2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步訓(xùn)練：正方形中的三大模型題（原卷板）

專題5正方形中的三大模型

類型一：正方形中的十字架模型

類型二：正方形中的半角（45°）模型

類型三：正方形中手拉手模型

類型一：正方形中的十字架模型

I.如圖，邊長(zhǎng)分別為1和2的兩個(gè)正方形/BCD和CEFG并排放在一起，點(diǎn)8、C、E共線，連接8。并

延長(zhǎng)交EG于點(diǎn)T,交FG于點(diǎn)P,則GT的長(zhǎng)為（）

A.B.C.D.1

2.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E與點(diǎn)產(chǎn)分別為射線5C,CZ）上一點(diǎn)，且BE=CF,連接4E,BF

并交于點(diǎn)G,點(diǎn)尸為邊CD上一點(diǎn)，DP=\,連接尸G,則線段PG長(zhǎng)度的最小值為（）

AD

BEC

A.2B.V17C.V17-2：D.

3.如圖，在正方形45cD中，點(diǎn)￡、廠分別在48、5C上,連接NR過(guò)點(diǎn)E作EG，/尸交CD于點(diǎn)G,連

接尸G.若AE=2BF,NBAF=cc,則N￡Gb一定等于（）

AD

口

BFC

A.45°+aB.45°-aC.2aD.a

4.如圖，在正方形/BCD中，點(diǎn)E,b分別是對(duì)角線/C上的點(diǎn)，連接C￡,EF,DF,若EF〃BC,

且/CEF=a,則N/FZ）的大小為（）

AD

區(qū)

BC

A.aB.2aC.45°-aD.45°+a

5.如圖，在正方形/BCD中，點(diǎn)E在邊上，/尸，DE于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)、F.若NE=15,CF=5,則

6.如圖，正方形/BCD中，點(diǎn)￡、尸分別在8C、CD上，△/￡尸是等邊三角形，連結(jié)NC交昉于點(diǎn)G,

給出下面四個(gè)結(jié)論：①BE=DF；②/D4F=15°；③NG=2CG；@CG=^CE.上述結(jié)論中，正確

7.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形/BCD中，點(diǎn)E,尸分別是邊CD,的中點(diǎn)，連接4B,BF,點(diǎn)、G,〃分

別是NE,AF的中點(diǎn)，連接GH則G〃的長(zhǎng)為.

故答案為：V2.

8.如圖，正方形48co的對(duì)角線交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是線段0D上一點(diǎn)，連接EC,過(guò)點(diǎn)3作AFLCE于點(diǎn)尸,

交OC于點(diǎn)G.若0B=近,AF是/。2C的平分線，求的長(zhǎng).

9.如圖，在正方形/3CO中，點(diǎn)￡、尸分別在CD、ND上，連接8尸相交于點(diǎn)G,AELBF.

(1)求證：NAED=/FBC；

(2)連接3E,BF,若/E=4,求四邊形/8EF的面積.

10.如圖，正方形N8CD中，點(diǎn)尸在對(duì)角線8。上，點(diǎn)￡在C8的延長(zhǎng)線上，且PE=PC,過(guò)點(diǎn)尸作尸尸，

4E于F,直線P尸分別交/8、CD于G、H.

(1)求證：點(diǎn)/為NE的中點(diǎn)；

(2)若BE=1,AB=3,求PE的長(zhǎng)；

(3)求證：DH=AG+BE.

備圖

類型二：正方形中的半角（45°）模型

11.如圖，已知正方形/BCD的邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)E,尸分別在邊2C、CD上，/E4F=45：當(dāng)斯=6時(shí)，△

/￡廠的面積是（）

A.8B.16C.20D.24

12.如圖，正方形/2C。中，點(diǎn)、E、尸分別在48、BC上,/EOF=45°,。。_1所于￡）,OAOD,DE=

2,DF=3.則正方形48co的邊長(zhǎng)為（）

A.5B.6C.7D.8

13.如圖，在邊長(zhǎng)為5的正方形/8C。中，ZEAF=45a,則尸的周長(zhǎng)是（）

A.12B.10C.4V2D.8

14.如圖，點(diǎn)￡,廠分別在正方形/BCD的邊2C,CD上，NEAF=45°,若/。=6,DF=2,貝I

A.4V3B.15C.12D.16

15.如圖，在正方形/BCD中，點(diǎn)、E,尸分別在2C,CD上,連接AF,EF,/EAF=45°.若/BAE

=a,則NEFC一定等于（）

A.2aB.90°-2aC.45°-aD.90°-a

16.如圖，在正方形48co中，點(diǎn)￡在2C上，點(diǎn)廠在CD上，連接AF、EF,/E4F=45°,BE

且/E4F=45°,下列結(jié)論中:

①/DEA+NBFA-ZEAF=90°；

②4F=CF；

③EF=DE+BF；

④若正方形的邊長(zhǎng)為4,則△/斯的面積=2EF.

正確的結(jié)論有.（請(qǐng)把所有正確結(jié)論的序號(hào)寫(xiě)在橫線上）

18.如圖，四邊形4BCO是正方形，E,尸分別在直線48,上，且NEC尸=45°,連接斯.

圖1

C1）當(dāng)E,廠分別在邊40上時(shí)，如圖1.請(qǐng)?zhí)骄烤€段￡尸，BE,。尸之間的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明

過(guò)程;

（2）當(dāng)E,廠分別在A4,的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2.試探究線段即，BE,。尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證

明.

19.如圖，在四邊形/BCD中，E,尸分別是直線3C,直線CD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)/作射線射線/尸，Z

EAF=a.

(1)若四邊形N8CD為菱形，ZB=60°,a=60°,求證：AE=AF；

1

(2)若四邊形/BCD為正方形，a=45°,連接斯，當(dāng)/2=8,BE=/C時(shí)，求跖的長(zhǎng).

20.如圖，在四邊形48co中，點(diǎn)M、N分別在邊CD、3c上.連接/“、AN.

(1)如圖1,四邊形/BCD為正方形時(shí)，連結(jié)兒W,且/M4N=45°,

①已知CM=6,CN=8,求MN的長(zhǎng)；

②已知DM：CM=3：2,求N8：8N的值；

(2)如圖2,四邊形4SCO為矩形，NAMD=2NBAN,點(diǎn)、N為BC的中點(diǎn)、,AN=6,AM=S,求/。的

長(zhǎng).

圖2

類型三：正方形中手拉手模型

21.如圖，在△NBC中，已知4B=6VLBC=5,以/C為一邊作正方形ZCDE,使得點(diǎn)3,￡落在直線/C

的兩側(cè)，連接BE,以48為一邊作正方形AREG,使得點(diǎn)C,G落在直線48的兩側(cè)，連接CG.若/4BC

=45°,則的長(zhǎng)為.

22.如圖，在正方形N8CZ）中，￡為對(duì)角線/C上一點(diǎn)，連接?！?過(guò)點(diǎn)E作￡尸，?！?交8c延長(zhǎng)線于點(diǎn)

F,以DE,EF為鄰邊作矩形。EFG,連接CG.在下列結(jié)論中：①DE=EF；②絲△DCG；③

AC±CG；?CE=CF.其中正確的結(jié)論序號(hào)是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

23.如圖，已知四邊形N8CD為正方形，AB=2?￡為對(duì)角線NC上一點(diǎn)，連接?！?過(guò)點(diǎn)￡作￡尸，

DE,交3C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R以DE,EF為鄰邊作矩形DEFG,連接CG.下列結(jié)論：

①BE=EF；

②矩形DEFG是正方形；

③CG=/￡；

④CG平分NOCf

其中結(jié)論正確的序號(hào)有（）

A.①③④B.①②④C.①②③D.①②③④

24.已知四邊形/BCD和。EFG都是正方形，點(diǎn)尸在線段45上，連接/￡、BD,BD交FG于點(diǎn)、H.若N

+aC.22.5°+aD.90°-a

25.如圖，在正方形4BCD中，點(diǎn)。是對(duì)角線/C、3。的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作射線。初、ON分別交3C、CD

于點(diǎn)￡、F,且NE。尸=90°,OC、￡尸交于點(diǎn)G,連接/尸，DE.給出下列結(jié)論：

①△，（?尸名ZYDOE；K----------------------------

②△OBEdOCF；|\\\/

③四邊形CE。尸的面積為正方形/BCD面積的\

④DF?+BE2=EF2；

⑤心E,.

其中正確的為（）4

A.①②④⑤B.①②③④⑤C.①②③④D.①②③⑤

26.如圖，在正方形/BCD中，點(diǎn)。是對(duì)角線/C,BD交點(diǎn)、,過(guò)點(diǎn)。作射線OM,ON分別交8C,CD于

點(diǎn)、E,F,且/￡。9=90°,OC,EF交于點(diǎn)G.有下列結(jié)論：①△DOFg^COE；②CF=BE；③四

1

邊形C￡。廠的面積為正方形Z3CQ面積的不@DF2+BE2=2OE2.其中正確的是___________.

q

M

D/FC

N

27.如圖，已知正方形45CZ）的邊長(zhǎng)為2vL￡為對(duì)角線4C上的一點(diǎn)，連接。及過(guò)點(diǎn)￡作交

BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.以DE.EF為鄰邊作矩形DEFG,連接CG.有下列結(jié)論：①矩形DEFG是正方形；②

CE+CG=42AD；③CG平分NOCT；@CE=CF.其中，正確的結(jié)論是.

BCF

28.如圖，正方形Z5CD中，/2=4,點(diǎn)E是對(duì)角線/C上的