反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用（解析版）-中考數(shù)學二輪復(fù)習難點題型專項突破

專題12反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用

1.(2021?成都中考)如圖，在平面直角坐標系xQy中，一次函數(shù)>=當+3的圖象與反比例函數(shù)y=K(x>0)的

42x

圖象相交于點/(。，3),與x軸相交于點2.

(1)求反比例函數(shù)的表達式；

(2)過點/的直線交反比例函數(shù)的圖象于另一點C,交x軸正半軸于點。，當△48。是以AD為底的等腰三角

形時，求直線AD的函數(shù)表達式及點C的坐標.

；&+3=3,

42

解得：a—2,

：.A(2,3),

將/(2,3)代入y=K(x>0),

X

得：3=工

2

:?k=6,

反比例函數(shù)的表達式為了=2；

(2)如圖，過點4作軸于點E,

在y=3x+3中，令y=0,得3x+3=0,

4242

解得：x=-2,

：.B(-2,0),

,:E(2,0),

：.BE=2-(-2)=4,

；A4BD是以BD為底邊的等腰三角形,

:.AB=AD,

U：AELBD,

；?DE=BE=4,

：.D(6,0),

設(shè)直線4。的函數(shù)表達式為

9：A(2,3),D(6,0),

.(2mtn=3

16m+n=0

'一3

m-口

解得：，，

直線/D的函數(shù)表達式為尸-總嗚

...點。的坐標為(4,3).

2.(2021?深圳中考)探究：是否存在一個新矩形，使其周長和面積為原矩形的2倍、上倍、k倍.

2

(1)若該矩形為正方形，是否存在一個正方形，使其周長和面積都為邊長為2的正方形的2倍？不存在(填

“存在”或“不存在”).

(2)繼續(xù)探究，是否存在一個矩形，使其周長和面積都為長為3,寬為2的矩形的2倍?

同學們有以下思路:

①設(shè)新矩形長和寬為小修則依題意無+y=10,xy=12,聯(lián)立［“'=知得/-10x+12=0,再探究根的情況;

lxy=12

根據(jù)此方法，請你探究是否存在一個矩形，使其周長和面積都為原矩形的」■倍；

2

②如圖也可用反比例函數(shù)與一次函數(shù)證明/1：y=-x+10,12：?=絲，那么，

X

a.是否存在一個新矩形為原矩形周長和面積的2倍？存在.

6.請?zhí)骄渴欠裼幸恍戮匦沃荛L和面積為原矩形的工，若不存在，用圖象表達；

2

C.請直接寫出當結(jié)論成立時后的取值范圍：心處.

25-

解：(1)由題意得，給定正方形的周長為8,面積為4,

若存在新正方形滿足條件，則新正方形的周長為16,面積為8,

對應(yīng)的邊長為：4和2血，不符合題意，

不存在新正方形的周長和面積是邊長為2的正方形的2倍.

故答案為：不存在.

(2)①設(shè)新矩形長和寬為x、y,則依題意x+y=2.5,孫=3,

聯(lián)立5,得：公2_5了+6=0,

lxy=3

A=(-5)2-4X2X6=-23<0,

此方程無解，

???不存在新矩形使得其周長和面積為原矩形的工倍.

2

@a：從圖象看來，函數(shù)y=-x+10和函數(shù)>=絲圖象在第一象限有兩個交點,

X

?,?存在新矩形，使得周長和面積是原矩形的2倍.

故答案為：存在.

b：設(shè)新矩形長和寬為x、y,則依題意x+y=2.5,xy=3,

聯(lián)立［x4y=2.5,得：2X2-5X+6=0,

lxy=3

AA=(-5)2-4X2X6=-23＜0,

，此方程無解，

不存在新矩形使得其周長和面積為原矩形的工倍.

2

從圖象看來，函數(shù)y=-x+2.5和函數(shù)y=3圖象在第一象限沒有交點,

X

???不存在新矩形，使得周長和面積是原矩形的工倍.

2

c：設(shè)新矩形長和寬為x、y,則依題意xty=5左，xy=6k,

聯(lián)立卜個515,得：/-5米+6左=0,

Ixy=6k

A=(-5左)2-4X1X6左=25廬-24k,

設(shè)方程的兩根為修，X2，

當△即25%2-24左,0時，X1+X2=5左＞0,孫必=6左＞0,

解得：左221或左W0(舍)，

25

絲時，存在新矩形的周長和面積均為原矩形的后倍.

25

故答案為：左與組.

3.(2021?鎮(zhèn)江中考)如圖，點/和點E(2,1)是反比例函數(shù)y=K(尤＞0)圖象上的兩點，點3在反比例函數(shù)y

X

=旦(x＜0)的圖象上，分別過點45作y軸的垂線，垂足分別為點C,D,AC=BD,連接N2交y軸于點

X

F.

(1)k=2；

(2)設(shè)點4的橫坐標為Q,點尸的縱坐標為冽，求證：am=-2；

(3)連接CE,DE,當NCED=90°時，直接寫出點N的坐標：_L2一22_.

—5-3—

解：（1）..?點E（2,1）是反比例函數(shù)y=K（尤>0）圖象上的點,

X

/.K=1,

2

解得左=2,

故答案為：2；

（2）在△ZCF和△3。尸中，

，ZACF=ZBDF

<ZCFA=ZBFD-

kAC=BD

:.LACF絲4BDF（AAS）,

:?SABDF=SAACF，

?.?點/坐標為（a,2）,則可得C（0,2）,

aa

：.AC=a,0c=2,

a

即Izx（2-加）=_Lax（2+加），

2a2a

整理得am=-2；

（3）設(shè)/點坐標為（a,—）,

a

則c（0,2）,D（0,-2），

aa

'：E（2,1）,ZCED=90°,

：.CE2+DE2=CD2,

即22+（i-2）2+22+（i+A）2=（Z+2）2,

aaaa

解得a=-2（舍去）或“=且，

5

點的坐標為（旦，5）.

53

4.（2021?泰州中考）如圖，點/（-2,%）、3（-6,竺）在反比例函數(shù)y=K（左＜0）的圖象上，NC_Lx軸，BD

x

，了軸，垂足分別為C、D,NC與AD相交于點E.

（1）根據(jù)圖象直接寫出為、及的大小關(guān)系，并通過計算加以驗證；

（2）結(jié)合以上信息，從①四邊形OCED的面積為2,②2￡=24&這兩個條件中任選一個作為補充條件，求發(fā)

的值.

你選擇的條件是①（只填序號）.

解：（1）根據(jù)圖象可知，為＞及，

?.?點/（-2,力）、2（-6,乃）在反比例函數(shù)丁=上（左＜0）的圖象上,

X

???乃=■昌及=■昌

26

EVO,

/.-->-2L>O,即為>72.

26

(2)選擇①作為條件；

由(1)可得，/(-2,-3(-6,-

26

OC=2,BD=6,AC=--,OD=-—

26

:.DE=OC=2,EC=OD=-K,

6

1/四邊形OCED的面積為2,

/.2X(-區(qū).)=2,解得人=-6.

6

5.（2021?濟南中考）如圖，直線y=3涓雙曲線y=K（左W0）交于1,8兩點，點/的坐標為（"2,-3),點C

2x

是雙曲線第一象限分支上的一點，連接3c并延長交x軸于點。，且8c=2CD.

（1）求人的值并直接寫出點2的坐標；

（2）點G是y軸上的動點，連接G3,GC,求G8+GC的最小值；

(3)尸是坐標軸上的點，。是平面內(nèi)一點，是否存在點尸，。，使得四邊形45尸。是矩形？若存在，請求出所有

解：⑴將點/的坐標為(加，-3)代入直線尸深中,

得-3=2》?,

2

解得：m--2,

/?A(-2,-3),

；?k=-2X(-3)=6,

反比例函數(shù)解析式為y=包,

:.點8的坐標為(2,3)；

(2)如圖1,作BELx軸于點E,CFLx軸于點尸,

△DCFsMBE,

???DC=CF

DBBE

;BC=2CD,BE=3,

?CD=1

,*DBT

?CF=1

T

：.CF=\,

：.C(6,1),

作點8關(guān)于y軸的對稱點夕，連接gC交y軸于點G,

則"C即為3G+GC的最小值，

:B'(-2,3),C(6,1),

二,C=?(-2-6)2+(3-1)2=2萬,

：.BG+GC=B'C=2A/17；

(3)存在.理由如下：

①當點尸在x軸上時，如圖2,設(shè)點尸1的坐標為Q,0),

過點B作BELx軸于點E,

?：NOEB=NOBP[=90°,NBOE=NP[OB,

:AOBEsj^OPiB,

.QB-OE

'*0P7OB'

,:B(2,3),

OB—q22+32=

?713-2

??---------.__r?

aV13

?0—13

2

...點尸1的坐標為(里,0)；

2

②當點尸在y軸上時，過點8作軸于點N,如圖2,

設(shè)點尸2的坐標為（。，b）,

ZONB=ZP2BO=90°,ZBON=ZP2OB,

：.△BONs^PzOB,

?QB-QN：即后=3,

，

0P2OB,bV13

.M=生，

3

，點P7的坐標為（0,—）；

3

綜上所述，點p的坐標為（［3,o）或（0,11）.

23

6.（2021?雅安中考）已知反比例函數(shù)>=四的圖象經(jīng)過點N（2,3）.

x

（1）求該反比例函數(shù)的表達式；

（2）如圖，在反比例函數(shù)>=丑■的圖象上點/的右側(cè)取點C,過點C作x軸的垂線交x軸于點〃，過點/作〉

x

軸的垂線交直線CH于點D.

①過點/,點C分別作x軸，y軸的垂線，兩線相交于點8,求證：B,。三點共線；

②若/C=2。/,求證：NAOD=2/DOH.

（1）解：二,反比例函數(shù)歹=螞的圖象經(jīng)過點/（2,3）,

???23—---m，

2

??冽=6,

...反比例函數(shù)的解析式為y=g

X

(2)證明：①過點工作/朋」x軸于過點C作CNLy軸于N,AM交CN于點、B,連接。及

,：A(2,3),點(7在、=立的圖象上，

X

???可以設(shè)C(6旦)，則8(2,A),D。，3),

tt

6

???tanN5(W=M=&=旦，tanNZ)OH=邁=3,

OM2tOHt

???tanZBOM=tanADOH,

：.ZBOM=/DOH,

：.O,B,。共線.

②設(shè)4C交5。于J.

???4DJ_y軸，軸，

：.AD//CB,

??ZALLx軸，Z)〃_Lx軸，

：.AB//DC,

J四邊形45CD是平行四邊形，

VZADC=90°,

???四邊形45CD是矩形，

:.AJ=JC=JD=JB,

'：AC=2OA,

：.AO=AJf

：.ZAOJ=/AJO,

'：ZAJO=ZJAD+ZJDA,

,:AD〃OH,

：.ZDOH=/ADJ,

,:JA=JD,

NJAD=NADJ,

7.（2021?湖北中考）如圖：在平面直角坐標系中，菱形/BCD的頂點。在y軸上，A,C兩點的坐標分別為（2,

0）,（2,m）,直線CD：力="+6與雙曲線：及=上交于C，尸（-4,-1）兩點.

x

（1）求雙曲線刃的函數(shù)關(guān)系式及別的值；

（2）判斷點5是否在雙曲線上，并說明理由；

（3）當為〉為時，請直接寫出x的取值范圍.

解：（1）將點P（-4,-1）代入＞=生_中，得無2=-4義（-1）=4,

x

反比例函數(shù)的解析式為＞=%，

X

將點C（2,m）代入^=居中，得%=3=2；

(2)因為四邊形/5CD是菱形，A(2,0),C(2,2),

—B(4,Am),

2

：.B(4,1),

由（1）知雙曲線的解析式為”=4.

?.?4X1=4,

...點5在雙曲線上;

(3)由(1)知C(2,2),

由圖象知，當yi>y2時的x值的范圍為-4<x<0或x>2.

8.（2021?湖州中考）已知在平面直角坐標系中，點/是反比例函數(shù)>=工（x>0）圖象上的一個動點，連結(jié)

X

AO,的延長線交反比例函數(shù)y=K（左>0,x<0）的圖象于點2,過點/作軸于點E.

①若左=1,求證：四邊形/￡尸。是平行四邊形；

②連結(jié)2E,若左=4,求△20E的面積.

（2）如圖2,過點￡作〃/8,交反比例函數(shù)y=K*>0,x<0）的圖象于點P,連結(jié)。尸.試探究：對于確

x

定的實數(shù)左，動點/在運動過程中，△尸的面積是