幾何專題02相似三角形和三角函數(shù)綜合實(shí)際應(yīng)用-備考2023年中考數(shù)學(xué)典型例題《考點(diǎn)題型技巧》精講與精練高分突破

2023年中考數(shù)學(xué)典型例題系列之幾何專題02：相似三角形和三角函數(shù)綜合實(shí)際應(yīng)用（解析版）1．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）第24屆冬奧會(huì)（也稱2022年北京冬奧會(huì)）于2022年2月4日至2月20日在中國北京舉行，北京成為了歷史上第一座既舉辦過夏奧會(huì)又舉辦過冬奧會(huì)的城市．冬奧會(huì)上跳臺(tái)滑雪是一項(xiàng)極為壯觀的運(yùn)動(dòng)．運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過助滑、起跳、空中飛行和著陸，整個(gè)動(dòng)作連貫一致，一氣呵成，如圖，某運(yùn)動(dòng)員穿著滑雪板，經(jīng)過助滑后，從傾斜角的跳臺(tái)A點(diǎn)以速度沿水平方向跳出，若忽略空氣阻力影響，水平方向速度將保持不變．同時(shí)，由于受重力作用，運(yùn)動(dòng)員沿豎直方向會(huì)加速下落，因此，運(yùn)動(dòng)員在空中飛行的路線是拋物線的一部分，已知該運(yùn)動(dòng)員在B點(diǎn)著陸，，且．忽略空氣阻力，請回答下列問題：(1)求該運(yùn)動(dòng)員從跳出到著陸垂直下降了多少m？(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，求該拋物線表達(dá)式；(3)若該運(yùn)動(dòng)員在空中共飛行了4s，求他飛行2s后，垂直下降了多少m？【答案】(1)該運(yùn)動(dòng)員從跳出到著陸垂直下降了90m(2)(3)他飛行2s后，垂直下降了22.5m【分析】（1）以A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D．在中，利用求出即可；（2）利用勾股定理求出，得到點(diǎn)B坐標(biāo)，即可求出拋物線的解析式；（3）將代入（2）的解析式求出y值即可．【詳解】（1）解：如圖，以A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D．在中，，答：該運(yùn)動(dòng)員從跳出到著陸垂直下降了90m；（2）解：在中，，，由題意拋物線頂點(diǎn)為，經(jīng)過．設(shè)拋物線的解析式為，則有，，拋物線的解析式為．（3）解：當(dāng)時(shí)，，他飛行2s后，垂直下降了22.5m．【點(diǎn)睛】此題考查了拋物線的實(shí)際應(yīng)用，待定系數(shù)法求拋物線的解析式，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，已知自變量求函數(shù)值，正確理解題意得到對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，湖邊、兩點(diǎn)由兩段筆直的觀景棧道和相連.為了計(jì)算、兩點(diǎn)之間的距離，經(jīng)測量得：，，米，求、兩點(diǎn)之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】、兩點(diǎn)之間的距離約為94米【分析】過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，分別解，，求得的長，進(jìn)而根據(jù)即可求解．【詳解】如圖，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，在中，∵，米，∴，，∴（米），（米），在中，∵，米，∴，∴（米），∴（米）.答：、兩點(diǎn)之間的距離約為94米.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組對一建筑物進(jìn)行測量．如圖，在山坡坡腳C處測得該建筑物頂端B的仰角為60°，沿山坡向上走20m到達(dá)D處，測得建筑物頂端B的仰角為30°．已知山坡坡度，即，請你幫助該小組計(jì)算建筑物的高度．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：）【答案】該建筑物的高度約為31.9m【分析】如圖，作交于點(diǎn)E，作交于點(diǎn)F，作交于點(diǎn)H，根據(jù)題意分別求出BF和AF的長，再根據(jù)即可求解．【詳解】作交于點(diǎn)E，作交于點(diǎn)F，作交于點(diǎn)H則，，∵∴設(shè)，則在中，∴∴∴（負(fù)值舍去）∴，∴，設(shè)，則在中，∵∴在中，∵∴即∵∴∴∴答：該建筑物的高度約為31.9m．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握坡角坡度，仰角的定義，添加合適的輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，小文在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測量居民樓的高度，在居民樓前方有一斜坡，坡長，斜坡的傾斜角為，．小文在點(diǎn)處測得樓頂端的仰角為，在點(diǎn)處測得樓頂端的仰角為（點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)）．(1)求，兩點(diǎn)的高度差；(2)求居民樓的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)9m(2)24m【分析】（1）過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，在中，可得，再利用勾股定理可求出，即可得出答案．（2）過點(diǎn)作于，設(shè)，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，在中，，，．．答：，兩點(diǎn)的高度差為．（2）過點(diǎn)作于，由題意可得，，設(shè)，在中，，解得，在中，，，，解得，．答：居民樓的高度約為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題、坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．5．（2014·河南·中考真題）在中俄“海上聯(lián)合﹣2014”反潛演習(xí)中，我軍艦A測得潛艇C的俯角為30°，位于軍艦A正上方1000米的反潛直升機(jī)B測得潛艇C的俯角為68°，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出潛艇C離開海平面的下潛深度．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，1.7）【答案】潛艇C離開海平面的下潛深度為308米【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB，交BA的延長線于點(diǎn)D，則AD即為潛艇C的下潛深度，分別在Rt三角形ACD中表示出CD和在Rt三角形BCD中表示出BD，從而利用二者之間的關(guān)系列出方程求解．【詳解】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB，交BA的延長線于點(diǎn)D，則AD即為潛艇C的下潛深度，根據(jù)題意得：∠ACD=30°，∠BCD=65°，設(shè)AD=x，則BD=BA+AD=1000+x，在Rt三角形ACD中，，在Rt三角形BCD中，BD=CD?tan68°，∴，解得：（米），∴潛艇C離開海平面的下潛深度為308米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從題目中抽象出直角三角形并選擇合適的邊角關(guān)系求解．6．（2022·西藏·統(tǒng)考中考真題）某班同學(xué)在一次綜合實(shí)踐課上，測量校園內(nèi)一棵樹的高度．如圖，測量儀在A處測得樹頂D的仰角為45°，C處測得樹頂D的仰角為37°（點(diǎn)A，B，C在一條水平直線上），已知測量儀高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求樹BD的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．【答案】13.6米【分析】如圖，連接EF，交BD于點(diǎn)M，用DM的長度分別表示EM和FM的長度，再根據(jù)EM和FM的和等于AC的長度，求出DM的長，在用DM和BM的和求出BD的長度即可．【詳解】解：連接EF，交BD于點(diǎn)M，則EF⊥BD，AE＝BM＝CF＝1.6米，在Rt△DEM中，∠DEM＝45°，∴EM＝DM，設(shè)DM＝x米，則EM＝AB＝x米，F(xiàn)M＝BC＝AC﹣AB＝（28﹣x）米，在Rt△DFM中，tan37°＝，即≈0.75，解得x＝12，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝12是原方程的根，即DM＝12米，∴DB＝12+1.6＝13.6（米），答：樹BD的高度為13.6米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用—仰角和俯角問題．準(zhǔn)確的構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵，在解題的過程中可以巧用公共邊列方程進(jìn)行計(jì)算．7．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，公園內(nèi)有一個(gè)垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個(gè)坡面，坡角．在陽光下，小明觀察到在地面上的影長為，在坡面上的影長為．同一時(shí)刻，小明測得直立于地面長60cm的木桿的影長為90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．【答案】(170+60)cm【分析】延長AD交BN于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BN于點(diǎn)F，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF，根據(jù)余弦的定義求出CF，根據(jù)題意求出EF，再根據(jù)題意列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】解：延長AD交BN于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BN于點(diǎn)F，在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，則DF=CD=90（cm），CF=CD?cos∠DCF=180×=90（cm），由題意得：=，即=，解得：EF=135，∴BE=BC+CF+EF=120+90+135=(255+90)cm，則=，解得：AB=170+60，答：立柱AB的高度為(170+60)cm．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題、平行投影的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，正確作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)和成比例線段計(jì)算．8．（2022·山東東營·統(tǒng)考中考真題）勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”.已知主塔垂直于橋面于點(diǎn)B，其中兩條斜拉索與橋面的夾角分別為和，兩固定點(diǎn)D、C之間的距離約為，求主塔的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）【答案】主塔的高度約為78m．【分析】在Rt△ABD中，利用正切的定義求出，然后根據(jù)∠C＝45°得出AB＝BC，列方程求出BD，即可解決問題．【詳解】解：∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABD中，，在Rt△ABC中，∠C＝45°，∴AB＝BC，∴，∴m，∴AB＝BC＝m，答：主塔的高度約為78m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵．9．（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）位于峴山的革命烈士紀(jì)念塔是襄陽市的標(biāo)志性建筑，是為紀(jì)念“襄樊戰(zhàn)役”中犧牲的革命烈士及第一、第二次國內(nèi)革命戰(zhàn)爭時(shí)期為襄陽的解放事業(yè)獻(xiàn)身的革命烈士的而興建的，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機(jī)測量紀(jì)念塔的高度．無人機(jī)在點(diǎn)A處測得紀(jì)念塔頂部點(diǎn)B的仰角為45°，紀(jì)念塔底部點(diǎn)C的俯角為61°，無人機(jī)與紀(jì)念塔的水平距離AD為10m，求紀(jì)念塔的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）【答案】烈士塔的高度約為28m．【分析】在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10m，則BD=AD=10m，在Rt△ACD中，tan∠DAC=tan61°=≈1.80，解得CD≈18m，由BC=BD+CD可得出答案．【詳解】解：由題意得，∠BAD=45°，∠DAC=61°，在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10m，∴BD=AD=10m，在Rt△ACD中，∠DAC=61°，tan61°=≈1.80，解得CD≈18，∴BC=BD+CD=10+18=28（m）．∴紀(jì)念塔的高度約為28m．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．10．（2022·四川資陽·中考真題）小明學(xué)了《解直角三角形》內(nèi)容后，對一條東西走向的隧道進(jìn)行實(shí)地測量．如圖所示，他在地面上點(diǎn)C處測得隧道一端點(diǎn)A在他的北偏東方向上，他沿西北方向前進(jìn)米后到達(dá)點(diǎn)D，此時(shí)測得點(diǎn)A在他的東北方向上，端點(diǎn)B在他的北偏西方向上，（點(diǎn)A、B、C、D在同一平面內(nèi)）(1)求點(diǎn)D與點(diǎn)A的距離；(2)求隧道的長度．（結(jié)果保留根號）【答案】(1)點(diǎn)D與點(diǎn)A的距離為300米(2)隧道的長為米【分析】（1）根據(jù)方位角圖，易知，，解即可求解；（2）過點(diǎn)D作于點(diǎn)E．分別解，求出和，即可求出隧道的長【詳解】（1）由題意可知：，在中，∴（米）答：點(diǎn)D與點(diǎn)A的距離為300米．（2）過點(diǎn)D作于點(diǎn)E．∵是東西走向∴在中，∴在中，∴∴（米）答：隧道的長為米【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，掌握方向角的概念、熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．11．（2022·遼寧朝陽·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備測量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度（旗桿底端有臺(tái)階）．該小組在C處安置測角儀CD，測得旗桿頂端A的仰角為30°，前進(jìn)8m到達(dá)E處，安置測角儀EF，測得旗桿頂端A的仰角為45°（點(diǎn)B，E，C在同一直線上），測角儀支架高CD＝EF＝1.2m，求旗桿頂端A到地面的距離即AB的長度．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：≈1.7）【答案】旗桿頂端A到地面的距離即AB的長度約為12m【分析】延長DF交AB于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，然后設(shè)AG＝xm，在Rt△AFG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出FG的長，從而求出DG的長，再在Rt△ADG中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可詳解．【詳解】解：延長DF交AB于點(diǎn)G，由題意得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，設(shè)AG＝xm，在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，∴FGx（m），∴DG＝DF+FG＝（x+8）m，在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，∴tan30°，∴x＝44，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝44是原方程的根，∴AB＝AG+BG≈12（m），∴旗桿頂端A到地面的距離即AB的長度約為12m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．12．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）北京時(shí)間2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸．為弘揚(yáng)航天精神，某校在教學(xué)樓上懸掛了一幅長為的勵(lì)志條幅（即）．小亮同學(xué)想知道條幅的底端到地面的距離，他的測量過程如下：如圖，首先他站在樓前點(diǎn)處，在點(diǎn)正上方點(diǎn)處測得條幅頂端的仰角為，然后向教學(xué)樓條幅方向前行到達(dá)點(diǎn)處（樓底部點(diǎn)與點(diǎn)，在一條直線上），在點(diǎn)正上方點(diǎn)處測得條幅底端的仰角為，若，均為（即四邊形為矩形），請你幫助小亮計(jì)算條幅底端到地面的距離的長度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】條幅底端F到地面的距離FE的長度約為5.7米．【分析】設(shè)AC與GE相交于點(diǎn)H，根據(jù)題意可得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，然后設(shè)CH＝x米，則AH＝（12＋x）米，在Rt△CHF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出FH的長，從而求出GH的長，最后再在Rt△AHG中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：設(shè)AC與GE相交于點(diǎn)H，由題意得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，設(shè)CH＝x米，∴AH＝AC＋CH＝（12＋x）米，在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，∴FH＝CH?tan45°＝x（米），∵GF＝8米，∴GH＝GF＋FH＝（8＋x）米，在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，∴tan37°＝，解得：x＝4，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝4是原方程的根，∴FE＝FH＋HE＝5.65≈5.7（米），∴條幅底端F到地面的距離FE的長度約為5.7米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．13．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）菏澤某超市計(jì)劃更換安全性更高的手扶電梯，如圖，把電梯坡面的坡角由原來的37°減至30°，已知原電梯坡面AB的長為8米，更換后的電梯坡面為AD，點(diǎn)B延伸至點(diǎn)D，求BD的長．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：）【答案】約為1.9米【分析】根據(jù)正弦的定義求出AC，根據(jù)余弦的定義求出BC，根據(jù)正切的定義求出CD，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【詳解】解：在Rt△ABC中，AB=8米，∠ABC=37°，則AC=AB?sin∠ABC≈8×0.60=4.8（米），BC=AB?cos∠ABC≈8×0.80=6.40（米），在Rt△ADC中，∠ADC=30°，則CD=≈8.30（米），∴BD=CDBC=8.306.40≈1.9（米），答：BD的長約為1.9米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．14．（2022·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，我國某海域有A，B，C三個(gè)港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是單位“海里”的符號）處，A港口在B港口北偏西50°方向且距離B港口40nmile處，在A港口北偏東53°方向且位于C港口正北方向的點(diǎn)D處有一艘貨船，求貨船與A港口之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）【答案】貨船與A港口之間的距離約為80海里【分析】過點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E，過點(diǎn)B作BF⊥AE，垂足為F，根據(jù)題意得：EF=BC=33.2海里，AG∥DC，從而可得∠ADC=53°，然后在Rt△AEF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AF的長，從而求出AE的長，最后在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E，過點(diǎn)B作BF⊥AE，垂足為F，由題意得：EF=BC=33.2海里，AG∥DC，∴∠GAD=∠ADC=53°，在Rt△ABF中，∠ABF=50°，AB=40海里，∴AF=AB?sin50°≈40×0.77=30.8（海里），∴AE=AF+EF=64（海里），在Rt△ADE中，AD=≈=80（海里），∴貨船與A港口之間的距離約為80海里．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．15．（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）隨著我國科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，5G移動(dòng)通信技術(shù)日趨完善．某市政府為了實(shí)現(xiàn)5G網(wǎng)絡(luò)全覆蓋，2021~2025年擬建設(shè)5G基站3000個(gè)，如圖，在斜坡上有一建成的5G基站塔，小明在坡腳處測得塔頂?shù)难鼋菫椋缓笏仄旅嫘凶吡?0米到達(dá)處，處離地平面的距離為30米且在處測得塔頂?shù)难鼋牵c(diǎn)、、、、均在同一平面內(nèi)，為地平線）（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求坡面的坡度；(2)求基站塔的高．【答案】(1)(2)基站塔的高為米【分析】（1）過點(diǎn)、分別作的垂線，交的延長線于點(diǎn)、，過點(diǎn)作，垂足為，利用勾股定理求出，然后利用坡度的求解方式求解即可；（2）設(shè)米，則米，米，根據(jù)，求出米，米．在中，求出；再根據(jù)（米．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)、分別作的垂線，交的延長線于點(diǎn)、，過點(diǎn)作，垂足為．根據(jù)他沿坡面行走了50米到達(dá)處，處離地平面的距離為30米，（米），（米），根據(jù)勾股定理得：（米）坡面的坡度為；,即坡面的坡度比為；（2）解：設(shè)米，則米，米，，，米，米．在，米，米，，，解得；（米），（米，（米）．答：基站塔的高為米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，通過作垂線構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系和坡度的意義進(jìn)行計(jì)算是常用的方法．16．（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，小睿為測量公園的一涼亭AB的高度，他先在水平地面點(diǎn)E處用高1.5m的測角儀DE測得，然后沿EB方向向前走3m到達(dá)點(diǎn)G處，在點(diǎn)G處用高1.5m的測角儀FG測得．求涼亭AB的高度．（A，C，B三點(diǎn)共線，，，，．結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】m【分析】根據(jù)題意可得BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，然后設(shè)CF＝x，則CD＝（x+3），先在Rt△ACF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長，再在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：由題意得：BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，設(shè)CF＝x，∴CD＝CF+DF＝（x+3），在Rt△ACF中，∠AFC＝42°，∴AC＝CF?tan42°≈0.9x（m），在Rt△ACD中，∠ADC＝31°，∴tan31°，∴x＝6，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝6是原方程的根，∴AB＝AC+BC＝0.9x+1.5＝6.9（m），∴涼亭AB的高約為6.9m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．17．（2022·貴州六盤水·統(tǒng)考中考真題）“五一”節(jié)期間，許多露營愛好者在我市郊區(qū)露營，為遮陽和防雨會(huì)搭建一種“天幕”，其截面示意圖是軸對稱圖形，對稱軸是垂直于地面的支桿，用繩子拉直后系在樹干上的點(diǎn)處，使得，，在一條直線上，通過調(diào)節(jié)點(diǎn)的高度可控制“天幕”的開合，m，m．(1)天晴時(shí)打開“天幕”，若，求遮陽寬度（結(jié)果精確到0.1m）；(2)下雨時(shí)收攏“天幕”，從65°減少到45°，求點(diǎn)下降的高度（結(jié)果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)遮陽寬度約為(2)點(diǎn)下降的高度約為【分析】（1）在中，利用正弦可得的長，由此即可得；（2）設(shè)點(diǎn)下降到點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，再分別解直角三角形可得的長，然后根據(jù)線段和差即可得．【詳解】（1）解：由題意得：是軸對稱圖形，，，，，，答：遮陽寬度約為．（2）解：如圖，設(shè)點(diǎn)下降到點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形和四邊形都是矩形，，，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，答：點(diǎn)下降的高度約為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、軸對稱圖形、矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．18．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）旗桿及升旗臺(tái)的剖面如圖所示，MN、CD為水平線，旗桿AB⊥CD于點(diǎn)B．某一時(shí)刻，旗桿AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝1.2m，DE＝1.4m．同一時(shí)刻，測得豎直立在坡面DN上的1m高的標(biāo)桿影長為0.25m（標(biāo)桿影子在坡面DN上），此時(shí)光線AE與水平線的夾角為80.5°，求旗桿AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin80.5°≈0.98，cos80.5°≈0.17，tan80.5°≈6）【答案】旗桿AB的高度為12.8m【分析】設(shè)MN為豎直立在坡面DN上的1m高的標(biāo)桿，ME為標(biāo)桿影子，長為0.25m，作DF⊥CD交AE于點(diǎn)F，作FH⊥AB于點(diǎn)H，利用相似和銳角三角函數(shù)可以求出旗桿AB的高度．【詳解】解：如圖，設(shè)MN為豎直立在坡面DN上的1m高的標(biāo)桿，ME為標(biāo)桿影子，長為0.25m，作DF⊥CD交AE于點(diǎn)F，作FH⊥AB于點(diǎn)H，∵DFMN，∴＝，∴＝，∴DF＝5.6，∴BH＝DF＝5.6，在Rt△AHF中，∠AFH＝80.5°，tan∠AFH＝，∴tan80.5°＝≈6，∴AH≈7.2，∴旗桿AB的高度為5.6+7.2＝12.8（m）．所以，旗桿AB的高度為12.8m．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)和相似三角形的應(yīng)用；作出相應(yīng)輔助線得到矩形是解決本題的難點(diǎn)；用到的知識(shí)點(diǎn)為：同一時(shí)刻物高與影長的比一定，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．19．（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）2022年北京冬奧會(huì)的成功舉辦激發(fā)了人們對冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情．如圖是某滑雪場的橫截面示意圖，雪道分為AB，BC兩部分，小明同學(xué)在C點(diǎn)測得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A點(diǎn)測得B點(diǎn)的俯角∠DAB=30°．若雪道AB長為270m，雪道BC長為260m．(1)求該滑雪場的高度h；(2)據(jù)了解，該滑雪場要用兩種不同的造雪設(shè)備來滿足對于雪量和雪質(zhì)的不同要求，其中甲設(shè)備每小時(shí)造雪量比乙設(shè)備少35m3，且甲設(shè)備造雪150m3所用的時(shí)間與乙設(shè)備造雪500m3所用的時(shí)間相等．求甲、乙兩種設(shè)備每小時(shí)的造雪量．【答案】(1)235m(2)甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是15m3，則乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是50m3【分析】（1）過B作BF∥AD，過D過AF⊥AD，兩直線交于F，過B作BE垂直地面交地面于E，根據(jù)題知∠ABF=∠DAB=30°，可得，由BC的坡度i=1：2.4，設(shè)BE=tm，則CE=2.4tm，可得t2+（2.4t）2=2602，即可得h=AF+BE=235（m）；（2）設(shè)甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是xm3，可得：，即方程并檢驗(yàn)可得甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是15m3，則乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是50m3．【詳解】（1）解：過B作BF∥AD，過A過AF⊥AD，兩直線交于F，過B作BE垂直地面交地面于E，如圖：根據(jù)題知∠ABF=∠DAB=30°，∴，∵BC的坡度i=1：2.4，∴BE：CE=1：2.4，設(shè)BE=tm，則CE=2.4tm，∵BE2+CE2=BC2，∴t2+（2.4t）2=2602，解得t=100（m），（負(fù)值已舍去），∴h=AF+BE=235（m），答：該滑雪場的高度h為235m；（2）設(shè)甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是xm3，則乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是（x+35）m3，根據(jù)題意得：，解得x=15，經(jīng)檢驗(yàn)，x=15是原方程的解，也符合題意，∴x+35=50，答：甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是15m3，則乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是50m3．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形和分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形和列出分式方程．20．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）2022年6月5日，“神舟十四號”載人航天飛船搭載“明星”機(jī)械臂成功發(fā)射．如圖是處于工作狀態(tài)的某型號手臂機(jī)器人示意圖，是垂直于工作臺(tái)的移動(dòng)基座，、為機(jī)械臂，m，m，m，．機(jī)械臂端點(diǎn)到工作臺(tái)的距離m．(1)求、兩點(diǎn)之間的距離；(2)求長．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)6.7m(2)4.5m【分析】（1）連接，過點(diǎn)作，交的延長線于，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理即可解決問題．（2）過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖2，連接，過點(diǎn)作，交的延長線于．在中，，，所以，，所以，在中，m，m，根據(jù)勾股定理得m，答：、兩點(diǎn)之間的距離約6.7m．（2）如圖2，過點(diǎn)作，垂足為，則四邊形為矩形，m，，所以m，在中，m，m，根據(jù)勾股定理得m．m．答：的長為4.5m．【點(diǎn)睛】求角的三角畫數(shù)值或者求線段的長時(shí)，我們經(jīng)常通過觀察圖形將所求的角成者線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中（如果沒有直角三角形，設(shè)法構(gòu)造直角三角形），再利用銳角三角畫數(shù)求解21．（2022·青海·統(tǒng)考中考真題）隨著我國科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，科學(xué)幻想變?yōu)楝F(xiàn)實(shí).如圖1是我國自主研發(fā)的某型號隱形戰(zhàn)斗機(jī)模型，全動(dòng)型后掠翼垂尾是這款戰(zhàn)斗機(jī)亮點(diǎn)之一.圖2是垂尾模型的軸切面，并通過垂尾模型的外圍測得如下數(shù)據(jù)，，，，，且，求出垂尾模型ABCD的面積.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）

【答案】24【分析】過作垂直的延長線于，交于點(diǎn)，構(gòu)建等直角三角形；，則在直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半，即可求出CF，勾股定理求出DF即可．在根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得出△DAE的底和高即可求出面積．【詳解】解：過作垂直的延長線于，交于點(diǎn)．∵，∴，∴，在中，，，∴，，，∵，∴，∴．在和中，，∴．∴，，∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形的全等以及勾股定理，根據(jù)題意，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)勾股定理求出三角形的各邊是解題的關(guān)鍵．22．（2022·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖，小敏在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)知識(shí)對他所在小區(qū)居民樓AB的高度進(jìn)行測量，從小敏家陽臺(tái)C測得點(diǎn)A的仰角為33°，測得點(diǎn)B的俯角為45°，已知觀測點(diǎn)到地面的高度CD＝36m，求居民樓AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．【答案】59m【分析】過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，則∠AEC＝∠BEC＝90°，先證明四邊形BECD是矩形，BE＝CD＝36m，在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，BE＝CE＝CD＝36m，在Rt△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36m，求得AE≈23.4m，進(jìn)而得到居民樓AB的高度．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，則∠AEC＝∠BEC＝90°，由題意可知∠CDB＝∠DBE＝90°，∴四邊形BECD是矩形，∴BE＝CD＝36m，由題意得，CD＝36m，∠BCE＝45°，∠ACE＝33°，在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，∴∠EBC＝90°－∠BCE＝45°，∴∠EBC＝∠