年初平臺上的資金的30%作為運(yùn)營資金，每年年底扣除當(dāng)年的運(yùn)營

成本a萬元(假設(shè)每年的運(yùn)營成本相同)，將剩余資金繼續(xù)投入直播平臺，要使在第4年年底扣除運(yùn)營

成本后資金不低于1500萬元，則每年的運(yùn)營成本應(yīng)不高于萬元.(結(jié)果精確到0.01萬元,

參考數(shù)據(jù)：1.34=2.8561)

14.(5分)已知/(x)是R上的偶函數(shù)，，(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù)，Vx>0,切'(x)>1.若

Vx>0,f(Inx)Inx-axf(ax)<lnx-ax,則實數(shù)a的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.中藥是中華民族的瑰寶，除用來治病救人外，在調(diào)理身體、預(yù)防疾病等方面也發(fā)揮著重要的作用.某

研究機(jī)構(gòu)為了解草藥/對某疾病的預(yù)防效果，隨機(jī)調(diào)查了100名人員，數(shù)據(jù)如下:

未患病患病合計

服用草藥/481260

未服用草藥/221840

合計7030100

(1)依據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，分析草藥N對預(yù)防該疾病是否有效;

(2)已知草藥8對該疾病的治療有效的概率的數(shù)據(jù)如下：對未服用草藥N的患者治療有效的概率為|,

4

對服用草藥/的患者治療有效的概率為q若用頻率估計概率，現(xiàn)從患此疾病的人中隨機(jī)抽取1人使用

草藥2進(jìn)行治療，求治療有效的概率.

附：參考公式：/=…、'其中"=a+6+c+4.

參考數(shù)據(jù)：

第3頁(共19頁)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

16.已知函數(shù)/(x)^x3+x+a(aCR)及點尸(1,0).

(1)若點尸在/(x)的圖象上，求曲線y=/(x)在點尸處的切線的方程；

(2)若過點尸與/G)的圖象相切的直線恰有2條，求。的值.

17.如圖，在五棱臺48cz中，E￡i_L平面48cDE,EEi=2,EA=ED=2痘,EA±AB,

TT

ED1.DC,EB=EC=4,NBEC=瑩,AB=2A1Bl.

(1)求證：DELAAu

(2)求平面N381/1與平面夾角的余弦值.

18.已知。為坐標(biāo)原點，橢圓E：勞+*l(a>6>0)的左、右焦點分別是尸1,尸2,離心率6=亭過

為且斜率不為0的直線/交E于點4,3兩點，線段/為的中點為M,QM+陽歹”=2.

(1)求￡的方程；

(2)過/,8分別作￡的切線，兩條切線交于點P,

①求證：點尸在定直線上；

②求AR4B的面積的最小值.

19.若無窮數(shù)列｛劭｝,｛仇｝的各項均為整數(shù)，且滿足N*U｛aj+與|i,/CN*｝,則稱｛斯｝,他“｝是"和諧數(shù)

列”.

n1

(1)若須=2n—3,bn=2-,求證：｛劭｝,｛為｝是“和諧數(shù)列”;

(2)若斯=(—1尸,｛%｝是等比數(shù)列，求證：｛即｝，｛仇｝不是“和諧數(shù)列”;

(3)若芍6｛0,1｝,i=0,1,2,,2”,將X0+22久2+244+…+22，％2i+…+2?n％2n的所有不同的

3

值按照從小到大排列，構(gòu)成數(shù)列｛斯｝；將2亞+2X3+-+22nT久2計1的所有不同的值按照從小到大排

歹h構(gòu)成數(shù)列｛辦｝,求證：｛即｝,彷〃｝是“和諧數(shù)列”.

第4頁(共19頁)

2025年廣西河池市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

—>T7

1.（5分）已知向量a=（—1,3）,b=(2,m),若?〃b,貝!Jm=()

A.-4B.-6C.6D.4

—>—>

【解答】解：因為向量Q=（—L3）,b=q,m）,且?！╞,

所以由向量共線的充要條件可得-冽-6=0,解得加=-6.

故選：B.

2.(5分)已知集合4={可辦+6=2}(〃，Z>eR),若4=R,貝!Ja+b=()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：根據(jù)題意可知關(guān)于x的方程"=2-6的解是任意實數(shù),

a=°，lltIa=0,

所以,所以

2-b=0,b=2,

所以a+b=2.

故選：B.

3.（5分）葫蘆擺件作為中國傳統(tǒng)工藝品，深受人們喜愛，它們常被視為吉祥物，象征福祿、多子多福.如

圖所示的葫蘆擺件從上到下可近似看作由一個圓柱與兩個完整的球組成的幾何體，若上、中、下三個幾

何體的高度之比為3：3：4,且總高度為20°加，則下面球的體積與上面球的體積之差約為（）（冗

仁3)

A.1184cm3B.364cm3C.256cm3D.148cm3

【解答】解：,?,葫蘆擺件從上到下可近似看作由一個圓柱與兩個完整的球組成的幾何體,

且上、中、下三個幾何體的高度之比為3：3：4,總高度為20c冽,

第5頁（共19頁）

???兩個球的直徑分別為6c冽，8c冽，，它們的半徑分別為3c加，4cm,

44

...下面球的體積與上面球的體積之差為37rx(43-33)?-x3x(43-33)=148cm3.

A.存銀行

B.投資股票

C.投資基金

D.投資基金和投資股票均可

【解答】解：由已知得：E(X)=10X0.1+2X0.7+(-3)X0.2=L8,

E(F)=7X0.1+3X0.6+(-3)X0.3=1.6,

顯然E(X)>E(y),

預(yù)期基金收益較大，則應(yīng)投資基金.

故選：C.

5.(5分)已知”€N*,則。是偶數(shù)”是“0+姬-尸的展開式中存在常數(shù)項”的()

yx

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要冬件

D.既不充分又不必要條件

【解答】解：由題意可得展開式的通項公式為7計1==C-2rxn4,

當(dāng)展開式中存在常數(shù)項時，貝

由于"一定是偶數(shù)，所以〃一定是偶數(shù),

第6頁(共19頁)

即“〃是偶數(shù)”是“（久+工產(chǎn)的展開式中存在常數(shù)項”的必要條件，

,VX

但當(dāng)〃=2時，滿足等式3〃=4/的一無自然數(shù)解，即不存在常數(shù)項，

所以“〃是偶數(shù)”是“（X+"產(chǎn)的展開式中存在常數(shù)項”的必要不充分條件.

故選：B.

6.（5分）已知雙曲線E；b>0）的離心率為VTU,左、右焦點分別為為，e2,點為關(guān)

于C的一條漸近線的對稱點為/,若磔刀2|=2,則△/人尸2的面積為（）

A.2B.4C.6D.2V10

在雙曲線中，因為雙曲線的離心率e=JTU,

所以e2=，=。+?=1+與?=10,

b

所以一=3,

a

設(shè)雙曲線的一條漸近線為y=3x,為關(guān)于y=3x的對稱點為4,

連接FiA交漸近線于M點，

因為M為尸1/的中點，所以（W〃/尸2,

且乙F1MO=90°,所以//M尸2=90°,

因為|4砌=2,

因為tanZFiOM=tanZF1F2A=黑4=駕n=3,

I力白2lN

所以⑷^1=6,

11

所以△一/內(nèi)的面積為小尸1卜只尸2|=5X6X2=6.

第7頁（共19頁）

故選：c.

—>—>—>

7.（5分）已知正三棱錐尸-48C中，以，尸2,PC兩兩垂直，以=2,點0滿足AQ=448+“AC,Ae[0,1],

riG[0,1],且PQ=VL則cos//P。的取值范圍是（）

A.[0,孥]B.[-1,挈]

C.（0,攀）D.孥）

【解答】解：設(shè)△/BC的中心為O,連接尸O,連接/O交于D,則PO_L平面/8C,

又PA,PB,PC兩兩垂直，PA=PB=PC=2,

：.AB=AC=BC=2V2,

11

由VP-ABC—VBPACJ得'SABC,P。=5spi4c?PB，

即1x-x2^2x2^2x——PO=-x—x2x2x2?解得P。=

32232J

由題意知點0在以/C為兩鄰邊的平行四邊形內(nèi)（包括邊界），連接。0,

,/PQ=V2,則。Q=JPQ2-PO2=苧，

在正△48C中，AD=AB-sin600=2V2x=V6,

則04=^AD=孚，OD=^AD=乎，

V6

.,.點。的軌跡是以。為圓心，以飛-為半徑的圓（△A8C的內(nèi)切圓）,

：.OA-^-<AQ<AD,即如WHQW遂，

33

在△4P。中，由余弦定理得COSNAPQ=P：2您;%加2=與磐，

...COS/4P。的取值范圍是[0,孥].

8.（5分）已知/（xi,yi）,B（X2,yi）是圓，+產(chǎn)=9上的兩個不同的動點，若xiy2=x2yi,則3xi+x2+3yi+j2

的最大值為（)

第8頁（共19頁）

A.18B.12C.9D.6V2

【解答】解：因為4（xi,yO,B（12,歹2）是圓，+?2=9上的兩個不同的動點,

%=3cosa

可令aG[O,2n),

yr=3sina

(x—3cos￡

[y2=3sin/?陽0,2n),且0>a,

所以4(3cosa,3sina),B(3cos0,3sin0),

由x\y2=x2yif可得9cosasinP=9sinacosP,

即sin(p-a)=0,

又因為0-aC(0,2TT),所以0-a=n,即B=n+a,

所以3xi+%2+3yi+?2=9cosa+3cosP+9sina+3sinP,

=9cosa+3cos(n+a)+9sina+3sin(n+a)

6sina+6cosa=6V2sin(a+^)<6V2,

當(dāng)a+、=看即a=-時,6V2sin（a+今）的最大值為6VL

所以3xi+x2+3ji+y2取得最大值6V2.

故選：D.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

（多選）9.（6分）已知復(fù)數(shù)z=a+（〃-3）i（t/GR）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線x+2y=0上，貝！]（）

A.zz=V5B.（z-i）2是純虛數(shù)

7

C.z>l-iD.|^2/|=1

【解答】解：z=a+（a-3）i（a￡R）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（a,"3）,

復(fù)數(shù)z=a+（a-3）i（a￡R）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線x+2y=0上，

則a+2（a-3）=0,a=2,所以z=2-i,z=2+i,

所以z2=5,（z—y=（2—2爐=—&,I^^1=1白羽=1，

故/錯誤，BD正確；兩個虛數(shù)不能比較大小，故C錯誤.

故選：BD.

（多選）10.（6分）已知函數(shù)/（x）=sin3x（3>0）,則下列命題正確的是（）

A.若/G）在（T，3）上單調(diào)遞增，則3的取值范圍是（0,1]

第9頁（共19頁）

B.若/(x)在(0,舒上恰有3個零點，則3的取值范圍是(6,8)

C.若/(x)在［0,詈］上的值域為［-1,1］,則3的取值范圍是［2,+8)

D.若/(x)在(0,引上有最大值，沒有最小值，則3的取值范圍是(|,1］

【解答】解：對于/,當(dāng)xe(—91)時，可得3乂6(—,

又/G)在(―9看)上單調(diào)遞增，

_CO7T>7T

37T；2,

(~6~2

可得0V34本故4正確；

對于B,當(dāng)?shù)?(0/時，可得3%6(0/罩D，

若/(X)在(0,］)上恰有3個零點，

則3兀〈等34兀，

所以6<3W8,故3錯誤；

對于C,若/(x)=sin3x在［0,等］上的值域為［-1,1］,

3d)7r37r

可得一^>—,解得故C正確；

4L

對于，/(x)=sin3X在(0,號)上有最大值，沒有最小值，

37r3兀八「，_39__

可得5<—<—,解得J<w<故。正確.

乙。乙乙乙

故選：ACD.

(多選)11.(6分)已知定義在R上的函數(shù)八x)滿足：Vx,yER,f(x)+f(y)=*/(室)f(十)，/(%)

不恒為0,f(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù)，則()

A.f(0)=4B.f(x)為偶函數(shù)

C.-3=打(1)/(1)D./(2x)=打2(%)

【解答】解：因為Vx,yeR,/(x)⑶)=4/(學(xué))/(十)，

令〉=方得2/(x)=^/(x)f(0),因為/G)不恒為0,所以7(0)=4,故/正確；

令>=-x,得/(-X)=/(x),故/(x)為偶函數(shù)，故8正確；

第10頁(共19頁)

11

由/（2x）+4=*/2Q）,得/（2x）?2=/（x）/（x）,令x=l,得f（2）=（1）,故C正確；

令y=0，得/'（久）+/（O）=*/2（分，所以/（2久）+4=*/2（W，故￡）錯誤.

故選：ABC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）已知拋物線C：/=8x的焦點為尸，在C上有一點P,\PF\=S,則點P到x軸的距離為4V3.

【解答】解：由拋物線的定義，可知|即=功+2=8,所以有=6,

代入f=8x中,得箱=48,

所以1%1=4百，

故答案為：4V3.

13.（5分）近年來，直播帶貨成為一種新的營銷模式，成為電商行業(yè)的新增長點.某直播平臺第一年初的

啟動資金為600萬元，當(dāng)年要再投入年初平臺上的資金的30%作為運(yùn)營資金，每年年底扣除當(dāng)年的運(yùn)營

成本。萬元（假設(shè)每年的運(yùn)營成本相同），將剩余資金繼續(xù)投入直播平臺，要使在第4年年底扣除運(yùn)營

成本后資金不低于1500萬元，則每年的運(yùn)營成本應(yīng)不高于34.53萬元.（結(jié)果精確到0.01萬元，參

考數(shù)據(jù)：1.34=2.8561）

【解答】解：某直播平臺第一年初的啟動資金為600萬元，當(dāng)年要再投入年初平臺上的資金的30%作為

運(yùn)營資金，

每年年底扣除當(dāng)年的運(yùn)營成本。萬元（假設(shè)每年的運(yùn)營成本相同），將剩余資金繼續(xù)投入直播平臺，

要使在第4年年底扣除運(yùn)營成本后資金不低于1500萬元，

記即為第n年年底扣除運(yùn)營成本后直播平臺的資金，由題意知即+1=1.3斯-a,

2

所以的=600x1.3—a,a2—（600x1.3—d）x13-a—600x1.3—1.3a—a,

23

a3=（600x1.3—1.3a-a）x1.3-a=600x1.3—1.32a-1.3a—a,

nn

以此類推，an=600x1.3-1.35%------1.3a-a=600x1.3-a

i_1Q4

所以￡14=600X1.34A-『專a21500,解得aW34.53,

即每年的運(yùn)營成本應(yīng)不高于34.53萬元，才能使得直播平臺在第4年年底扣除運(yùn)營成本后資金達(dá)到1500

萬元.

故答案為：34.53.

14.（5分）已知/（x）是R上的偶函數(shù)，，（x）為/（x）的導(dǎo)函數(shù)，Vx>0,切,（x）>1.若

1

Vx>0,fClnx）Inx-axf（6zx）<lnx-ax,則實數(shù)a的取值范圍為—（―/+oo）—.

第11頁（共T9頁）

【解答】解：令尸(x)=xf(x)-X,

因為/(x)為R上的偶函數(shù)，

所以尸(-x)=-xf(-x)-(_x)=~xf(x)+%=_F(x),

所以尸(X)為R上的奇函數(shù)，

又P(x)=f(x)+xf(x)-L

因為對xf(x)+f(x)>1,所以Vx巳0,F'(x)>0,

所以尸(x)在[0,+8)上單調(diào)遞增，

綜上可得，函數(shù)產(chǎn)(x)在R上單調(diào)遞增，

因為f(Inx)Inx-axf(QX)<lnx-ax,

EPf(.Inx)Inx-Inx<axf(")-ax,EPF(Inx)<F(QX),

因為函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，

所以"工〈辦在(0,+°°)上恒成立，

即a>等恒成立，所以a>(竽)ma,，

令g(x)=萼，x>o,

所以9。)=審，

當(dāng)OVxVe時，g'(x)>0,當(dāng)x>e時，g'(x)<0,

所以g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

11

所以g(x)max=g(e)=5,所以a>],

即實數(shù)。的取值范圍為《，+8).

故答案為：.，+8).

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.中藥是中華民族的瑰寶，除用來治病救人外，在調(diào)理身體、預(yù)防疾病等方面也發(fā)揮著重要的作用.某

研究機(jī)構(gòu)為了解草藥/對某疾病的預(yù)防效果，隨機(jī)調(diào)查了100名人員，數(shù)據(jù)如下：

未患病患病合計

服用草藥/481260

未服用草藥/221840

合計7030100

第12頁(共19頁)

(1)依據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，分析草藥N對預(yù)防該疾病是否有效;

(2)已知草藥3對該疾病的治療有效的概率的數(shù)據(jù)如下：對未服用草藥/的患者治療有效的概率為

4

對服用草藥/的患者治療有效的概率為不若用頻率估計概率，現(xiàn)從患此疾病的人中隨機(jī)抽取1人使用

草藥2進(jìn)行治療，求治療有效的概率.

附：參考公式：/=(a+b)及鼠?嬴+d)，其中〃=。+6+。+乩

參考數(shù)據(jù):

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

【解答】解：(1)零假設(shè)為"0：草藥N對預(yù)防該疾病無效，根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得公=

膽祟塞需籌7.143>6,635,因為當(dāng)假設(shè)Ao成立時，P(*>6.635)=0.01,所以根據(jù)小概

/UXDU/XOUXT'U

率值a=0.01的獨立性檢驗，我們推斷Ao不成立，即認(rèn)為服用草藥/對預(yù)防該疾病有效，此推斷犯錯

誤的概率不大于0.01；

(2)設(shè)事件M表示“草藥2的治療有效”，事件M表示“患者未服用草藥/”，事件加表示“患者已

服用草藥/”，

則P(M)=而=耳，.(4)=而=耳,

24

p(M|yv1)=|,P(M|M)=5,

所以由全概率公式得：P(M)=P(M)P(MN1)+P(%2)P(M|N2),

32,2418

=5X3+5X5=25-

16.已知函數(shù)/(x)=x3+x+a(a￡R)及點P(1,0).

(I)若點P在/'(x)的圖象上，求曲線y=/(x)在點P處的切線的方程；

(2)若過點P與/(x)的圖象相切的直線恰有2條，求a的值.

【解答】解：(1):點尸在/(x)的圖象上，二/(1)=0,

由/(x)=x3+x+a,得，(x)=3X2+1,則，(1)=4,

，曲線y=/(x)在點尸處的切線方程為y=4(x-1),即4x-y-4=0；

(2)設(shè)過點尸的直線與/(x)的圖象切于點。5P+/+a),

則切線尸。的斜率左=/⑺=3於+1,

的方程為y-2-f-a=(3於+1)(x-t),

第13頁(共19頁)

把點P（l,0）的坐標(biāo)代入，得22-3於-l=a,

由題意可得關(guān)于t的方程2P-3?-1=?有兩個不等的實根.

設(shè)gG)=2戶則g'(?)=6?-Gt,

令g'(?)=6t2-6t>0,得f<0,或t>l,則g⑺在(-8,o),(1,+8)上單調(diào)遞增，

令g'Ct)=6z2-6t<0,得則g(?)在(0,1)上單調(diào)遞減.

.?.gCt)的極大值為g(0),g⑺的極小值為gCl),

?方程2?-3?-l=a有兩個不等實根，則a=g(0)=-1,或a=g(1)=-2,

即a的值為-2或-1.

17.如圖，在五棱臺中，E￡i_L平面48cEEi=2,EA=ED=2?EALAB,

TT

ED±DC,EB=EC=4,NBEC=瑩,AB=2A1B1.

(1)求證：￡>￡_L4/i；

(2)求平面4821/1與平面4DiE夾角的余弦值.

【解答】（1）證明：因為E￡i_L平面/8COE,DEu平面/8CDE,

所以EE1_LDE,

在RtAEAB中，cos乙AEB=普=竽=字，

所以乙4EB=去

同理,可得NCED建，乙BEC=急

所以乙4ED=4AEB+乙BEC+MED=

所以。EL4E,

XDELEEi,/Eu平面/EEi/i,￡￡/平面/￡￡1小，AEC\EE\=E,

所以。E_L平面NEEiNi,又44iu平面/EEiNi,

所以DEU/i；

（2）解：由（1）知，EA,ED,EEi兩兩垂直，

第14頁（共19頁）

以E為原點，直線及4,ED,E?分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

由(1)可得瓦4〃CD,48=2,

因為48=24囪，所以DE=2DiEi,所以。止1=百，

所以E(0,0,0),A(2y/3,0,0),B(2V3,2,0),4式6,0,2),。式0,V3,2),

—>—>—>—>

則48=(0,2,0),441=(-后0,2),颯=(0,遮,2),EA=(2V3,0,0),

設(shè)平面45514的一個法向量為九二(%>y>zi),

則(匕T”T=0,喂C我八

n-AAr=01-73x、+2zi=°

令xi=2,得乃=0,zx=V3,

所以1=(2,0,遙)為平面的一個法向量,

設(shè)平面的一個法向量為藍(lán)=(冷，為，Z2),

則他昂1=0,即(屬2+222=0,

1m.￡1=012岳2=0

令戶=2,得比2=0，Z?=-

所以蔡=(0,2,-8)為平面4Di￡的一個法向量,

71

設(shè)平面NABi/i與平面NO1E的夾角為46￡[0,-],

n?m=2X0+0X2+V3x(-V3)=-3,|n|=J22+02+(V3)2=V7,|m|=JO2+22+(-V3)2=V7,

—>—)

ttn-m33

所以cose/cos-,日鬲而3.近=7

3

所以平面ABBTAI與平面ADiE夾角的余弦值為1?

18.已知。為坐標(biāo)原點，橢圓E：務(wù)*l(a>6>0)的左、右焦點分別是尸1，尸2，離心率e=半過

第15頁(共19頁)

為且斜率不為0的直線/交E于點/,3兩點，線段/網(wǎng)的中點為M,QM+幽用尸2.

（1）求E的方程；

（2）過/,8分別作￡的切線，兩條切線交于點尸，

①求證：點尸在定直線上；

②求的面積的最小值.

【解答】解：（1）如圖，連接《尸2,。分別是/人，為尸2的中點，

11

則|0M|=3|”2l，\MF1\=^\AF1\f

11

又QM+|.1|=2,即5IZF2I+5MF1I=2,A\AF^r\AF\\=A,

即2a=4,解得a=2.又e=三=與,c=V3,則b=7層—b?=1,

故橢圓E的方程為,+y?=1；

（2）設(shè)4（xi，yi）,B（%2,歹2）（W2W0）,由題意知過4點的E的切線斜率存在，

設(shè)過力點的切線方程為歹-yi=A：（x-xi）,即-Axi+yi,

y=kx—kx1+乃

由％2，得（1+4M），+8左（ji-kxi）x+4（yi-kxi）-4=0,

（彳+V=i

22

A=64/c（y1-kx1y-4（1+4fc）［4（y1-kx^-4］=0,

即（4-就）/+2x1yrk+1—%=0,

%22

,.7（xi，＞1）在橢圓￡上，=1,得4一年=4y匕

4個

2

:?4y強(qiáng)2+2x^y^k+—0,即（2y1fc+牙＞=0，得k=—彳］,

.?.y一＞1=一贏（%一%1）,即xix+4?U=4,

即切線PA方程為xix+4yu=4,同理切線PB方程為X2x+4y2y=4.

①證明：設(shè)點尸（xo,泗），???點尸在切線口、PBk,

故xi%o+4yuo=4、X2xo+4y2yo=4,即點4,B均在直線xox+4yoy=4f

工直線/的方程為x”+4yoy=4,過點％（-遍，0）,

—

V3x0=4,角星得%0=-

/.點P在定直線x=-竽上.

②解：由①知直線/的方程久=byoy—B，

第16頁（共19頁）

（x=V3yy~V3

0..6yo—1

由，得（3%+4）必—6yoy-1=0,

（彳+/=1??為+'2=另碼'為力=另科，

\AB\=J1+（Kyo）2J（為+%）2—4y/2=J1+3%-4?二

16（1+3羽）_4（1+3羽）

（3羽+4）2—3羽+4

一摯一四九+乃匚總J1+3%

點P到直線I的距離為d=

Ji+3yj-3

現(xiàn)1+3/2區(qū)（l+3y獻(xiàn)

?',APAB的面積為S&4B另叫d4.蠹%

3一丁4+3%，

3

令1+3就=3貝！|/21,得SZXPAB=

31

設(shè)1(t21)，則/篁)=器器>°，???/("在口，+8)上單調(diào)遞增，

19.若無窮數(shù)列｛即｝,｛6〃｝的各項均為整數(shù)，且滿足N*U｛aj+切i,/CN*｝,則稱｛即｝,｛a｝是“和諧數(shù)

列”.

n-1

(1)若an=2n-3,bn=2,求證：｛斯｝,｛6〃｝是"和諧數(shù)列"；

(2)若即=(-1)",｛%｝