數(shù)學(xué)高考備考課件第四章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用42第2課時(shí)

第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值§4.2

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引題型分類深度剖析題型一用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值問題多維探究命題點(diǎn)1根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值典例(2017溫州“十五校聯(lián)合體”期中聯(lián)考)設(shè)f(x)是一個(gè)三次函數(shù)，f′(x)為其導(dǎo)函數(shù)，如圖所示的是y＝xf′(x)的圖象的一部分，則f(x)的極大值與極小值分別是A.f(－2)與f(2) B.f(－1)與f(1)C.f(2)與f(－2) D.f(1)與f(－1)√解析由圖象知，當(dāng)x<－2時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)－2<x<0時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)0<x<2時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>2時(shí)，f′(x)>0.所以f(x)在區(qū)間(－∞，－2)上為增函數(shù)，在區(qū)間(－2,2)上為減函數(shù)，在區(qū)間(2，＋∞)上為增函數(shù)，所以f(x)的極大值與極小值分別是f(－2)與f(2).命題點(diǎn)2求函數(shù)的極值典例設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.令g(x)＝2ax2＋ax－a＋1，x∈(－1，＋∞).①當(dāng)a＝0時(shí)，g(x)＝1，此時(shí)f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn).②當(dāng)a>0時(shí)，Δ＝a2－8a(1－a)＝a(9a－8).函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn).設(shè)方程2ax2＋ax－a＋1＝0的兩根為x1，x2(x1<x2)，所以當(dāng)x∈(－1，x1)時(shí)，g(x)>0，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，g(x)<0，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x2，＋∞)時(shí)，g(x)>0，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.因此函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).③當(dāng)a<0時(shí)，Δ>0，由g(－1)＝1>0，可得x1<－1<x2.當(dāng)x∈(－1，x2)時(shí)，g(x)>0，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(x2，＋∞)時(shí)，g(x)<0，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.所以函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn).綜上所述，當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)有一個(gè)極值點(diǎn)；√∴f′(x)＝0有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，∴ax2－2x＋1＝0有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，√

幾何畫板展示函數(shù)極值的兩類熱點(diǎn)問題(1)求函數(shù)f(x)極值的一般解題步驟①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；④列表檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào).(2)根據(jù)函數(shù)極值情況求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)①列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.②驗(yàn)證：求解后驗(yàn)證根的合理性.思維升華跟蹤訓(xùn)練(1)(2013·浙江)已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，則A.當(dāng)k＝1時(shí)，f(x)在x＝1處取到極小值B.當(dāng)k＝1時(shí)，f(x)在x＝1處取到極大值C.當(dāng)k＝2時(shí)，f(x)在x＝1處取到極小值D.當(dāng)k＝2時(shí)，f(x)在x＝1處取到極大值√解析當(dāng)k＝1時(shí)，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0.∴x＝1不是f(x)的極值點(diǎn).當(dāng)k＝2時(shí)，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)則f′(1)＝0，且x在1的左邊附近f′(x)<0，x在1的右邊附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1處取到極小值.故選C.√解得1<a<2，故選C.題型二用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值師生共研引申探究令f′(x)<0，得1<x≤e，求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值.(2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b).(3)將函數(shù)f(x)的極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.思維升華解析由題意知，f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得3x2－x－2＝0，題型三函數(shù)極值和最值的綜合問題師生共研令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，因?yàn)閑x>0，所以y＝f′(x)的零點(diǎn)就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零點(diǎn)且f′(x)與g(x)符號(hào)相同.又因?yàn)閍>0，所以當(dāng)－3<x<0時(shí)，g(x)>0，即f′(x)>0，當(dāng)x<－3或x>0時(shí)，g(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－3,0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－3)，(0，＋∞).(2)若f(x)的極小值為－e3，求f(x)在區(qū)間[－5，＋∞)上的最大值.解由(1)知，x＝－3是f(x)的極小值點(diǎn)，解得a＝1，b＝5，c＝5，因?yàn)閒(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－3,0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－3)，(0，＋∞)，所以f(0)＝5為函數(shù)f(x)的極大值，故f(x)在區(qū)間[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[－5，＋∞)上的最大值是5e5.(1)求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時(shí)，要討論參數(shù)的大小.(2)求函數(shù)最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要通過比較才能下結(jié)論.(3)求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過單調(diào)性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.思維升華√

幾何畫板展示解析由題意，得f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函數(shù)，在(－2,0)上是減函數(shù)，作出其圖象如圖所示，x＝0或x＝－3，則結(jié)合圖象可知，典例(14分)已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)f(x)在[1,2]上的最小值.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值答題模板思維點(diǎn)撥

(1)已知函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間，實(shí)質(zhì)上是求f′(x)>0，f′(x)<0的解區(qū)間，并注意定義域.(2)先研究f(x)在[1,2]上的單調(diào)性，再確定最值是端點(diǎn)值還是極值.(3)兩小問中，由于解析式中含有參數(shù)a，要對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論.規(guī)范解答綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)；函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a. [7分]函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，所以f(x)的最小值是f(1)＝－a. [8分]又f(2)－f(1)＝ln2－a，當(dāng)ln2≤a<1時(shí)，最小值為f(2)＝ln2－2a.

[12分]綜上可知，當(dāng)0<a<ln2時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是f(1)＝－a；當(dāng)a≥ln2時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a. [14分]答題模板用導(dǎo)數(shù)法求給定區(qū)間上的函數(shù)的最值問題的一般步驟第一步：(求導(dǎo)數(shù))求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；第二步：(求極值)求f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和極值；第三步：(求端點(diǎn)值)求f(x)在給定區(qū)間上的端點(diǎn)值；第四步：(求最值)將f(x)的各極值與f(x)的端點(diǎn)值進(jìn)行比較，確定f(x)的

最大值與最小值；第五步：(反思)反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)和解題規(guī)范.課時(shí)作業(yè)基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516√解析由題可知，B，C選項(xiàng)中的函數(shù)不是奇函數(shù)；A選項(xiàng)中，函數(shù)y＝x3單調(diào)遞增(無極值)；D選項(xiàng)中的函數(shù)既為奇函數(shù)又存在極值.12345678910111213141516√解析f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，在(－2,2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，3.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(－1,2) B.(－∞，－3)∪(6，＋∞)C.(－3,6) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)12345678910111213141516√解析∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，由已知可得f′(x)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根.∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)>0，即a2－3a－18>0.∴a>6或a<－3.12345678910111213141516√令f′(x)>0，得x>1.令f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在x＝1處取得極小值也是最小值，5.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則f(2)等于A.11或18 B.11C.18 D.17或18√解析∵函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18.1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516解析

f′(x)＝x2－(2＋b)x＋2b＝(x－b)(x－2)，∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[－3,1]上不是單調(diào)函數(shù)，∴－3<b<1，則由f′(x)>0，得x<b或x>2，由f′(x)<0，得b<x<2，123456789101112131415167.(2017·麗水模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，若x＝－3是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a＝____.5解析

f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由題意知，－3是方程f′(x)＝0的根，所以3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a＝5時(shí)，f(x)在x＝－3處取得極值.123456789101112131415168.函數(shù)f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的極大值是正數(shù)，極小值是負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是___________.12345678910111213141516解析f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，由f′(x)＝0得x＝±a，當(dāng)－a<x<a時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x>a或x<－a時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增，∴f(x)的極大值為f(－a)，極小值為f(a).∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0且f(a)＝a3－3a3＋a<0，123456789101112131415161解析由題意知，當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f(x)的最大值為－1.10.已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m∈[－1,1]，則f(m)的最小值為____.12345678910111213141516－4解析f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2處取得極值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在(－1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，∴當(dāng)m∈[－1,1]時(shí)，f(m)min＝f(0)＝－4.11.(2017·北京)已知函數(shù)f(x)＝excosx－x.(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；12345678910111213141516解因?yàn)閒(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，所以f′(0)＝0，又因?yàn)閒(0)＝1，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y－1＝0.1234567891011121314151612345678910111213141516解設(shè)h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，則h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx.1234567891011121314151612345678910111213141516解當(dāng)x<1時(shí)，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，0)0f′(x)－0＋0－f(x)↘極小值↗極大值↘12345678910111213141516故當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值f(0)＝0，(2)求f(x)在[－1，e](e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上的最大值.1234567891011121314151612345678910111213141516所以f(x)在[－1,1)上的最大值為2.②當(dāng)1≤x≤e時(shí)，f(x)＝alnx，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)≤0；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，12345678910111213141516則f(x)在[1，e]上的最大值為f(e)＝a.故當(dāng)a≥2時(shí)，f(x)在[－1，e]上的最大值為a；當(dāng)a<2時(shí)，f(x)在[－1，e]上的最大值為2.技能提升練12345678910111213141516212345678910111213141516可得f′(x)＝x2－2x－1，14.設(shè)直線x＝t與函數(shù)h(x)＝x2，g(x)＝lnx的圖象分別交于點(diǎn)M，N，則當(dāng)|MN|最小時(shí)t的值為____.解析由已知條件可得|MN|＝t2－lnt，1234567891011121314151615.若函數(shù)f(x)＝mlnx＋(m－1)x存在最大值M，且M>0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________.拓展沖刺練12345678910111213141516當(dāng)m≤0或m≥1時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)，此時(shí)函數(shù)f(x)無最大值.1234567891011121314151616.(2018·湖州五中模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2