浙江省衢州市五校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

學(xué)年第二學(xué)期衢州五校聯(lián)盟期中聯(lián)考高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：本卷共4頁(yè)滿分分，考試時(shí)間分鐘.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)?姓名?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.設(shè)集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用解一元二次不等式求解集，即可求交集.【詳解】由，所以，故選：C.2.“”是“”成立的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】直接利用充分條件與必要條件的定義判斷即可.【詳解】“”是“”成立的充分條件;舉反例推出“”是“”成立的不必要條件,故選A.第1頁(yè)/共18頁(yè)【點(diǎn)睛】本題主要考查了必要條件、充分條件的判斷.充分條件與必要條件是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的數(shù)學(xué)概念之一,要理解好其中的概念.3.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A.或B.C.D.【答案】B【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為，對(duì)恒成立，利用判別式法求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，?duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，，符合題意；由，得，綜上：實(shí)數(shù)取值范圍是，故選：B4.如圖一個(gè)水平放置的圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為，腰和上底均為1的等腰梯形，則原平面圖形的面積是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，由直觀圖的特征推出原平面圖形的形狀及相關(guān)邊長(zhǎng)，再利用梯形面積公式計(jì)算原平面圖形的面積．【詳解】在直觀圖中作，垂足分別為E，F(xiàn)，第2頁(yè)/共18頁(yè)則確定原平面圖形的形狀及部分邊長(zhǎng)：在斜二測(cè)畫(huà)法中，平行于y軸的線段，在原圖形中長(zhǎng)度變?yōu)橹庇^圖中對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)度的倍．已知直觀圖是底角為，腰和上底均為的等腰梯形，因?yàn)橹庇^圖中腰長(zhǎng)為且平行于y軸，所以原平面圖形為直角梯形，其直角腰長(zhǎng)為直觀圖中腰長(zhǎng)的倍，即；上底邊長(zhǎng)在斜二測(cè)畫(huà)法中長(zhǎng)度不變，所以原平面圖形上底邊長(zhǎng)為．原圖如下：將原平面圖形上底，下底，高代入公式，可得．原平面圖形的面積是．故選：A．5.關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法不正確的是（）A.周期為B.在上不單調(diào)C.是它的一條對(duì)稱軸D.有一個(gè)對(duì)稱中心【答案】D【解析】【分析】對(duì)于A，由周期公式可判斷正誤；對(duì)于B、C、D，有兩種方法判斷正誤，一種是利用的單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心，將看成一個(gè)整體，將反解出來(lái)即得的單調(diào)區(qū)間、第3頁(yè)/共18頁(yè)的單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心，由此可判斷正誤，注意本題是選非題，故選擇不正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，的最小正周期為，故A正確；對(duì)于B，由，得，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以在上不單調(diào)，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭堑囊粭l對(duì)稱軸，所以時(shí)是一條對(duì)稱軸，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，而是的一條對(duì)稱軸，而非對(duì)稱中心，故不是的一個(gè)對(duì)稱中心，故D不正確.故選：D.6.若，且在方向上的投影向量為，則與的夾角為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用投影向量的概念列式即可求數(shù)量積，從而可求夾角大小.【詳解】根據(jù)在方向上的投影向量為，可得：，根據(jù)，又因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，?頁(yè)/共18頁(yè)故選：B.7.靈山江畔的龍洲塔，有“人文薈萃，學(xué)養(yǎng)深厚”的福地一說(shuō).如圖，某同學(xué)為了測(cè)量龍洲塔的高度，在地面處測(cè)得塔在南偏東后到達(dá)D的方向上，處測(cè)得塔尖的仰角為，則可得龍洲塔高度為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)題意得到角度和邊，則在中，由正弦定理可求得，而塔是垂直于地面的，故在中，結(jié)合仰角和可算得龍洲塔高度.【詳解】由題意可知，所以，在中，由正弦定理可得，因?yàn)樘帨y(cè)得塔尖仰角為，即，則在中，龍洲塔高度為.故選：C.8.定義在上的偶函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.6個(gè)B.7個(gè)C.8個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)【答案】C【解析】【分析】將的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫(huà)出圖像，看第5頁(yè)/共18頁(yè)交點(diǎn)即可.【詳解】的零點(diǎn)，則，即的根個(gè)數(shù)，畫(huà)出與圖像，看兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.當(dāng)時(shí)，，畫(huà)出此部分圖像，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，，即表示x隔2函數(shù)值減半，畫(huà)出y軸右側(cè)圖像.最后根據(jù)偶函數(shù)圖像性質(zhì)，得到y(tǒng)軸左側(cè)圖像.根據(jù)圖像，知道的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是8個(gè).故選：C.二?36分全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)或不選的得0分.9.下列各組函數(shù)的圖象，能夠通過(guò)左右平移實(shí)現(xiàn)重合的是（）A與B.與C.與D.與【答案】AD【解析】【分析】A通過(guò)誘導(dǎo)公式即可判斷；B通過(guò)兩個(gè)函數(shù)的最低點(diǎn)判斷；C反證法，在一個(gè)函數(shù)圖象上找出兩個(gè)特殊點(diǎn)通過(guò)平移判斷能否在另一個(gè)圖象上；D通過(guò)指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)性質(zhì)可得.【詳解】因，則將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位可得，故A正確；因，則其最低點(diǎn)坐標(biāo)為，第6頁(yè)/共18頁(yè)而最低點(diǎn)坐標(biāo)為，故無(wú)法只通過(guò)左右平移實(shí)現(xiàn)，故B錯(cuò)誤；因圖象上存在點(diǎn)，圖象上存在，若函數(shù)圖象可左右平移得到，則將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位即可得到，而函數(shù)圖象上的點(diǎn)向右平移個(gè)單位后得到的點(diǎn)不在圖象上，故C錯(cuò)誤；，則將函數(shù)圖象上的點(diǎn)向左平移個(gè)單位即可得到，故D正確.故選：AD10.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則的外接圓的面積是B.若，則是等腰三角形C.若，則可能等于10D.若，則的面積為或【答案】ACD【解析】AB本不等式計(jì)算即可判斷C；根據(jù)余弦定理和三角形面積公式計(jì)算即可判斷D.【詳解】A：由正弦定理得為得，所以該外接圓的面積為，故A正確；B：由正弦定理得，即，得或，解得或，所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；第7頁(yè)/共18頁(yè)C：由余弦定理得，即，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到“=”，又，所以，故C正確；D：由余弦定理得，即，整理得，解得或2.當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，故D正確.故選：ACD在中，是中點(diǎn)，與BD交于點(diǎn)F）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】選定作為基底，根據(jù)圖形的幾何關(guān)系以及向量的線性運(yùn)算，結(jié)合三角形面積公式以及數(shù)量積的運(yùn)算律，可得答案.【詳解】由題意可作圖如下：由，則，由是的中點(diǎn)，則，第8頁(yè)/共18頁(yè)由圖可得，，可得，解得，則，由，，則，故A錯(cuò)誤；由，，則，即，由，則，由圖可得，，則，故B正確；由，，，則，故C正確；由，，則，故D正確.故選：BCD.非選擇題部分三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)根，則復(fù)數(shù)的模的值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】求出復(fù)數(shù)后利用公式可求其模.【詳解】即為，故，故，故答案為：第9頁(yè)/共18頁(yè)13.—秦九韶公式：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是，記，則三角形面積為.已知中，，則的內(nèi)切圓半徑為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】利用海倫公式結(jié)合等面積法，即可求三角形內(nèi)切圓半徑.【詳解】根據(jù)海倫公式，可知：，再設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則有，故答案為：.14.在正四面體ABCD中，分別為的中點(diǎn)，，截面EFG將四面體分成兩部分，則體積較大部分與體積較小部分的體積之比是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面的公理，將平面進(jìn)行延拓，利用分割法，結(jié)合棱錐的體積公式，可得答案.【詳解】由題意，取，使得，連接，如下圖：由分別為的中點(diǎn)，則，，由，則，所以共面，所以截面將正四面體分為多面體與多面體，第10頁(yè)/共18頁(yè)設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，易知高，則體積，由圖可知多面體可分為四棱錐與三棱錐，在四棱錐中，由到底面的距離為，且，則到底面的距離，即在底面上的高，底面的面積，所以四棱錐的體積，在三棱錐中，由到底面的距離為，且，則到底面的距離，即底面上的高，易知為等邊三角形且邊長(zhǎng)為，所以三棱錐的體積，故多面體的體積，多面體的體積，所以體積較大部分與體積較小部分的體積之比是.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知圓錐的軸截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正三角形.（1）求該圓錐的體積與表面積；第11頁(yè)/共18頁(yè)（2）該圓錐內(nèi)切球半徑為，內(nèi)接正方體棱長(zhǎng)為，求的值.【答案】（1），（2）【解析】1）由題意可得圓錐的幾何元素，利用其體積公式以及表面積公式，可得答案；（2）由題意作圖，根據(jù)銳角三角函數(shù)，建立方程，可得答案.【小問(wèn)1詳解】由軸截面為4的等邊三角形，可得底面半徑，高為，母線長(zhǎng)，于是，.【小問(wèn)2詳解】如圖1，易知，可得在中，，解得，如圖2，易知，可得在中，，解得，故16.已知函數(shù).（1）如果，求函數(shù)的最小正周期與增區(qū)間；（2）如果，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，求的值.第12頁(yè)/共18頁(yè)【答案】（1），增區(qū)間為（2）【解析】1）應(yīng)用二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)得出解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)周期及單調(diào)性計(jì)算求解；（2）應(yīng)用二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)得出解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值計(jì)算得出正切值.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，故最小正周期由，得，故增區(qū)間為【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，其中當(dāng)時(shí)，取得最大值.所以，所以17.已知三角形內(nèi)角對(duì)邊分別為，向量，且.（1）求角；第13頁(yè)/共18頁(yè)（2）若，三角形邊上有一點(diǎn)，求的長(zhǎng)；（3）角的平分線交于點(diǎn)，且，求面積最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】1）由向量垂直得到方程，結(jié)合正弦定理得到，求出；（2）根據(jù)向量基本定理得到，兩邊平方，得到，求出模長(zhǎng)；（3）由和三角形面積公式得到方程，求出，由基本不等式求出，得到三角形面積最小值.【小問(wèn)1詳解】由得，，由正弦定理得，，，所以，所以，故，又，所以【小問(wèn)2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在上，，故，所以第14頁(yè)/共18頁(yè)，所以；【小問(wèn)3詳解】，由，即，得，于是，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故.18.如圖矩形中，與為點(diǎn).（1）求的值；（2）若.設(shè)，求關(guān)于的表達(dá)式，并求的最大值.【答案】（1）（2），的最大值為.【解析】1表示向量，再利用垂直關(guān)系的向量表示，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求解.（2）利用共線向量定理，結(jié)合平面向量基本定理求出關(guān)于的表達(dá)式，再利用（1）的結(jié)論，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求出函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而求出最值.【小問(wèn)1詳解】第15頁(yè)/共18頁(yè)在矩形中，由直線與垂直，得，即，而，則，所以.【小問(wèn)2詳解】由，得，即，同理，由，得，又不共線，則，解得；，由，得，所以，設(shè)，由，得，則，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)，即時(shí)取得最大值.19.以下是數(shù)學(xué)中對(duì)“曼哈頓距離”的定義：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，則叫作兩點(diǎn)的曼哈頓距離，又稱為折線距離或出租車距離等.某同學(xué)在上課聽(tīng)了老師對(duì)曼哈頓距離的介紹后，課后對(duì)它進(jìn)行了研究.首先，把點(diǎn)P取在特殊直線上，取已知定點(diǎn)第16頁(yè)/共18頁(yè)，即轉(zhuǎn)化為函數(shù)（為常數(shù)）的問(wèn)題；第二步，把兩點(diǎn)取在一般直線上，轉(zhuǎn)化為函數(shù)為常數(shù)的問(wèn)題；第三步，把兩點(diǎn)分別取在直線與曲線上，設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)，再求兩點(diǎn)曼哈頓距離最值；請(qǐng)按該同學(xué)研究思路，完成以下問(wèn)題：（1）求函數(shù)的值域；（2）已知關(guān)于的函數(shù)的最小值為2時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；（3）已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)坐標(biāo)滿足條件，求兩點(diǎn)間曼哈頓距離的最小值.【答案】（1）（2）或0（3）【解析】1）根據(jù)絕對(duì)值得定義，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，作圖可得答案；（2）由題意可得函數(shù)在何處取得最值