?？己瘮?shù)的綜合問題-2025年北京高考數(shù)學二輪復習（原卷版）

重難點03：?？己瘮?shù)的綜合問題

一、知識點梳理

1.常規(guī)函數(shù)單調性

①：定義法使用前提：一般函數(shù)類型

解題步驟：

第一步：取值定大?。涸O任意再,％26。，且%<%2；

第二步：作差：/(%)-/(%)并變形變形(合并同類項、通分、分解因式、配方等);

X>X,八X,>XII

第三步:定符號,得出結論o

J（X1）>/fe）fg

注意：同向遞增，異向遞減

②導數(shù)法

使用前提：較復雜的函數(shù)類型

解題步驟：

第一步：求函數(shù)/(%)的定義域和導函數(shù)的解析式/'(X);

第二步：在定義域范圍內解不等式k=f'(x)>0或左=f'(x)<0；

第三步：得出函數(shù)/(X)的增減區(qū)間.斜率n優(yōu)>0,上坡路，左<0,下坡路)

③：復合函數(shù)分析法使用前提：簡單的復合函數(shù)類型

解題步驟：

第一步：先求函數(shù)的定義域；

第二步：分解復合函數(shù)，分別判斷內外層函數(shù)的單調性；

第三步：根據(jù)同增異減，確定原函數(shù)的增減區(qū)間.

剖析：若函數(shù)y=y(a)在U內單調，M=g(x)在X內單調，且集合{"/〃=g(x),xeX}c。.

⑴若y=f(a)是增函數(shù)，M=g(x)是增(減)函數(shù)，則y=/[g(x)]是增(減)函數(shù)

⑵若y=/(")是減函數(shù)，a=g(x)是增(減)函數(shù)，則y=/[g(x)]是減(增)函數(shù)

口訣：同則增，異則減(同增異減).

④：圖象法使用前提：圖像比較容易畫出的函數(shù)類型(利用圖象專題破解)

解題步驟：

第一步：通過題目條件畫出函數(shù)圖像；

第二步：從圖像中讀出函數(shù)的單調區(qū)間.

⑤：抽象函數(shù)的單調性(正規(guī)解法)

使用前提：題中沒有給出具體函數(shù)的解析式，只給出函數(shù)的性質，需要利用所給的性質證明函數(shù)的單調性.

解題步驟：

第一步：確定函數(shù)的奇偶性，取值定大?。涸O任意再,馬€。，且玉

第二步：結合函數(shù)單調性的定義即可確定函數(shù)的單調性.

⑥：抽象函數(shù)具體化

使用前提：題中沒有給出具體函數(shù)的解析式，但是可以根據(jù)所給的函數(shù)特征確定函數(shù)模型，屬于抽象函數(shù)

的內容延伸和實例化.

解題步驟：

第一步：由函數(shù)的解析式確定函數(shù)所屬的模型；

常見函數(shù)模型包括：

I：若可認為函數(shù)為募函數(shù)/(x)=x“(a的范圍或數(shù)值需要其他條件確定)；

II：若外9)=7?)+/?,可認為函數(shù)為對數(shù)函數(shù)/(x)=bg“x的范圍或數(shù)值需要其他條件確定);

m：若=,可認為函數(shù)為指數(shù)函數(shù)/(%)=優(yōu)(。的范圍或數(shù)值需要其他條件確定)；

IV：若/(m+〃)=/。篦)+y(n),可認為函數(shù)為正比例函數(shù)/"(x)=4x或/"(%)=W(l)

V：若y(m+II)=,可認為函數(shù)為正切函數(shù)y(%)=tan%；

1-7'⑻仆)

VI：若=，可認為是余弦函數(shù)/(x)=cosx.

vn：若y(m+")=/(m)+/(")+機，可認為函數(shù)為一次函數(shù)/"(x)=Ax+人或/(%)=對"(1)一加

第二步：結合函數(shù)模型和函數(shù)的單調性的定義確定函數(shù)的單調性.

⑦：結論法(函數(shù)性質法)

使用前提：將所給的函數(shù)進行“庖丁解?！焙竺恳徊糠侄际且粋€很明顯可以判斷單調性的函數(shù).

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解題步驟：

第一步：確定所給函數(shù)是由哪些可以判斷單調性的簡單函數(shù)組合而成的.

第二步：結合函數(shù)的性質即可確定函數(shù)的單調性.

常見的結論（函數(shù)性質）包括：

⑴/（X）與/（%）+C單調性相同.（C為常數(shù)）

（2）當左＞0時，/（X）與好（x）具有相同的單調性；當左＜0時，/（X）與爐（x）具有相反的單調性（3）當

/（外恒不等于零時，/（%）與其有相反的單調性.

f（x）

（4）當/（X）、g（x）在。上都是增（減）函數(shù)時，則/"（x）+g（x）在。上是增（減）函數(shù).

⑸當/⑺、g（x）在。上都是增（減）函數(shù)，且兩者都恒大于0時，f（x）g（x）在。上是增（減）函數(shù)；當/'（X）、

g（x）在。上都是增（減）函數(shù)，且兩者都恒小于0時，/"（x）g（x）在。上是減（增）函數(shù).

（6）設y=為嚴格增（減）函數(shù)，則函數(shù)必有反函數(shù)，且反函數(shù)在其定義域。上也是嚴格增（減）函數(shù).

（7）奇（或偶）函數(shù)的單調性：

由奇偶函數(shù)定義易知：奇函數(shù)在對稱的區(qū)間上有相同的單調性；偶函數(shù)在對稱的區(qū)間上有相反的單調性.

（8）周期函數(shù)的單調性：

若/（X）是周期為T的函數(shù)，且/'（x）在（。,。）單調遞增或單調遞減，則/'（X）在（。+左丁,"左T/eZ）上單

調遞增或單調遞減.

⑧：零點法

使用前提：利用函數(shù)單調性的定義作差變形之后需要確定函數(shù)單調區(qū)間的端點.

解題步驟：

第一步：取值定大?。涸O任意玉,乙€。，且玉＜々；

第二步：作差：了（西）-/（%）并變形變形（合并同類項、通分、分解因式、配方等）；

第三步：利用零點法確定函數(shù)單調區(qū)間的端點.

第四步：定符號，得出結論.

2.常見函數(shù)奇偶性：

①：基本方法判定函數(shù)的奇偶性

使用前提：函數(shù)表達式比較簡單，定義域也容易求解.

解題步驟：

第一步：確定函數(shù)的定義域，判斷其定義域是否關于原點對稱;

第二步：若是，則確定了(無)與/(-幻的關系；若不是，則既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；

第三步：得出結論.

②：利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式

使用前提：已知函數(shù)在給定的某個區(qū)間上的解析式，求其在對稱區(qū)間(或對稱區(qū)間的子區(qū)間)上的解析式.

解題步驟：

第一步：首先設出所求區(qū)間的自變量X;

第二步：運用已知條件將其轉化為已知區(qū)間滿足的X的取值范圍；

第三步：利用已知解析式確定所求區(qū)間相應的函數(shù)的表達式.

③：分段函數(shù)的奇偶性

使用前提：所給函數(shù)的解析式為分段函數(shù)，需要判定函數(shù)的奇偶性

秒殺：口訣：奇函數(shù)定奇變偶、偶函數(shù)定偶變奇，奇雙負，偶單負.

定義在(-8,內)上任意的函數(shù)/(%)都可以唯一表示成一個奇函數(shù)g(x)和一個偶函數(shù)M6之和，當了(X)以

分段函數(shù)形式出現(xiàn)奇偶性時，則函數(shù)一定滿足：

I：奇函數(shù)/(6=-/(一％)=8(%)—/2(%)

II：偶函數(shù)/(%)=/(-x)=-g(x)+/z&)

若/'(X)不容易拆分出奇函數(shù)和偶函數(shù)之和時，則直接采用

I：奇函數(shù)，(x)=—y(—x)II：偶函數(shù)y(x)=y(—x)

解題步驟：

解題模板1:利用傳統(tǒng)的方法分類討論確定函數(shù)的奇偶性

第一步：確定函數(shù)的定義域，判斷其定義域是否關于原點對稱；

第二步：若是，則確定/⑺與/(-尤)的關系；若不是，則既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；

第三步：得出結論.

解題模板2：

第一步：確定函數(shù)的定義域

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第二步：寫出/(-%)形式的分段函數(shù)

第三步：確定函數(shù)的奇偶性

④：用求商法判斷函數(shù)的奇偶性

使用前提：/(-X)與/(X)的關系不容易確定的函數(shù)奇偶性的判定.

解題步驟：

第一步：確定函數(shù)的定義域，判斷其定義域是否關于原點對稱；

第二步：若是，則利用比值關系上3=1或/⑵=-1來判斷；若不是，則既不是奇函數(shù)也不是偶函

小)小)

數(shù)；

第三步：得出結論.

⑤：根據(jù)函數(shù)奇偶性的規(guī)律判定

使用前提：函數(shù)解析式比較復雜，由若干基本函數(shù)經(jīng)過運算之后的函數(shù)判定奇偶性.

解題步驟：

第一步：確定所給函數(shù)的結構特征，應用奇函數(shù)的性質進行判斷；

第二步：結合基本函數(shù)的奇偶性和函數(shù)奇偶性的相關結論確定所給函數(shù)的奇偶性.

常見的結論包括：

(1)幾個奇函數(shù)的代數(shù)和是奇函數(shù)；幾個偶函數(shù)的代數(shù)和是偶函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)的代數(shù)和是非奇非偶函

數(shù).

(2)奇函數(shù)的乘積或商是偶函數(shù)，偶函數(shù)的乘積或商是偶函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的乘積或商是奇函數(shù).

常見基本函數(shù)的奇偶性：

(1)一次函數(shù)丁=左％+。(左片0),當Z?=0時，是奇函數(shù)，當bwO時，是非奇非偶函數(shù).

(2)二次函數(shù)y=ad+6x+c(aw0),當Z?=0時，是偶函數(shù)；當時，是非奇非偶函數(shù).

k

(3)反比例函數(shù)y=—(左w0,xw0)是奇函數(shù).

X

(4)指數(shù)函數(shù)丁=優(yōu)(。>0且awl)是非奇非偶函數(shù)

(5)對數(shù)函數(shù)y=logaX(a>0且awl,x>0)是非奇非偶函數(shù).

(6)三角函數(shù)y=sinx(xeR)是奇函數(shù)，y=cosx(xe7?)是偶函數(shù)，y=tanx]xw左乃+■，左eZ)是奇函

(7)常值函數(shù)，(x)=。，當awO時，是偶函數(shù)，當。=0時，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

特殊函數(shù)的奇偶性：

奇函數(shù)：兩指兩對

(X(X1、

CL+1a—I=m——也-(mwR)

⑴-m所言("0),/(%)=加

(優(yōu)-1)[+],ax+V7

/a2x-I

⑵函數(shù)f{x)=±1ax-a~x=±

l4J

(3)/(x)=bgjj]=bg/l+U]，/(x)=bgj"]=lOgj-N]

\x-mj<x-m)\x+mJ<x+mJ

⑷函數(shù)/(%)=k)g/j(nu)2+1+mx\,函數(shù)/(%)=bg/j(如￥+1-mx\

2A

(5)函數(shù)/(%)=一心a+1

a2x+i

考點:形如①已知小”奇函數(shù)，則，段^^蒜。

②皿(+奇函數(shù)坨貝篙焉蜉譚就2a

偶函數(shù)：

(1)函數(shù)/(x)=土(優(yōu)+「)(2)函數(shù)/(x)=logjam+1)—￡

⑶函數(shù)/Qx|)類型的一切函數(shù).

⑥：判定抽象函數(shù)的奇偶性

使用前提：所給的函數(shù)沒有解析式，需要利用所給的條件判定函數(shù)的奇偶性.

解題步驟：

第一步：確定函數(shù)的定義域，猜想函數(shù)模型，從而確定函數(shù)的奇偶性方向；

I：若/■(加)=/(陰)/伍)，可認為函數(shù)為幕函數(shù)/(x)=x1a的范圍或數(shù)值需要其他條件確定)；

II：若/■(即)=/?)+F?,可認為函數(shù)為對數(shù)函數(shù)/(x)=log,x(a的范圍或數(shù)值需要其他條件確定);

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ni：若/(機+〃)=/(加)/(〃)，可認為函數(shù)為指數(shù)函數(shù)/(%)=優(yōu)(。的范圍或數(shù)值需要其他條件確定);

IV：若f(m+n)=/(m)+/(〃)，可認為函數(shù)為正比例函數(shù)/(%)=左%或/(%)=V(l)

V：若/(「+〃)=，(加)+/儀,可認為函數(shù)為正切函數(shù)/(x)=tanx；

VI：若/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y)，可認為是余弦函數(shù)/(%)=cos].

VD：若/(m+")=/(m)+/(")+加，可認為函數(shù)為一次函數(shù)/(x)=Ax+人或/'(%)=對"(1)-加

第二步：利用所猜想的函數(shù)模型，使用賦值法結合所給的條件得出“X)與"-力的關系；

第三步：得出結論.

3.函數(shù)單調性與奇偶性綜合求不等式范圍問題：

結論1:奇函數(shù)單調性不改變，若函數(shù)/'(x)為定義在R上的奇函數(shù)時

①若了20時，/'(x)為單調遞增，則x<0時，/(X)為也為單調遞增，即/■(7〃)+/(力>0=相+〃>0.

②若時，y(x)為單調遞減，則x<o時，/'(%)為也為單調遞減，即y(加)+/(力>0=7〃+〃<0.

結論2：奇函數(shù)單調性不改變，若定義在R上函數(shù)/(X)關于點(a,b)對稱時

①若無之a時，/(X)為單調遞增，則x<a時，/為也為單調遞增，即f(jn)+/(n)>2b^m+n>2a.

②若x'a時，/(x)為單調遞減，則x<a時，/(X)為也為單調遞減，即f(jn)+/(n)>2b^m+n<2a.

結論3:偶函數(shù)單調性改變，若函數(shù)/(X)為定義在R上的偶函數(shù)時

①若彳20時，/(X)為單調遞增，則x<0時，/(X)為單調遞減，

即/>|斗,/(x)+/(—x)>2/(m)nW>機.

②若尤20時，/'(X)為單調遞減，則x<0時，/(X)為單調遞增，

即/("?)>/Mn|日<I"，f(x)+/(-%)>2/(m)n同<m.

結論4：偶函數(shù)單調性改變，若定義在R上函數(shù)f(x)關于直線x=a對稱時

①若x之。時，/(X)為單調遞增，則x<a時，/'(x)為單調遞減，

即/(〃?)>/(〃)n|m-c^f(a+x)+f(a-x)>2/(m)^>|x->m.

②若x2。時，y(x)為單調遞減，則x<a時，/'(x)為單調遞增，

即/(〃?)>/(〃)n|m-c^<|zi-6z|,/(a+x)+/(a-x)>2/(m)=歸一,<m.

二、題型精刷精練

【題型訓練-刷模擬】

1.已知函數(shù)“X)在區(qū)間的圖象如下圖所示，則“X)的解析式可能為()

Ax3-x°1-x2"xcos2xcsin2x

A.------B.-------C.------D.------

2X+2~x2X+2-x2X+2~X2X+2~X

2.設函數(shù)/(x)=2kT+log3(x-l)2,不等式/(依)W/a+3)在xe(l,2]上恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是

()

A.B.(一8,2]

「，5〕「3「，51

C.-1,-D._1,-

L2jL22；L2j

3.已知函數(shù)/(x)=e，-b，下列命題正確的是()

①/(x)是奇函數(shù)；

②方程/(司=》2+2彳有且僅有1個實數(shù)根；

③在R上是增函數(shù)；

④如果對任意xe(0,+co),都有/(x)>近，那么上的最大值為2.

A.①②④B.①③④C.①②③D.②③④

4.已知函數(shù)〃x)對任意xeR都有/(x+2)=-/(x),且=當時，〃x)=J.則下

列結論正確的是()

A.函數(shù)y=/(%)的圖象關于點(匕。)僅eZ)對稱

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B.函數(shù)y=f（力的圖象關于直線x=2A（左eZ）對稱

C.當xe[2,3]時，/(x)=(%-2)3

D.函數(shù)y=『（x）|的最小正周期為2

5.下列函數(shù)中，與函數(shù)=的奇偶性、單調性均相同的是（）.

A.y=e'B.y=tanxC.y=x2D.y=x3

6.函數(shù)，(x)=cos(x+4)+sin(x+6),則（）

A.若a+%=0,則〃x)為奇函數(shù)B.若a+b=*則/（x）為偶函數(shù)

C.若1吟,則“X)為偶函數(shù)D.若a-b=n,則〃x）為奇函數(shù)

7.已知函數(shù)y(x)=x,g(x)=2*+2T,則大致圖象如圖的函數(shù)可能是（）

A.〃x)+g(x)B./(x)-g(x)C./(x)g(x)D..

8.已知函數(shù)〃x)=4-4，/'(x)是/'(x)的導函數(shù)，則下列結論正確的是()

22X+1

A./(-x)-/(x)=O

B.廣(無)<0

C.若。<%<%，則石周)

D.若0<網(wǎng)<尤2，則/(玉)+/(尤2)>/(西+/)

、則+J+3,則不等式/（1次）＞3的解集為（

9.已知函數(shù)〃x)=log2)

C.(1,10)

10.已知函數(shù)/（X）同時滿足以下兩個條件：①對任意實數(shù)x,都有〃尤）+/（-x）=0；②對任意實數(shù)不無2,

當芯+「。時，都有則函數(shù)/⑴的解析式可能為（）

A.f{x)=2xB./(x)=-2xC.〃x)=2'D./(x)=-2v

11.已知函數(shù)〃x)=d+x,則“％+z=0”是“〃%)+〃％2)=0”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

12.如圖為函數(shù)y=〃力在［-6,6］上的圖像，則的解析式只可能是().

B.〃尤)=ln(jx，+1+x)sin%

D./(x)=+1-x^sinx

13.現(xiàn)實生活中，空曠田野間兩根電線桿之間的電線與峽谷上空橫跨深澗的觀光索道的鋼索有相似的曲線

形態(tài)，這類曲線在數(shù)學上常被稱為懸鏈線.在合適的坐標系中，這類曲線可用函數(shù)

=*:"(a20,e=2.71828)來表示.下列結論正確的是()

A.若">0,則函數(shù)〃尤)為奇函數(shù)B.若必>0,則函數(shù)〃*)有最小值

C.若仍<0,則函數(shù)為增函數(shù)D.若ab<0,則函數(shù)存在零點

14.設函數(shù)f(x)=/"(l+|x|)-二二，則使得〃幻>〃1)成立的x的取值范圍是()

A.(1,+°°)B.(-0°,-1)D(1,+8)

C.(-U)D.(-1,0)U(0,1)

15.已知定義域為R的偶函數(shù)/(x)在［0,+8)上是增函數(shù)，且=。，貝『'不等式/(/ogd)>0的

解集”是“{RO<x<g}”的()

A.充分不必要條件B.充分且必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

16.已知函數(shù)=JJ”則函數(shù)的奇偶性為()

|o-x|-o

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A.既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)B.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

C.是奇函數(shù)不是偶函數(shù)D.是偶函數(shù)不是奇函數(shù)

17.偶函數(shù)/(x)定義域為(-爭0>嗚)，其導函數(shù)是尸(無).當0<x/時，有尸(x)cosx+/(x)sinx<0,

則關于X的不等式〃x)>W￡)cosx的解集為()

4代)B。(-1令吟，9

71JI

C.(-7。)(%)D.嚀0)(^,|)

18.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),且在區(qū)間(—,0]上單調遞減，/(!)=-1.15gW=log2U+3),則

滿足〃尤)>g(x)的x的取值范圍是

A.(-oo,-l]B.[-1,+co)C.(—3,—1]D.(-3,1]

19.已知定義在R上的奇函數(shù)“X)在［。,+e)上單調遞減，且。+6>0,b+c>0,a+c>0,則

〃a)+/(b)+"c)的值(

A.恒為正B.恒為負C.恒為0D.無法確定

12

20.已知函數(shù)/。)=§彳3-4X+2"-",其中e是自然對數(shù)的底，若/(°-1)+/(2/)40,則實數(shù)。的取值

范圍是

1、D.[-1]

A.(-co,-l]B.[-,+oo)C.(-1,—)

V的圖像大致為()

21.函數(shù)/(x)=

22.函數(shù)八元)在(-s,內)單調遞減，且為奇函數(shù)，若=則滿足尤-2)41的x的取值范圍是.

A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.口,引

23.已知函數(shù)y=/(x)(xeR)是偶函數(shù)，其部分圖象如圖所示，則在(-2,0)上與函數(shù)f(x)的單調性相同

的是

2\e'\x>Q

A.y=-x+lB.J=cosxD.y=log2|x|

[tfs,x<0

24.下列函數(shù)是奇函數(shù)，并且在定義域上是增函數(shù)的是(

x+l,x>0

B.j=ln|.r|C.y=sinx

x—1,x<0

25.已知/(%)為定義在R上的偶函數(shù)，當xNO時，有/(%+1)=-/。)，且當?！?。1)時，

/(x)=log2(x+l),給出下列命題

①/(2014)+/(—2015)=。；

②函數(shù)/(》)在定義域上是周期為2的函數(shù)；

③直線y=x與函數(shù)/(X)的圖象有2個交點；

④函數(shù)的值域為(-M).

其中正確的是

A.①，②B.②，③C.①，④D.①，②，③，④

26.已知函數(shù)〃x)具有下列性質：

①當%e[0,4w)時,都有/(%+芍)=/(西)+/(%)+1；

②在區(qū)間(。,+e)上，〃尤)單調遞增；

③是偶函數(shù).

貝1/(0)=;函數(shù)/(x)可能的一個解析式為/(尤)=.

27.已知偶函數(shù)y=〃x)的定義域為R,且當尤20時，〃x)=x—4,則不等式#(x)<5的解為.

28.定義域為R的/(x)滿足對VxeR,</(l+x)=/(l-x)=/(x-l),且當尤e[0,1]時，f(x)=sin^x),

設函數(shù)f(x)對應曲線為C,則以下對于函數(shù)，(尤)性質描述正確的是.

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①/（X）是奇函數(shù)；

②/（X）是偶函數(shù)；

③/（X）是周期函數(shù)；

④直線x是曲線y=/（x）的一條對稱軸.

29.激活函數(shù)是神經(jīng)網(wǎng)絡模型的重要組成部分，是一種添加到人工神經(jīng)網(wǎng)絡中的函數(shù).tanh函數(shù)是常用的

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激活函數(shù)之一，其解析式為=；—sr-1.關于tanh函數(shù)的以下結論

①tanh函數(shù)是增函數(shù)；②tanh函數(shù)是奇函數(shù)；

③對于任意實數(shù)a,函數(shù)y=1/（x）1-^-1至少有一個零點；

④曲線y=/（龍）不存在與直線x+3y=0垂直的切線.

其中所有正確