河南省開封市五縣聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)質(zhì)量檢測試題 數(shù)學(xué)含解析

一、單選題1．直線x-y+3=0在y軸的截距為()2．已知橢圓的長半軸長等于焦距的3倍，則該橢圓的離心率為()223．已知雙曲線的方程為x-y=1，則該雙曲線的焦距為()4．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，若a1，a7是方程x2-10x+16=0的兩個不相等的實數(shù)根，則a4=()5．已知直線l的一個方向向量為EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(r),u)=(1,-2,2)，平面α的一個法向量為n-=(2,-1,2)，則l與平面α所成角的正弦值為()89B．2334D．136．已知實數(shù)x，y滿足x2+y2-2x=0，則的取值范圍為()227．已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1作斜率為正且與雙曲線C的某條漸近線垂直的直線l與雙曲線C在第一象限交于點A，若cosLF1AF2=，則雙曲線C的離心率為()8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l1:x-my+4m-1=0與l2:mx+y-3m-2=0交于點P，點Q(x0,y0)是拋物線y2=-4x上一個動點，則|PQ|-x0的最小值為()二、多選題n}的公比為2B．{an}的通項公式為an==20D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列10．若方程所表示的曲線為C，則下列命題正確的是()A．曲線C可能是圓B．若曲線C為橢圓，則t<4且t≠-3C．若曲線C為焦點在x軸上的橢圓，則D．若曲線C為雙曲線，則11．已知圓C1：x2+y2-2x+4y+4=0，若圓C2與圓C1關(guān)于直線y=x對稱，則下列說法正確的是()A．圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y-1)2=1B．過點(-1,1)可作圓C2的切線有兩條C．若M,N分別為圓C1，圓C2上的點，則M,N兩點間的最大距離為3+2D．若E，F(xiàn)為圓C2上的兩個動點，且EF=·、，則線段EF的中點的軌跡方程為三、填空題13．已知拋物線C的準(zhǔn)線是圓x2+y2-4=0與圓x2+y2+2x-2=0的公共弦所在的直線，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．14．將數(shù)列an=3n-2與數(shù)列bn=4n-3的公共項從小到大排列得到數(shù)列{cn}，則使得cn>2025成立的n的最小值為．四、解答題15．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且2an-Sn=n．(1)證明：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=an+n，求{bn}的前n項和Tn．16．已知圓C關(guān)于x軸對稱且經(jīng)過點(3,)和(2,-2)．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點P(1,)的直線l與圓C交于A，B兩點；若|AB|=2，求直線l的方程．17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD丄平面ABCD，AB//CD，AB丄BC，AB=2CD=2BC=(1)求證：AD丄平面PBD；(2)若PD=·、，求平面PAB與平面PBD的夾角的余弦值．(2)求數(shù)列{an.bn}的前n項和Tn；若EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(為奇數(shù)),為偶數(shù))，求數(shù)列{cn}的前2n項和S2n.19．已知橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距為2，離心率為(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點，若點P是橢圓C上的一點，求|PM|的最小值；(3)已知直線l的斜率存在，且與橢圓C交于D，E兩點（D，E與A，B不重合直線AD斜率為k1，直線BE斜率為k2，若k1=4k2，請問直線l是否過定點？若過定點，求出定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由．題號123456789答案CBDDABABACACD題號答案ACD直接令x=0即可得到答案.【詳解】令x=0，得y=，所以直線在y軸的截距為．故選：C．應(yīng)用橢圓的長軸及焦距列式求解離心率即可.【詳解】設(shè)橢圓長軸長2a，焦距2c，則a=3×2c，即．故選:B．根據(jù)給定的方程求出半焦距即可.【詳解】雙曲線的實半軸長a=2，虛半軸長b=，則半焦距所以該雙曲線的焦距為故選：D由韋達定理結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)即可求解；【詳解】由題意可得a1.a716，解得a4=±4．故選：D．應(yīng)用空間向量法計算線面角正弦值即可.【詳解】設(shè)l與α所成角的大小為θ,則sinθ=cos◆◆故選:A．由直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合點到直線的距離公式求解．【詳解】已知實數(shù)x，y滿足x2+y2-2x=0，則(x,y)的軌跡方程為(x-1)2+y2=1，由題意可得則故選：B.由圖利用點線距和勾股定理求出FD,OD，過點F2作F2B丄l于B，推理可得F1B,F2B，根據(jù)解三角形和雙曲線的定義可得即可求離心率.【詳解】令雙曲線C的半焦距為c，則F1(-c,0)，令直線l與雙曲線C的漸近線bx+ay=0垂直的垂足為D，如圖，過點F2作F2B丄l于B，則F2B//OD，由雙曲線定義得AF1-AF2=2a，即解得．故該雙曲線的離心率為故選：A．由直線方程可得其所過定點，根據(jù)兩直線位置關(guān)系可得其焦點的軌跡，根據(jù)拋物線的定義與圓外一點到圓上點的距離最值問題，結(jié)合圖象，可得答案.直線l2:mx+y3m2=0，即m(x3)+(y2)=0，可知直線l2過定點Q(3,2)；2，可知點P在以AB為直徑的圓上，此時圓心為C(2,3)，半徑r=1|AB|=．2當(dāng)且僅當(dāng)點P在線段QC上時，等號成立，又因為|QC|+|QF|≥|CF|=3，當(dāng)且僅當(dāng)點Q在線段FC上時，等號成立，所以|PQ|x0的最小值為21．故選：B．應(yīng)用等比數(shù)列的基本量運算求出公比及通項判斷A，B，C，再結(jié)合對數(shù)運算計算判斷單調(diào)性判斷D.【詳解】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，依題意，a1a3=aEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(2),2)=4，a2>0，所以a2524=20，A，C正確，B錯誤；對于則數(shù)列為遞減數(shù)列，D錯誤．故選：AC．由圓、橢圓、雙曲線方程的結(jié)構(gòu)特點逐項判斷即可；【詳解】對于A選項，若曲線C表示圓，則，解得t=-3，即曲線C可能是圓，A正確；對于B選項，若曲線C為橢圓，則解得且t≠-3，B錯誤；對于C選項，若曲線C為焦點在x軸上的橢圓，則解得正確；對于D選項，若曲線C為雙曲線，則(4-t)(1-2t)<0，解得正確．故選：ACD．11．ACD由題意，根據(jù)圓C2與圓C1關(guān)于直線y=x對稱，得到圓C2的圓心和半徑，進而可判斷A；根據(jù)點(-1,1)在C2上，則過該點有且僅有一條切線，可判斷B；要求M,N兩點間的最大距離，先求C1C2，代入計算即可判斷C；設(shè)EF中點為P，結(jié)合垂徑定理即可判斷D.【詳解】對于A：易知圓C1:(x-1)2+(y+2)2=1，其圓心為C1(1,-2)，半徑為1，故圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y-1)2=1，故A正確；對于B：易知點(-1,1)在C2上，故過點(-1,1)有且僅有一條切線，即B錯誤；對于D：設(shè)EF中點為P，則C2P丄EF，因為圓C2的半徑為1，由垂徑定理可知故點P的軌跡方程為故D正確．故選：ACD.由兩直平行得到a2=4，求解并驗證即可；當(dāng)a=2時，直線重合，舍去，當(dāng)a=2時，符合題意；故a=2；故答案為：2利用兩圓方程相減后求出公共弦方程，再結(jié)合拋物線的性質(zhì)求解即可；所以→p=2，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x．故答案為：y2=4x．通過公共項確定{cn}通項公式即可求解；故cn=12n11，所以12n11>2025，解得，所以n的最小值為170．故答案為：17015．(1)證明見解析（1）由an，Sn的關(guān)系作差即可判斷；（2）由（1）求得an，再由等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式即可求解；當(dāng)n≥2時，聯(lián)立所以=2，所以{an+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列；n23n1n23n1n)+(0（1）由題意，設(shè)C(t,0)到(3,)和(2,—2)的距離相等代入求解t，再求半徑即可2）利用直線與圓的弦長公式求解.【詳解】（1）因為圓C關(guān)于x軸對稱，所以圓心在x軸上，設(shè)C(t,0)，由于圓經(jīng)過(3,)和(2,—2)，所以(t,0)到(3,)和(2,—2)的距離相等，22所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—2)2+y2（2）取AB中點D，連接CD，易知△BCD為直角三角形，即圓心到直線l的距離為，當(dāng)直線l斜率不存在時，直線l方程為x=1，C到其距離為1，不符合題意；所以解得k=0或，故直線l的方程為y=或x—y=0．17．(1)證明見解析（1）先應(yīng)用勾股定理得出AD丄BD，再應(yīng)用線面垂直判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計算平面的法向量，再應(yīng)用面面角公式計算即可.所以四邊形ABCD為直角梯形，取AB中點E，連接DE，則AE=BE=1，四邊形BCDE為正方形，所以AD2+BD2=AB2，所以AD丄BD，因為PD丄平面ABCD，ADG平面ABCD，所以AD丄PD，因為PD∩BD=D，PDG平面PBD，PBG平面PBD，所以AD丄平面PBD；（2）由（1）可知，PD，PD，BD兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，A(,0,0)，B(0,,0)，PEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),A),0EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),A),0,)，設(shè)平面PAB的一個法向量m=(x,y,z)，由（1）可知AD丄平面PBD，所以(,0,0)是平面PBD的一個法向量，記作n，記平面PAB與平面PBD的夾角為n1；(1)由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得公差和公比，進而得到所求；(2)由數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可得所求和；(3)由數(shù)列的分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，可得所求和．【詳解】（1）{an}是等差數(shù)列，{bn}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)公差為d，公比為q(q>0)，22，2T23+3.24兩式相減可得EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up9(n),n)2n1