浙江省杭州地區(qū)(含周邊)重點中學2022-2023學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

2022學年第二學期期中杭州地區(qū)（含周邊）重點中學高二年級數(shù)學學科試題命題：余杭高級中學孫建忠審校：淳安中學唐佳萍審核：蕭山中學王建國考生須知：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前，在答題卷密封區(qū)內(nèi)填寫班級?學號和姓名；座位號寫在指定位置；3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；4.考試結束后，只需上交答題卷.第Ⅰ卷一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則的共軛復數(shù)的虛部是（）A. B. C.2 D.-2【答案】C【解析】【分析】計算，得到，得到答案.【詳解】，則，虛部為.故選：C2.向量，若，則實數(shù)（）A.1 B.2 C.-1 D.-2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標運算公式建立方程求解即可.【詳解】因為，所以，，，所以，即，解得或（舍去），故選：D.3.若二項式展開式中含有常數(shù)項，則的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】設二項式通項，待定系數(shù)計算即可.【詳解】設的通項為，若有常數(shù)項，則只需，而，顯然的最小值為3，此時.故選：A4.向量，，，對應的點在曲線上，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知條件計算，即可得.【詳解】由，，則，由對應的點在曲線上，則，所以.故選：B5.某班需安排甲、乙、丙、丁四位同學到A、B、C三個社區(qū)參加志愿活動，每位同學必須參加一個社區(qū)活動，每個社區(qū)至少有一位同學.由于交通原因，乙不能去A社區(qū)，甲和乙不能同去一個社區(qū)，則不同的安排方法數(shù)為（）A.14 B.20 C.24 D.36【答案】B【解析】【分析】先確定特殊情況，再分組分配，根據(jù)乘法與加法計數(shù)原理計算即可.【詳解】解：由于乙不能去A社區(qū)，則乙可以去B或C社區(qū)，共2種，剩余的3人可以分成1，2兩組或1，1，1三組兩種情況，①分成1，2兩組，去和乙不同的兩個社區(qū)，有種，②分成1，1，1三組，去三個社區(qū)且甲和乙不能同去一個社區(qū)，有種，所以不同的安排方法數(shù)為種，故選：B.6.設圓柱的體積為，當其表面積最小時，圓柱的母線長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓柱體積公式，把圓柱底面半徑為用圓柱體積和母線長表示出來，由公式計算圓柱表面積，利用基本不等式求表面積的最小值，由等號成立的條件求此時圓柱的母線長.【詳解】設圓柱底面半徑為，母線長為，有，則，圓柱表面積，當且僅當，即時等號成立.所以圓柱表面積最小時，圓柱的母線長為.故選：D7.已知，則的大小順序為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】構造可以比較，構造可以比較.【詳解】設，則，即在上單調(diào)遞增，故，即，故，即；設，則，即在上單調(diào)遞減，故，故，即.于.故選：A8.已知函數(shù)，若存在兩條不同的直線與函數(shù)和圖像均相切，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】相同切線的位置上，設的切點坐標為，的切點坐標為，由導數(shù)求切點處切線的斜率，有，由切點求出切線方程，代入切點坐標，得，方程要有兩個不同的實數(shù)根，設，利用導數(shù)研究單調(diào)性，找最值，可得的取值范圍，即可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】時，，，不合題意，故，，函數(shù)定義域為，，，，相同切線的位置上，設的切點坐標為，的切點坐標為，則有，即，公切線方程為代入，得，即，整理得，若存在兩條不同的直線與函數(shù)和圖像均相切，則方程有兩個不同的實數(shù)根，設，則，，解得；，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時函數(shù)有最大值，所以，當時，符合條件；當時，有，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：C【點睛】方法點睛：證明兩曲線恰有兩條公切線，一般涉及到曲線的切線都是利用切點來引入，通過假設切點，求出其中一條曲線的切線方程，利用切線方程與另一條曲線也相切可以得到切點滿足的條件（方程），從而把曲線的切線問題轉(zhuǎn)化為方程根的分布問題進而變成函數(shù)的零點問題，這就是轉(zhuǎn)化與化歸思想。二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.已知正項等比數(shù)列，其前項和為，且成等差數(shù)列，，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)成等差數(shù)列可求公比，結合可求首項，結合選項可得答案.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，因為成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得或；因為正項等比數(shù)列滿足，所以；因為，所以；；；故答案為：AC.10.已知函數(shù)，則下列結論中正確的是（）A.導函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為B.的圖象關于點中心對稱C.過原點只能作一條直線與的圖象相切D.恰有兩個零點【答案】BC【解析】【分析】先求出，利用二次函數(shù)知識求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可判斷A，根據(jù)得到函數(shù)的中心對稱，可判斷B，利用導數(shù)的幾何意義建立切點橫坐標方程，根據(jù)根的個數(shù)判斷C，再由函數(shù)單調(diào)性、極值點結合圖象對選項D作出判斷即可.【詳解】因為，所以，則導函數(shù)為對稱軸是，且開口向上的拋物線，故其單調(diào)減區(qū)間為，A錯誤；因為，所以的圖象關于點中心對稱，B正確；設過原點的直線與相切于點，則，整理得，令，，令，得或，令，得，故有極大值，極小值，由三次函數(shù)性質(zhì)得只有一個解，則過原點只能作一條直線與的圖象相切，C正確；令，得或，令，得，所以函數(shù)有極大值，極小值，由三次函數(shù)性質(zhì)得有三個解，即有三個零點，故D錯誤.故選：BC11.已知橢圓的左右焦點分別為，圓內(nèi)切于橢圓.過橢圓上不與頂點重合的點引圓的兩條切線，切點分別為，點關于原點對稱，則下列結論中正確的是（）A.的最小值為B.存在點，使得C.若直線交橢圓于兩點，線段中點為，則的值為常數(shù)D.若在軸上射影是，直線交橢圓于另一點，則直線與不垂直【答案】BCD【解析】【分析】對于A項，利用橢圓的定義及基本不等式即可判定；對于B項，設點P坐標利用向量數(shù)量積的坐標表示，計算即可；對于C項，利用圓的切點弦方程聯(lián)立橢圓方程，用點P坐標表示出點T坐標，計算即可；對于D項，利用條件可得G點坐標，繼而判定.【詳解】對于A項，由題意及橢圓對稱性質(zhì)可得：，故A錯誤；對于B項，設點，易知，則，而，故B正確；對于C項，由圓與橢圓相切，故該切點到原點的距離恰好為橢圓上距離原點的最近的點的距離，不妨設切點為，則，顯然最小距離為，即，故圓.這里再補充圓的切線方程與切點弦方程，①設圓O：，則過圓上一點的切線方程為：；證明：取過P的切線上任一點M，則；②設圓O：，則過圓外一點作圓的兩條切線，則切點連線方程為：；證明：設切點分別為，由上可知，而P點是其公共點，故，即是方程的兩組根，故在直線上，即.在本選項中，由上可知，設切，則聯(lián)立橢圓方程化簡可得：故，即C正確；對于D項，易得，則與橢圓聯(lián)立可得，顯然，故D正確.故選：BCD12.如圖，在一廣場兩側設置6只彩燈，現(xiàn)有4種不同顏色的彩燈可供選擇，則下列結論正確的是（）A.共有種不同方案B.若相鄰兩燈不同色，正相對的兩燈（如1?4）也不同色，且4種顏色的彩燈均要使用，則共有186種不同方案C.若相鄰兩燈不同色，正相對兩燈（如1?4）也不同色，且只能使用3種顏色的彩燈，則共有192種不同方案D.若相鄰兩燈不同色，正相對的兩燈（如1?4）也不同色，且只能使用2種顏色的彩燈，則共有12種不同方案【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，利用分步乘法和分類加法計數(shù)原理，結合排列組合的綜合問題，依次推導、計算即可求解.【詳解】對于選項A，每個彩燈顏色都有4種選擇，根據(jù)分步乘法原理得，有種不同方案，故A正確；對于選項B，第一類：先從4種顏色的彩燈選出3種顏色的彩燈有安裝在1，2，3號位，則有種結果，使用1種剩余的顏色和前3種顏色的2種安裝4，5，6號位彩燈時，有種結果，根據(jù)乘法原理得共有種不同的安裝方法；第二類：先從4種顏色的彩燈選出2種顏色的彩燈有安裝在1，2，3號位，則有種結果，再安裝4，5，6號位彩色燈，分兩類：第一類，4，5，6號位只用1，2，3號位剩余的2種彩色燈，有2種結果，第二類，4，5，6號位用1，2，3號位剩余的2種彩色燈和前三個位置使用過的1種彩燈，有種結果，根據(jù)計數(shù)原理得共有種不同的安裝方法.由分類加法原理得共有種不同的安裝方案，故B錯誤；對于選項C，第一步：先從4種顏色的彩燈選出3種顏色的彩燈有安裝在1，2，3號位，則有種結果，第二步：分兩類：第一類，4，5，6號位用1，2，3號位的3種彩色燈，有2種結果，第二類，4，5，6號位用1，2，3號位的2種彩色燈，有種結果，根據(jù)計數(shù)原理得共有種不同的安裝方法.故C正確；對于選項D，第一步：從4種顏色的彩燈選出2種顏色的彩燈安裝在1，2，3號位，則有種結果，第二步：安裝4，5，6號位彩燈有1種，根據(jù)分步計數(shù)原理，可得有種不同的安裝法，故D正確；故選：ACD第II卷三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設，則__________.（用數(shù)值作答）【答案】【解析】【分析】先取算出，然后取即可.【詳解】由題意，令，等式變成：；再令，等式變成：，于是.故答案為：14.正項數(shù)列滿足.則數(shù)列的前項和__________.【答案】【解析】【分析】由，得到，再利用等差數(shù)列的定義求得，進而得到，再利用裂項相消法求解.【詳解】解：因為正項數(shù)列滿足，所以，所以是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，所以，則，所以，所以，，故答案為：15.甲乙兩個盒子中分別裝有大小?形狀完全相同的三個小球，且均各自標號為1?2?3.分別從兩個盒子中隨機取一個球，用X表示兩球上數(shù)字之積，X的方差為，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)離散型隨機變量，先列出分布列得出期望，再計算方差，后根據(jù)公式得出【詳解】由題意可得X的可能取值為：1、2、3、4、6、9其分布列為X123469P所以故答案為：16.定義在上的函數(shù)滿足：，則不等式的解集__________.【答案】【解析】【分析】構造函數(shù)，根據(jù)已知條件可知，則可推出或，根據(jù)得到，將不等式轉(zhuǎn)化為，令，求導分析的單調(diào)性，即可求解.【詳解】解：令，，則，已知，所以，則或，又，則，所以不符合；，則，所以，則不等式為，由于，則，令，，則，因為，，由零點存在定理可知在內(nèi)存在一個零點，所以可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以的解集為，即不等式的解集為，故答案為：.【點睛】對于抽象函數(shù)不等式問題，關鍵點在于構造新的函數(shù)，根據(jù)的原函數(shù)與導函數(shù)的關系，求出符合條件的原函數(shù)，進而求解不等式.四?解答題：本題包括6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.數(shù)列滿足：，等比數(shù)列的前項和為，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為，試證明.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）當時，得到，結合，求得的通項公式，再由，可得，求得，求得，即可得到數(shù)列的通項公式；（2）由（1）求得，結合乘公比錯位相減法，結合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問1詳解】解：由數(shù)列滿足，當時，，所以，當時，滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為，又由，可得，可得，當時，，所以，解得，此時適合，所以數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】解：由，，可得，則，可得，兩式相減，可得所以，因為，所以.18.如圖，四棱錐中，底面.底面為等腰梯形，.（1）求證：平面平面；（2）若點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為證明平面PAC，然后利用已知和勾股定理可證；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法，根據(jù)直線與平面所成角的正弦值先求點M的位置，然后可解.【小問1詳解】作，垂足為，則由余弦定理，.又底面，面因為，平面PAC，所以平面PAC，又平面PAB，所以平面平面【小問2詳解】由（1），可以點A為坐標原點建系如圖.易知，又，所以，，設，設平面的法向量.則可取則是中點，設平面的法向量為，即平面的法向量，則，取得則，即為所求平面夾角的余弦值.19.在銳角中，角的對邊分別是，且__________.在下列兩個條件中選擇一個補充在橫線上：①；②（1）求出角的大小；（2）若角的平分線交邊于點，且，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由選擇的條件,結合正余弦定理和兩角和的正弦公式化簡，可求角的大??；（2）設，由三角形面積公式得，再由余弦定理得，構造函數(shù)，利用單調(diào)性求取值范圍.【小問1詳解】若選①，由正弦定理邊化角，得，銳角中，則，所以.若選②余弦定理有，由正弦定理邊化角，得，可取，則，又，則，故銳角中，即.【小問2詳解】由，令，則，得，由余弦定理，得，所以，，銳角中，則，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，20.杭州亞運會最終確定延期至2023年9月23日至10月8日舉行，某校就此熱點舉辦了一場迎亞運知識競賽，將100人的成績整理成下表：分數(shù)男女男女男女男女男女男女頻率/組距0.0070.00300090.0060.0180.0070.0280.0070.0090.0010.0030.002（1）從不低于70分的學生中選出1人，如果他是男生，求該學生成績在80分以上（含80分）的概率；（2）已知某生成績低于70分，設該生成績?yōu)椋笏某煽兊姆植剂信c期望；（3）假設表示事件“學校舉辦亞運知識培訓”，表示事件“某學生對亞運知識產(chǎn)生興趣”，，一般來說在學校舉辦亞運知識培訓的情況下學生對亞運知識產(chǎn)生興趣的概率會超過不舉辦培訓的概率.證明：.【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式計算可得；（2）依題意的可能取值為，，，求出所對應的概率，即可得到其分布列與數(shù)學期望；（3）由題意知，根據(jù)條件概率的概率公式及概率的乘法公式證明即可.【小問1詳解】不低于分的學生人數(shù)為.設從中選出1人是男生為事件，成績在分以上為事件，則【小問2詳解】依題意的可能取值為，，，則，，所以的分布列為：4555650.20.30.5期望.【小問3詳解】由題意知，即，即，即，即，即，即.21.在直角坐標平面內(nèi)，已知，，動點滿足條件：直線與直線的斜率之積等于，記動點的軌跡為．（1）求的方程；（2）過點作直線交于，兩點，直線與交點是否在一條定直線上？若是，求出這條直線方程；若不是，說明理由．【答案】（1）（2）點在直線上【解析】【分析】（1）設，由斜率公式得到方程，整理即可得解；（2）依題意直線的斜率不為，設直線的方程為，，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達定理，表示出直線、