湖南省長沙市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

學(xué)年湖南省長沙市部分學(xué)校高二下學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題8小題，每小題5分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若集合，，則()A.B.C.D.2.在數(shù)列中，若，，則()A.B.1C.3D.43.已知，，，則()A.B.C.D.4.若球O被一個平面所截，所得截面的面積為，且球心O到該截面的距離為2，則球O的表面積是()A.B.C.D.5.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，在的解集為()A.B.C.D.6.函數(shù)在上的值域?yàn)?)A.B.C.D.7.過點(diǎn)作的切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，則()A.B.C.D.28.已知數(shù)列滿足，的前n項(xiàng)和為，，成等差數(shù)列，則()A.10B.11C.12D.133分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，則()A.B.與夾角的余弦值為C.在上的投影向量為D.點(diǎn)A到直線BC的距離為第13頁，共13頁10.已知等比數(shù)列的公比不為1，設(shè)的前n項(xiàng)和為，若，且，，成等差數(shù)列，則下列說法正確的是()A.B.數(shù)列為等比數(shù)列C.D.11.已知ABC是拋物線上不同的動點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線Wl為拋物線W的準(zhǔn)線，AB的中點(diǎn)為，則()A.當(dāng)時，的最大值為32B.當(dāng)時，的最小值為22C.當(dāng)時，直線AB的斜率為D.當(dāng)A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線時，點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為14三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分。12.用0，1，2這三個數(shù)字組成一個三位數(shù)每個數(shù)字只能用一次，則這個三位數(shù)是偶數(shù)的概率為.13.已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，直線l經(jīng)過，且與C的右支交于A，B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為.14ABCDEF的每條棱長均為AF與BD交于點(diǎn)O，M為正八面體ABCDEF內(nèi)部或表面上的動點(diǎn).若，則的最小值為.5明過程或演算步驟。15.本小題12分記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知求若，求的面積的最大值.第13頁，共13頁16.本小題12分在直三棱柱中，M是的中點(diǎn)，，，證明：平面求平面與平面夾角的余弦值.17.本小題12分已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，證明：為等差數(shù)列.求m的值和的通項(xiàng)公式.若數(shù)列滿足，其前n項(xiàng)和為，證明：18.本小題12分已知橢圓的短軸長為，且離心率為求C的方程.過點(diǎn)作斜率不為0的直線與橢圓C交于ST作直線ST的平行線與橢圓C交于G，H不同的兩點(diǎn).①證明：為定值.②求面積的取值范圍.19.本小題12分在數(shù)列中，若存在項(xiàng)之和等于中的某一項(xiàng)，則稱是“k和數(shù)列”.第13頁，共13頁若，判斷是否為“3和數(shù)列”，是否為“4和數(shù)列”，并說明理由.在正項(xiàng)數(shù)列中，，且，證明：①可能是等比數(shù)列;②若為等比數(shù)列，則不是“k和數(shù)列”.第13頁，共13頁答案和解析1.【答案】C【解析】解：依題意得，又，則故選：2.【答案】D【解析】解：由題意得，所以，則3.【答案】A【解析】解：，且，，故4.【答案】C【解析】解：因?yàn)榍騉一截面的面積為，所以該截面圓的半徑為又因?yàn)榍蛐腛到該截面的距離為2，所以球O的半徑，所以球O的表面積為故選5.【答案】D【解析】解：由題可知在上單調(diào)遞減，又是定義在R上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，所以當(dāng)或時，，當(dāng)或時，，則不等式等價于或解得或，所以滿足不等式的實(shí)數(shù)x的取值范圍為第13頁，共13頁6.【答案】A【解析】解：，由，可得，所以7.【答案】B【解析】解：由題可知，，，則，故8.【答案】B【解析】解：因?yàn)?，且，所以?dāng)時，；因?yàn)橐矟M足，所以；因?yàn)?，所以，若，，成等差?shù)列，則，即，得9.【答案】ABD【解析】解：因?yàn)?，，所以，故A正確;因?yàn)?，，所以，，故B正確;因?yàn)?，，所以在上的投影向量為，故C錯誤;因?yàn)?，所以的一個單位方向向量為，第13頁，共13頁因?yàn)?，所以點(diǎn)A到直線BC的距離為，故D正確.10.【答案】BCD【解析】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為由，，成等差數(shù)列，得，整理得，則，則，，，所以，數(shù)列是等比數(shù)列.，當(dāng)n為奇數(shù)時，，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)n為偶數(shù)時，單調(diào)遞增，所以，故11.【答案】ACD【解析】解：設(shè)，因?yàn)?，所以?dāng)A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線時，有最大值32，故A正確;因?yàn)镻在拋物線W內(nèi)側(cè)，所以的最小值為點(diǎn)P到直線l的距離，所以，故B錯誤;由得，所以，故C正確;當(dāng)A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線時，點(diǎn)P到直線l的距離，第13頁，共13頁而，所以，故D正確;本題選：12.【答案】【解析】解：0，1，2這三個數(shù)字組成一個三位數(shù)共有4種情況，其中偶數(shù)有3種情況，故所求概率為13.【答案】【解析】解：設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，解得，即，，，，則，所以在中，，即，得，所以雙曲線C的離心率為14.【答案】【解析】解：設(shè)過點(diǎn)H且與直線DF垂直的平面為因?yàn)椋渣c(diǎn)M的軌跡是平面截正八面體ABCDEF的截面.如圖，連接OC，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD，OC，OA所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AD的中點(diǎn)為T，則，，，，，第13頁，共13頁設(shè)，則，，所以，得，，因?yàn)?，所以，?dāng)，時，取得最小值，且最小值為15.【答案】解：因?yàn)?，所以，則，即，所以，故由余弦定理可得因?yàn)椋裕?，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故的面積的的最大值為【解析】詳細(xì)解答和解析過程見【答案】16.【答案】證明：連接，交于點(diǎn)D，連接因?yàn)槿庵鶠橹比庵?3頁，共13頁所以四邊形為矩形，所以D為的中點(diǎn).又M是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面解：如圖，過點(diǎn)在平面內(nèi)作因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，所以，，兩兩互相垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.又，，，則，，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則令，得，，故為平面的一個法向量.設(shè)平面的法向量為，則解得，令，得，故為平面的一個法向量.設(shè)平面與平面的夾角為，則因?yàn)椋?3頁，共13頁所以平面與平面夾角的余弦值為【解析】詳細(xì)解答和解析過程見【答案】17.【答案】證明：由，可得，相減可得，因此，則因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列，所以，則，所以，故數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為解：因?yàn)椋?，所以，?dāng)時，，解得，證明：因?yàn)?，所以，，兩式相減得，所以【解析】詳細(xì)解答和解析過程見【答案】第13頁，共13頁18.【答案】解：設(shè)C的半焦距為，則因?yàn)?，所以故C的方程為設(shè)直線ST的方程為，則直線GH的方程為聯(lián)立得，由，得設(shè)，，則聯(lián)立得設(shè)，，則①證明：因?yàn)?，所以，是定值②因?yàn)榈拿娣e，且，所以，設(shè)，則因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，故【解析】詳細(xì)解答和解析過程見【答案】19.【答案】解：是“3和數(shù)列”，不是“4和數(shù)列”.理由如下：因?yàn)椋缘?3頁，共13頁又，所以是“3和數(shù)列”.由題可知中的每一項(xiàng)均是奇數(shù)，則中的任意4項(xiàng)之和肯定為偶數(shù)，與中的任何一項(xiàng)均不相等，故不是“4和數(shù)列”.證明：①由，，得若是等比數(shù)列，則的公比，則，則，，符合，故可能是以2為公比的等比數(shù)列.②由①可得，假設(shè)是“k和數(shù)列”，則存在，，，，，使得，不妨令若，則，且，則，因?yàn)?，所以為正偶?shù)，則為大于1的正奇數(shù)