北師大版初三數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)

北師大版初三數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)匯總

第一章證明（二）

※等腰三角形的“三線合一”：頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。

※等邊三角形是特殊的等腰三角形，作一條等邊三角形的三線合一線，將等邊三角形分成兩

個(gè)全等的

直角三角形，其中一個(gè)銳角等于30。，這它所對(duì)的直角邊必然等于斜邊的一半。

※有一個(gè)角等于60。的等腰三角形是等邊三角形。

※如果知道一個(gè)三角形為直角三角形首先要想的定理有：

①勾股定理：/+/=（注意區(qū)分斜邊與直角邊）

②在直角三角形中，如有一個(gè)內(nèi)角等于30。，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

③在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半（此定理將在第三章出現(xiàn)）

※垂直平分線是垂直于一條線段并且平分這條線段的直線。（注意著重號(hào)的意義）

〈直線與射線有垂線，但無垂直平分線,

※線段垂直平分線上的點(diǎn)到這一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等。

※線段垂直平分線逆定理：到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。

※三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，并且這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。（如圖1所示，

AO^BO=CO）\次，

'I/1\A

※角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。

※角平分線逆定理：在角內(nèi)部的，如果一點(diǎn)到角兩邊的距離相等，則它在該角的平分線上。

角平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合。

※三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，并且交點(diǎn)到三邊距離相等，交點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心。

（如圖2所示,OD=OE=OF）

第二章一元二次方程

※只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程，目都可以化為依2+公+C=0（久b、C為

常數(shù)，。邦）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。

※把"②+法+c=0（a、b、c為常數(shù)，存0）稱為一元二次方程的一般形式，a為二次項(xiàng)

系數(shù)；b為一次項(xiàng)系數(shù)；c為常數(shù)項(xiàng)。

※解一元二次方程的方法：①配方法〈即將其變?yōu)椋ǎ?根）2=。的形式>

②公式法尤=士也二竺（注意在找浦c時(shí)須先把方程化為一般形式）

2a

③分解因式法把方程的一邊變成0，另一邊變成兩個(gè)一次因式的乘積來求解。

（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）

※配方法解一元二次方程的基本步驟：①把方程化成一元二次方程的一般形式；

②將二次項(xiàng)系數(shù)化成1；

③把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；

④兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；

⑤把方程轉(zhuǎn)化成（X+加1=0的形式；

⑥兩邊開方求其根。

※根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)房-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)薩-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)b2-4ae<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根。

※如果一元二次方程依2+bx+C=O的兩根分別為無1、尤2,則有：

bc

%1+%2=----尤1?犬2=一°

aa

※一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的作用：

(1)已知方程的一根，求另一根；

(2)不解方程，求二次方程的根XI、尤2的對(duì)稱式的值，特別注意以下公式：

①X；=(X]+x,)2?—+—=X>+

-X1x2

22

③(X]-X2)=(%J+%2)-4%；%2

④|再一巧1=+々)2

2

⑤(|X1]+1%=(X]+x2)-2xrx2+21xtx2|

+%23

⑥X：-(X]+x2)-3X1X2(%1+X2)

⑦其他能用七+%或?yàn)椤┍磉_(dá)的代數(shù)式。

(3)已知方程的兩根XI、X2,可以構(gòu)造一元二次方程：-。+%2)X+萬％=0

(4)已知兩數(shù)尤I、X2的和與積，求此兩數(shù)的問題，可以轉(zhuǎn)化為求一元二次方程

2

x-(%+x2)x+石々=0的根

※在利用方程來解應(yīng)用題時(shí)，主要分為兩個(gè)步驟：①設(shè)未知數(shù)(在設(shè)未知數(shù)時(shí)，大多數(shù)情況

只要設(shè)問題為X；但也有時(shí)也須根據(jù)已知條件及等量關(guān)系等諸多方面考慮)；②尋找等量

關(guān)系(一般地，題目中會(huì)含有一表述等量關(guān)系的句子，只須找到此句話即可根據(jù)其列出方

程I

分析十產(chǎn)求解

※處理問題的過程可以進(jìn)一步概括為：?jiǎn)栴}-萬程檢驗(yàn)，解答

抽象

第三章證明（三）

※平行四邊的定義：兩線對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的兩頂

點(diǎn)連成的線段叫做它的對(duì)角線。

※平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分。

※平行四邊形的判別方法：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

※平行線之間的距離：若兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意兩點(diǎn)到另一條直線的距

離相等。這個(gè)距離稱為平行線之間的距離。

菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

※菱形的性質(zhì):具有平行四邊形的性質(zhì)，且四條邊都相等，兩條對(duì)角線互相垂直平分.每一條對(duì)

角線平分一組對(duì)角。

菱形是軸對(duì)稱圖形，每條對(duì)角線所在的直線都是對(duì)稱軸。

※菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

四條邊都相等的四邊形是菱形。

※矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。

※矩形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且對(duì)角線相等，四個(gè)角都是直角。（矩形是軸對(duì)稱

圖形，有兩條對(duì)稱軸）

※矩形的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形（根據(jù)定義）。

對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。

四個(gè)角都相等的四邊形是矩形。

※推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸對(duì)稱圖形，

有兩條對(duì)稱軸）

※正方形常用的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形；

鄰邊相等的矩形是正方形；

對(duì)角線相等的菱形是正方形；

對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系（如圖3所示）：

※梯形定義：一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。

※兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。

※一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

鵬翔教圖3

※等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等，對(duì)角線相等。

同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形。

※三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

※夾在兩條平行線間的平行線段相等。

※在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半

第四章視圖與投影

※三視圖包括：主視圖、俯視圖和左視圖。

三視圖之間要保持長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等。一般地，俯視圖要畫在主視圖的下方，左視

圖要畫在正視圖的右邊。

主視圖：基本可認(rèn)為從物體正面視得的圖象

俯視圖：基本可認(rèn)為從物體上面視得的圖象

左視圖：基本可認(rèn)為從物體左面視得的圖象

※視圖中每一個(gè)閉合的線框都表示物體上一個(gè)表面（平面或曲面），而相連的兩個(gè)閉合線框一

定不在一個(gè)平面上。

※在一個(gè)外形線框內(nèi)所包括的各個(gè)小線框，一定是平面體（或曲面體）上凸出或凹的各個(gè)小

的平面體（或曲面體X

※在畫視圖時(shí)，看得見的部分的輪廓線通常畫成實(shí)線，看不見的部分輪廓線通常畫成虛線。

物體在光線的照射下，會(huì)在地面或墻壁上留下它的影子，這就是投影。

太陽(yáng)光線可以看成平行的光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。

探照燈、手電筒、路燈的光線可以看成是從一點(diǎn)出發(fā)的，像這樣的光線所形成的投影稱為中

心投影。

※區(qū)分平行投影和中心投影：①觀察光源；②觀察影子。

眼睛的位置稱為視點(diǎn);由視點(diǎn)發(fā)出的線稱為視線；眼睛看不到的地方稱為南耳。

※從正面、上面、側(cè)面看到的圖形就是常見的正投影，是當(dāng)光線與投影垂直時(shí)的投影。

①點(diǎn)在一個(gè)平面上的投影仍是一個(gè)點(diǎn)；

②線段在一個(gè)面上的投影可分為三種情況:

線段垂直于投影面時(shí)，投影為一點(diǎn);

線段平行于投影面時(shí)，投影長(zhǎng)度等于線段的實(shí)際長(zhǎng)度；

線段傾斜于投影面時(shí)，投影長(zhǎng)度小于線段的實(shí)際長(zhǎng)度。

③平面圖形在某一平面上的投影可分為三種情況：

平面圖形和投影面平行的情況下，其投影為實(shí)際形狀；

平面圖形和投影面垂直的情況下，其投影為一線段；

平面圖形和投影面傾斜的情況下，其投影小于實(shí)際的形狀。

第五章反比例函數(shù)

※反比例函數(shù)的概念：一般地,y=t（k為常數(shù)，肝0）叫做反比例函數(shù)，即y是X的反比

X

例函數(shù)。

（X為自變量，y為因變量，其中X不能為零）

k

※反比例函數(shù)的等價(jià)形式:V是X的反比例函數(shù)一一y=t（根0）一一y^kx\k^G）

X

-一孫=k（kH0）一一變量），與x成反比例，比例系數(shù)為k.

※判斷兩個(gè)變量是否是反比例函數(shù)關(guān)系有兩種方法：①按照反比例函數(shù)的定義判斷；②看兩

個(gè)變量的乘積是否為定值<即xy=k>0（通常第二種方法更適用）

※反比例函數(shù)的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線

※反比例函數(shù)的畫法的注意事項(xiàng)：①反比例函數(shù)的圖象不是直線，所“兩點(diǎn)法”是不能畫的；

②選取的點(diǎn)越多畫的圖越準(zhǔn)確；

③畫圖注意其美觀性（對(duì)稱性、延伸特征）。

※反比例函數(shù)性質(zhì)：

①當(dāng)k>Q時(shí)，雙曲線的兩支分別位于一、三象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。?/p>

②當(dāng)MO時(shí)，雙曲線的兩支分別位于二、四象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨X的增大而增大；

③雙曲線的兩支會(huì)無限接近坐標(biāo)軸（X軸和y軸）,但不會(huì)與坐標(biāo)軸相交。

※反比例函數(shù)圖象的幾何特征：（如圖4所示）

點(diǎn)P（x,y）在雙曲線上都有S矩形0APB=1盯1=1左1-?AAOB=^\xy\=^\k\

（-

'|圖4

第六章頻率與概率

※在頻率分布表里，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做頻數(shù);

每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻率；即：

頻數(shù)頻數(shù)

頻率=

數(shù)據(jù)總數(shù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)

在頻率分布直方圖中，由于各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，而各組頻率的和等于

lo因此，各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積的和等于lo

※頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)的頻率分布的兩種不同表示形式，前者準(zhǔn)確，后

者直觀。

用一件事件發(fā)生的頻率來估計(jì)這一件事件發(fā)生的概率。

可用列表的方法求出概率，但此方法不太適用較復(fù)雜情況。

※假設(shè)布袋內(nèi)有根個(gè)黑球，通過多次試驗(yàn)，我們可以估計(jì)出布袋內(nèi)隨機(jī)摸出一球，它為白

球的概率;

※要估算池塘里有多少條魚，我們可先從池塘里捉上100條魚做記號(hào)，再放回池塘，之后再

從池塘中捉上200條魚，如果其中有10條魚是有標(biāo)記的，再設(shè)池塘共有X條魚，則可依

照一=白估算出魚的條數(shù)。（注意估算出來的數(shù)據(jù)不是確切的所以應(yīng)謂之“約是XX'）

※生活中存在大量的不確定事件，概率是描述不確定現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，它能準(zhǔn)確地衡量出事

件發(fā)生的可能性的大小，并不表示一定會(huì)發(fā)生。

北師大版初三下冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第七章直角三角形邊的關(guān)系

派一.正切：

定義：在RtAABC中，銳角NA的對(duì)邊與鄰邊的比叫做乙4的正切，記作tanA,即

NA的對(duì)邊

tanA=

NA的鄰邊

①37A是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示NA的正切，記號(hào)里習(xí)慣省去角的符號(hào)“N”；

②tanA沒有單位，它表示一個(gè)比值，即直角三角形中NA的對(duì)邊與鄰邊的比；

③勿〃A不表示“3z”乘以“A”；

④初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中，NA是銳角的正切；

⑤勿植的值越大，梯子越陡，ZA越大；ZA越大，梯子越陡，tanA的值越

大。

※二.薛：

定義：在RtAABC中，銳角ZA的對(duì)邊與斜邊的比叫做NA的正弦，記作sinA

NA的對(duì)邊

即sinA=

斜邊

※三.余弦：

定義:在RtAABC中，銳角ZA的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦，記作c紗A,

NA的鄰邊

即cosA=

斜邊

※余切：

定義：在RtAABC中，銳角ZA的鄰邊與對(duì)邊的比叫做NA的余切，記作cotA,

NA的鄰邊

即coL4=

NA的對(duì)邊

※一個(gè)銳角的正弦、余弦、正切、余切分別等于它的余角的余弦、正弦、余切、

正切。

（通常我們稱正弦、余弦互為余函數(shù)。同樣，也稱正切、余切互為余函數(shù)，可以

概括為:一個(gè)銳角的三角函數(shù)0°30°45060°90°

j_V2V3

sina01

等于它的余角的余函數(shù)）用等2~T~T

V2]_

cosaV3

式表達(dá)：若NA為銳角，則1~T~T20

V3

tana0iV3一

①sinA=cose（）o-NA）；V

cota一V3

cosA=sin（90°-ZA）V3iV0

（2）tanA=cot（90°-ZA）；cotA=tan（90°-ZA）

※當(dāng)從低處觀測(cè)高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線

所成的銳角稱為仰角

※當(dāng)從高處觀測(cè)低處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成

的銳角稱為他角

※利用特殊角的三角函數(shù)值表，可以看出，⑴當(dāng)

角度在0。~90。間變化時(shí)，正弦值、正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?/p>

余切值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?。（2）0<sina<lO<cosa<1

t0鉛

垂

※同角的三角函數(shù)間的關(guān)系：線

屋嗷若桑?：次a=船故cosa

商的笑累：tgQ=----,ctgQ=----o

cos支since

平方關(guān)系：Sin2a+cos2a=1.

※在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和二個(gè)銳角。由直角三角形中除

直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。

◎在AABC中，NC為直角，NA、/B、NC所對(duì)的邊分別為a、b、c,則有

⑴三邊之間的關(guān)系：層+/=°2;

(2)兩銳角的關(guān)系：ZA+ZB=90°；

(3)邊與角之間的關(guān)系：

.4ab人ab

sinA=—,cosAA=—,tanA=—,cotAA=—;

ccba

.ba門ba

sinB=—,cosB=—,tanB=—,cotB=—;

ccab

(4)面積公式:SA=g=gchc(he為C邊上的高)；

(5)直角三角形的內(nèi)切圓半徑r=a+b~c

2

(6)直角三角形的外接圓半徑R=\c

2

◎解直角三角形的幾種基本類型列表如下：

◎解直角三角形的幾種基本類型列表如下：

已知條件解法

兩條邊兩條直角邊a和bc=7a2+b2,

tgA=B=90°-A

b

一條直角邊a和斜邊cb=Yd-a2sinA=—,圖2

c

B=90°-A

一條邊和一一條直角邊a和銳角AB=90°-A,c=-^-,

個(gè)銳角sinA

b=a?etgA

斜邊c和銳角AB=90°-AJa=c■sinA?

b=c■cosA

圖3圖4

※如圖2,坡面與水平面的夾角叫做坡角（或叫做坡比）。用字母，表示,即

.h

z=7=tanA

◎從某點(diǎn)的指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方位角。如圖3,。4、

OB、0c的方位角分別為45。、135。、225。。

◎指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90。的水平角,叫做方向角。如圖

4,。4、OB、。以的方向角分別是；北偏東30。，南偏東45。（東南方向）、

南偏西為60°,北偏西60°o

第二章二次函數(shù)

※二次函數(shù)的概念：形如y^ax2+bx+c（a、、b、是常數(shù),aw0）的函數(shù)，叫做x的三次

印數(shù)。自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。y=ax2（aw0）是二次函數(shù)的特例，此時(shí)

常數(shù)b=c=0.

※在寫二次函數(shù)的關(guān)系式時(shí)，一定要尋找兩個(gè)變量之間的等量關(guān)系冽出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,

并確定自變量的取值范圍。

※二次函數(shù)y=的圖象是一條頂點(diǎn)在原點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的曲線，這條曲線叫做咖物線。

描述拋物線常從開口方向、對(duì)稱性、y隨x的變化情況、拋物線的最高（或最低）點(diǎn)、拋物

線與x軸的交點(diǎn)等方面來描述。

①函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)；

②拋物線的頂點(diǎn)在（0,0）,對(duì)稱軸是y軸（或稱直線x=0）。

③當(dāng)。>0時(shí)，拋物線開口向上，并且向上方無限伸展。當(dāng)。<0時(shí)，拋物線

開口向下，并且向下方無限伸展。

④函數(shù)的增減性：

.業(yè),f%<0時(shí),y隨%增大而減小

nDB、當(dāng)a<0時(shí)

[x20時(shí),y隨%增大而增大

尤<0時(shí),y隨%增大而增大

x>0時(shí),丁隨工增大而減小

⑤當(dāng)|。|越大，拋物線開口越??；當(dāng)|。|越小，拋物線的開口越大。

⑥最大值或最小值：當(dāng)a>0,且x=0時(shí)函數(shù)有最小值，最小值是0；當(dāng)a<0,且尤=0時(shí)

函數(shù)有最大值，最大值是0.

※二次函數(shù)y=a/+c的圖象是一條頂點(diǎn)在y軸上且與y軸對(duì)稱的拋物線

※二次函數(shù)尸爾+法+c的圖象是以x=-二為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)在（-3,

2a2a

手上）的拋物線。（開口方向和大小由a來決定）

※間的越大，拋物線的開口程度越小，越靠近對(duì)稱軸y軸，y隨x增長(zhǎng)（或下降）

速度越快；⑷的越小,拋物線的開口程度越大,越遠(yuǎn)離對(duì)稱軸y軸，丁隨x增

長(zhǎng)（或下降）速度越慢。

※二次函數(shù)丁=。f+。的圖象中，。的符號(hào)決定拋物線的開口方向，⑷決定拋物

線的開口程度大小，。決定拋物線的頂點(diǎn)位置，即拋物線位置的高低。

※二次函數(shù)y=ax?+以+°的圖象與丁=加的圖象的關(guān)系：

y^ax1+bx+c的圖象可以由y=a^的圖象平移得到，其步驟如下：

h

①將y=奴2+6x+c配方成y=a(x-/z)2+上的開鄉(xiāng)式；(其中h=---,

2a

,4ac-b2、

k=--——)

4a

②把拋物線>=ax2向右(h>0)或向左(A<0)平移固個(gè)單位，得到y(tǒng)=a(x-A)2

的圖象；

③再把拋物線y="(X-向上(k>0)或向下(k<0)平移|用個(gè)單位，便得到

y^a(x-h)2+4的圖象。

※二次函數(shù)y^ax1+bx+c的性質(zhì)：

二次函數(shù)y=a/+公+c配方成>=g+幺尸+也二久則拋物線的

2a4a

①對(duì)稱軸：x=-2②頂點(diǎn)坐標(biāo)：(-A,4。c")

2a2a4。

③增減性：若a>0,則當(dāng)x<_2時(shí)，丁隨十的增大而減??；當(dāng)x>_2時(shí)，y

2a........2a

隨X的增大而增大。

若。<0,則當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)眾一2時(shí)，y

2a........2a

隨X的增大而減小。

④最值：若a>0,則當(dāng)x=-2時(shí)，y最小=4ac~b;若(7<0，則當(dāng)x=-2時(shí)，

2a4a2a

4ac-b2

，最大

派畫二次函數(shù)y^ax2+bx+c的圖象：

我們可以利用它與函數(shù)y=/的關(guān)系，平移拋物線而得到，但往往我們采用

簡(jiǎn)化了的描點(diǎn)法------五點(diǎn)法來畫二次函數(shù)來畫二次函數(shù)的圖象，其步驟如

下：

①先找出頂點(diǎn)(一2,4"一尸)，畫出對(duì)稱軸x=-2；

2a4a2a

②找出圖象上關(guān)于直線下-2對(duì)稱的四個(gè)點(diǎn)（如與坐標(biāo)的交點(diǎn)等）；

2a

③把上述五點(diǎn)連成光滑的曲線。

口二次函數(shù)的最大值或最小值可以通過將解析式配成尸a（x-hf+k的形式求得，

也可以借助圖象觀察。

嚏牟決最大（?。┲祮栴}的基本思路是：

①理解問題；

②分析問題中的變量和常量，以及它們之間的關(guān)系；

③用數(shù)學(xué)的方式表示它們之間的關(guān)系；

④做數(shù)學(xué)求解；

⑤檢驗(yàn)結(jié)果的合理性、拓展性等。

※二次函數(shù)y^ax2+bx+c的圖象（拋物線）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)xi,也是

對(duì)應(yīng)一元二次方程ax2+bx+c-0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根

※拋物線與X軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

b2-4ac>0<===>拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；

b2-4ac=0<===>拋物線與X軸有1個(gè)交點(diǎn)；

b2-4ac<0<===>拋物線與X軸有0個(gè)交點(diǎn)（無交點(diǎn)）；

※當(dāng)人2-4公>0時(shí),設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為人B，則這兩個(gè)點(diǎn)之間的距

離：

2

|AB\=\Xt+x2\=^j（x2-%1）=+%2）2—4玉/

化簡(jiǎn)后即為：IAB1=1"b—4ac>0）----------------這就是拋物線與X

軸的兩交點(diǎn)之間的距離公式。

第三章圓

車輪為什么做成圓形

XL圓的定義：

描述性定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段04繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另

一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圓形叫做圓；固定的端點(diǎn)。叫

做圓心；線段04叫做半徑；以點(diǎn)。為圓心的圓，記作。。，

讀作“圓

集合性定義：圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。其中定點(diǎn)叫做闡

心,定長(zhǎng)叫做圓的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，

圓心和半徑確定的圓叫做顯闡。

對(duì)圓的定義的理解：①圓是一條封閉曲線，不是圓面；

②圓由兩個(gè)條件唯一確定：一是圓心（即定點(diǎn)），二是

半徑（即定長(zhǎng)）0

派2?點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征：

如果圓的半徑為r,點(diǎn)到圓心的距離為d，則

①點(diǎn)在圓上<===>d=r\

②點(diǎn)在圓內(nèi)<===>d<r;

③點(diǎn)在圓外<===>d>r.

其中點(diǎn)在圓上的數(shù)量特征是重點(diǎn)，它可用來證明若干個(gè)點(diǎn)共圓，方法就是證

明這幾個(gè)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)、的距離相等。

二.圓的對(duì)稱性：

※上與圓相關(guān)的概念:

①弦和直徑:

弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弓L

直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做事徑。

②弧、半圓、優(yōu)弧、劣?。?/p>

?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧,簡(jiǎn)稱弧,用符號(hào)，表示，以8為端點(diǎn)

一?

的弧記為“CD”，讀作“圓弧CZT或“弧CD”。

半圓：直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。

優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做體弧。

劣?。盒∮诎雸A的弧叫做充弧。（為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個(gè)字母表示。）

③弓形：弦及所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形。

④同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心畫。

⑤等圓：能夠完全重合的兩個(gè)圓叫做等圓，半徑相等的兩個(gè)圓是等圓。

⑥等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。

⑦圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做畫心用.

⑧弦心距:從圓心到弦的距離叫做猿心妲

X2.圓是軸對(duì)稱圖形，直徑所在的直線是它的對(duì)稱軸，圓有無數(shù)條對(duì)稱軸。

X3.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

說明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來說，如果具備：

①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)?。孩萜椒窒宜鶎?duì)的劣弧。

上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可推出其他三個(gè)結(jié)論。

※業(yè)定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等、所對(duì)的弦相等、所對(duì)

的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距

中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.

三.圓周角和圓心角的關(guān)系：

※上1。的弧的概念：把頂點(diǎn)在圓心的周角等分成360份時(shí)，每一份的角都是1。的

圓心角，相應(yīng)的整個(gè)圓也被等分成360份，每一份同樣的弧

叫1。弧.

X2.圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等.

這里指的是角度數(shù)與弧的度數(shù)相等，而不是角與弧相等.即不能寫成?

ZAOB=，這是錯(cuò)誤的.

X3.圓周角的定義：

頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫做圓周角.

※今圓周角定理：

一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.

※推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角

所對(duì)的弧也相等；

※推論2:半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑；

※四.確定圓的條件：

※上理解確定一個(gè)圓必須的具備兩個(gè)條件：

圓心和半徑，圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小.

經(jīng)過一點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)圓,經(jīng)過兩點(diǎn)也可以作無數(shù)個(gè)圓，其圓心在這個(gè)兩點(diǎn)

線段的垂直平分線上.

X2.經(jīng)過三點(diǎn)作圓要分兩種情況：

(1)經(jīng)過同一直線上的三點(diǎn)不能作圓.

(2)經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，能且僅能作一個(gè)圓.

※定理：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.

X3.三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念：

(1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形：經(jīng)過一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這

個(gè)三角形的外接圓,這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.

(2)三角形的外心：三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心.

(3)三角形的外心的性質(zhì):三角形外心到三頂點(diǎn)的距離相等.

五.直線與圓的位置關(guān)系

XL直線和圓相交、相切相離的定義：

⑴相交：直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交，這時(shí)直線叫做圓的割線.

⑵相切：直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線,

惟一的公共點(diǎn)做切點(diǎn).

⑶相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相離.

X2.直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征：

設(shè)。。的半徑為廣，圓心。到直線的距離為d；

①<===>直線L和。。相交.

②d=r<===>直線工和。。相切.

③d>r<===>直線L和。。相離.

X3.切線的總判定定理：

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這個(gè)條半徑的直線是圓的切線.

※業(yè)切線的性質(zhì)定理：

圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

※推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).

※推論2經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

※分析性質(zhì)定理及兩個(gè)推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系，可得如下結(jié)論：

如果一條直線具備下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，就可推出第三個(gè).

①垂直于切線;②過切點(diǎn);③過圓心.

X5.三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念.

和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)

心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.

X6.三角形內(nèi)心的性質(zhì)：

(1)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.

(2)過三角形頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角.

由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線：連接內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn)，該線平分三角形的

這個(gè)內(nèi)角.

六.圓和圓的位置關(guān)系.

XL外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關(guān)系的定義.

⑴外離：兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí),叫做這兩個(gè)圓外離.

⑵外切：兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外

部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外切.這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).

(3)相交：兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這個(gè)兩個(gè)圓相交.

(4)內(nèi)切：兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，一個(gè)圓上的都在另一個(gè)圓的內(nèi)部

時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切.這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).

(5)內(nèi)含：兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含.

兩圓同心是兩圓內(nèi)的一個(gè)特例.

X2.兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定：

(1)兩圓外離<===>d>R+r

(2)兩圓夕卜切<===>d=R+r

(3)兩圓相交<===>R-r<d<R+r(R>r)

(4)兩圓內(nèi)切<===>d=R-r{R>r)

⑸兩圓內(nèi)含<===>d<R-r(7?>r)

X3.相切兩圓的性質(zhì)：

如果兩個(gè)圓相切,那么切點(diǎn)一定在連心線上.

※義相交兩圓的性質(zhì)：

相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.

七.弧長(zhǎng)及扇形的面積

※上圓周長(zhǎng)公式：

圓周長(zhǎng)C=2兀R(R表示圓的半徑)

X2.弧長(zhǎng)公式：

弧長(zhǎng)/=4(R表示圓的半徑,n表示弧所對(duì)的圓心角的度數(shù))

180

X3.扇形定義：

一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.

※4弓形定義:

由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形.

弓形弧的中點(diǎn)到弦的距離叫做弓形高.

X5.圓的面積公式.

圓的面積S=R?2（R表示圓的半徑）

X6.扇形的面積公式：

⑵當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí)，S弓形=S扇形+S三角形

⑶當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí)，S弓形=5成2=S扇形

A.圓錐的有關(guān)概念：

XI.圓錐可以看作是一個(gè)直角三角形繞著直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形,另一條

直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的底面.斜邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的側(cè)面.

X2.圓錐的側(cè)面展開圖與側(cè)面積計(jì)算:

圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線長(zhǎng)、弧長(zhǎng)是圓錐底面

圓的周長(zhǎng)、圓心是圓錐的頂點(diǎn).

如果設(shè)圓錐底面半徑為廣,側(cè)面母線長(zhǎng)（扇形半徑）是I,底面圓周長(zhǎng)（扇形弧長(zhǎng)）為c,那么它

的側(cè)面積是:

圖6

S側(cè)=—c/=—?271rl=71rl

S表=則+S底面=勿7+勿-2=m(r+Z)

0九.與圓有關(guān)的輔助線

1.如圓中有弦的條件，常作弦心距，或過弦的一端作半徑為輔助線.

2.如圓中有直徑的條件，可作出直徑上的圓周角.

3.如一個(gè)圓有切線的條件，常作過切點(diǎn)的半徑(或