北師大八年級數(shù)學(xué)上冊總復(fù)習(xí)（知識點(diǎn)+例題）

北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊

知識點(diǎn)及典型習(xí)題講解

目錄

《勾股定理》全章復(fù)習(xí)與鞏固..........................................2

《實(shí)數(shù)和二次根式》全章復(fù)習(xí)與鞏固....................................8

《平面直角坐標(biāo)系》全章復(fù)習(xí)與鞏固...................................16

《平面直角坐標(biāo)系》全章復(fù)習(xí)與鞏固...................................24

《二元一次方程組》.................................................32

《平行線的證明》全章復(fù)習(xí)與鞏固.....................................41

《勾股定理》全章復(fù)習(xí)與鞏固

知識點(diǎn)

要點(diǎn)一、勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形兩直角邊。、6的平方和等于斜邊C的平方.(即：a2+b-=c2)

2.勾股定理的應(yīng)用

勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：

(1)已知直角三角形的兩邊，求第三邊；

(2)利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問題；

(3)解決與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算；

(4)勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用.

要點(diǎn)二、勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長。、b、c,滿足片+y=02,那么這個三角形是直角三角形.

要點(diǎn)詮釋：

應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的基本步驟：

(1)首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長為C；

(2)驗(yàn)證：與是否具有相等關(guān)系：

若/+〃=。2,則aABC是以/C為90°的直角三角形；

若/+。2>02時，AABC是銳角三角形；

若片+尸<°2時，△ABC是鈍角三角形.

2.勾股數(shù)

滿足不定方程x2+y2=z2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)(又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù))，顯然，以不外z

為三邊長的三角形一定是直角三角形.

要點(diǎn)詮釋：

常見的勾股數(shù)：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果（。、b、c）是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時，以必bt、a為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.

觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：

1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；

2.較長的直角邊與對應(yīng)斜邊相差1.

3.假設(shè)三個數(shù)分別為a、b、c,且a<Z><c,那么存在a?=人+。成立.（例如④中存在7?=24+25、

92=40+41等）

要點(diǎn)三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系

區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；

聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).

典型例題

類型一、勾股定理及逆定理的應(yīng)用

例1、如圖所示，等腰直角△ABC中，ZACB=90°,E、F為AB上兩點(diǎn)（E左F右），且/ECF=45°,求證:

AE2+BF2=EF\

舉一反三:

【變式】已知凸四邊形ABCD中，NABC=30°,ZADC=60°,AD=DC,

求證：BD~=AB~+BC2.

例2、如圖，在AABC中，ZACB=90°，AC=BC,P是aABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PB=1,PC=2,PA=3,求NBPC的度

數(shù).

類型二、勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用

例3、如圖，已知四邊形ABCD中，ZB=90°，AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四邊形ABCD的面積.

例4、如圖：正方形ABCD中，E是DC中點(diǎn),F是EC中點(diǎn).求證：ZBAF=2ZEAD.

舉一反三:

【變式】如圖所示，在AABC中，AB：BC：CA=3：4：5,且周長為36cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊向B點(diǎn)以每

秒1cm的速度移動；點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC邊向點(diǎn)C以每秒2cm的速度移動，如果同時出發(fā)，問過3秒時，4BPQ

的面積為多少？

類型三、勾股定理的實(shí)際應(yīng)用

例5、如圖所示，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC=400米，BD=200米，CD

=800米，牧童從A處把牛牽到河邊飲水后再回家.試問在何處飲水，所走路程最短？最短路程是多少？

m二二二：■二二口

C

'B

A”

舉一反三:

【變式】如圖所示，正方形ABCD的AB邊上有一點(diǎn)E,AE=3,EB=1,在AC上有一點(diǎn)P,使EP+BP最短.求

EP+BP的最小值.

例6、臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心，在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力.如

圖臺風(fēng)中心在我國臺灣海峽的B處，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心風(fēng)力為12級，每遠(yuǎn)離

臺風(fēng)中心25千米，臺風(fēng)就會減弱一級，如圖所示，該臺風(fēng)中心正以20千米/時的速度沿北偏東30。方向向

C移動，且臺風(fēng)中心的風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或超過4級，則稱受臺風(fēng)影響.試問：

(1)該城市是否會受到臺風(fēng)影響？請說明理由.

(2)若會受到臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時間有多長？

(3)該城市受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級？

《實(shí)數(shù)和二次根式》全章復(fù)習(xí)與鞏固

知識點(diǎn)

要點(diǎn)一、平方根和立方根

平方根立方根

項(xiàng)目

被開方數(shù)非負(fù)數(shù)任意實(shí)數(shù)

符號表示±4ay[a

一個正數(shù)有兩個平方根，且互為相反數(shù)；一個正數(shù)有一個正的立方根；

性質(zhì)零的平方根為零；一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根；

負(fù)數(shù)沒有平方根；零的立方根是零；

(4a)2=a(a>0)(V^)3=a

重要結(jié)論/TII[。(〃之0)—a

-a(a<0)\l-a=-\[a

要點(diǎn)二、無理數(shù)與實(shí)數(shù)

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).

1.實(shí)數(shù)的分類

［正有理數(shù)'

有理數(shù)零有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

實(shí)數(shù)［負(fù)有理數(shù)

一正無理數(shù)'

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)

負(fù)無理數(shù)

要點(diǎn)詮釋：(1)所有的實(shí)數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù).其中有限小數(shù)和

無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).

(2)無理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如、5，蚯等；

②有特殊意義的數(shù)，如口；

③有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…

(3)凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)形式.

2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)---對應(yīng)

數(shù)軸上的任何一個點(diǎn)都對應(yīng)一個實(shí)數(shù)，反之任何一個實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點(diǎn)與之對應(yīng).

3.實(shí)數(shù)的三個非負(fù)性及性質(zhì)

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的非負(fù)數(shù)有如下三種形式：

(1)任何一個實(shí)數(shù)。的絕對值是非負(fù)數(shù)，即

(2)任何一個實(shí)數(shù)a的平方是非負(fù)數(shù)，即

(3)任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即々20(?>0).

非負(fù)數(shù)具有以下性質(zhì)：

(1)非負(fù)數(shù)有最小值零；

(2)有限個非負(fù)數(shù)之和仍是非負(fù)數(shù)；

(3)幾個非負(fù)數(shù)之和等于0,則每個非負(fù)數(shù)都等于0.

4.實(shí)數(shù)的運(yùn)算

數(shù)。的相反數(shù)是一a；一個正實(shí)數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)實(shí)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值

是0.

有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：先乘方、開方、再乘除,

最后算加減.同級運(yùn)算按從左到右順序進(jìn)行，有括號先算括號里.

5.實(shí)數(shù)的大小的比較

有理數(shù)大小的比較法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.

法則1.實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；

法則2.正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而??；

法則3.兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.

要點(diǎn)三、二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)

1.二次根式

形如&(a20)的式子叫做二次根式，如6,g,而應(yīng)，而等式子，都叫做二次根式.

要點(diǎn)詮釋：二次根式&有意義的條件是。之0,即只有被開方數(shù)。上0時，式子&才是二次根式，g

才有意義.

2.二次根式的性質(zhì)

⑴小092。）；

⑵（石）=a（a>0）；

⑶"=|仆fS2。）

1r[-a（a<0）

要點(diǎn)詮釋：（1）一個非負(fù)數(shù)。可以寫成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即。=（、回了（?>0）,

如2=（后；；=（爵；*=（?）2（%>0）.

（2）而中。的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論。取何值，一定有意義.

（3）化簡正時，先將它化成同，再根據(jù)絕對值的意義來進(jìn)行化簡.

（4）與（、份）2的異同

不同點(diǎn)：中?？梢匀∪魏螌?shí)數(shù)，而（GV中的。必須取非負(fù)數(shù)；

a

y[^-\\>（A/O）2-0（aNO）.

相同點(diǎn)：被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)。取非負(fù)數(shù)時，以=（6）2.

3.最簡二次根式

（1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式；

（2）被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.

滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如心，瘋,3?,62+》2等都是最簡二次根式.

要點(diǎn)詮釋：最簡二次根式有兩個要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都

小于根指數(shù)2.

4.同類二次根式

幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式.

要點(diǎn)詮釋：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.

如0與曲，由于虛=2四，&與通顯然是同類二次根式.

要點(diǎn)四、二次根式的運(yùn)算

1.乘除法

(1)乘除法法則：

類型法則逆用法則

積的算術(shù)平方根化簡公式：

二次根式的乘法^faxy/b=y[ab(a>0,Z?>0)

Jab=-/axyfb(a>0,/?>0)

商的算術(shù)平方根化簡公式：

二次根式的除法關(guān)=息。對》。)后知皿>0)

要點(diǎn)詮釋：

(1)當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘(或相除)的法則，如

ayfb-c4d=ac>Jbd-

(2)被開方數(shù)a、6一定是非負(fù)數(shù)(在分母上時只能為正數(shù)).

如,(-4)x(—9)wRx".

2.加減法

將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同

類二次根式.

要點(diǎn)詮釋：二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后

合并同類二次根式.如、歷+3,\/2—5\/2'=(1+3—5)、歷=—\/2.

典型例題

Jx-3+不3-x+12

例1、已知y=,求尤2y的值.

%—3

例2、已知實(shí)數(shù)x、y滿足,2x-16+lx-2y+4|=U，求2x-?y的立方根.

3

類型二、與實(shí)數(shù)有關(guān)的問題

例3、已知。是JIU的整數(shù)部分，b是它的小數(shù)部分，求（—。）3+0+3）2的值.

舉一反三：

【變式】已知5+"T的小數(shù)部分為a,5一布的小數(shù)部分為b,則a+b的值是；

a~b的值是.

【變式】實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則a,-a,4,。？的大小關(guān)系是：:

a

-1a0

例5、閱讀材料:

學(xué)習(xí)了無理數(shù)后，某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次探究活動：估算的近似值.

小明的方法：

?:亞〈加〈市,設(shè)舊=3+左（0（左＜1）.，（而y=（3+左產(chǎn).

4/—4

.?.13=9+6左+左29.，13“9+6左.解得k?-.V13?3+-?3.67.

66

問題：（1）請你依照小明的方法，估算標(biāo)的近似值；

（2）請結(jié)合上述具體實(shí)例，概括出估算標(biāo)的公式：已知非負(fù)整數(shù)a、b、m,若a＜金＜a+l,

且加二4+方，則〃？a；（用含a、b的代數(shù)式表示）；

（3）請用（2）中的結(jié)論估算質(zhì)的近似值.

類型四、二次根式概念及運(yùn)算

例6、計(jì)算:5噌+］倔-檄語

舉一反三：

【變式】7<2x+l)2-1x-5|(0<x<3).

例7、已知a、b、c為AABC的三邊長，化簡

{(a+b+c)‘++b--+-a-

例8、若無>0,化簡x：+~+^^-7=—

Jxy+yx-y]xy

舉一反三:

【變式】當(dāng)a=」片時，求1—2“十礦一+1的值.

2+v3a—1a—a

《平面直角坐標(biāo)系》全章復(fù)習(xí)與鞏固

知識點(diǎn)

要點(diǎn)一、有序數(shù)對

把一對數(shù)按某種特定意義，規(guī)定了順序并放在一起就形成了有序數(shù)對，人們在生產(chǎn)生活中

經(jīng)常以有序數(shù)對為工具表達(dá)一個確定的意思，如某人記錄某個月不確定周期的零散收入，可用

(13,2000),(17,190),(21,330)-,表示，其中前一數(shù)表示日期，后一數(shù)表示收入，但

更多的人們還是用它來進(jìn)行空間定位，如：(4,5),(20,12),(13,2),…，用來表示電影

院的座位，其中前一數(shù)表示排數(shù)，后一數(shù)表示座位號.

要點(diǎn)二、平面直角坐標(biāo)系

在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸就組成平面直角坐標(biāo)系，如下圖：

II3-I

第二象限2-第一象限

1-

-3-2-\O-123x

ni：2-1V

第三象限_3.第四象限

要點(diǎn)詮釋：

(1)坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)可以劃分為六個區(qū)域：X軸，y軸、第一象限、第二象限、第三象限、第

四象限，這六個區(qū)域中，除了x軸與y軸有一個公共點(diǎn)(原點(diǎn))外，其他區(qū)域之間均沒有公共

點(diǎn).

(2)在平面上建立平面直角坐標(biāo)系后，坐標(biāo)平面上的點(diǎn)與有序數(shù)對(x,y)之間建立了一一

對應(yīng)關(guān)系，這樣就將‘形'與‘?dāng)?shù)’聯(lián)系起來，從而實(shí)現(xiàn)了代數(shù)問題與幾何問題的轉(zhuǎn)化.

(3)要熟記坐標(biāo)系中一些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)及特征：

①x軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為零；y軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)為零.

②平行于x軸直線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)不相等，縱坐標(biāo)相等；

平行于y軸直線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)不相等.

③關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；

關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；

關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù).

④象限角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：

一、三象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等；

二、四象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù).

注：反之亦成立.

(4)理解坐標(biāo)系中用坐標(biāo)表示距離的方法和結(jié)論：

①坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)P(x,y)到x軸的距離為1y|,到y(tǒng)軸的距離為|x1.

②x軸上兩點(diǎn)A(x”0)、B(X2,0)的距離為AB=|XI-X』；

y軸上兩點(diǎn)C(0,yj、D(0,%)的距離為CD上yi-y2|.

③平行于x軸的直線上兩點(diǎn)A(xi,y)、B(X2,y)的距離為AB=1XI-x21；

平行于y軸的直線上兩點(diǎn)C(x,%)、D(x,y?)的距離為CD=|-y2|.

(5)利用坐標(biāo)系求一些知道關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)的幾何圖形的面積：切割、拼補(bǔ)

要點(diǎn)三、坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用

1.用坐標(biāo)表示地理位置

(1)建立坐標(biāo)系，選擇一個適當(dāng)?shù)膮⒄拯c(diǎn)為原點(diǎn)，確定x軸、y軸的正方向；

(2)根據(jù)具體問題確定適當(dāng)?shù)谋壤?，在坐?biāo)軸上標(biāo)出單位長度；

(3)在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出這些點(diǎn)，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)和各個地點(diǎn)的名稱.

要點(diǎn)詮釋：

(1)我們習(xí)慣選取向東、向北分別為x軸、y軸的正方向，建立坐標(biāo)系的關(guān)鍵是確定原點(diǎn)的

位置.

(2)確定比例尺是畫平面示意圖的重要環(huán)節(jié)，要結(jié)合比例尺來確定坐標(biāo)軸上的單位長度.

2.用坐標(biāo)表示平移

(1)點(diǎn)的平移

點(diǎn)的平移引起坐標(biāo)的變化規(guī)律：在平面直角坐標(biāo)中，將點(diǎn)(x,y)向右(或左)平移a個單位

長度，可以得到對應(yīng)點(diǎn)(x+a,y)(或(x-a,y));將點(diǎn)(x,y)向上(或下)平移b個單位長度，可

以得到對應(yīng)點(diǎn)(x,y+b)(或(x,y-b)).

要點(diǎn)詮釋：

上述結(jié)論反之亦成立，即點(diǎn)的坐標(biāo)的上述變化引起的點(diǎn)的平移變換.

(2)圖形的平移

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果把一個圖形各個點(diǎn)的橫坐標(biāo)都加(或減去)一個正數(shù)a,相應(yīng)的

新圖形就是把原圖形向右(或向左)平移a個單位長度；如果把它各個點(diǎn)的縱坐標(biāo)都加(或減去)

一個正數(shù)a,相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上(或向下)平移a個單位長度.

要點(diǎn)詮釋：

平移是圖形的整體運(yùn)動，某一個點(diǎn)的坐標(biāo)發(fā)生變化，其他點(diǎn)的坐標(biāo)也進(jìn)行了相應(yīng)的變化，

反過來點(diǎn)的坐標(biāo)發(fā)生了相應(yīng)的變化，也就意味著點(diǎn)的位置也發(fā)生了變化，其變化規(guī)律遵循：“右

加左減，縱不變；上加下減，橫不變”.

典型例題

類型一、有序數(shù)對

例1.如圖所示，用點(diǎn)A(3,1)表示放置3個胡蘿卜、1棵青菜，用點(diǎn)B(2,3)表示放置2個胡

蘿卜，3棵青菜.

*

4J____I____

4:尸

3--

2--工里.

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(1)請你寫出點(diǎn)C、D、E、F所表示的意義；

(2)若一只兔子從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B(順著方格線走)，有以下幾條路線可以選擇：①A-C-D-B；

②A-E-D-B；③A-E-F-B,問走哪條路吃到的胡蘿卜最多?走哪條路吃到的青菜最多？

類型二、平面直角坐標(biāo)系

例2.(1)若點(diǎn)(5-a,a-3)在第一、三象限的角平分線上，求a的值.

(2)已知兩點(diǎn)A(-3,m),B(n,4),若AB〃x軸，求m的值，并確定n的范圍.

⑶點(diǎn)P到x軸和y軸的距離分別是3和4,求P點(diǎn)的坐標(biāo).

舉一反三：

【變式】已知，點(diǎn)PJm,mT),試根據(jù)下列條件：

(1)若點(diǎn)P在過A(2,-4),且與x軸平行的直線上，則m=，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

(2)若點(diǎn)P在過A(2,-4),且與y軸平行的直線上，則77F，點(diǎn)P的坐標(biāo)

為.

例3.如圖，在直角坐標(biāo)系中，第一次將AOAB變換成△OAB,

第二次將△0AB變換成△OA2B2,第三次將△OA2B2變換成△OA3B3,依此類推，已知A(l,3),

Ai(2,3),A2(4,3),A3(8,3)-B(2,0),Bi(4,0),B2(8,0),B3(16,0)…

①觀察每次變化后的三角形，找出規(guī)律，按此規(guī)律再將△OAsBs變換成AOA應(yīng)，則A4的坐標(biāo)

為,的坐標(biāo)為

②若按上述規(guī)律，將三角OAB進(jìn)行n次變換，得三角形△0Aa,比較每次變換三角形頂點(diǎn)的變

化規(guī)律，探索頂點(diǎn)L的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)七的坐標(biāo)為.

舉一反三：

【變式】某校數(shù)學(xué)課外小組，在坐標(biāo)紙上為學(xué)校的一塊空地設(shè)計(jì)植樹方案如下：第k棵樹種植

在《(4,以)處，其中X1=1,yi=l,

當(dāng)k22時,[a]表示非負(fù)實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分,例如[2.6]

=2,[0.2]=0,按此方案，第2009棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)為().

A.(5,2009)B.(6,2010)C.(3,401)D.(4,402)

類型三、坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用

例4.如圖，在下面直角坐標(biāo)系中，已知A(0,a),B(b,0),C(b,c)三點(diǎn)，其中a、b、

c滿足關(guān)系式|a-2|+(b-3)2=0,(c-4)2^0

(1)求a、b、c的值；

(2)如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)P(m,1),請用含m的式子表示四邊形AB0P的面積；

2

(3)在(2)的條件下，是否存在點(diǎn)P,使四邊形ABOP的面積與AABC的面積相等？若存在,

求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

舉一反三：

【變式】如圖，已知火車站的坐標(biāo)為（2,1）,文化宮的坐標(biāo)為（-1,2）.

（1）請你根據(jù)題目條件，畫出平面直角坐標(biāo)系；

（2）寫出體育館、市場、超市、賓館的坐標(biāo)；

（3）請將原點(diǎn)0,賓館C和文化宮B,看作三點(diǎn)用線段連起來，將得△（?（：,然后將此三角形

向下平移3個單位長度，畫出平移后的△0BC,并求出其面積.

例5.如圖所示，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，線段AB垂直于y軸，垂足為B,且AB=2,如果將線段

AB沿y軸翻折，點(diǎn)A落在C處，那么C的橫坐標(biāo)是.

類型四、綜合應(yīng)用

例6.（1）對數(shù)軸上的點(diǎn)尸進(jìn)行如下操作：先把點(diǎn)尸表示的數(shù)乘以L再把所得數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)向

3

右平移1個單位，得到點(diǎn)尸的對應(yīng)點(diǎn)P.點(diǎn)A,3在數(shù)軸上，對線段至上的每個點(diǎn)進(jìn)行上述操

作后得到線段A9,其中點(diǎn)A,2的對應(yīng)點(diǎn)分別為A,9.如圖1,若點(diǎn)A表示的數(shù)是-3,則點(diǎn)

A表示的數(shù)是;若點(diǎn)"表示的數(shù)是2,則點(diǎn)3表示的數(shù)是；已知線段鉆上

的點(diǎn)E經(jīng)過上述操作后得到的對應(yīng)點(diǎn)￡與點(diǎn)E重合，則點(diǎn)E表示的數(shù)是;

AB'

-45301234_

圖1

（2）如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對正方形MCD及其內(nèi)部的每個點(diǎn)進(jìn)行如下操作：把

每個點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都乘以同一種實(shí)數(shù)a,將得到的點(diǎn)先向右平移機(jī)個單位，再向上平移〃個

單位（m>0,?>0）,得到正方形AECD及其內(nèi)部的點(diǎn)，其中點(diǎn)A,8的對應(yīng)點(diǎn)分別為A,B'.

已知正方形ABCD內(nèi)部的一個點(diǎn)F經(jīng)過上述操作后得到的對應(yīng)點(diǎn)?與點(diǎn)廠重合，求點(diǎn)F的坐

標(biāo).

舉一反三：

【變式】把點(diǎn)P(m,n)向右平移3個單位長度再向下平移2個單位長度到一個位置B后坐標(biāo)

為Pz(a,b),則m,n,a,b之間存在的關(guān)系是

《平面直角坐標(biāo)系》全章復(fù)習(xí)與鞏固

知識點(diǎn)

要點(diǎn)一、函數(shù)的相關(guān)概念

一般地，在一個變化過程中.如果有兩個變量X與y,并且對于X的每一個確定的值，y

都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù).

y是x的函數(shù)，如果當(dāng)％=。時丁=匕，那么叫做當(dāng)自變量為。時的函數(shù)值.

函數(shù)的表示方法有三種：解析式法，列表法，圖象法.

要點(diǎn)二、一次函數(shù)的相關(guān)概念

一次函數(shù)的一般形式為丁="+人，其中左、匕是常數(shù)，左W0.特別地，當(dāng)Z?=0時，一次

函數(shù)y即y=Ax（kWO）,是正比例函數(shù).

要點(diǎn)三、一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

1、函數(shù)的圖象

如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組

成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象.

要點(diǎn)詮釋：

直線,="+人可以看作由直線,=依平移1"1個單位長度而得到（當(dāng)b>0時，向上平移;

當(dāng)匕<0時，向下平移）.說明通過平移，函數(shù)y=丘+人與函數(shù)y=的圖象之間可以相互轉(zhuǎn)化.

2、一次函數(shù)性質(zhì)及圖象特征

掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)（對比正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)）

要點(diǎn)詮釋：

理解左、b對一次函數(shù),=丘+匕的圖象和性質(zhì)的影響：

(1)左決定直線,=依+人從左向右的趨勢(及傾斜角a的大小——傾斜程度)，b決定

它與y軸交點(diǎn)的位置，k、b一起決定直線y=履+人經(jīng)過的象限.

(2)兩條直線4：y+4和公y=&x+d的位置關(guān)系可由其系數(shù)確定：

左W42O與，2相交；

左1=&，且人產(chǎn)&O/1與4平行；

%=卜,且4=4=4與L重合；

(3)直線與一次函數(shù)圖象的聯(lián)系與區(qū)別

一次函數(shù)的圖象是一條直線；特殊的直線X=a、直線y=6不是一次函數(shù)的圖象.

要點(diǎn)四、用函數(shù)的觀點(diǎn)看方程、方程組、不等式

函數(shù)問題

方程（組）、不等式問題

從“數(shù)”的角度看從“形”的角度看

求關(guān)于X、y的一元一次方%為何值時，函數(shù)丁=以+）的值確定直線丁=以+）與X軸（即

程依+Z?=0（〃W0）的解為0?直線y=0）交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

求關(guān)于％、y的二元一次方

》為何值時，函數(shù)y=6x+4與函確定直線y=a}x+b,與直線

fy=a,x+b,<

程組,j的解.數(shù)y=出%+，2的值相等?y=+4的交點(diǎn)的坐標(biāo)

求關(guān)于X的一元一次不等確定直線丁=奴+）在x軸（即

%為何值時，函數(shù)丁=以+）的值

式ot+Z>>0（aWO）的解直線y=o）上方部分的所有點(diǎn)

大于0?

集的橫坐標(biāo)的范圍

典型例題

例1、下列說法正確的是：（）

A.變量羽y滿足2x+y=3,則y是x的函數(shù)；

B.變量％,y滿足|y|=x,則y是x的函數(shù)；

C.變量x,y滿足V=x,則y是x的函數(shù)；

D.變量羽y滿足丁一%2=1,則丁是》的函數(shù).

舉一反三：

【變式】如圖的四個圖象中，不表示某一函數(shù)圖象的是（）

ABCD

例2、求函數(shù))，=的自變量的取值范圍.

舉一反三:

【變式】求出下列函數(shù)中自變量x的取值范圍

r0zxJ3x+2

⑴尸擊9(3)y=A/2X-3+<3-2x

類型二、一次函數(shù)的解析式

例3、已知y與x-2成正比例關(guān)系，且其圖象過點(diǎn)(3,3),試確定y與x的函數(shù)關(guān)系，并畫出

其圖象.

舉一反三：

【變式】直線，=依+方平行于直線y=2x-1,且與X軸交于點(diǎn)（2,0）,求這條直線的解析式.

類型三、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

例4、已知正比例函數(shù),=乙（左W0）的函數(shù)值y隨X的增大而減小，則一次函數(shù)y=x+左的

舉一反三:

【變式】已知正比例函數(shù)y=（2加-l）x的圖象上兩點(diǎn)A（X],%）,B（%,為），當(dāng)xi<x2時，

有力〉％,那么%的取值范圍是（

A.m<-B.m>—C.m<2D.m>0

22

類型四、一次函數(shù)與方程（組）、不等式

例5、如圖，平面直角坐標(biāo)系中畫出了函數(shù)y=fcc+Z?的圖象.

（1）根據(jù)圖象，求左和b的值.

（2）在圖中畫出函數(shù)y=-2%+2的圖象.

（3）求x的取值范圍，使函數(shù)y=Ax+Z?的函數(shù)值大于函數(shù)y=-2x+2的函數(shù)直

舉一反三：

【變式】已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3,5）與（-4,-9）.

（1）求這個一次函數(shù)的解析式；

（2）求關(guān)于x的不等式kx+bW5的解集.

類型五、一次函數(shù)的應(yīng)用

例6、某地為了鼓勵居民節(jié)約用水，決定實(shí)行兩級收費(fèi)制，即每月用水量不超過12噸（含12

噸）時，每噸按政府補(bǔ)貼優(yōu)惠價收費(fèi)；每月超過12噸，超過部分每噸按市場調(diào)節(jié)價收費(fèi)，小

黃家1月份用水24噸，交水費(fèi)42元.2月份用水20噸，交水費(fèi)32元.

（1）求每噸水的政府補(bǔ)貼優(yōu)惠價和市場調(diào)節(jié)價分別是多少元；

（2）設(shè)每月用水量為x噸，應(yīng)交水費(fèi)為y元，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）小黃家3月份用水26噸，他家應(yīng)交水費(fèi)多少元？

舉一反三：

【變式】一報(bào)刊銷售亭從報(bào)社訂購某晚報(bào)的價格是每份0.7元，銷售價是每份1元，賣不掉的

報(bào)紙還可以以0.20元的價格返回報(bào)社，在一個月內(nèi)（以30天計(jì)算），有20天每天可

賣出100份，其余10天，每天可賣出60份，但每天報(bào)亭從報(bào)社訂購的份數(shù)必須相同,

若以報(bào)亭每天從報(bào)社訂購報(bào)紙的份數(shù)為，每月所獲得的利潤為了.

（1）寫出丁與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍；

（2）報(bào)亭應(yīng)該每天從報(bào)社訂購多少份報(bào)紙，才能使每月獲得的利潤最大？最大利潤是多

少？

類型六、一次函數(shù)綜合

例7、如圖所示，直線4的解析表達(dá)式為y=-3x+3,且4與x軸交于點(diǎn)D,直線(經(jīng)過A、B兩

點(diǎn)，直線4、4交于點(diǎn)Q

⑴求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

⑵求直線的解析表達(dá)式；

⑶求AADC的面積；

(4)在直線4上存在異于點(diǎn)C的另一點(diǎn)P,使得4ADP與aADC的面積相等，請直接寫出點(diǎn)

《二元一次方程組》

知識點(diǎn)

要點(diǎn)一、二元一次方程組的相關(guān)概念

1.二元一次方程的定義

定義：方程中含有兩個未知數(shù)（X和y）,并且未知數(shù)的次數(shù)都是1,像這樣的方程叫做

二元一次方程.

要點(diǎn)詮釋：

（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數(shù).

（2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項(xiàng)（單項(xiàng)式）的次數(shù)是1.

（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.

2.二元一次方程的解

定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.

要點(diǎn)詮釋：

二元一次方程的每一個解，都是一對數(shù)值，而不是一個數(shù)值，一般要用大括號聯(lián)立起來，

即二元一次方程的解通常表示為尸=a的形式.

[y=b

3.二元一次方程組的定義

定義：把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.

此外，組成方程組的各個方程也不必同時含有兩個未知數(shù).例如，二元一次方程組+4y=5.

x-2

要點(diǎn)詮釋：

（1）它的一般形式為<q（其中%,a,,乙，兒不同時為零）.

a,x+b2y=c2

（2）更一般地，如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數(shù)，那么它們組成一個二元一次方程

組.

（3）符號“{”表示同時滿足，相當(dāng)于“且”的意思.

4.二元一次方程組的解

定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

要點(diǎn)詮釋：

（1）方程組中每個未知數(shù)的值應(yīng)同時滿足兩個方程，所以檢驗(yàn)是否是方程組的解，應(yīng)把數(shù)值

代入兩個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不

一定是方程組的解.

（2）方程組的解要用大括號聯(lián)立；

（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組=5無解，

2x+y=6

而方程組『+y=t的解有無數(shù)個.

2x+2y=—2

要點(diǎn)二、二元一次方程組的解法

1.解二元一次方程組的思想

二元一次方程組------萼------一元一次方程

__________________轉(zhuǎn)化_______________

2.解二元一次方程組的基本方法：代入消元法、加減消元法和圖像法

（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：

①從方程組中選定一個系數(shù)比較簡單的方程進(jìn)行變形，用含有x（或y）的代數(shù)式表示y

（或x）,即變成y=ot+b（或x=ay+Z?）的形式；

②將丁="+人（或x=ay+b）代入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去y（或x）,

得到一個關(guān)于x（或y）的一元一次方程；

③解這個一元一次方程，求出x（或y）的值；

④把x（或y）的值代入y=+（或x=ay+Z?）中，求y（或x）的值；

⑤用“{”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解.

（2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：

①根據(jù)”等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質(zhì)，將原

方程組化成有一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等的形式；

②根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì),

將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；

③解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；

④把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值；

⑤將兩個未知數(shù)的值用“{”聯(lián)立在一起即可.

（3）圖像法解二元一次方程組的一般過程：

①把二元一次方程化成一次函數(shù)的形式.

②在直角坐標(biāo)系中畫出兩個一次函數(shù)的圖像，并標(biāo)出交點(diǎn).

③交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解.

要點(diǎn)詮釋：

二元一次方程組無解〈=＞一次函數(shù)的圖像平行（無交點(diǎn)）

二元一次方程組有一解〈=＞一次函數(shù)的圖像相交（有一個交點(diǎn)）

二元一次方程組有無數(shù)個解〈。一次函數(shù)的圖像重合（有無數(shù)個交點(diǎn)）

利用圖像法求二元一次方程組的解是近似解，要得到準(zhǔn)確解，一般還是用代入消元法和加減消

元法解方程組.相反，求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為求這兩條直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立

的二元一次方程組的解.

要點(diǎn)三、實(shí)際問題與二元一次方程組

設(shè)未知數(shù)，列方程組

實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題

（二元一次方程組）

數(shù)學(xué)問題的解

實(shí)際問題的答案（二元一次方程組的解）

要點(diǎn)詮釋：

（1）解實(shí)際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的

結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；

（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；

（3）一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組.

要點(diǎn)四、二元一次方程(組)與一次函數(shù)

1.二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系

(1)任何一個二元一次方程ax+by=c{a,20,c為常數(shù))都可以變形為

y=--x+-(a.bNO,c為常數(shù))即為一個一次函數(shù)，所以每個二元一次方程都對應(yīng)一個一次函

bb

數(shù).

(2)我們知道每個二元一次方程都有無數(shù)組解，例如：方程x+y=5我們列舉出它的幾組

V*-V"—SV--

整數(shù)解有—‘—‘—‘，我們發(fā)現(xiàn)以這些整數(shù)解為坐標(biāo)的點(diǎn)(0,5),(5,0),(2,

。=5；[y=0;[y=3

3)恰好在一次函數(shù)y=-％+5的圖像上，反過來，在一次函數(shù)y=5-x的圖像上任取一點(diǎn)，它

的坐標(biāo)也適合方程x+y=5.

要點(diǎn)詮釋：

1.以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在相應(yīng)的函數(shù)圖像上；

2.一次函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合相應(yīng)的二元一次方程；

3.以二元一次方程的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)組成的圖像與相應(yīng)一次函數(shù)的圖像相同.

2.二元一次方程組與一次函數(shù)

每個二元一次方程組都對應(yīng)兩個一次函數(shù)，于是也對應(yīng)兩條直線.從“數(shù)”的角度看，解

方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這時的函數(shù)為何值；從“形”的角

度看，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo).

3.用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達(dá)式

待定系數(shù)法：先設(shè)出函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)所給的條件確定表達(dá)式中未知數(shù)的系數(shù)，從而得

到函數(shù)表達(dá)式的方法，叫做待定系數(shù)法.

利用待定系數(shù)法解決問題的步驟：

1.確定所求問題含有待定系數(shù)解析式.

2.根據(jù)所給條件，列出一組含有待定系數(shù)的方程.

3.解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決.

典型例題

類型一、二元一次方程組的相關(guān)概念

例1.下列方程組中，不是二元一次方程組的是（）.

（2x-3y=0fx+l=l+2x=x2-3yy=2x+5

3y=x+l[y-z=21x+y=63x=-6

舉一反三：

【變式】若d“3-2—2丈+〃=5是二兀一次方程，則a=b=________

x=i

例2.以一為解的二元一次方程組是（）.

1y=-1

[x+y=O(x+y=OC[x+y=Ox+y=

A.<B.<.[x-y=2D.i

x-y=l[x-y=-l[x-y=

舉一反三：

【變式】若J而后+12a-b+l|=0,則(b-a)2015=()

A.-1B.1C.52016D.-52016

類型二、二元一次方程組的解法

r3x-y=2

例3.解方程組＜

9x+8y=17

舉一反三：

【變式】已知方程組（"+了=3的解是二元一次方程m（x+l）=3（x-y）的一個解，則m=_______

j_y=5

類型三、實(shí)際問題與二元一次方程組

04.某景點(diǎn)的門票價格如表

購票人數(shù)/人1-5051~100100以上

每人門票價/元12103

某校七年級（1）、（2）兩班計(jì)劃去游覽該景點(diǎn)，其中（1）班人數(shù)少于50人，（2）班人數(shù)

多于50人且少于100人，如果兩班都以班為單位單獨(dú)購票，則一共支付H18元；如果兩班聯(lián)

合起來作為一個團(tuán)體購票，則只需花費(fèi)816元.

（1）兩個班各有多少名學(xué)生？

（2）團(tuán)體購票與單獨(dú)購票相比較，兩個班各節(jié)約了多少錢？

舉一反三:

【變式】如圖所示，教師節(jié)來臨之際，群群所在的班級準(zhǔn)備向每位辛勤工作的教師獻(xiàn)一束鮮花,

每束由4支鮮花包裝而成，其中有象征母愛的康乃馨和象征尊敬的水仙花兩種鮮花，同一種鮮

花每支的價格相同，請你根據(jù)第一、二束鮮花提供的信息，求出第三束鮮花的價格.

共計(jì)19元共計(jì)18元

膏’幸蓍拳?磨

康乃馨水仙花

第三束

類型四、二元一次方程（組）與一次函數(shù)

例5.已知如圖所示，直線L,Lz相交于A點(diǎn)，請根據(jù)圖象寫出以交點(diǎn)坐標(biāo)為解的二元一次方

程組，并求出它的解.

例6.甲、乙兩列火車分別從A、B兩城同時勻速駛出，甲車開往B城，乙車開往A城.由于

墨跡遮蓋，圖中提供的只是兩車距B城的路程s甲(千米)、s乙(千米)與行駛時間t(時)

的函數(shù)圖象的一部分.

(1)乙車的速度為千米/時；

(2)