2025年九年級數(shù)學(xué)中考三輪沖刺訓(xùn)練旋轉(zhuǎn)綜合題（幾何變換）專題練

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年九年級數(shù)學(xué)中考三輪沖刺訓(xùn)練旋轉(zhuǎn)綜合題（幾何變換）專題練1．如圖1，在中，，，點、分別在邊、上，，連接，點、、分別為、、的中點．(1)觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；(2)探究證明：把繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸：把繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，直接寫出面積的最大值．2．已知正方形邊長為1，對角線相交于點O，過點O作射線，分別交于點E，F(xiàn)，且．(1)如圖1，當時，求證：四邊形是正方形；(2)如圖2，將射線繞著點O進行旋轉(zhuǎn)．①在旋轉(zhuǎn)過程中，判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；②四邊形的面積為；(3)如圖3，在四邊形中，，連接．若，請直接寫出四邊形的面積．3．在平面直角坐標系中，點，點在x軸的負半軸上，．將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得，點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為．記旋轉(zhuǎn)角為．

(1)如圖①，當時，求與的交點的坐標；(2)如圖②，連接，當經(jīng)過點A時，求的長；(3)設(shè)線段的中點為，連接，求線段的長的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可)．4．如圖，在和中，，，，，將繞著點旋轉(zhuǎn)一定的角度．(1)當時①如圖1，連接，，求證：．②將旋轉(zhuǎn)到圖2位置，連接，，若，求點到直線的距離．(2)當時，將旋轉(zhuǎn)到、、三點共線，求的面積．5．如圖，中，，，為點在射線上，點在射線上，，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，點落在點處，連接．(1)求證四邊形是平行四邊形；(2)設(shè)，四邊形的面積是，關(guān)于的函數(shù)圖像如圖所示，點是函數(shù)圖像上一點①；②過點在上方作線段，使得，且（尺規(guī)作圖）；③連接，說明點是定點；④點在點左側(cè)的函數(shù)圖像上，點在點右側(cè)的函數(shù)圖像上，且直線與軸構(gòu)成的銳角的正切值是，求的值．6．如圖①，和都是等腰直角三角形，，當點在線段上，點在線段上時，我們很容易得到，不需證明．(1)如圖②，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，連接和，此時是否依然成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，說明理由；(2)如圖③，當繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，使得點恰好落在的延長線上，連接．若，，求線段的長；(3)若為中點，連接，，，當繞點逆時針旋轉(zhuǎn)時，最大值為，最小值為，則的值為______．7．已知：在中，，，，點為射線上一動點，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，使點落在邊上的點處，為點的對應(yīng)點，連接．(1)如圖，當點在線段上時，連接．填空：的形狀為_____；與的數(shù)量關(guān)系為____．(2)如圖，在（1）的基礎(chǔ)上，當時，判斷四邊形的形狀，并說明理由．(3)如圖，連接，當時，直接寫出的長．8．在菱形中，，，動點M在射線上運動．(1)如圖（1），將點A繞著點M順時針旋轉(zhuǎn)，得到對應(yīng)點，連接，．求證：；(2)如圖（2），在（1）條件下，若射線經(jīng)過邊中點E，求的值；(3)連接，將線段繞著點M逆時針旋轉(zhuǎn)一個固定角α，，點A落在點F處，射線交射線于G，若是等腰三角形，求的值．9．綜合與實踐——探究圖形旋轉(zhuǎn)中的問題，問題背景：在一次綜合實踐活動課上，同學(xué)們以兩個菱形為對象，研究相似菱形旋轉(zhuǎn)中的數(shù)學(xué)問題．已知菱形菱形，它們各自對角線的交點重合于點，且，，，

觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，若，連接，，則與的數(shù)量關(guān)系是；操作探究：（2）保持圖1中的菱形不動，將菱形從圖1的位置開始繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．①當時，得到圖2．此時（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；②小穎發(fā)現(xiàn)，在菱形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)到圖3位置時，連接，，判斷四邊形的形狀，并說明理由；③當菱形繞點O旋轉(zhuǎn)至A，，三點共線時，直接寫出此時線段的長．10．如圖，在中，，將繞點C旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，點D恰好落在邊上．

(1)求證：平分；(2)連接，若，，求的長．11．已知等邊三角形的邊長為4．(1)如圖，在邊上有一個動點，在邊上有一個動點，滿足，求證：；

(2)如圖，若點在射線上運動，點在直線上，滿足，當時，求的長；

(3)在（2）的條件下，將點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到點，求的面積．12．問題背景：已知的頂點在的邊上（不與，重合）．交所在直線于點，交所在直線于點．記的面積為，的面積為．

（1）初步嘗試：如圖①，當是等邊三角形，，，且，時，則；類比探究：在（1）的條件下，先將點沿平移，使，再將繞點旋轉(zhuǎn)至如圖②所示位置，求的值；（2）延伸拓展：當為等腰三角形時，設(shè)．（Ⅰ）如圖③，當點在線段上運動時，設(shè)，，則的表達式為（結(jié)果用，和的三角函數(shù)表示）．（Ⅱ）如圖④，當點在的延長線上運動時，設(shè)，，求的表達式，寫出解答過程．13．已知是等腰直角三角形，，直線m是過點C的任一條直線，于點E，于點D；

(1)如圖（1），求證：；(2)當直線m繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖（2）時，上述（1）中結(jié)論是否還成立？若不成立，請寫出AE與DE和BD的正確數(shù)量關(guān)系，并加以證明．(3)當直線m繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖（3）時，請直接寫出AE與DE和BD的數(shù)量關(guān)系．14．如圖①，，以的頂點A為頂點作正，延長邊與的邊交于E點，在邊上截取一點D，使得，并連結(jié)．

(1)求證：；(2)①將正繞頂點A按順時針旋轉(zhuǎn)，使頂點B落在內(nèi)部，如圖②，請確定，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②將圖②中的正繞頂點A繼續(xù)按順時針旋轉(zhuǎn)，使頂點B落在射線下方，如圖③，請確定，，之間的數(shù)量關(guān)系，不必說明理由；(3)在（1）和（2）的條件下，若，，求的長．15．問題探究將幾何圖形按照某種法則或規(guī)則變換成另一種幾何圖形的過程叫做幾何變換．旋轉(zhuǎn)變換是幾何變換的一種基本模型．經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，往往能使圖形的幾何性質(zhì)明白顯現(xiàn)．題設(shè)和結(jié)論中的元素由分散變?yōu)榧?，相互之間的關(guān)系清楚明了，從而將求解問題靈活轉(zhuǎn)化．

問題提出：如圖1，是邊長為1的等邊三角形，P為內(nèi)部一點，連接、、，求的最小值．方法分析：通過轉(zhuǎn)化，把由三角形內(nèi)一點發(fā)出的三條線段（星型線）轉(zhuǎn)化為兩定點之間的折線（化星為折），再利用“兩點之間線段最短”求最小值（化折為直）．問題解決：如圖2，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接，記與交于點，易知．由，可知為正三角形，有．故．因此，當共線時，有最小值是．學(xué)以致用：(1)如圖3，在中，為內(nèi)部一點，連接，則的最小值是________．(2)如圖4，在中，為內(nèi)部一點，連接，求的最小值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年九年級數(shù)學(xué)中考三輪沖刺訓(xùn)練旋轉(zhuǎn)綜合題（幾何變換）專題練》參考答案1．(1)，(2)是等腰直角三角形(3)【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理得，，，，從而得出，；（2）首先利用證明，得，，再由（1）同理說明結(jié)論成立；（3）先判斷出最大時，的面積最大，進而求出，，即可得出最大，最后用面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：點，是，的中點，，，點，是，的中點，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：，；（2）解：是等腰直角三角形．理由如下：由旋轉(zhuǎn)知，，，，，，，利用三角形的中位線得，，，，是等腰三角形，同（1）的方法得，，，同（1）的方法得，，，，，，，，是等腰直角三角形；（3）解：如圖，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，連接，∵，∴當點三點共線時，最大，如圖：最大時，的面積最大，最大，在中，，，∴由勾股定理得：，∵點M為中點，，在中，，同上可求，，同上可得：，∴，．【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，三角形的三邊關(guān)系和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，證明是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．(1)見解析(2)①，證明見解析；②(3)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明四邊形是矩形，再得，即可解決問題；（2）①證明，可得即可；②先根據(jù)正方形的性質(zhì)得，則，，所以，由得，則，即可證明，于是得，根據(jù)四邊形的面積的面積正方形的面積，即可解決問題；（3）延長至點G，使，連接，證明，可得，，所以為等腰直角三角形，所以四邊形的面積等腰直角三角形的面積，進而可以解決問題．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴，∴四邊形是正方形；（2）解：①，證明：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴；②∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的面積的面積，∴四邊形的面積的面積正方形的面積；（3）解：如圖，延長至點G，使，連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∵，∴四邊形的面積等腰直角三角形的面積．【點睛】此題是四邊形的綜合題，考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)正方形性質(zhì)求出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．3．(1)(2)(3)【分析】（1）過點作軸，利用，可得，利用和可得點D是OB的中點，從而得知點D的橫坐標，利用和是等邊三角形可得，即點D的縱坐標，從而得解；（2）過點作軸，垂足為，推導(dǎo)，從而得出，再計算，用勾股定理得，從而得解；（3）取線段的中點N，連接、，則，用中位線定理求，用勾股定理求，最后利用求范圍．【詳解】（1）解：如圖，過點作軸，垂足為．

∵點，∴．∵，∴．在中，．∵，∴．∴．∴，∴是等邊三角形，∵，軸∴．∴．∴點的坐標為．（2）解：如圖，過點作軸，垂足為．

由旋轉(zhuǎn)得，．∴．∴．∴．∴．∴．在中，．（3）解：取線段的中點N，連接、，則

∵點M是線段的中點，點N是線段的中點，∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，∴∴即【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，中位線定理，勾股定理等知識，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．(1)①見解析②(2)或【分析】（1）①證明，由全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論；②過作，過作，交延長線于，設(shè)，則，利用勾股定理解得的值，進而確定的值，然后利用面積法計算點到直線的距離即可；（2）結(jié)合，分別求得，，；分兩種情況討論：當點在點、中間和點在點、中間，分別求解即可．【詳解】（1）①證明：∵，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴；②過作，過作，交延長線于，∵，，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴，又∵，，∴，，∴，分兩種情況討論：①當點在點、中間時，如圖，過作于點，∵，即，解得，∴，∴，∴，∵，∴，又∵=，∴，∴，∴=，，∴，解得，∴=；②當點在點、中間時，如圖，∵，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴=，，∴，解得，∴．綜上所述，的面積為或．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、圖形的旋轉(zhuǎn)、三角形面積公式等知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識，運用分類討論的思想分析問題．5．(1)見解析(2)①；②圖見解析；③見解析；④【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，再利用平行線的性質(zhì)可知，最后利用平行四邊形的判定即可解答；（2）①根據(jù)平行四邊形的面積公式可知，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可知進而即可解答；②根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)及尺規(guī)作圖法即可解答；③連接，證明，則，，則，可以看作繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到的，即可證明結(jié)論成立；④根據(jù)直角三角形的判定及平行線的判定可知，再利用函數(shù)的性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴，∵將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，∴，，∵，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：由（）可知四邊形是平行四邊形，過點作于點，∴，，∵，，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵四邊形的面積是，∴，∵是函函數(shù)圖象上一點，∴，∴，故答案為；②如圖所示，線段即為所求，③連接，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴，∵∴，又∵∴∴，，∴，∴可以看作繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到的，∴點是定點；④過點作軸的垂線，過點作于點，∴，∴是直角三角形，，∴，∴，∵點在點左側(cè)的函數(shù)圖像上，點在點右側(cè)的函數(shù)圖像上，∴，，∴，∵直線與軸構(gòu)成的銳角的正切值是，∴，由①可知，∴，∴，，∴，解得：【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定與性質(zhì)，函數(shù)的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，尺規(guī)作圖法，圖形的旋轉(zhuǎn)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握函數(shù)與幾何圖形的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．(1)依然成立，理由見解析(2)(3)【分析】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，兩點之間線段最短、二次根式的計算等知識，證明是解題的關(guān)鍵．（1）利用，證明，得．（2）證明，得，則，再利用勾股定理可得答案．（3）連接連接、，先根據(jù)勾股定理和直角三角形的性質(zhì)求得，當繞點逆時針旋轉(zhuǎn)時，點在以為圓心，為半徑的圓上運動，所以當點在直線上時，有最大和最小值，由圖可得的最大值為，最小值為，即．【詳解】（1）解：依然成立，理由如下：∵和都是等腰直角三角形，∴，，∵將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，∴，∴，∴．（2）解：∵∴又∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．（3）解：如圖，連接、，∵，∴，∵點是的中點，∴，∴點在以為圓心，為半徑的圓上運動，∴當點在直線上時，有最大值和最小值，∴由圖可得的最大值為，最小值為，∴，故答案為：．7．(1)等邊三角形，(2)菱形，理由見詳解(3)【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，所以，，，，又因為，，所以，，又因為，所以是等邊三角形．因為，，，所以，，又因為，，所以，，因為，，故的形狀為等邊三角形，與的數(shù)量關(guān)系為．（2）由（1）得，，因為，，，所以，因為，所以，，，因為，，所以四邊形是平行四邊形，又因為，所以四邊形是菱形．（3）延長，交于點，由上可得為等邊三角形，，又因為，，和均是等腰直角是等腰直角三角形，，，即，，因為，，，即，因為，，所以，，因為，，所以，，因為，所以，，，因為，，所以，所以．【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，，，，又∵，，∴，∴，又∵，∴是等邊三角形．∵，，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，故的形狀為等邊三角形，與的數(shù)量關(guān)系為．（2）四邊形是菱形．理由：由（1）得，，∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是菱形．（3）延長，交于點，如圖所示：由上可得為等邊三角形，，又∵，，∴和均是等腰直角是等腰直角三角形，，，即，，∵，∴，，即，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，解直角三角形的相關(guān)計算，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．(1)見解析(2)(3)或【分析】（1）可證得，從而，進而得出；（2）連接，交于點O，作于點F，先求出，，，，設(shè)，則，可證得，從而，從而得出，求得x的值，進一步得出結(jié)果；（3）分為兩種種情形：當點G在上，且時，同樣得出點A、B、G、M共圓，從而，，進而得出和設(shè)，作于H，作于點N，可求得，，從而表示出，，，根據(jù)列出，進而求得結(jié)果當時，作于點H，可得出和設(shè)，表示出，，根據(jù)列出，求得x的值，進一步得出結(jié)果；可判定出，進而得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：在菱形中，，，∵，∴，∴，∵，，∴；（2）解：如圖1，連接，交于點O，作于點F，∵四邊形是菱形，∴，，，∴，，∴，，∴，，設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴x1=，（舍去），∴，∴；（3）解：如圖2，當點G在上，且時，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴點A、B、G、M共圓，∴，∵，∴，∵，∴，設(shè)，作于H，作于點N，由得，AN=，∴，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，如圖3，當時，作于點H，由上知：，∴，設(shè)，∴，∵，∴，∴，∴，當點G在的延長線上時，，∴，∴，∴，綜上所述：或．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，確定圓的條件等知識，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，畫出圖形，找出相等關(guān)系列方程．9．（1）；（2）①結(jié)論仍然成立，理由見解析；②四邊形是平行四邊形，理由見解析；③【分析】（1）可得出，，從而、、共線，、、共線，進而得出，進一步得出結(jié)果；（2）①連接，，，，可推出，，從而，從而得出，進一步得出結(jié)論；②連接，，由四邊形和四邊形是菱形得出，，從而得出四邊形是平行四邊形；③分為：當在上時，作，可求得，，，從而，，進而得出，進一步得出結(jié)果；當在的延長線上時，作于，可得，，進一步得出結(jié)果．【詳解】解：（1）如圖1，

連接，，菱形菱形，，，，、、共線，、、共線，，，，故答案為：；（2）①如圖1，

結(jié)論仍然成立，理由如下：連接，，，，四邊形和四邊形是菱形，，，，，，，，；②如圖2，

四邊形是平行四邊形，理由如下：連接，，四邊形和四邊形是菱形，，，四邊形是平行四邊形；③如圖4，

當在上時，作，可得，，，，，，，，如圖5，

當在的延長線上時，作于，由上知：，，，，綜上所述：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，解直角三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是畫出圖象，分類討論．10．(1)見詳解；(2)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再由“等邊對等角”可得，因此可得，即可得出平分．（2）連接，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此可得．再根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得，又由即可證是等邊三角形，可得，再證，由此可得，根據(jù)SAS證明，則可知，在中，根據(jù)勾股定理求出的長，再在中根據(jù)勾股定理即可求出的長．【詳解】（1）∵繞點C旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，∴，，

，∴平分．（2）

如圖，連接，，．又，，．又，，是等邊三角形，，．又，，，．在和中，

，，,，，，．∴的長為．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理，綜合性較強．正確的作出輔助線，且證明出是解題的關(guān)鍵．11．(1)見詳解(2)7(3)【分析】（1）先利用三角形的內(nèi)角和得出，再用平角得出，進而得出，即可得出結(jié)論；（2）過點作于，構(gòu)造出含角的直角三角形，求出的長度，再用勾股定理求出，進而求出的值，再判斷出，得出比例式即可得出結(jié)論；（3）先求出的值，進而得出的值，再構(gòu)造出直角三角形求出的長度，進而得出的值，再求出的長度，最后用面積差即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，∴在中，，∴，∵，∴，∴；（2）如下圖，過點作于，

∴，∵是等邊三角形，邊長為4，∴，，∴，在中，，，∴，根據(jù)勾股定理得，，在中，，根據(jù)勾股定理得，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）如下圖，

由（2）知，，∵，∴，由旋轉(zhuǎn)知，，，∵，∴，，過點作于，在中，，根據(jù)勾股定理得，，過點作于，∵，∴，∴，過點作于，∵，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識并靈活運用．12．（1）；類比探究：；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ），過程見解析【分析】（1）如圖，過點作于點，過點作于點，首先證明，都是等邊三角形，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)和三角形面積公式可得，，即可求出；類比探究：如圖，過點作于點，過點作于點，設(shè)，，證明，可得，即，推出，然后由，，即可求出的值；（2）（Ⅰ）如圖，如圖，過點作于點，過點作于點，設(shè)，，證明，推出，，，即可求出的值；（Ⅱ）結(jié)論不變，解答方法類似．【詳解】解：（1）如圖，過點作于點，過點作于點，∵是等邊三角形，，，∴，，∴，∵，∴，，∴，都是等邊三角形，∵，∴，，∵，，∴，，∴，，∴，故答案為：；

類比探究：如圖，過點作于點，過點作于點，設(shè)，，∵，，∴，∵是等邊三角形，，∴，，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，，∴，∴的值為；

（2）（Ⅰ）如圖，如圖，過點作于點，過點作于點，設(shè)，，∵是等腰三角形，，，，又∵，∴，∴，∴，即，∴，∵，，∴，，∴，，∴，∴的值為，故答案為：；

（Ⅱ）如圖，過點作于點，過點作于點，設(shè)，，∵是等腰三角形，，，，又∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴，∵，，∴，，∴，，∴，∴的值為．

【點睛】本題考查幾何變換綜合題，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．13．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）先利用同角的余角相等判斷出，進而得出，最后用線段的和差即可得出結(jié)論；（2）先利用同角的余角相等判斷出，進而得出，最后用線段的和差即可