提優(yōu)點(diǎn)16　圓錐曲線的切線與光學(xué)性質(zhì)

板塊六平面解析幾何提優(yōu)點(diǎn)16圓錐曲線的切線與光學(xué)性質(zhì)高考定位1.拋物線的光學(xué)性質(zhì)(1)如圖1所示，從拋物線的焦點(diǎn)F發(fā)出的光線，被拋物線反射后，得到的是一系列的與拋物線對(duì)稱軸平行(或重合)的光線；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的一系列光線照射到拋物線上，經(jīng)反射后都通過(guò)焦點(diǎn).拋物線這種聚焦特性成為聚能裝置或定向發(fā)射裝置的最佳選擇.例如探照燈、衛(wèi)星通訊像碗一樣接收或發(fā)射天線，太陽(yáng)能熱水器.(2)如圖2所示，設(shè)拋物線在P處的切線l交對(duì)稱軸于點(diǎn)Q，PM⊥切線l交對(duì)稱軸于點(diǎn)M，則焦點(diǎn)F是QM的中點(diǎn).精準(zhǔn)強(qiáng)化練類型一解決反射與入射問(wèn)題類型二解決距離之和的最值或范圍類型三解決與切線相關(guān)的問(wèn)題類型突破類型一解決反射與入射問(wèn)題(2024·杭州調(diào)研)設(shè)拋物線C：y2＝x，一光線從點(diǎn)A(5，2)射出，平行C的對(duì)稱軸，射在C上的P點(diǎn)，經(jīng)過(guò)反射后，又射到C上的Q點(diǎn)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________.例1如圖，直線AP平行于對(duì)稱軸且A(5，2)，(4，2)1.解決反射與入射問(wèn)題都要抓住光線過(guò)焦點(diǎn)這個(gè)性質(zhì).2.涉及線段長(zhǎng)度問(wèn)題要注意利用圓錐曲線的定義.規(guī)律方法訓(xùn)練120因?yàn)锳(3，0)為該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，所以自A(3，0)射出的光線AB反射后，反射光線BC定過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)A′(－3，0)，故△ABC的周長(zhǎng)為|AB|＋|BA′|＋|A′C|＋|CA|＝4a＝4×5＝20.類型二解決距離之和的最值或范圍例2法一|PF1|＋|PQ|＝2a－|PF2|＋|PQ|＝10＋(|PQ|－|PF2|)，即問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求|PQ|－|PF2|的最大值與最小值，因?yàn)閮蛇呏钚∮诘谌?，因此?dāng)P，Q，F(xiàn)三點(diǎn)一線時(shí)，取得|PQ|－|PF2|的最大值與最小值，即在P1處取得最小值，P2處取得最大值，法二根據(jù)光線的“最近傳播法則”，結(jié)合橢圓的光學(xué)性質(zhì)，可得：從F1射出被橢圓反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q的光線所經(jīng)過(guò)的路程往往是最短的.這種情況又分為兩類，一是被上半橢圓反射(如圖，光線從F1→P1→Q)，二是被下半橢圓反射(如圖，光線從F1→P2→F2→Q)1.注意利用圓錐曲線的定義解題；2.要考慮全面，不要漏掉其中一種情況(如例2中光的兩種反射路線).易錯(cuò)提醒訓(xùn)練2根據(jù)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，如圖，連接F1Q，交雙曲線的右支于點(diǎn)P，類型三解決與切線相關(guān)的問(wèn)題例3l的距離為_(kāi)_______.如圖，過(guò)M作M處切線的垂線交AB于N，過(guò)A，O，B分別作切線的垂線交切線于點(diǎn)A1，O1，B1，由光學(xué)性質(zhì)可知MN平分∠AMB，∠B1MB＝∠A1MA，則∠A1AM＝∠AMN＝∠BMN＝∠B1BM，規(guī)律方法訓(xùn)練3如圖，延長(zhǎng)PF2交F1M延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，2由題意可得△PF1M≌△PNM，所以|PN|＝|PF1|，且M為F1N的中點(diǎn)，又點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，且|PF1|－|PF2|＝2a＝4，【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】√不妨設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－y2＝1，設(shè)|PF2|＝m，則|PF1|＝2＋m(m>0).√設(shè)拋物線方程為y2＝2px，所以拋物線方程為y2＝4x，焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線為x＝－1，由題意可得，直線AB的方程為可得y2＋3y－4＝0，√3.(2024·成都診斷)拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過(guò)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于x軸的光線l1從點(diǎn)P(m，n)(n2<4m)射入，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)A(x1，y1)反射后，再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)B(x2，y2)反射后，沿直線l2射出，則直線l1與l2間的距離最小值為 A.2

B.4 C.8 D.16由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F(1，0)，設(shè)直線AB的方程為x＝ty＋1，將直線AB的方程代入y2＝4x中，得y2－4ty－4＝0，所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，當(dāng)t＝0時(shí)，d取最小值4，故選B.√連接AF1，BF1，由題意可知A，D，F(xiàn)1三點(diǎn)共線，B，C，F(xiàn)1三點(diǎn)共線，即|AB|∶|AF1|∶|BF1|＝4∶3∶5，可設(shè)|AB|＝4k，|AF1|＝3k，|BF1|＝5k，由|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|＋|AF1|＋|BF1|＝4a，則4k＋3k＋5k＝4a，即3k＝a，|AF2|＝2a－|AF1|＝3k，在Rt△AF1F2中，√如圖，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得M，A，F(xiàn)1三點(diǎn)共線.設(shè)|BF2|＝x，則|BF1|＝2a－x，|MF1|＝|AF1|＋|MA|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋x.√√√對(duì)于B，若m⊥n，則∠F1PF2＝90°.因?yàn)镻在雙曲線右支上，所以|F1P|－|F2P|＝4.由勾股定理得|F1P|2＋|F2P|2＝|F1F2|2.設(shè)左、右頂點(diǎn)分別為A，B.7.(2024·青島模擬)拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后，必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).已知平行于x軸的光線l1從點(diǎn)M射入，經(jīng)過(guò)拋物線C：y2＝8x上的點(diǎn)P反射，再經(jīng)過(guò)C上另一點(diǎn)Q反射后，沿直線l2射出，經(jīng)過(guò)點(diǎn)N，則√√√A.若l1的方程為y＝2，則|PQ|＝8B.若l1的方程為y＝2，∠PQM＝∠MQN，則M(13，2)C.延長(zhǎng)PO，與NQ交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D在C的準(zhǔn)線上D.拋物線C在點(diǎn)P處的切線分別與直線FP，l1所成角相等對(duì)于A，B，若l1的方程為y＝2，直線l2的方程為y＝－8，若∠PQM＝∠MQN，則點(diǎn)M在∠PQN的平分線上，點(diǎn)M到直線PQ和到直線l2的距離相等，由a>0，解得a＝13，所以M(13，2)，B正確；對(duì)于C，拋物線C：y2＝8x，焦點(diǎn)坐標(biāo)F(2，0)，準(zhǔn)線方程x＝－2，由y1≠y2，得y1y2＝－16，即點(diǎn)D橫坐標(biāo)為－2，所以點(diǎn)D在C的準(zhǔn)線上，C正確；對(duì)于D，設(shè)拋物線C在點(diǎn)P處的切線為l，且l與x軸交于點(diǎn)T，在l上的P點(diǎn)右側(cè)取一點(diǎn)S(如圖)，由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可得∠SPM＝∠TPF，即拋物線C在P處的切線分別與PF，l1所成角相等，D正確.8.(2024·石家莊調(diào)研)根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)，從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)拋物線反射后光線都平行于拋物線的對(duì)稱軸，已知拋物線y2＝2x，若從點(diǎn)Q(3，2)發(fā)射平行于x軸的光射向拋物線的A點(diǎn)，經(jīng)A點(diǎn)反射后交拋物線于B點(diǎn)，則|AB|

＝________.由條件可知AQ與x軸平行，令yA＝2，可得xA＝2，故A點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)，得8x2－17x＋2＝0，8如圖，根據(jù)題意，小球從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)橢圓反射經(jīng)過(guò)點(diǎn)B繼續(xù)前行，碰到點(diǎn)Q后回到點(diǎn)A，根據(jù)橢圓的定義，小球所走的軌跡正好是兩次橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和，因?yàn)閍2＝4?a＝2，所以小球經(jīng)過(guò)的路程為4×2＝8.[7，47]根據(jù)橢圓定義得|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|MN|＋|MF1|＝|MN|－|MF2|＋2a≤|NF2|＋2a，因?yàn)閨MN|＋|MF1|的最大值為6，右焦點(diǎn)F2(1，0)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)P(x1，y1)，設(shè)切點(diǎn)為A，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得P，A，F(xiàn)1三點(diǎn)共線，所以|F1P|＝