二次函數(shù)圖象性質(zhì)與應(yīng)用（共44題）（解析版）

專題11二次函數(shù)圖象性質(zhì)與應(yīng)用（44題）

、解答題

1.（2022?北京.統(tǒng)考中考真題）單板滑雪大跳臺(tái)是北京冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目之一，舉辦場(chǎng)地為首鋼滑雪大跳臺(tái),

運(yùn)動(dòng)員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從起跳到著陸的

過程中，運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y（單位：m）與水平距離X（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=o（x-/z）2+4（。＜0）.

示意圖

豎直高度y/mQ

飛行路線

起跳點(diǎn)

?著陸點(diǎn)

水平距離x/m

某運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了兩次訓(xùn)練.

（I）第一次訓(xùn)練時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的水平距離X與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下:

水平距離x/m02581114

豎直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系＞=。"-〃）2+依。＜0）;

（2）第二次訓(xùn)練時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y與水平距離無近似滿足函數(shù)關(guān)系y=-0.04（元-+23.24.記該運(yùn)動(dòng)

員第一次訓(xùn)練的著陸點(diǎn)的水平距離為力，第二次訓(xùn)練的著陸點(diǎn)的水平距離為4,則4d2（填

或

【答案】（1）23.20m；y=-O.O5（x-8）2+23.20

【分析】（1）先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)找到頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出從人的值，運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值；將表格

中除頂點(diǎn)坐標(biāo)之外的一組數(shù)據(jù)代入函數(shù)關(guān)系式即可求出。的值，得出函數(shù)解析式；

（2）著陸點(diǎn)的縱坐標(biāo)為J分別代入第一次和第二次的函數(shù)關(guān)系式，求出著陸點(diǎn)的橫坐標(biāo)，用f表示出4和

d2,然后進(jìn)行比較即可.

【詳解】（1）解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（8,23.20）,

.?"=8,左=23.20,

即該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值為23.20m,

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)x=0時(shí)，y=20.00,代入丫=4（》-8）2+23.20得：

20.00=。（0-8）2+23.20,解得：

，函數(shù)關(guān)系關(guān)系式為：y=-0.05（x-8）2+23.20.

（2）設(shè)著陸點(diǎn)的縱坐標(biāo)為f,則第一次訓(xùn)練時(shí)，f=-0.05（x-8）2+23.20,

解得：x=8+^20（23.20-r）或x=8-720（23.20-r）,

，根據(jù)圖象可知，第一次訓(xùn)練時(shí)著陸點(diǎn)的水平距離4=8+也0（23.207）,

第二次訓(xùn)練時(shí)，r=-0.04（x-9）2+23.24,

解得：尤=9+.5（23.247）或x=9-也5（23.247）,

，根據(jù)圖象可知，第二次訓(xùn)練時(shí)著陸點(diǎn)的水平距離&=9+/5（23.247）,

20（23.20-f）＜25（23.24-r）,

）20（23.20T）＜j25（23.24T）,

4Vd2.

故答案為：＜.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，設(shè)著陸點(diǎn)的縱坐標(biāo)為乙用/表示出4

和4是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?北京?統(tǒng)考中考真題）小云在學(xué)習(xí)過程中遇到一個(gè)函數(shù)y=J|x|（Y-x+l）（尤2-2）.下面是小云對(duì)

6

其探究的過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

（1）當(dāng)-24尤＜0時(shí)，對(duì)于函數(shù)M=|x|,即％=-彳，當(dāng)-2Wx＜0時(shí)，％隨x的增大而且必＞0；對(duì)于函

數(shù)月=￡-x+1,當(dāng)-24尤＜0時(shí)，％隨苫的增大而一，且%＞。；結(jié)合上述分析，進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于函

數(shù)當(dāng)—2Vx＜0時(shí)，＞隨x的增大而

（2）當(dāng)XNO時(shí)，對(duì)于函數(shù)y,當(dāng)x?o時(shí)，y與*的幾組對(duì)應(yīng)值如下表：

j_25_

X0123L

222

1J_7957

y01L

16616482

綜合上表，進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)工之。時(shí)，y隨x的增大而增大.在平面直角坐標(biāo)系中，畫出當(dāng)工之。時(shí)

的函數(shù)y的圖象.

；????3

-2

\j0]?可

?ta?*?

???t??(I??*

(3)過點(diǎn)(0,m)(m>0)作平行于x軸的直線/,結(jié)合(1)(2)的分析，解決問題：若直線/與函數(shù)

>=。％|(爐一尤+1)(尤2-2)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則機(jī)的最大值是

6

7

【答案】(1)減小，減小，減??；(2)見解析；(3)j

【分析】(1)根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷，即可得到答案；

(2)根據(jù)表格的數(shù)據(jù)，進(jìn)行描點(diǎn)，連線，即可畫出函數(shù)的圖像；

(3)根據(jù)函數(shù)圖像和性質(zhì)，當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)有最大值，代入計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：⑴根據(jù)題意，在函數(shù)M=T中，

:左=-1<0,

，函數(shù)％=-彳在-2Wx<0中，%隨尤的增大而減小；

13

必=X2-x+l=(x--)2+-,

對(duì)稱軸為：x=l,

-尤+1在一2Wx<0中，上隨尤的增大而減??；

綜合上述，y=，|x|(Y-x+l)在-24x<0中，，隨x的增大而減小；

故答案為：減小，減小，減小;

（2）根據(jù)表格描點(diǎn)，連成平滑的曲線，如圖:

（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，）隨x的增大而增大，無最大值;

由⑴可知>=）|x|C?-x+l）在-2Wx<0中，y隨X的增大而減小;

6

...在—2Vx<0中，有

7

當(dāng)x=-2時(shí)，y=-,

7

???m的最大值為:；

7

故答案為：—■

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題

意，正確的作出函數(shù)圖像，并求函數(shù)的最大值.

3.（2023?北京西城?統(tǒng)考一模）如圖1,利用噴水頭噴出的水對(duì)小區(qū)草坪進(jìn)行噴灌作業(yè)是養(yǎng)護(hù)草坪的一種方

法，如圖2,點(diǎn)。處由一個(gè)噴水頭，距離噴水頭8根的M處有一棵高度是2.3祖的樹，距離這棵樹10根的N

處有一面高2.2m的圍墻，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知某次澆灌時(shí)，噴水頭噴出的水柱的豎直高

度y（單位：機(jī)）與水平距離x（單位：加）近似滿足函數(shù)關(guān)系>=冰2+樂+<?（0<0）.

圖1圖2

（1）某次噴水澆灌時(shí)，測(cè)得尤與y的幾組數(shù)據(jù)如下:

X02610121416

y00.882.162.802.882.802.56

①根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求這些數(shù)據(jù)滿足的函數(shù)關(guān)系;

②判斷噴水頭噴出的水柱能否越過這棵樹，并說明理由.

（2）某次噴水澆灌時(shí)，已知噴水頭噴出的水柱的豎直高度y與水平距離尤近似滿足函數(shù)關(guān)系y=-0.04x2+bx,

假設(shè)噴水頭噴出的水柱能夠越過這棵樹，且不會(huì)澆到墻外，下面有四個(gè)關(guān)于6的不等式：

A.-0.04x8?+86>2.3;B.-0.04xl82+18Z?>2.2;

b

C.-0.04xl82+18/7<2.2;D.---------->13.

2x0.04

其中正確的不等式是.(填上所有正確的選項(xiàng))

【答案】⑴①y=-0O2f+0.48x；②噴水頭噴出的水柱能夠越過這棵樹，理由見解析

(2)A,C

【分析】⑴①設(shè)拋物線解析式為y=a(x-12)2+2.88(a<0),把(0,0)代入解析式確定。值即可.

②根據(jù)拋物線的對(duì)稱性解答即可.

(2)根據(jù)題意，得到當(dāng)x=8時(shí)，>>2.3,當(dāng)x=18,y<2.2,轉(zhuǎn)化成x的代數(shù)式即可.

【詳解】(1)①由題意可設(shè)所求的的函數(shù)關(guān)系式為》=。(尤-12)2+2.88(a<0).

:點(diǎn)(0,0)在該函數(shù)的圖像上，

144o+2.88=0.

解得a=-0.02.

故求的的函數(shù)關(guān)系為y=-0.02(x-12)2+2.88.

即y=-0.02x2+0.48云.

②噴水頭噴出的水柱能夠越過這棵樹.理由如下：

:當(dāng)X=8時(shí)的函數(shù)值與當(dāng)X=16時(shí)的函數(shù)值相等，

.,.當(dāng)x=8時(shí)，y=2.56>2.3.

/.噴水頭噴出的水柱能夠越過這棵樹.

(2)根據(jù)題意，得到當(dāng)x=8時(shí)，>>2.3,當(dāng)x=18,y<2.2,

y=-0.04.x2+bx

-0.04x82+88>2.3,-0.04x18?+186<2.2，

故選A,C,

故答案為：A,C.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線解析式的確定，拋物線的對(duì)稱性，拋物線的應(yīng)用，熟練掌握拋物線的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

4.(2023?北京東城?統(tǒng)考一模)已知乒乓球桌的長(zhǎng)度為274cm,某人從球桌邊緣正上方高18cm處將乒乓球

向正前方拋向?qū)γ孀烂?，乒乓球的運(yùn)動(dòng)路線近似是拋物線的一部分.

（1）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從乒乓球拋出到第一次落在球桌的過程中，乒乓球的豎直高度y（單

位：cm）與水平距離x（單位：cm）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=a（尤-/a）?+左（a＜0）.

乒乓球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下表所示.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，直接寫出乒乓球豎直高度的最大

值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系式；

水平距離X/cm04080120160

豎直高度＞/cm1842504218

2

（2）乒乓球第一次落在球桌后彈起，它的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y=-0.005（X-A2）+8,

判斷乒乓球再次落下時(shí)是否仍落在球桌上，并說明理由.

【答案】⑴乒乓球豎直高度的最大值為50,y=-0.0050-80）2+50（。＜0）

（2）乒乓球再次落下時(shí)仍落在球桌上，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知（。,18）與（160,18）關(guān)于對(duì)稱軸x=80對(duì)稱，貝獨(dú)=。（尤-80）2+50（。＜0）,待

定系數(shù)法求解析式即可求解；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，令y=0,求得x=180,代入y=-0.005（x-4）2+8,求得用=220,進(jìn)而令k0,

求得無=260,與乒乓球桌的長(zhǎng)度比較即可求解.

【詳解】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知（。,18）與（160,18）關(guān)于對(duì)稱軸x=80對(duì)稱，

則當(dāng)x=80時(shí)，＞=50,即乒乓球豎直高度的最大值為50,

y=a（x-80）2+50（。＜0）,

將點(diǎn)（180,0）代入得，0=100%+50,

解得：a=-0.005,

y=-0.005（x-80）2+50（a<0）；

（2）解：乒乓球再次落下時(shí)仍落在球桌上，理由如下，

由y=-0.005（x-80）2+50（"。），令y=0,

即-0.005。-80）2+50=0,

解得：x=180x=—20（舍去）

依題意，y=-0.005（x—+8,

將點(diǎn)（180,0）代入得，0=-0.005（180-%產(chǎn)+8

解得：色=220或?yàn)?140（舍去）

???解析式為y=-0.005（%-220）2+8

當(dāng)y=0時(shí)，-0.005（x-220『+8=0,

解得：%=260,%=180（舍去）

,/260<274,

/.乒乓球再次落下時(shí)仍落在球桌上.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?北京朝陽?統(tǒng)考一模）一位滑雪者從某山坡滑下并滑完全程，滑行距離s（單位：m）與滑行時(shí)間f

（單位：s）近似滿足“一次函數(shù)”、“二次函數(shù)”或“反比例函數(shù)”關(guān)系中的一種.測(cè)得一些數(shù)據(jù)如下：

滑行時(shí)間t/s01234

滑行距離s/m0261220

（l）s是［的一函數(shù)（填“一次”、“二次”或“反比例”）；

⑵求s關(guān)于/的函數(shù)表達(dá)式；

（3）已知第二位滑雪者也從坡頂滑下并滑完全程，且滑行距離與第一位滑雪者相同，滑行距離s（單位：m）

與滑行時(shí)間/（單位：s）近似滿足函數(shù)關(guān)系s=：產(chǎn)+2"記第一位滑雪者滑完全程所用時(shí)間為％,第二位滑

雪者滑完全程所用時(shí)間為弓，貝M—ti（填“<”，"=”或

【答案】（1）二次

⑵s=t~+t

⑶〉

【分析】（1）根據(jù)自變量增加1時(shí)，函數(shù)值依次增加2,4,6,8,可得出結(jié)論；

（2）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；

（3）s=20時(shí)，分別求出％,t2,再比較大小.

【詳解】（1）解：根據(jù)自變量增加1時(shí)，函數(shù)值依次增加2,4,6,8,可判斷為二次函數(shù),

故答案為：二次.

（2）解：設(shè)s關(guān)于f的函數(shù)表達(dá)式為s=“〃+初，

根據(jù)題意，得

{a+b=2

j4。+26=6

；?s關(guān)于f的函數(shù)表達(dá)式為s=t2+t.

S]=+tx

（3）解：根據(jù)題意，52

s2=-t2^+2t2

當(dāng)SI=S2=20時(shí)，4=4,芍=馬丹二Z標(biāo)2.457

%>t2

故答案為〉.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

6.（2023?北京海淀?統(tǒng)考二模）小明發(fā)現(xiàn)某乒乓球發(fā)球器有“直發(fā)式”與“間發(fā)式”兩種模式.在“直發(fā)式”模式

下，球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條拋物線；在“間發(fā)式”模式下，球從發(fā)球器出口

到第一次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條直線，球第一次接觸臺(tái)面到第二次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一

條拋物線.如圖1和圖2分別建立平面直角坐標(biāo)系xQy.

匕______

_L,n'''',---5rX'、'、、—n'、、-：

01xx

圖1直發(fā)式圖2間發(fā)式

通過測(cè)量得到球距離臺(tái)面高度y（單位dm）與球距離發(fā)球器出口的水平距離x（單位：dm）的相關(guān)數(shù)據(jù),

如下表所示：

表1直發(fā)式

x(dm)02468101620

》(dm)3.843.9643.96m3.642.561.44

表2間發(fā)式

x(dm)024681012141618

y(dm)3.36n1.680.8401.402.4033.203

根據(jù)以上信息，回答問題：

（1）表格中機(jī)_,n=;

（2）求“直發(fā)式”模式下，球第一次接觸臺(tái)面前的運(yùn)動(dòng)軌跡的解析式；

（3）若“直發(fā)式”模式下球第一次接觸臺(tái)面時(shí)距離出球點(diǎn)的水平距離為4“間發(fā)式”模式下球第二次接觸臺(tái)面時(shí)

距離出球點(diǎn)的水平距離為《，則44（填“〉""="或.

【答案】（1）3.84,2.52

出、=-0。1（尤-4）2+4

。）=

【分析】（1）根據(jù)直發(fā)式”模式下，表1數(shù)據(jù)，可知對(duì)稱軸為直線尤=4,根據(jù)對(duì)稱性即可求得機(jī)的值，根據(jù)

在“間發(fā)式”模式下，球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條直線，待定系數(shù)法求直線解析

式，進(jìn)而將x=2代入即可求解.

（2）根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為y=a（x-4y+4,將點(diǎn)（。,3.84）代入，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可

求解.

（3）令y=0,即-0。1（》-4）2+4=0,得出4=24,設(shè)拋物線解析式為％="（*-16）2+3.20,將點(diǎn)（8,0）代

入，得出M=-0.05（x-16y+3.20,令y=0,§P-0.05（x-16）2+3.20=0,得出4=24,即可求解.

【詳解】（1）解：???直發(fā)式”模式下，球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條拋物線；由

表1數(shù)據(jù)，可知對(duì)稱軸為直線x=4,

???當(dāng)x=8時(shí)的函數(shù)值與x=0時(shí)的函數(shù)值相等，

m—3.84,

:在“間發(fā)式”模式下，球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條直線，設(shè)直線解析式為

y=kx+b,

將點(diǎn)（0,3.36）,（4,1.68）代入得，

b=3.36

4左+6=1.68

左二—0.42

解得:

b=3.36

y=—0.42%+3.36,

當(dāng)％=2時(shí)，）=—0.42x2+3.36=2.52,

故答案為：3.84,2.52.

（2）“直發(fā)式”模式下，球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條拋物線;

由（1）可得對(duì)稱軸為無=4,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4,4）,

設(shè)拋物線解析式為y=a（x-4）2+4,將點(diǎn)（0,3.84）代入，

得，3.84=16?+4

解得：a=-0.01

?1?拋物線解析式為y=-0.01（X-4）2+4

（3）解：：“直發(fā)式”模式下，球第一次接觸臺(tái)面前的運(yùn)動(dòng)軌跡的解析式為y=-0.01（x-4）2+4,

令y=0,BP-0.01（X-4）2+4=0,

解得x=-16（舍去）或x=24

4=24,

??,在“間發(fā)式”模式下，球第一次接觸臺(tái)面到第二次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條拋物線,

由表2可得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為。6,3.20）

設(shè)拋物線解析式為％=a（x-16）2+3.20,將點(diǎn)（8,0）代入,

得，0=64a+3.20

解得：a=-0.05

拋物線解析式為％=-0.05（X-16）2+3.20

令y=0,BP-0.05（x-16）2+3.20=0,

解得x=8（舍去）或x=24

/.4=24,

??d]d2,

故答案為：=.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是解題的

關(guān)鍵.

7.（2023?北京海淀?統(tǒng)考一模）“兔飛猛進(jìn)”諧音成語“突飛猛進(jìn)”.在自然界中，野兔善于奔跑跳躍，“兔飛猛

進(jìn)”名副其實(shí).野兔跳躍時(shí)的空中運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線的一部分.

y/mj

/■、、

/,、、

、、'、a

Ox/m

（1）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

通過對(duì)某只野兔一次跳躍中水平距離X（單位：m）與豎直高度y（單位：m）進(jìn)行的測(cè)量，得到以下數(shù)據(jù)：

水平距離x/m00.411.422.42.8

豎直高度y/m00.480.90.980.80.480

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，回答下列問題：

①野兔本次跳躍的最遠(yuǎn)水平距離為m,最大豎直高度為m；

②求滿足條件的拋物線的解析式；

（2）己知野兔在高速奔跑時(shí)，某次跳躍的最遠(yuǎn)水平距離為3m,最大豎直高度為1m.若在野兔起跳點(diǎn)前方2m

處有高為0.8m的籬笆，則野兔此次跳躍（填“能”或“不能”）躍過籬笆.

【答案】⑴①2.8,0.98；②y=-0.5（尤-1.4）?+0.98（04x42.8）

⑵能

【分析】（1）①根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行求解即可；②根據(jù)①所求把拋物線解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，然后利用待

定系數(shù)法求解即可；

（2）同理求出拋物線解析式，再求出當(dāng)尤=2時(shí)，y的值即可得到答案.

【詳解】（1）解：①由表格中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)尤=2.8時(shí)，y=o,

/.野兔本次跳躍的最遠(yuǎn)水平距離為2.8m,

滿足題意的拋物線對(duì)稱軸為直線X=”尹=1.4,

???拋物線開口向下，

?,.當(dāng)x=L4,y最大，

由表格數(shù)據(jù)可知最大豎直高度為0.98m,

故答案為：2.8,0.98；

②由①可知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（140.98）,

可設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1.4『+0.98,

."（0-1.4）2+0.98=0,

a=-0.5,

/.拋物線解析式為y=-0.5（x-1.4）2+0.98（0<x<2.8）

（2）解：?.?某次跳躍的最遠(yuǎn)水平距離為3m,最大豎直高度為1m,

此時(shí)滿足題意的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（151）,

4

同理可求出此時(shí)拋物線的解析式為了=-3（尤-1.5）9-+1,

48

當(dāng)x=2時(shí)，y=--（2-1.5）9'+l=-,

Q

V->0.8,

9

???野兔此次跳躍能躍過籬笆，

故答案為：能.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意求出對(duì)應(yīng)的拋物線解析式是解題的關(guān)鍵.

8.（2023?北京房山?統(tǒng)考二模）排球場(chǎng)的長(zhǎng)度為18m,球網(wǎng)在場(chǎng)地中央且高度為2.24m.排球出手后的運(yùn)動(dòng)

路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，排球運(yùn)動(dòng)過程中的豎直高度y（單位:

m）與水平距離工（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=。（工-"）2+左（〃<0）.

歹八

球網(wǎng)

------------Hx

9m：9ml

左邊界右邊界

（1）某運(yùn)動(dòng)員第一次發(fā)球時(shí)，測(cè)得水平距離X與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下:

水平距離x/m02461112

豎直高度y/m2.482.722.82.721.821.52

①根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求這些數(shù)據(jù)滿足的函數(shù)關(guān)系y=a（x-h）2+k（a<0）；

②判斷該運(yùn)動(dòng)員第一次發(fā)球能否過網(wǎng)（填“能”或“不能”）.

（2）該運(yùn)動(dòng)員第二次發(fā)球時(shí)，排球運(yùn)動(dòng)過程中的豎直高度y（單位：形）與水平距離無（單位：m）近似滿足

函數(shù)關(guān)系y=-0.02（x-4）2+2.88,請(qǐng)問該運(yùn)動(dòng)員此次發(fā)球是否出界，并說明理由.

【答案】⑴①y=-0.02（x-4『+2.8；②能

⑵沒有，理由見解析

【分析】（1）①由表中數(shù)據(jù)可得拋物線頂點(diǎn)（428）,則設(shè)y=a（x-4）2+2.8（a<0）,再把表格中其它任意一

組數(shù)據(jù)代入即可求出。值，

②當(dāng)x=9時(shí)，求得y=2.3,再與球網(wǎng)高度比較即可得出答案.

（2）令y=0,求出拋物線與x軸的交點(diǎn)，再比較即可.

【詳解】（1）解：①由表中數(shù)據(jù)可得拋物線頂點(diǎn)（4,2.8）

設(shè)y=a（x-4）2+2.8（q<0）

把（0,2.48）代入得°=-0。2

所求函數(shù)關(guān)系為y=-0.02（x-4）2+2.8.

②當(dāng)x=9時(shí)，則產(chǎn)一0.02（9-4『+2.8=2.3>2.24,

，能

（2）解：判斷：沒有出界

令y=0,則-0.02（x-4y+2.88=0

解得玉=-8(舍)，x2=16

*/x2=16<18

...沒有出界.

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的應(yīng)用，熟練掌握用待定系數(shù)法求拋物線解析式，拋物線的圖象性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

9.(2023?北京豐臺(tái)?統(tǒng)考一模)賽龍舟是中國(guó)端午節(jié)的習(xí)俗之一，也是一項(xiàng)廣受歡迎的民俗體育運(yùn)動(dòng).某地

計(jì)劃進(jìn)行一場(chǎng)劃龍舟比賽，圖1是比賽途中經(jīng)過的一座拱橋，圖2是該橋露出水面的主橋拱的示意圖，可

看作拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy,橋拱上的點(diǎn)到水面的豎直高度y(單位：m)

與到點(diǎn)。的水平距離無(單位：m)近似滿足函數(shù)關(guān)系y=_Q01(x-30)2+9,據(jù)調(diào)查，龍舟最高處距離水

面2m,為保障安全，通過拱橋時(shí)龍舟最高處到橋拱的豎直距離至少3m.

示意圖

(1)水面的寬度04=m；

(2)要設(shè)計(jì)通過拱橋的龍舟賽道方案，若每條龍舟賽道寬度為9m,求最多可設(shè)計(jì)龍舟賽道的數(shù)量.

【答案】(1)60

⑵4條

【分析】(1)求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得到答案；

(2)求出當(dāng)y=5時(shí)，x的值，即可求出可設(shè)計(jì)賽道的寬度，再根據(jù)每條龍舟賽道寬度為9m即可得到答案.

【詳解】(1)解：令"。,則-0Ql(x—30)2+9=0,

(尤-30)2=900,

解得％=0或%=60,

??.A(60,0),

OA=60m,

故答案為：60；

(2)解：令y=5,M-0.01(X-30)2+9=5,

(x-30)2=400

解得西=10,巧=5。.

可設(shè)計(jì)賽道的寬度為50-10=40m,

:每條龍舟賽道寬度為9m,

二?最多可設(shè)計(jì)賽道4條.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

10.(2023?北京石景山?統(tǒng)考一模)籃球是學(xué)生非常喜愛的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目之一.籃圈中心距離地面的豎直高度是

3.05m,小石站在距籃圈中心水平距離6.5m處的點(diǎn)A練習(xí)定點(diǎn)投籃，籃球從小石正上方出手到接觸籃球架

的過程中，其運(yùn)行路線可以看作是拋物線的一部分.當(dāng)籃球運(yùn)行的水平距離是x(單位：m)時(shí)，球心距

離地面的豎直高度是y(單位：m).在小石多次的定點(diǎn)投籃練習(xí)中，記錄了如下兩次訓(xùn)練：

(1)第一次訓(xùn)練時(shí)，籃球的水平距離x與豎直高度》的幾組數(shù)據(jù)如下:

水平距離x/m0123456

豎直高度y/m2.02.73.23.53.63.53.2

①在平面直角坐標(biāo)系中，描出以上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并用平滑的曲線連接；

②結(jié)合表中數(shù)據(jù)或所畫圖象，直接寫出籃球運(yùn)行的最高點(diǎn)距離地面的豎直高度，并求,與x滿足的函數(shù)解析

式；

③小石第一次投籃練習(xí)沒能投進(jìn)，請(qǐng)說明理由；

(2)第二次訓(xùn)練時(shí)，小石通過調(diào)整出手高度的方式將球投進(jìn).籃球出手后運(yùn)行路線的形狀與第一次相同，達(dá)

到最高點(diǎn)時(shí)，籃球的位置恰好在第一次的正上方，則小石的出手高度是」〃.

2

【答案】⑴①見解析；②3.6m,y=-0.1(x-4)+3.6;③見解析

(2)2.075

【分析】(1)①先描點(diǎn)，再連線，畫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象即可；②根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求出拋物線對(duì)稱軸，再

把拋物線解析式設(shè)為頂點(diǎn)式利用待定系數(shù)法求出對(duì)應(yīng)的解析式即可；③把x=6.5代入②所求解析式求出y

的值即可得到答案；

(2)第二次出手的拋物線可以看作第一次出手的拋物線向上平移得到的，設(shè)這個(gè)平移距離為r個(gè)單位長(zhǎng)度,

第二次出手的拋物線解析式為y=-0」(x-4y+3.6+r,把x=6.5,y=3.05,代入解析式求出f的值即可得

到答案.

【詳解】(1)解：①如圖所示，即為所求.

②：當(dāng)x=3和x=5時(shí)，都有y=3.5,

/.拋物線對(duì)稱軸為直線x=2=4,

2

又：由函數(shù)圖象可知，拋物線開口向下，

.?.當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值，即籃球運(yùn)行的最高點(diǎn)距離地面的豎直高度為3.6m.

依題意，設(shè)>與x的函數(shù)解析式為y=“(尤-4f+3.6(“/0).

:當(dāng)x=0時(shí)，>=2.0,

/.CZ(O-4)2+3.6=2.O.

解得a=—0.1.

...y與尤的函數(shù)解析式為y=-0.1(x-4y+3.6.

③：當(dāng)X=6.5時(shí)，y=-0.1x(6.5-4)2+3.6=2.975<3.05.

小石第一次投籃練習(xí)不可能投進(jìn)；

(2)解：由題意得第二次出手的拋物線可以看作第一次出手的拋物線向上平移得到的，設(shè)這個(gè)平移距離為

t個(gè)單位長(zhǎng)度，

.?.第二次出手的拋物線解析式為y=-0.1(x-4)2+3.6+f,

???第二次出手能投進(jìn)，

.,.在y=-0.1(x-4)2+3.6+r中，當(dāng)x=6.5時(shí)，y=3.05,

-0.1X(6.5-4)2+3.6+r=3.05,

**?t=0.075,

.,.第二次出手的拋物線解析式為y=-0.1(x-4)2+3.6+0.075=-0.1(x-4y+3.675,

在y=-0.1(x-4y+3.675中，當(dāng)x=0時(shí)，＞=2.075,

小石的出手高度是2.075m,

故答案為：2.075.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

11.（2023?北京門頭溝?統(tǒng)考一模）甲，乙兩名同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，羽毛球發(fā)出后的飛行路線可以看作是

拋物線的一部分.如圖建立平面直角坐標(biāo)系，羽毛球從。點(diǎn)的正上方發(fā)出，飛行過程中羽毛球的豎直高度

y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間近似滿足函數(shù)關(guān)系y=a（x-/z）2+Ma<0）.比賽中，甲同學(xué)連

續(xù)進(jìn)行了兩次發(fā)球.

（1）甲同學(xué)第一次發(fā)球時(shí)，羽毛球的水平距離尤與豎直高度y的七組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下:

水平距離x/m0123456

豎直高度y/m12.43.444.243.4

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，回答下列問題：

①當(dāng)羽毛球飛行到最高點(diǎn)時(shí)，水平距離是m；

②在水平距離5m處，放置一個(gè)高1.55m的球網(wǎng)，羽毛球（填“是”或“否”）可以過網(wǎng);

③求出滿足的函數(shù)關(guān)系y=。（彳-〃）2+左（a<0）;

（2）甲同學(xué)第二次發(fā)球時(shí)，羽毛球的豎直高度y與水平距離x之間近似滿足函數(shù)關(guān)系y=-0.1（^-5）2+3.3.乙

同學(xué)在兩次接球中，都是原地起跳后使得球拍達(dá)到最大高度2.4m時(shí)剛好接到球，記乙同學(xué)第一次接球的起

跳點(diǎn)的水平距離為4,第二次接球的起跳點(diǎn)的水平距離為則0（填“>”“<”或“="）

【答案】（1）①4；②是；③函數(shù)關(guān)系式為y=-0.2（x—4）2+4.2

出<

【分析】（1）①觀察表格求得頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4,4.2）,即可求解；

②由（5,4）,即可判斷；

③由頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4,4.2）,得y=a（尤一4『+4.2,再代入點(diǎn)（0，1）即可求解；

（2）當(dāng)y=2.4時(shí)，分別代入兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式，分別求得x的值，計(jì)算即可求解.

【詳解】（1）解:①：（3,4）、（5,4）的縱坐標(biāo)相同，

3+5

二函數(shù)y=。（無一〃9+人（“<0）中，h=2=4,

A觀察表格，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4,4.2）,

當(dāng)羽毛球飛行到最高點(diǎn)時(shí)，水平距離是4m；

故答案為：4；

②當(dāng)在水平距離5m時(shí)，豎直高度為4m,

4>1.55,

???羽毛球是可以過網(wǎng)的，

故答案為：是；

③：頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4,4.2）,/.y=a（x-4）2+4.2,

將點(diǎn)（。，1）代入得l=a（OJ4『+4.2,

解得a——0.2,

A函數(shù)關(guān)系式為y=-0.2（x-4）2+4.2；

（2）解:當(dāng)y=2.4時(shí)，2.4=—0.2（x—4?+4.2,解得%=7,x2=l（舍去），

即乙同學(xué)第一次接球的起跳點(diǎn)的水平距離為4=7,

當(dāng)y=2.4時(shí)，2.4=—0.1（無一5）2+3.3,解得玉=8,訪=2（舍去），

即乙同學(xué)第一次接球的起跳點(diǎn)的水平距離為4=8,

4—d2=7—8——1Vo,

故答案為：<.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

12.（2023?北京通州?統(tǒng)考一模）如圖，OC是學(xué)校灌溉草坪用到的噴水設(shè)備，噴水口C離地面垂直高度為

1.5米，噴出的水流都可以抽象為平面直角坐標(biāo)系中的一條拋物線.

（1）灌溉設(shè)備噴出水流的最遠(yuǎn)射程可以到達(dá)草坪的最外側(cè)邊沿點(diǎn)此時(shí)，噴水口C噴出的水流垂直高度與

水平距離的幾組數(shù)據(jù)如下表，

水平距離X/米00.51234

豎直高度w米1.51.718751.87521.8751.5

結(jié)合數(shù)據(jù)，求此拋物線的表達(dá)式，并求出水流最大射程的長(zhǎng)度.

（2）為了全面灌溉，噴水口C可以噴出不同射程的水流，噴水口C噴出的另外一條水流形成的拋物線滿足表

達(dá)式y(tǒng)=+h,此水流最大射程。E=2米，求此水流距離地面的最大高度.

1

【答案】（l）y=-g（x-2）9一+2,水流最大射程的長(zhǎng)度為6米

O

（2）水流距離地面的最大高度為2米

【分析】（1）設(shè)出拋物線的解析式，待定系數(shù)法求出解析式，令y=o,求出水流最大射程即可.

（2）根據(jù)題意，拋物線過點(diǎn)（0,1.5）,（2,0）,待定系數(shù)法求出解析式，即可得出結(jié)果.

【詳解】（1）解：由表格可知，拋物線過點(diǎn)（0,15）,（4,1.5）,

根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1=2,

結(jié)合表格可得：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（2,2）,

設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-2）2+2,把（0,1.5）代入，得：

1.5=4a+2,角軍得：—,

8

y=_石（％_2）2+2；

O

當(dāng)y=0時(shí)，--（X-2）2+2=0,

8

解得：x=6或％=—2（舍掉）;

?,?水流最大射程OB的長(zhǎng)度為6米;

（2）解：由題意，得：拋物線過點(diǎn)（0,1.5）,（2,0）,

「47

1.5=—a+n9

Qa=—

；，解得一8,

0=—a+hh=2

9

+2,

.??拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：m，

水流距離地面的最大高度為2米.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.正確的求出函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，是解題

的關(guān)鍵.

13.（2023?北京昌平?統(tǒng)考二模）興壽鎮(zhèn)草莓園是北京最大的草莓基地，通過一顆顆小草莓，促進(jìn)了農(nóng)民增

收致富，也促進(jìn)了農(nóng)旅融合高質(zhì)量發(fā)展.小梅家有一個(gè)草莓大棚，大棚的一端固定在離地面高1m的墻體A

處，另一端固定在離地面高1m的墻體B處，記大棚的截面頂端某處離A的水平距離為皿1,離地面的高度為

加，測(cè)量得到如下數(shù)值:

x/m01245

811118

y/m1

3TT3

小梅根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)》是x的函數(shù)，并對(duì)y隨x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.

下面是小梅的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

（1）在下邊網(wǎng)格中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，描出表中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（％力，并畫出函數(shù)的圖象;

解決問題：

(2)結(jié)合圖表回答，大棚截面頂端最高處到地面的距離高度為m;此時(shí)距離A的水平距離為

(3)為了草莓更好的生長(zhǎng)需要在大棚內(nèi)安裝補(bǔ)光燈，補(bǔ)光燈采用吊裝模式懸掛在頂部，已知補(bǔ)光燈在距離地

面1.5m時(shí)補(bǔ)光效果最好，若在距離A處水平距離1.5m的地方掛補(bǔ)光燈，為使補(bǔ)光效果最好補(bǔ)光燈懸掛部分

的長(zhǎng)度應(yīng)是多少m?(燈的大小忽略不計(jì))

【答案】(1)見解析

(2)4；3

(3)為使補(bǔ)光效果最好補(bǔ)光燈懸掛部分的長(zhǎng)度應(yīng)是1.75m.

【分析】(1)描點(diǎn)，連線，即可畫出函數(shù)的圖象；

(2)結(jié)合圖表回答，即可解答；

(3)利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，令X=L5,求得函數(shù)值，即可解答.

【詳解】(1)解：描點(diǎn)，連線，函數(shù)的圖象如圖所示，

(2)解：根據(jù)圖表知，大棚截面頂端最高處到地面的距離高度為4m；此時(shí)距離A的水平距離為3m；

故答案為：4；3；

（3）解：設(shè)拋物線的解析式為y=a/+-+c,

c=l

把（0,1）,］吟；代入得，，

a+b+c=—

3

~11

44。+2。+c=——

3

1

a=——

3

解得。=2,

c=l

拋物線的解析式為了=_；/+2%+1,

令x=1.5,貝+2x-+l=—=3.25,

,3⑴24

3.25-1.5=1.75（m）,

答：為使補(bǔ)光效果最好補(bǔ)光燈懸掛部分的長(zhǎng)度應(yīng)是L75m.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)畫出函數(shù)圖象是解題關(guān)鍵.

14.（2023?北京平谷?統(tǒng)考一模）如圖所示，某農(nóng)場(chǎng)的小麥?zhǔn)崭顧C(jī)正在收割小麥，脫離后的谷粒沿著噴射管

道飛出，飛行路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，谷粒從噴射出到著陸的

過程中，谷粒的豎直高度y（單位：m）與距離噴射口的水平距離無（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系

y=a（無一〃）~+左（a<0）.

（1）谷粒距離噴射口的水平距離x（單位：m）與豎直高度y（單位：m）的幾組數(shù)據(jù)如下:

水平距離x/m02345

豎直高度y/m3.54.34.44.34.0

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，若用貨車接運(yùn)谷粒，保證和噴射口在同一平面的情況下，谷粒落下過程中恰好落到車廂的

中心點(diǎn).若貨車車廂的中心點(diǎn)距地面1.9米，則貨車車廂的中心點(diǎn)應(yīng)距離噴射口幾米？

（2）谷粒噴出的同時(shí)石子等較重的雜質(zhì)會(huì)跟隨谷粒一起在重力作用下沿拋物線①被分離出來，谷皮和顆粒等

較輕的雜質(zhì)也會(huì)跟著谷粒一起沿拋物線②被分離出來，若已知兩條拋物線的解析式分別為A：

y=-0.09（x-3.2）2+4.42；B：y=-0.12（x-2.8）2+4.44,貝|A、8對(duì)應(yīng)的拋物線分另?。轂锳：；B：

（寫①或②即可）.

【答案］⑴8米

⑵②；①

【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,4.4）,再利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然

后求出，=1.9時(shí)，x的值即為所求；

（2）根據(jù)拋物線的開口大小即可得.

【詳解】（1）解：由表可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,4.4）,

拋物線的解析式為y=a（x-3）2+4.4,

:拋物線過點(diǎn)（0,3.5）,

「.9a+4.4=3.5,

解得a——0.1,

Ay=-0.1（x-3）2+4.4,

當(dāng)y=1.9時(shí)，一0.1（x-3y+4.4=1.9,

解得x=8或x=-2<0（不符合題意，舍去），

所以貨車車廂的中心點(diǎn)應(yīng)距離噴射口8米.

（2）解：由函數(shù)圖象可知，從拋物線的開口大小看，拋物線①的小于拋物線②的，

V拋物線A:y=-0.09（%-3.2）2+4.42的開口大于拋物線B:y=-0.12（%-2.8）2+4.44的開口，

所以A、8對(duì)應(yīng)的拋物線分別為A:②；B:①,

故答案為：②；①.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

15.（2023?北京朝陽?統(tǒng)考二模）圖1是一塊鐵皮材料的示意圖，線段長(zhǎng)為4dm,曲線是拋物線的一部分，

頂點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，且到的距離為4dm.以A3中點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角

坐標(biāo)系.

⑴求圖2中拋物線的表達(dá)式（不要求寫出自變量的取值范圍）;

（2）要從此材料中裁出一個(gè)矩形，使得矩形有兩個(gè)頂點(diǎn)在上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，求滿足條件的矩

形周長(zhǎng)的最大值.

【答案】（l）y=*+4

⑵10

【分析】（1）先求出拋物線頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,4）,A的坐標(biāo)為（-2,0）,然后利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）先證明G、“關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，則￡、/關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（〃?，0）,則

G（m,-m2+4）,求出所=2利，GF--m2+4,根據(jù)矩形周長(zhǎng)公式列出矩形周長(zhǎng)與相的二次函數(shù)關(guān)系式，

利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：由題意得拋物線頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為4）,A的坐標(biāo)為（-2,0）,

設(shè)拋物線解析式為y=a/+4,

4a+4=0,

解得a=—1,

拋物線解析式為y=-f+4；

（2）解：如圖所示，：四邊形所GH是矩形,

EF//GH,

,:E、P都在x軸上，

，G〃〃x軸，

，G、“關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，

:.E、P關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，

設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（〃⑼,則G（m,-m2+4）,

E(-m,0),H+4),

EF=Im,GF——m2+4，

：.矩形EFGH的周長(zhǎng)=2EF+2GF

=-2m2+8+4m

=-2(m-以+10,

V-2<0,

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，矩形EFGH的周長(zhǎng)有最大值10.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，正確理解題意并熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知

識(shí)是解題的關(guān)鍵.

16.（2023?北京?統(tǒng)考一模）某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了一個(gè)彈珠投箱游戲：將無蓋正方體箱子放在水平地面上,

彈珠從箱外投入箱子，彈珠的飛行軌跡可以看作是拋物線的一部分.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（正

方形A8CD為箱子正面示意圖，x軸經(jīng)過箱子底面中心，并與其一組對(duì)邊平行）.某同學(xué)將彈珠從點(diǎn)尸處拋

出，彈珠的豎直高度y（單位：dm）與水平距離x（單位：dm）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=a（尤-/2）2+左（。＜0）.

下面是彈珠的水平距離x與豎直高度》的幾組數(shù)據(jù):

水平距離％/dm0123456

豎直高度＞/dm2.504.255.506.256.506.255.50

⑴直接寫出彈珠豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系尸儀彳-獷+以”。）;

⑵若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8,0）,3c=2dm,則該同學(xué)拋出的彈珠投入箱子（填“能”或“不能”）.

【答案】(1)6.5dm,y=-0.25(x-4)2+6.5

⑵能

【分析】(1)先根據(jù)對(duì)稱性求出拋物線的對(duì)稱軸為直線x=4,再根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求出彈珠豎直高度的最

大值并求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式即可；

(2)先求出OROC的長(zhǎng)，再求出拋物線當(dāng)>=2時(shí)橫坐標(biāo)即可得到答案.

【詳解】(1)解：：當(dāng)x=3和尤=4時(shí)，y的值相同，

/.拋物線的對(duì)稱軸為直線x=彳=4,

*.*y=a(x—"J+左v0),

???彈珠豎直高度的最大值為6.5dm,

；?y=6i(x-4)2+6.5,

把(0,2.5)代入y=a(x-4)2+6.5中得：2.5=4(0-4?+6.5,

解得a=—0.25,

Ay=-0.25(x-4)2+6.5

(2)解：?.?8(8,0),

OB=8dm

由題意得，CD=BC=2dm,

：.OC=10dm,

當(dāng)y=2時(shí)，則-0.25(x-4)2+6.5=2,解得x=4?3應(yīng),

■-'8<4+3>/2<10，

,該同學(xué)拋出的彈珠能投入箱子，

故答案為：能.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

17.(2023?北京房山?統(tǒng)考一模)如圖1,某公園在入園處搭建了一道“氣球拱門”，拱門兩端落在地面上.若

將拱門看作拋物線的一部分，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.拱門上的點(diǎn)距地面的豎直高度y(單位：

m)與水平距離x(單位：m)近似滿足函數(shù)關(guān)系y=a(x-/z)2+k(a<0).

(2)一段時(shí)間后，公園重新維修拱門.新拱門上的點(diǎn)距地面的豎直高度y(單位：m)與水平距離x(單位：

m)近似滿足函數(shù)關(guān)系y=-0.288(x-5)2+7.2,若記“原拱門”的跨度(跨度為拱門底部?jī)蓚€(gè)端點(diǎn)間的距離)

為4,“新拱門''的跨度為4，則4〃式填”或

【答案】⑴丫=-0.2。-6)2+7.2

⑵〉

【分析】(1)由表格得當(dāng)x=2時(shí)，y=4,當(dāng)x=10時(shí)，y=4,從而可求頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解;

(2)由表格可以直接求出4，由、=-0.288。-5)2+7.2可求出“2,進(jìn)行比較即可.

【詳解】(1)解：由表格得：

?.-6-2=10-6,

二頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6,7.2),

y=a(x-6)2+7.2,

.-.a(2-6)2+7.2=4,

解得：a=—0.2,

y=-0.2(x-6)2+7.2.

(2)解：由表格得

當(dāng)x=12時(shí)，y=0,

原拱門中:4=12(m).

新拱門中：

當(dāng)y=。時(shí),

-0.288(x-5)2+7.2=0