2025屆山東省菏澤市單縣高三下學期第二次模擬考試數(shù)學試題（二模）含解析

2025屆山東省菏澤市單縣高三下學期第二次模擬考試數(shù)學試題（二模）一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復數(shù)在復平面內所對應的點位于第一象限，且，則復數(shù)在復平面內所對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知，則在上的投影向量為（

）A． B． C．. D．4．已知正三棱臺的下底面邊長為，側棱長為2，側棱與底面所成的角為，則該三棱臺的體積為（）A． B． C． D．5．已知，，，，則（

）A． B． C． D．6．已知數(shù)列的前項和為，前項積為，滿足，則（

）A．45 B．50 C．55 D．607．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，是的導函數(shù)，，若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知曲線系，離心率為，曲線系，離心率為，若，，則（

）A．的最小值為 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最大值為二、多選題（本大題共3小題）9．下面說法正確的是（）A．若數(shù)據(jù)，，…，的方差為8，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為4B．若是等差數(shù)列，則這些數(shù)的中位數(shù)與平均數(shù)相等C．已知是隨機變量，則D．若兩個具有線性相關關系的變量的相關性越強，則線性相關系數(shù)的值越接近于110．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（

）A．與的圖象關于直線對稱B．與的圖象關于點對稱C．當時，D．當時，與的圖象恰有4個交點11．已知正方體的棱長為2，，分別是棱的中點，動點滿足，其中，則下列命題正確的是（

）A．若，則平面平面B．若，則與所成角的取值范圍為C．若，則平面D．若，則線段長度的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．某研究性學習小組針對“使用大綠書的用戶是否存在性別差異”，向個人進行調查.用表示所有調查對象構成的集合.以為樣本空間建立古典概型，并定義一對分類變量和如下：對于中的每一名學生，，現(xiàn)得到下表：是大綠書的用戶不是大綠書的用戶男性女性若根據(jù)的獨立性檢驗認為（其中），則的最小值為.（參考公式：，其中）13．已知橢圓的左?右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，且，，則橢圓的離心率為.14．定義：對于一個位正整數(shù)，若其各位數(shù)字的極差（即最大數(shù)字與最小數(shù)字之差）不超過2，則稱其為位“穩(wěn)定數(shù)”，則三位“穩(wěn)定數(shù)”共有個.四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線與圓相交于，兩點，為圓上不同于，的一點．記的內角，，的對邊分別為，，．(1)求角；(2)若，求的面積．16．已知函數(shù)（）.(1)若，求的極小值；(2)當時，求的單調遞增區(qū)間；(3)當時，設的極大值為，求證.17．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，側面是等邊三角形，三棱錐的體積為，點是棱的中點．

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．18．已知拋物線的焦點到準線的距離為2，點，過的直線交于，兩點，過，分別作的垂線，垂足分別為，，直線，與直線分別交于點，.(1)求的方程；(2)記，的縱坐標分別為，，當時，求直線的斜率；(3)設為軸上一點，記，分別為直線，的斜率.若為定值，求點的坐標.19．某校開展科普知識團隊接力闖關活動，該活動共有兩關，每個團隊由位成員組成，成員按預先安排的順序依次上場，具體規(guī)則如下：若某成員第一關闖關成功，則該成員繼續(xù)闖第二關，否則該成員結束闖關并由下一位成員接力去闖第一關；若某成員第二關闖關成功，則該團隊接力闖關活動結束，否則該成員結束闖關并由下一位成員接力去闖第二關；當?shù)诙P闖關成功或所有成員全部上場參加了闖關，該團隊接力闖關活動結束.已知團隊每位成員闖過第一關和第二關的概率分別為和，且每位成員闖關是否成功互不影響，每關結果也互不影響.(1)若，用表示團隊闖關活動結束時上場闖關的成員人數(shù)，求的均值；(2)記團隊第位成員上場且闖過第二關的概率為，集合中元素的最小值為，規(guī)定團隊人數(shù)，求.

答案1．【正確答案】C【詳解】因為，即，解得，所以，則，故選C.2．【正確答案】D【詳解】設，因為復數(shù)在復平面內所對應的點位于第一象限，所以，，又，所以，所以復數(shù)對應的點的坐標為，位于第四象限.故選D.3．【正確答案】D【詳解】因為，所以，在上的投影向量為.故選D.4．【正確答案】D【詳解】將正棱臺補全為一個棱錐，為底面中心，如下圖示，所以，則，而棱臺的高，所以，則該三棱臺的體積為.故選D.

5．【正確答案】D【詳解】，，，，，，，，，故選6．【正確答案】D【詳解】根據(jù)題意：，兩式作差可得，當時，，所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，故選D．7．【正確答案】A【詳解】因為偶函數(shù)，則①，對兩邊求導得，②，在③中，用代替得④，由①②④可得，⑤，聯(lián)立③⑤得，，則化簡為，，令，則，則得；得，則在上單調遞減，在上單調遞增，則的最小值為，故，則實數(shù)的取值范圍是.故選A.8．【正確答案】D【詳解】因為，曲線的方程為，曲線的方程為，易知曲線是焦點在軸上的橢圓，曲線是焦點在軸上的雙曲線，所以，，所以隨著的增大而增大，因為，故當時，取最小值，無最大值，AB都錯；，因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在上單調遞增，因為，當時，；當時，，且，因為在上單調遞增，所以在上單調遞減，綜上所述，的最大值為，無最小值，C錯D對.故選D.9．【正確答案】BC【詳解】A：由數(shù)據(jù)，，…，的方差為8，則數(shù)據(jù)，，…，的方差，錯；B：對于等差數(shù)列，若正整數(shù)，則，若正整數(shù)，則，又等差數(shù)列的平均數(shù)為，結合中位數(shù)定義及等差數(shù)列的性質，易知中位數(shù)也為，對；C：由于一組數(shù)據(jù)的方差，且，則，對；D：若兩個具有線性相關關系的變量的相關性越強，則線性相關系數(shù)的絕對值越接近于1，錯.故選BC.10．【正確答案】ACD【詳解】由題得，，A：與的圖象關于直線對稱的函數(shù)為，故A正確；B：當時，，，所以與的圖象不關于點對稱，故B錯誤；C：，當時，，令，則，在上恒小于0，所以在上恒大于0，即，即，故C正確；D：令，即，得（無解）或，解得，又，所以，解得（），所以，即函數(shù)圖象共有4個交點，故D正確.故選ACD．11．【正確答案】AC【詳解】A項，如圖，取線段的中點Q，連接AQ、DE.

，，若，則，則三點共線，即點P在線段AQ（不包含點）上運動；由分別是線段的中點，則與全等，則，，所以.由平面，，得平面，平面，所以，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；

B項，，若，則，則三點共線，即點P在線段AC（不包含點）上運動；如圖，以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則，

由，則又，所以，，因為，則，，，因為與所成角銳角或直角，故與所成角的取值范圍為，故B錯誤；C項，如圖，過作，交于，則為中點.延長至，使，連接.取的中點，連接，交于，則為中點，連接.

由，且，得四邊形為平行四邊形，則，由，則，則四點共面.由，所以，平面，平面，則平面，同理，平面，又平面，平面，，故平面平面.若，由，可得，，，則三點共線，即點P在線段MN（不包含點）上運動；又平面，故平面，故C正確；D項，如圖，連接.

若，由，可得，，，與C項同理可得，點P在線段NG上運動.連接，同選項B建系，則有，則，，所以，則，故當時，線段長度的最小值為，故D錯誤.故選AC.12．【正確答案】3【詳解】因為用大綠書APP的用戶存在性別差異，所以，即，所以的最小值為3.13．【正確答案】【詳解】由，可得，設，則，，，由，則，即，解得，所以，，，即，解得，所以橢圓的離心率.

14．【正確答案】151【詳解】法一：要求各位數(shù)字的極差不超過2的“穩(wěn)定數(shù)”的數(shù)量，可以按照最小值進行分類討論，并計算每個對應的三位數(shù)的數(shù)量.①當時：允許的數(shù)字范圍是，百位數(shù)不能為0，因此百位只能是1或2，總數(shù)為種，減去不含0的情況（即所有數(shù)字都是1或2）的8種，得到10個符合條件的數(shù)；②當?shù)?時：允許的數(shù)字范圍是，百位數(shù)可以是中的任何一個，總數(shù)為種，減去不含的情況（即所有數(shù)字都是或）的8種，得到每個對應的19個數(shù)，故共有133個符合條件的數(shù)；③當時：允許的數(shù)字范圍是8，9，百位數(shù)可以是8或9，總數(shù)為種，減去不含8的情況（即所有數(shù)字都是9）的1種，得到7個符合條件的數(shù)；④當時：所有數(shù)字都是9，只有1個數(shù)999.將各個的情況累加起來，總數(shù)為.法二：位數(shù)的極差范圍為0到9，根據(jù)定義，“穩(wěn)定數(shù)”需滿足極差，即.①極差，所有數(shù)字相同，即形如，共9個（即）.②極差，分兩種情況：最小值含0：數(shù)字范圍為，且百位，此時十位和個位可為0或1，但需至少含一個0，共3個.最小值：數(shù)字范圍為，每位可選或，且至少含和各一次，每位選擇數(shù)有2種（或），扣除全或全的情況，每個對應6個數(shù)，共8個，共個，小計：個.③極差，分兩種情況：最小值含0：數(shù)字范圍為，且百位，需至少含0和2各一次，時，十位和個位需含0和2，共2個；時，十位和個位需含0，共5個（），小計：個.最小值：數(shù)字范圍為，每位可選，且至少含和各一次，由容斥原理有個，共7個，共個.小計：個.三位“穩(wěn)定數(shù)”總數(shù)為個.15．【正確答案】(1)或；(2)【詳解】（1）圓心到直線的距離，圓的半徑，所以，又為外接圓上一點，所以，解之得，因為，所以或；（2）由余弦定理得：，即，即，①當時，，此時，②當時，，因為為最大邊，所以，與矛盾，所以不成立，舍去，綜上所述，的面積為.16．【正確答案】(1)(2)和(3)證明見解析【詳解】（1）由題意知.若，則，所以.令，得.當時，當時，所以在單調遞減，在單調遞增，所以的極小值等于.（2）因為，所以，由，即，解得或，所以在和單調遞增，由，即，解得，所以在單調遞減，故的單調增區(qū)間為和.（3）當時，由（2）知，的極大值等于；當時，，單調遞增，無極大值；當時，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以的極大值等于，令，所以，在上在上，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以故，綜上所述，.17．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）因為底面為矩形，，所以，設三棱錐的高為，又三棱錐的體積為，所以，所以，又側面是等邊三角形，且，取的中點，連接，可得，從而為三棱錐的高，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）取的中點，連接，則，故由（1）可以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角標系，

則，則，設平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，又平面的一個法向量為，設平面與平面夾角為所以，所以平面與平面夾角的余弦值為．18．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由題意知，所以拋物線方程為.（2）由題意可設直線的方程為，，，則，，.所以，得，所以，.所以直線的方程為：，與直線的方程聯(lián)立消去，解得，同理.所以.所以.所以直線的斜率為.（3）設，因為.因為，.所以，