第08章電磁波在各向異性介質(zhì)中的傳播

電磁波在各向異性介質(zhì)中的傳播第八章8.1晶體的介電張量和折射率橢球8.2光波在晶體中的傳播8.3光波在晶體表面的反射和透射

本章討論電磁波—光波在各向異性介質(zhì)中的傳播問題。光學各向異性晶體的物理屬性是光波在晶體中傳播會出現(xiàn)雙折射、二向色性和旋光性等現(xiàn)象，同時還使光波具有偏振特性。宏觀上講，晶體所具有的各向異性本質(zhì)上是電學上的各向異性。因此，作為電磁場理論的內(nèi)容，本章從麥克斯韋方程組出發(fā)，介紹表征各向異性晶體的介電張量以及折射率橢球，然后討論光波在晶體中的傳播，并在此基礎(chǔ)上簡單介紹一些晶體光學器件。8.1晶體的介電張量和折射率橢球一、

晶體的介電張量在各向同性介質(zhì)中在各向異性介質(zhì)中可簡記為稱之為極化率二階張量

記為或矢量P和E記為矩陣方程可以寫成求和形式習慣記法為電通密度矢量與電場強度矢量之間的關(guān)系為式中為單位矩陣而矩陣其中稱之為相對介電張量，稱之為介電張量

D與E的關(guān)系可寫成矩陣形式或?qū)懗汕蠛托问綖檫@是描述各向異性晶體的物質(zhì)方程之一

電磁場能量密度為電場能量密度和磁場能量密度之和在無耗的情況下的能量連續(xù)性方程為將坡印廷矢量代入上式，則有而介質(zhì)中無源的情況下故有由此得到比較式后可得

上式表明不論是具有對稱性的晶體，或者是不具有對稱性的其它介質(zhì)，介電張量都是二階對稱張量，張量的9個分量中，有6個獨立分量。這一對稱性質(zhì)是滿足能量守恒定律的直接結(jié)果。因此，介電張量可改寫成相對介電張量形式為二、折射率橢球

由上一章，對于各向同性光學介質(zhì)的折射率n與相對介電常數(shù)相聯(lián)系

對于各向異性光學晶體，其相對介電常數(shù)為二階對稱張量，介電張量表明光學晶體的折射率與方向有關(guān)并具有對稱性，這種與方向有關(guān)并具有對稱性的特性可用折射率橢球曲面來描述

這就是折射率橢球曲面在空間任意取向的一般方程，方程的系數(shù)正好與二階張量的元素有對應(yīng)關(guān)系，這種對應(yīng)關(guān)系反映的就是相對介電張量的對稱特性和方向特性。為三維空間正交坐標軸

如果取三維空間正交坐標軸與折射率橢球曲面的三個主軸重合，相對介電張量取對角化形式折射率橢球曲面方程就可以簡化為標準橢球曲面方程式中就是折射率橢球曲面三個主軸的半軸

、和稱之為晶體的主折射率

相應(yīng)的物質(zhì)方程可簡化為式中介電張量可簡化為若則具有這種性質(zhì)的晶體稱之為雙軸晶體討論若則有具有這種性質(zhì)的晶體稱之為單軸晶體若對應(yīng)的就是各向同性介質(zhì)，稱之為立方晶體

單軸晶體折射率橢球曲面方程為

這是以x3軸為對稱軸的旋轉(zhuǎn)橢球曲面，如圖8-1所示。 和就是光學上稱之為尋常光和非尋常光的折射率，與其相對應(yīng)的光波傳播速度為和(a)正晶體（ne＞no）(b)負晶體（ne＜no）圖8-1單軸晶體折射率橢球曲面圖三、折射率ne隨方向的變化

如圖8-2(a)所示，設(shè)一平面光波在晶體中傳播，平面波的波矢量為k，與晶體的光軸夾角為θ。

取x2ox3平面（如圖8-2(b)），在此平面內(nèi)折射率橢球的截線方程為

而波矢量為k的平面與折射率橢球相截的橢圓與截線方程的交點為該交點滿足截線方程，代入得到(a)三維圖(b)平面圖圖8-2折射率橢球截面圖這就是非尋常光折射率ne(θ)隨方向的變化關(guān)系

此式表明，當θ=0°時，ne(0°)=no，當θ=90°時，ne(90°)=ne。由此得出結(jié)論：當光波沿光軸（x3）傳播時，尋常光（o光）和非尋常光（e光）的折射率相同，傳播速度也相同，無雙折射現(xiàn)象。解，得8.2光波在晶體中的傳播

光波是電磁波，研究光波在晶體中傳播的規(guī)律出發(fā)點仍然是麥克斯韋方程及描述晶體電特性的物質(zhì)方程。晶體屬于非磁性物質(zhì)，μr=1；晶體無吸收，σ=0；晶體中無源，

V=0，JV=0。由此得到晶體中的麥克斯韋方程為物質(zhì)方程為一、各向異性介質(zhì)中的單色平面波設(shè)晶體中傳播的單色平面波為將上式代入麥克斯韋方程可得結(jié)論（1）H垂直于E、D、k0、S，且E、D、k和S都位于與H垂直的同一平面內(nèi)。（2）由于晶體的各向異性，介電常數(shù)為一張量，導(dǎo)致D與E的方向不一致，且夾角為α，稱之為離散角。由于S與E垂直，而k0與D垂直，因此，k0與S的方向也不一致，其夾角也為α。（3）D、H和k0組成右手正交系統(tǒng)，k0是等相位面的單位法線矢量，因此，光波的振動矢量是D。（4）E、H和S組成另一右手正交系統(tǒng)，能流密度矢量S的方向與電場矢量E的方向垂直，S并不垂直于D。二、相速度和光線速度

平面電磁波表達式中，k表示平面波的波矢量，也即平面波等相位面的方向—波面的法線方向，因此稱k0為波面的單位法線矢量。坡印廷矢量S表示電磁波能量傳播的矢量，其方向為光線的方向，則S的單位矢量s0稱為光線方向的單位矢量或射線單位矢量。等相位面?zhèn)鞑サ乃俣染褪窍嗨俣?/p>

相速度的方向就是波面的單位法線矢量k0

根據(jù)能流密度矢量S，可定義能量傳播速度或稱為光線速度為s0為光線方向的單位矢量，也即能流密度矢量的方向

故利用矢量公式則有相速度與光線速度之間的關(guān)系為可定義光線折射率為三、菲涅耳法線方程根據(jù)光波矢量間的關(guān)系式用k0乘以第二式兩端代入第一式可得利用晶體光學的第一基本方程其成分量式為將代入經(jīng)整理可得或?qū)懗蛇@個方程描述的是晶體中光波傳播的等相位面的單位法線矢量k0、與之對應(yīng)的折射率n和晶體折射率橢球的三個主折射率之間的關(guān)系,稱之為菲涅耳法線方程.

四、單軸晶體中光波的傳播特性單軸晶體的特點是且光軸沿x3軸的方向

為簡單起見，選取平面波的波矢單位矢量k0在x2ox3平面內(nèi)，k0與x3軸的夾角為θ，由圖8-2(b)可知，k0的分量形式為則有代入菲涅耳法線方程該方程的解有兩個，分別為

此解表明平面光波在單軸晶體中傳播同時存在兩個光波，一般情況下這兩個光波的傳播方向不一致。對于第一個解，表示折射率n不依賴于k0的方向，亦即這種光在晶體中沿任何方向傳播時折射率都相，，跟各向同性介質(zhì)中光傳播的情況一樣，所以稱之為尋常光，簡稱o光。第二個解表示折射率n隨波矢k0的方向而變，與各向同性介質(zhì)中光傳播的情況不同，所以稱之為非尋常光，簡稱e光。(a)三維圖(b)平面圖圖8-2折射率橢球截面圖解石英晶體最大離散角為而方解石晶體的最大離散角為例8.1

當入射光的波長為589.3nm時，兩種典型晶體的參數(shù)為石英（正晶體）：；方解石（負晶體）：。求最大離散角。五、單軸晶體中的折射率曲面和光波面1．折射率曲面

折射率曲面也稱波矢面，描述折射率曲面的方程就是菲涅耳法線方程設(shè)在折射率空間，曲面上任意點的矢徑為r，則矢徑的分量形為運算后可得對單軸晶體代入式后得此方程等效為兩個方程

第一個方程為球面，半徑為no；第二個方程為旋轉(zhuǎn)橢球面，長短半軸分別為no和ne。

由此表明，在單軸晶體中存在的兩個光波的折射率，其一與傳播方向無關(guān)，折射率為no，這就是尋常光；其二與傳播方向有關(guān)，這就是非尋常光。非尋常光的折射率曲面是以x3為旋轉(zhuǎn)軸的橢球。注意，折射率曲面與折射率橢球不同，折射率曲面在x3方向的半軸為no，而x1、

x2方向的半軸為ne。圖8-5和圖8-6分別給出正、負單軸晶體的折射率曲面在x2x3和x1x2的截面圖。圖8-5正單軸晶體折射率曲面截面圖圖8-6負單軸晶體折射率曲面截面圖2．光波面

利用折射率與速度的關(guān)系，還可以得到以速度描述光在晶體中傳播特性的波面方程，也即光線速度面方程。此時菲涅耳法線方程不再適用，必須推導(dǎo)出與光線方向相關(guān)的方程。由圖可知，在k0方向的投影為而在D方向的分量為因此前面晶體光學的第一基本方程可寫為

與同方向，其矢量模的大小關(guān)系為又利用關(guān)系式（8-62），式（8-115）寫成矢量形式為即同樣，由圖8-7可知，在s0方向的投影為可得這就是晶體光學的第二方程其分量式為前面已知單軸晶體的物質(zhì)方程為其分量式為比較后可知上式分別乘以s01、s02和s03，然后相加，有即將單位矢量s0的模代入方程右端，并移項，有利用速度與折射率的關(guān)系上式轉(zhuǎn)化為光波面上任意點的矢徑為r矢徑的分量形式為化簡后可得整理可得此方程等效為

可以看出，單軸晶體的光波面有兩個：其一為球面，半徑為，這是尋常光；其二為旋轉(zhuǎn)橢球面，長短半軸為和，這是非尋常光。圖8-8和圖8-9分別給出正、負單軸晶體的折射率曲面在x2x3和x1x2的截面圖。圖8-8單軸正晶體的光波面圖8-9單軸負晶體的光波面8.3光波在晶體表面的反射和透射

前面兩節(jié)討論了表征各向異性晶體的折射率橢球，光波在各向異性晶體中傳播時電通密度矢量D、電場強度矢量E、磁場強度矢量H、波矢k和能流密度矢量S間的關(guān)系，以及折射率曲面和光波面等。本節(jié)討論當光入射到晶體表面時，反射光和透射光所遵循的反射和透射定律。與各向同性介質(zhì)相比，由于晶體的各向異性，光在晶體表面的反射和透射現(xiàn)象要復(fù)雜的多。一、光波在晶體表面上的反射和透射定律設(shè)入射單色平面光波為反射和透射平面波為根據(jù)相位匹配條件

由此可得由此可以判斷，矢量和必須垂直于界面。上式分別是反射定律和透射定律的矢量形式。

、和與界面法線共面，也就是說，反射光和透射光的波矢都在入射面內(nèi)，因此，有這就是反射定律和透射定律的標量形式如果反射波與入射波在均勻、各向同性的介質(zhì)內(nèi)，波矢大小相等，即則有反射光遵循各向同性介質(zhì)中的反射定律當光進入晶體后，由圖8-5和圖8-6可知，各向異性晶體的