8.5.3 圓錐曲線中的存在與探索問(wèn)題 課件-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)

8.5.3圓錐曲線中的存在與探索問(wèn)題高考解讀

圓錐曲線中的存在性問(wèn)題、探索性問(wèn)題是高考?？碱}型之一,此類題目的

條件和結(jié)論不完備,要求學(xué)生結(jié)合已有的條件進(jìn)行觀察、分析、比較和概括,它對(duì)數(shù)學(xué)

思想、數(shù)學(xué)意識(shí)及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的能力有較高要求,作為高考的熱點(diǎn)問(wèn)題之一,常

見(jiàn)類型有:存在點(diǎn)、存在直線、存在實(shí)數(shù)、存在圖形(如三角形、四邊形、圓等).其解題思考路徑如下:高考溯源定點(diǎn)存在問(wèn)題(2020新高考Ⅰ,22,12分)已知橢圓C:

+

=1(a>b>0)的離心率為

,且過(guò)點(diǎn)A(2,1).(1)求C的方程;(2)點(diǎn)M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足.證明:存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值.解析

(1)由題設(shè)得

+

=1,

=

,解得a2=6,b2=3.所以C的方程為

+

=1.(2)證明:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).若直線MN與x軸不垂直,設(shè)直線MN的方程為y=kx+m,代入

+

=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0.于是x1+x2=-

,x1x2=

.①由AM⊥AN知

·

=0,故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)·(y2-1)=0,可得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0.將①代入上式可得(k2+1)

-(km-k-2)·

+(m-1)2+4=0.整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0(易錯(cuò)點(diǎn):化簡(jiǎn)和因式分解過(guò)程中的計(jì)算量比較大,容易出

錯(cuò)).因?yàn)锳(2,1)不在直線MN上,所以2k+m-1≠0,故2k+3m+1=0,k≠1.于是MN的方程為y=k

-

(k≠1).所以直線MN過(guò)點(diǎn)P

.若直線MN與x軸垂直(易丟分點(diǎn):容易忽略直線斜率不存在的情況),可得N(x1,-y1).由

·

=0得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-y1-1)=0.又

+

=1,所以3

-8x1+4=0.解得x1=2(舍去)或x1=

.此時(shí)直線MN過(guò)點(diǎn)P

.令Q為AP的中點(diǎn),即Q

.若D與P不重合,則由題設(shè)知AP是Rt△ADP的斜邊,故|DQ|=

|AP|=

.若D與P重合,則|DQ|=

|AP|.綜上,存在點(diǎn)Q

,使得|DQ|為定值.高考仿真

(2024湖北華中師大一附中模擬,18)已知圓E:(x+

)2+y2=32,動(dòng)圓C與圓E相內(nèi)切,且經(jīng)過(guò)定點(diǎn)F(

,0).(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程;(2)若直線l:y=x+t與(1)中軌跡交于不同的兩點(diǎn)A,B,記△OAB外接圓的圓心為M(O為坐標(biāo)

原點(diǎn)),平面上是否存在兩定點(diǎn)C,D,使得||MC|-|MD||為定值?若存在,求出定點(diǎn)坐標(biāo)和定

值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解析

(1)設(shè)圓E的半徑為r,圓E與動(dòng)圓C內(nèi)切于點(diǎn)Q.∵點(diǎn)F在圓E內(nèi)部,∴點(diǎn)C在圓E內(nèi)部.∴|CE|+|CF|=|CE|+|CQ|=r=4

>|EF|=2

,∴點(diǎn)C的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,且2a=4

,2c=2

,則b=

,故動(dòng)圓圓心C的軌跡方程為

+

=1.(2)解法一:聯(lián)立

消去y,得5x2+8tx+4t2-8=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-

,x1x2=

.線段OA的垂直平分線方程為y-

=-

,即y=-

x+

+

①,同理線段OB的垂直平分線方程為y=-

x+

+

②,由①②可得-

x+

+

=-

x+

+

,∴△OAB外接圓圓心M的橫坐標(biāo)xM=

,其中x2y1-x1y2=x2(x1+t)-x1(x2+t)=t(x2-x1),

y1-

y2+(y2-y1)y1y2=

(x1+t)-

(x2+t)+(x2-x1)(x1+t)·(x2+t)=(

x1-

x2)+t(

-

)+(x2-x1)(x1+t)·(x2+t)=(x2-x1)[x1x2+t(x2+x1)+(x1+t)(x2+t)]=(x2-x1)[2x1x2+2t(x2+x1)+t2],∴xM=

=

=

+x2+x1+

=-

-

,又∵線段AB的垂直平分線方程為y-

=-

,即y=-x-

,∴圓心M的縱坐標(biāo)為yM=-

-

t=-

+

,∴

-

=

-

=

,∴圓心M在雙曲線x2-y2=

上,∴存在定點(diǎn)C

,D

,使得||MC|-|MD||=

,為定值.解法二:設(shè)△OAB的外接圓方程為x2+y2+dx+ey=0,A(x1,y1),B(x2,y2),將y=x+t代入x2+y2+dx+ey=0得2x2+(2t+d+e)x+t2+et=0,則x1+x2=-

,x1x2=

,聯(lián)立

消去y,得5x2+8tx+4t2-8=0,則x1+x2=-

t,x1x2=

,故-

=-

t,

=

,∴2t+d+e=

,t2+et=

,解得d=

+

,e=

-

,設(shè)圓心M的坐標(biāo)為(x,y),則x=-

=-

-

,y=-

+

,∴x2-y2=

-

=

,∴圓心M在雙曲線x2-y2=

上,∴存在定點(diǎn)C

,D

,使得||MC|-|MD||=

,為定值.高考變式1.定直線存在問(wèn)題典例1已知雙曲線C:

-

=1(a>0,b>0)的離心率為

,過(guò)點(diǎn)E(1,0)的直線l與C的左、右支分別交于M,N兩點(diǎn)(異于頂點(diǎn)).(1)若點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn),求直線OP與直線MN斜率之積(O為坐標(biāo)原點(diǎn));(2)若A、B為雙曲線的左、右頂點(diǎn),且|AB|=4,試判斷直線AN與直線BM的交點(diǎn)G是否在

定直線上.若是,求出該定直線;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.解析

(1)由題意得

所以a=b,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0),則

作差得

=

·

=

·

,所以MN的斜率kMN=

=

·

,又kOP=

,所以kMNkOP=

=1.(2)因?yàn)?a=4,所以a=b=2,A(-2,0),B(2,0),x2-y2=4,設(shè)直線l:x=1+ty,t≠0,M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立

得(t2-1)y2+2ty-3=0,所以

所以ty1y2=

,易知直線AN:y=

(x+2),BM:y=

(x-2),則

=

·

=

=

=

=3,所以x=4.故存在定直線x=4,使直線AN與直線BM的交點(diǎn)G在定直線上.2.平面圖形存在問(wèn)題典例2

(2024江蘇鎮(zhèn)江一中調(diào)研,18)已知橢圓C:

+

=1(a>b>0)的離心率為

,焦距為2.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若直線l:y=kx+m(k,m∈R)與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且kOA·kOB=-

(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).①求證:△AOB的面積為定值;②橢圓C上是否存在一點(diǎn)P,使得四邊形OAPB為平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)P橫坐標(biāo)的

取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.解析

(1)由題意知,焦距2c=2,故c=1,又e=

=

,故a=2,所以b2=a2-c2=3,故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1.(2)①證明:由

消去y,化簡(jiǎn)得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,則Δ=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=48(4k2-m2+3)>0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-

,x1x2=

,故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

,因?yàn)閗OA·kOB=

=-

,所以2m2=3+4k2,所以|AB|=

=

,又坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為d=

,所以△AOB的面積為S=

|AB|·d=

×

·

=

×

=

,故△AOB的面積為定值.②假設(shè)橢圓上存在點(diǎn)P,使得四邊形OAPB為平行四邊形,則

=

+

,設(shè)P(x0,y0),則

又因?yàn)?/p>

+

=1,所以

+

=1,得4m2=3+4k2,與2m2=3+4k2矛盾,故橢圓上不存在點(diǎn)P,使得四邊形OAPB為平行四邊形.3.參數(shù)存在問(wèn)題典例3已知拋物線C1:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)和橢圓C2:

+

=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F重合,過(guò)點(diǎn)F任意作直線l分別交拋物線C1于M,N,交橢圓C2于P,Q.當(dāng)l垂直于x軸時(shí),|MN|=4,|PQ|=3.(1)求C1和C2的方程;(2)是否存在常數(shù)m,使

+

為定值?若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析

(1)當(dāng)l垂直于x軸時(shí),l的方程為x=

,代入拋物線方程可得y2=p2,解得y=±p,所以|MN|=2p.由題意知2p=4,得p=2,所以拋物線C1的方程是y2=4x.所以直線l的方程為x=1,焦點(diǎn)F(1,0),所以c=1.將x=1代入橢圓方程可得y2=

,解得y=±

,所以|PQ|=

.由已知可得

解得

所以橢圓C2的方程為

+

=1.(2)假設(shè)存在常數(shù)m,使

+

為定值.設(shè)直線l的方程為x=ny+1,M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立

消去x,化簡(jiǎn)得y2-4ny-4=0.則Δ=16n2+16>0恒成立,且

所以|MN|=

|y1-y