二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)【十大題型】（原卷版）

專題15二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)【十大題型】

?題型梳理

【題型1根據(jù)二次函數(shù)解析式判斷其性質(zhì)】......................................................3

【題型2二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)】...................................................4

【題型3二次函數(shù)平移變換問題】...............................................................5

【題型4根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求字母的取值范圍】..............................................6

【題型5根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值】..........................................................6

【題型6根據(jù)二次函數(shù)的最值求字母的取值范圍】................................................7

【題型7根據(jù)二次函數(shù)自變量的情況求函數(shù)值的取值范圍】.......................................7

【題型8根據(jù)二次函數(shù)的增減性求字母的取值范圍】..............................................8

【題型9二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)】........................................................8

【題型10二次函數(shù)與三角形相結(jié)合的應(yīng)用方法】.................................................10

?舉一反三

【知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)】

1.定義：一般的，形如y=ax2+bx+c(a.b.c是常數(shù)，的函數(shù)叫做二次函數(shù)。其中x是自變量，ab.c分別是

函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù).一次項(xiàng)系數(shù).常數(shù)項(xiàng)。

二次函數(shù)解析式的表示方法

(1)一般式：y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常數(shù)，aWO)；

(2)頂點(diǎn)式：y=a(x—ZzF+HaWO),

它直接顯示二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(〃，肩;

(3)交點(diǎn)式：y=a(x—xi)(x—X2)(aW0),

其中Xl,X2是圖象與x軸交點(diǎn)的慢坐拉.

注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只

有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的

這三種形式可以互化.

2.二次函數(shù)的圖象是一條拋物線。當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下。|a|越大，

拋物線的開口越?。辉叫?，拋物線的開口越大。

y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-/?)2+ky=ax2+bx+c

b

對(duì)稱軸y軸y軸x=hx=hx=------

2a

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(b4ac-b2

(0.0)(0,k)(h,0)(h,k)

[2a'4QJ

頂點(diǎn)a>0時(shí)，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，此時(shí)y有最小值；a<0時(shí)，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)，此時(shí)y有最大

4ac—

值。最小值（或最大值）為0（k或配°）O

4a

x<o（h或-2）時(shí)，y隨x的增大而減小；x>o（h或-2）時(shí)，y隨x的增大而增大。

a>02a2a

增

即在對(duì)稱軸的左邊，y隨x的增大而減?。辉趯?duì)稱軸的右邊，y隨x的增大而增大。

減

x<0。或-■時(shí)，y隨x的增大而增大；x>O（h或-■^-）時(shí)，y隨x的增大而減小。

性a<02a2a

即在對(duì)稱軸的左邊，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右邊，y隨x的增大而減小。

3.二次函數(shù)的平移：

方法一：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“〃值正右移，負(fù)左移；左值正上移，負(fù)下移”.

概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”.

任意拋物線y=a（x-hV+k可以由拋物線v=ax2經(jīng)過平移得到，具體平移方法如下:

上加下減

次

尸y=ax'+k

回

回

比

立(

一k

V

丫0

)0)

，

W9，MW

M&

。M

A

^<比

:O

M)0M)

卡

卡

翦

要

h-h

_-

4

^4

匹?

y=a(x-h/y=a(x-h^+k

向上伊>0）、下依V0）平移心小單位

方法二：

=ax?+Z?x+c沿y軸平移:向上（下）平移加個(gè)單位，y=ax'+bx+c

y=ax2+bx+c+m=ax2+bx+c-m）

⑵y=ax?+bx+c沿x軸平移：向左（右）平移加個(gè)單位，y=ax2+bx+c

y=a（x+m）2+b（x+m）+c（或y=a（x-m）2+b（x—加）+c）

4.二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系

決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，河的大小決定開口的大小.

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2.6的符號(hào)的判定：對(duì)稱軸x=-2在歹軸左邊則。6>0,在歹軸的右側(cè)則。6<0,概括的說就是“左同

2a

右異”

3.C決定了拋物線與>軸交點(diǎn)的位置

字母的符號(hào)圖象的特征

a>0開口向上

a

a<0開口向下

b=0對(duì)稱軸為7軸

bab>0（a與b同號(hào)）對(duì)稱軸在y軸左側(cè)

ab<0（a與b異號(hào)）對(duì)稱軸在y軸右側(cè)

c=0經(jīng)過原點(diǎn)

cc>0與y軸正半軸相交

cVO與j軸負(fù)半軸相交

5.二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系

當(dāng)b2—4ac<0時(shí)

1'當(dāng).>0時(shí)，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有y>0；

2'當(dāng)a<0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有y<0.

【題型1根據(jù)二次函數(shù)解析式判斷其性質(zhì)】

【例1】（2023?四川甘孜?統(tǒng)考中考真題）下列關(guān)于二次函數(shù)y=（久-2）2-3的說法正確的是（）

A.圖象是一條開口向下的拋物線B.圖象與無軸沒有交點(diǎn)

C.當(dāng)x<2時(shí)，y隨比增大而增大D.圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2,-3）

【變式1-1］（2023?四川樂山?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）二次函數(shù)y=-/—i的圖象是一條拋物線，下列關(guān)于該拋物

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線的說法正確的是（）

A.開口向上B.當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)的最大值是一1

C.對(duì)稱軸是直線x=lD.拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

【變式1-2]（2023?廣東江門?鶴山市沙坪中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）關(guān)于二次函數(shù)y=/+2x-8,下列說法正

確的是（）

A.圖象的對(duì)稱軸在〉軸的右側(cè)

B.圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-9）

C.圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（一2,0）和（4,0）

D.y的最小值為一9

【變式1-3]（2023?福建寧德??？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線y=mN一4znx過點(diǎn)401，曠1）,8（%2，丫2），。（巧，乃），

其中為=-4小，以下結(jié)論正確的是（）

A.若%一切W%一切，則y22y32ylB.若山一刈2I久3—小1，則y22y32yl

C.若乃<乃〈為，則忱1一切<忱2-冷1D.若、1<乃3為，則忱1一町1>I久2一久31

【題型2二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)】

[例2]（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）已知PiQi，yi）,P2（比2，丫2）是拋物線y=ax2+4ax+3（a是常數(shù)，a片0）

上的點(diǎn)，現(xiàn)有以下四個(gè)結(jié)論：①該拋物線的對(duì)稱軸是直線％=-2；②點(diǎn)（0,3）在拋物線上；③若

X1>%2>-2,則乃>為；④若為=丫2，則久1+久2=-2其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式2-1]（2023?內(nèi)蒙古呼和浩特?統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的二次函數(shù)y=Tn/一6m久一5（m力0）的結(jié)論

①對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,都有巧=3+a對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與“2=3-a對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等.

②若圖象過點(diǎn)4（久1，%），點(diǎn)8（孫丫2），點(diǎn)。（2,-13）,則當(dāng)乂1>刀2>機(jī)寸，*胃'<0?

③若3WXW6,對(duì)應(yīng)的y的整數(shù)值有4個(gè)，則—[<mW—g或gW根</

④當(dāng)>0且?iWxW3時(shí)，-14WyWn2+i,則n=1.

其中正確的結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式2-2]（2023?廣東惠州?統(tǒng)考一模）二次函數(shù)丫=a/+6久+?的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：

①abc〉0；②4a+2b+c<0；（3）a+b>x（ax+b）；④3a+c>0.

其中正確的有（）

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A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【變式2-3］（2023?遼寧丹東?統(tǒng)考中考真題）拋物線y=a/+b久+c（a力0）與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為4一3,0）,

與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。是拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線x=-1,其部分圖象如圖所示，則以下4個(gè)結(jié)論：

（l）abc>0；②/紅為），打冷，）^）是拋物線丫=a/+bx（aK0）上的兩個(gè)點(diǎn)，若打<X2，且久1+%2<-2,

則為<力；③在久軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)PC+P。的值最小時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為④若關(guān)于x的方程

a/+6Q-2）+c=-4（a力0）無實(shí)數(shù)根，則6的取值范圍是6<1.其中正確的結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【題型3二次函數(shù)平移變換問題】

【例3】（2023?四川南充?統(tǒng)考中考真題）若點(diǎn)P（m,n）在拋物線y=a/（a豐0）上，則下列各點(diǎn)在拋物線y=

a（x+I,上的是（）

A.（m,n+1）B.（m+1,n）C.（m,n—1）D.（m—1,n）

【變式3-1］（2023?貴州黔東南?統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=/+2x-1先繞原點(diǎn)

旋轉(zhuǎn)180。，再向下平移5個(gè)單位，所得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

【變式3-2］（2023?黑龍江牡丹江?統(tǒng)考中考真題）將拋物線y=（久+3）2向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平

移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的新拋物線經(jīng)過原點(diǎn).

【變式3-3］（2023?四川巴中?統(tǒng)考中考真題）函數(shù)y=\ax2+bx+c|（a>0,b2-4ac>0）的圖象是由函數(shù)

y=a/+b久+c（a>0,萬2-4ac>0）的圖象x軸上方部分不變，下方部分沿x軸向上翻折而成，如圖所示，

則下列結(jié)論正確的是（）

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①2a+b=0；②c=3；（3）abc>0；④將圖象向上平移1個(gè)單位后與直線y=5有3個(gè)交點(diǎn).

A,①②B.①③C.②③④D.①③④

【題型4根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求字母的取值范圍】

［例4］（2023?浙江杭州?一模）點(diǎn)力Oi，yD，在拋物線V=ax2-2ax-3（a豐0）上，存在正數(shù)m,

使得一2<<0且TH<町<爪+1時(shí)，都有yi大丫2，則小的取值范圍是（）

A.1<m<4B.2<m<4

C.0VTH41或mN4D.1<m42或?7124

【變式4-1］（2023?浙江?統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)y=/一4%+2,關(guān)于該函數(shù)在a<%<3的取值范圍內(nèi)

有最大值-1,a可能為（）

A.-2B.-1C.0.5D.1.5

【變式4-2］（2023?江蘇?中考真題）已知二次函數(shù)y=Q%2+b%—3自變量％的部分取值和對(duì)應(yīng)函數(shù)值歹如

下表：則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能使得y-5>0成立的x取值范圍是.

X-2-10123

y50-3-4-30

【變式4-3］（2023?浙江杭州?杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，二次函數(shù)

圖象的表達(dá)式為y=ax2+（a+l）x+b,其中a—6=4.

⑴若此函數(shù)圖象過點(diǎn)（1,3）,求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

（2）若Qi，yi）、（%2，、2）為此二次函數(shù)圖象上兩個(gè)不同點(diǎn)，當(dāng)打+%2=2時(shí)，、1=丫2，求。的值.

⑶若點(diǎn)（-1,。在此二次函數(shù)圖象上，且當(dāng)久之一1時(shí)〉隨工的增大而增大，求，的范圍.

【題型5根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值】

【例5】（2023?安徽六安?統(tǒng)考一模）若aZ0,/?>0,且2a+b=2,2a2一4b的最小值為冽，最大值為〃,

則m+71=()

A.-14B.-6C.-8D.2

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【變式5-1］（2023?廣東梅州?統(tǒng)考二模）已知實(shí)數(shù)a10,b>0,且a+b=4,記代數(shù)式w=〃+防+〃,

記W1，W2分別為代數(shù)式W的最大值與最小值，則W1-W2的值為.

【變式5-2］（2023?河北保定?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于二次函數(shù)y=-（久一m）2+1,已知根>3,當(dāng)一1W%W3

時(shí)，有下列說法：

①若y的最大值為-8,則m=4；

②若了的最小值為一8,則m=6；

③若m=5,則y的最大值為一3.

則上達(dá)說法（）

A.只有①正確B.只有②正確C.只有③正確D.均不正確

【變式5-3］（2023?江蘇南通?南通田家炳中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)）/=62+版+

c（a<0）的圖像過（m,6）,（m+1,a）兩點(diǎn).當(dāng)62a,m<0時(shí)，二次函數(shù)圖象y=a/+成+c有最大值一2,a

的最大值是.

【題型6根據(jù)二次函數(shù)的最值求字母的取值范圍】

［例6］（2023,浙江紹興?校聯(lián)考三模）二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,0）,（2,3）,在aW久W6范

圍內(nèi)有最大值為4,最小值為-5,則a的取值范圍是（）

A.a>6B.3<a<6C.0<a<3D.a<0

【變式6-1］（2023?福建廈門?統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)y=—/+2a久+a+l,若對(duì)于一1（為<a范圍內(nèi)

的任意自變量刈都有y〉a+l,貝必的取值范圍是.

【變式6-2］（2023?浙江杭州?統(tǒng)考一模）已知拋物線為=/,該拋物線經(jīng)過平移得到新拋物線力,新拋物

線與x軸正半軸交于兩點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在1到2之間，若點(diǎn)P（l,p）,Q（2,q）在拋物線丫2的圖象上，貝1JPQ

的范圍是（）

A.0<PQ<1B.1<PQ<2C.1<PQ<V2D.42<PQ<2

【變式6-3］（2023?內(nèi)蒙古呼和浩特?統(tǒng)考二模）對(duì)于二次函數(shù)y=/-4x+3,圖象的對(duì)稱軸為,

當(dāng)自變量x滿足aWxW3時(shí)，函數(shù)值了的取值范圍為-10,則。的取值范圍為.

【題型7根據(jù)二次函數(shù)自變量的情況求函數(shù)值的取值范圍】

【例7】（2023?浙江金華?統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)yx2+bx+5的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,0）,則當(dāng)2WxW6時(shí)，

y的取值范圍是（）

A.-5<y<5B.-4<y<5C.-3<y<5D.0<y<5

【變式7-1］（2023?陜西西安?陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)丫=。%2+6刀+的函數(shù)夕與自變

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量X的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示:

X-1013

y-2366

當(dāng)0V%<4時(shí)，y的取值范圍是（）

A.3<y<6B.3<y<7C.y<7D.y>3

【變式7-2］（2023?河南南陽?統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)y=-2%2+4%+3,當(dāng)一時(shí)，》的取值范

圍是（）

A.y<5B.y<3C.-3<y<3D.-3<y<5

【變式7-3】（2023?浙江杭州?統(tǒng)考二模）已知y=2/一4x+1,且產(chǎn)”=2m—3,其中7n33,n>-3,

V2x—n—m

則y的取值范圍（）

A.-1<y<17B.1<y<17C.-1<y<8D.-1<y<1

【題型8根據(jù)二次函數(shù)的增減性求字母的取值范圍】

【例8】（2023?四川瀘州?二模）已知函數(shù)/（%）=必—2。%+7,當(dāng)工43時(shí)，函數(shù)值隨x增大而減小，且對(duì)

任意的144a+2和14&工。+2,%i，相相應(yīng)的函數(shù)值丫1，總滿足Wi-丫2149,則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是（）

A.-3<a<4B.-2<a<4C.-3<a<3D.3<a<4

【變式8-1］（2023?上海長(zhǎng)寧?統(tǒng)考一模）如果拋物線y=（3-冽）/-3有最高點(diǎn)，那么m的取值范圍是.

【變式8?2】（2023?四川瀘州?統(tǒng)考——模）已知y=ax2+2ax+2a2+3二次函數(shù)（其中％是自變量），當(dāng)％>2

時(shí)，y隨％的增大而減小，且-時(shí)，y的最大值為9,貝!Ja的值為（）

A.2或—B.-V2C.—D.1

22

【變式8-3］（2023?浙江杭州?統(tǒng)考三模）已知二次函數(shù)尸；（s-小2+?-6）x+l,當(dāng)1W2時(shí)，y隨x的增大

而減小，則4的最大為（）

49

A.4B.6C.8D.—

4

【題型9二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)】

【例9】（2023?安徽合肥?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y=a/g豐0）和一次函數(shù)y=bx+c（b力0）的圖象

如圖所示，則函數(shù)y=a/+b久一c的圖象可能是（）

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【變式9-1]（2023?安徽?模擬預(yù)測(cè)）已知一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=/勺圖象在第二象限有兩個(gè)

交點(diǎn)，且其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1,則二次函數(shù)y=ax2+/）久一c的圖象可能是（）

【變式9-2X2023?湖南岳陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為4,￡、尸、G、〃分別是48、BC、C