2017-2018學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-3檢測(cè)第二章隨機(jī)變量及其分布單元質(zhì)量評(píng)估（二）

單元質(zhì)量評(píng)估(二)(第二章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.袋中有2個(gè)黑球6個(gè)紅球,從中任取2個(gè),可以作為隨機(jī)變量的是()A.取到的球的個(gè)數(shù)B.取到紅球的個(gè)數(shù)C.至少取到1個(gè)紅球D.至少取到1個(gè)紅球的概率【解析】選B.取到的球的個(gè)數(shù)是一個(gè)固定的數(shù)字,不是隨機(jī)變量,故A不正確;取到紅球的個(gè)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量,它的可能取值是0,1,2,故B正確;至少取1個(gè)紅球表示取到1個(gè)紅球或取到2個(gè)紅球,表示一個(gè)事件,故C不正確;D顯然不正確,故選B.2.設(shè)X～B(n,p),E(X)=12,D(X)=4,則n,p的值分別為()A.18,13 B.36,C.36,23 D.18,【解析】選D.由E(X)=12,D(X)=4,則p=233.(2017·漢口高二檢測(cè))設(shè)X～B(10,0.8),則E(2X+2)等于()A.64 B.32 C.18 【解析】選C.因?yàn)镋(X)=10×0.8=8,E(2X+2)=2×8+2=18.4.某射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次,命中目標(biāo)的概率為0.8,則他連續(xù)射擊兩次都沒(méi)命中的概率為() B.0.64【解析】選D.由題意知,運(yùn)動(dòng)員射擊一次命中概率為0.8,則沒(méi)命中的概率為10.8=0.2,故兩次都沒(méi)命中的概率為0.22=0.04.5.若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),已知P(ξ<1.96)=0.025,則P(|ξ|<1.96)=()A.0.025 B.0.050【解析】選C.由隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),得P(ξ<1.96)=1P(ξ≤1.96),所以P(|ξ|<1.96)=P(1.96<ξ<1.96)=P(ξ<1.96)P(ξ≤1.96)=12P(ξ≤1.96)=12P(ξ<1.96)=12×0.025=0.950.6.(2017·濟(jì)南高二檢測(cè))對(duì)含標(biāo)有不同編號(hào)的6件正品和4件次品的產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè),不放回地依次摸出2件.在第一次摸出正品的條件下,第二次也摸到正品的概率是()A.35 B.25 C.110 【解析】選D.設(shè)“第一次摸出正品”為事件A,“第二次摸出正品”為事件B.則事件A和事件B相互獨(dú)立,所以P(B|A)=P(AB)P(A)=6107.已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ135P0.5m0.2則均值E(ξ)等于()A.1 B.0.6 C.2+3m 【解析】選D.因?yàn)閙=10.50.2=0.3,所以E(ξ)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4.8.一個(gè)電路上裝有甲、乙兩根熔絲,甲熔斷的概率是0.85,乙熔斷的概率是0.74,兩根同時(shí)熔斷的概率為0.629,至少有一根熔斷的概率為()A.2.22 B.0.96 C.0.74 【解析】選B.P=1(10.85)·(10.74)≈0.96.9.(2017·武漢高二檢測(cè))某市期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè),甲、乙、丙三科考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布,則由如圖所示曲線可得下列說(shuō)法中正確的是()A.甲學(xué)科總體的方差最小B.丙學(xué)科總體的均值最小C.乙學(xué)科總體的方差及均值都居中D.甲、乙、丙學(xué)科的總體的均值不相同【解析】選A.由題中圖象可知甲、乙、丙圖象的對(duì)稱(chēng)軸相同,故三科總體的平均數(shù)相等,又根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì);方差越大,正態(tài)曲線越扁平;方差越小,正態(tài)曲線越陡峭,可得三科總體的方差從小到大依次為甲、乙、丙,A項(xiàng)符合題意.10.同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán),記轉(zhuǎn)盤(pán)甲得到的數(shù)為x,轉(zhuǎn)盤(pán)乙得到的數(shù)為y,x,y構(gòu)成數(shù)對(duì)(x,y),則所有數(shù)對(duì)(x,y)中滿(mǎn)足xy=4的概率為()A.116 B.C.316 D.【解析】選C.滿(mǎn)足xy=4的所有可能如下:x=1,y=4;x=2,y=2;x=4,y=1,所以所求事件的概率P=P(x=1,y=4)+P(x=2,y=2)+P(x=4,y=1)=14×14+14×14=31611.(2017·浙江高考)已知隨機(jī)變量ξi滿(mǎn)足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1—pi,i=1,2.若0<p1<p2<12A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)【解析】選A.根據(jù)已知得ξi(i=1,2)均服從兩點(diǎn)分布,由兩點(diǎn)分布的均值和方差知E(ξi)=pi,D(ξi)=pi(1pi),因?yàn)?<p1<p2<12所以E(ξ1)=p1<p2=E(ξ2),D(ξ1)D(ξ2)=p1p12(p2=(p1p2)1-(已知p1<p2,p1+p2<1,所以D(ξ1)D(ξ2)<0,即D(ξ1)<D(ξ2).12.一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a,得2分的概率為b,不得分的概率為c(a,b,c∈(0,1)),已知他投籃一次得分的均值為2(不計(jì)其他得分情況),則ab的最大值為()A.148 B.124 C.112 【解析】選D.由已知,得3a+2b+0×c=2,得3a+2b=2,所以ab=16×3a×2b≤16×3a+2b二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請(qǐng)把正確答案填在題中的橫線上)13.設(shè)離散型隨機(jī)變量X～N(0,1),則P(X≤0)=________;P(2<X≤2)=________.【解析】依題意得:μ=0,σ2=1.因?yàn)檎龖B(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)軸為x=0,且P(X≤0)+P(X>0)=1,所以P(X≤0)=P(X>0)=12又P(μ2σ<Χ≤μ+2σ)=0.9545,所以P(2<Χ≤2)=P(02×1<X≤0+2×1)=0.9545.答案:1214.(2017·太原高二檢測(cè))已知隨機(jī)變量X的分布列如下,若E(X)=3,則D(X)=________.X1234Pn0.20.3m【解析】因?yàn)镋(X)=3,由概率分布表知:n解得:m所以D(X)=(13)2×0.1+(23)2×0.2+(33)2×0.3+(43)2×0.4=1.答案:115.某人射擊一次擊中目標(biāo)的概率為0.6,經(jīng)過(guò)3次射擊,此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為_(kāi)_______.【解析】由題意得:C320.62×0.4+C3答案:0.64816.甲罐中有5個(gè)紅球,2個(gè)白球和3個(gè)黑球,乙罐中有4個(gè)紅球,3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐,分別以A1,A2和A3表示從甲罐取出的球是紅球、白球和黑球的事件;再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球,以B表示從乙罐取出的球是紅球的事件,則下列結(jié)論中正確的是________(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)).①P(B)=25;②P(B|A1)=5③事件B與事件A1相互獨(dú)立;④A1,A2,A3是兩兩互斥的事件;⑤P(B)的值不能確定,因?yàn)樗cA1,A2,A3中究竟哪一個(gè)發(fā)生有關(guān).【解析】由題意,顯然A1,A2,A3是兩兩互斥的事件,P(B|A1)=511,P(B|A2)=411,P(B|A3)=4而P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=510×511+210×411=922P(A1B)=522,P(A1)P(B)=510×922故P(A1B)≠P(A1)P(B).綜上可知:②④正確,而①③⑤錯(cuò)誤.答案:②④三、解答題(本大題共6小題,共70分,解答時(shí)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.(10分)一個(gè)盒子里裝標(biāo)號(hào)為1,2,…,10的標(biāo)簽,今隨機(jī)地選取兩張標(biāo)簽,如果(1)標(biāo)簽的選取是無(wú)放回地.(2)標(biāo)簽的選取是有放回地.求兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率.【解析】(1)如果標(biāo)簽的選取是無(wú)放回地,共有10×9÷2=45種可能結(jié)果,而兩張標(biāo)簽上的數(shù)字相鄰的可能結(jié)果有9種;(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(5,6)(6,7)(7,8)(8,9)(9,10),故所求事件的概率為945=1(2)如果選取是有放回地,則共有10×10÷2=50種可能結(jié)果,故所求事件的概率為95018.(12分)如圖,為某地成年男性體重的正態(tài)曲線圖,請(qǐng)寫(xiě)出其正態(tài)分布密度函數(shù),并求P(|X72|<20).【解析】由圖可知μ=72,σ=10,故正態(tài)分布密度函數(shù)為φμ,σ(x)=1102πe-(x-72)2則P(|X72|<20)=P(|Xμ|<2σ)=P(μ2σ<X<μ+2σ)=P(μ2σ<X≤μ+2σ)P(X=μ+2σ)≈0.95450=0.9545.19.(12分)某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品,制作過(guò)程必須先后經(jīng)過(guò)兩次燒制,當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二次燒制,兩次燒制過(guò)程相互獨(dú)立.根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平,經(jīng)過(guò)第一次燒制后,甲、乙、丙三件工藝品合格的概率依次為0.5,0.6,0.4.經(jīng)過(guò)第二次燒制后,甲、乙、丙三件工藝品合格的概率依次為0.6,0.5,0.75.(1)求第一次燒制后恰有一件工藝品合格的概率.(2)經(jīng)過(guò)前后兩次燒制后,合格工藝品的件數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的期望.【解析】(1)分別記甲、乙、丙經(jīng)第一次燒制后合格為事件A1,A2,A3.設(shè)E表示第一次燒制后恰好有一件工藝品合格,則P(E)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1=0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4=0.38.(2)因?yàn)槊考に嚻方?jīng)過(guò)兩次燒制后合格的概率均為p=0.3.所以X～B(3,0.3),故E(X)=np=3×0.3=0.9.20.(12分)(2017·太原高二檢測(cè))某教學(xué)研究機(jī)構(gòu)準(zhǔn)備舉行一次數(shù)學(xué)教材研討會(huì),共邀請(qǐng)50名一線教師參加,各校邀請(qǐng)教師人數(shù)如表所示:學(xué)校ABCD人數(shù)2015510(1)從50名教師中隨機(jī)選出2名,求2名教師來(lái)自同一學(xué)校的概率.(2)若會(huì)上從A,B兩校隨機(jī)選出2名教師發(fā)言,設(shè)選中來(lái)自A校的教師人數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ).【解析】(1)從50名教師中隨機(jī)選出2名的方法數(shù)為C502=1225.選出的2名教師來(lái)自同一學(xué)校的方法數(shù)為C202+C15故2名教師來(lái)自同一學(xué)校的概率為P=3501225=2(2)因?yàn)镻(ξ=0)=C152C352=317,P(P(ξ=2)=C202C所以ξ的分布列為:ξ012P36038所以E(ξ)=317×0+1×60119+2×3811921.(12分)甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽,約定先勝3局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結(jié)束,除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是12外,其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是2(1)分別求甲隊(duì)以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率.(2)若比賽結(jié)果為3∶0或3∶1,則勝利方得3分,對(duì)方得0分;若比賽結(jié)果為3∶2,則勝利方得2分、對(duì)方得1分.求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)記“甲隊(duì)以3∶0勝利”為事件A1,“甲隊(duì)以3∶1勝利”為事件A2,“甲隊(duì)以3∶2勝利”為事件A3,由題意知,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立,故P(A1)=233=P(A2)=C32×232×1-P(A3)=C42×232×1-所以,甲隊(duì)以3∶0勝利,以3∶1勝利的概率都為827,以3∶2勝利的概率為4(2)設(shè)“乙隊(duì)以3∶2勝利”為事件A4,由題意知,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立,所以P(A4)=C421-23由題意知,隨機(jī)變量X的所有可能的取值為0,1,2,3,根據(jù)事件的互斥性得,P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=1627又P(X=1)=P(A3)=427P(X=2)=P(A4)=427P(X=3)=1P(X=0)P(X=1)P(X=2)=19故X的分布列為X0123P16441所以E(X)=0×1627+1×427+2×427+3×122.(12分)(2017·山東高考)在心理學(xué)研究中,常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響,具體方法如下:將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用,現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機(jī)抽取5人接受