江蘇省南京市六校聯(lián)合體2023-2024學年高二下學期期末調(diào)研測試數(shù)學試題（解析版）

第1頁/共1頁2023-2024學年第二學期六校聯(lián)合體期末調(diào)研測試高二數(shù)學2024.6.24注意事項：1.本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.對于x，y兩個變量，有四組樣本數(shù)據(jù)，分別算出它們的線性相關(guān)系數(shù)r（如下）：，則線性相關(guān)性最強的是（）A. B.0.72 C. D.0.85【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線性相關(guān)性的特征和線性相關(guān)系數(shù)的概念意義可解．【詳解】線性相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1，線性相關(guān)性越強，則線性相關(guān)性最強的是．故選：A.2.在空間直角坐標系中，點關(guān)于軸對稱點坐標是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間直角坐標系中點的對稱的關(guān)系判斷即可.【詳解】在空間直角坐標系中，點關(guān)于軸的對稱點坐標為.故選：C3已知，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項式定理的性質(zhì)，采取賦值法即可解決．【詳解】令，則，即．故選：B.4.3個男生2個女生站成一排，其中女生相鄰的排法個數(shù)是（）A.24 B.48 C.96 D.120【答案】B【解析】【分析】可以用捆綁法解題．【詳解】根據(jù)捆綁法，“先捆再松”.可以將女生看作一個整體與男生全排，有種，女生自身“內(nèi)排”有種，則女生相鄰的排法個數(shù)是：.故選：B.5.已知函數(shù)，那么的值是（）A B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的除法法則求，即可得結(jié)果.【詳解】因為，則，所以.故選：D.6.已知隨機變量滿足：，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二項分布的均值公式和方差公式求解即可.【詳解】若，，則，解得，故，則，故A錯誤，而，故，可得，故B錯誤，而，故C錯誤，由題意得，故D正確.故選：D7.給出下列四個命題，其中真命題是（）A.若向量與向量，共面，則存在實數(shù)x，y，使B.若存在實數(shù)x，y，使，則點P，M，A，B共面C.直線a的方向向量為，平面的法向量為，則D.若平面經(jīng)過三點，，，向量是平面的法向量，則【答案】B【解析】【分析】對于A，舉反例排除A；對于B，運用四點共面定理推論可知正確；對于C，利用空間向量判斷線面關(guān)系即可；對于D，根據(jù)法向量性質(zhì)求得，，從而得以判斷.【詳解】對于A，如果為非零向量，且與不共線，而與共線，則不成立，故A錯誤；對于B，運用四點共面定理推論可知B正確；對于C，，則，則，故C錯誤；對于D，向量是平面的法向量，則，，即，，又，，得且，解得，，則，故D錯誤.故選：B.8.若函數(shù)有兩個極值點，且，則下列結(jié)論中不正確的是（）A. B.C.的范圍是 D.【答案】B【解析】【分析】對于AC，原函數(shù)的極值點即為導函數(shù)的零點，求導后等價于與有兩個交點，結(jié)合單調(diào)性等函數(shù)特征畫出圖象判斷出，且；對于B，利用，推導，則可得；對于D，而等價于，構(gòu)造合適的函數(shù)進行分析.【詳解】對于AC，，有兩個極值點且，所以，有兩個零點，且在各自兩邊異號，所以與有兩個交點，，記，則，易知：時，時，所以在上遞增，在上遞減，所以有最大值，且時，時，又當趨向于正無窮時，趨向于正無窮的速率遠遠超過趨向于正無窮的速率，所以趨向于0，且，由上可得的圖象如下，所以當且僅當時與有兩個交點，且，故A，C正確；對于B，又，所以，即，故B錯誤.對于D，令，則，所以，則，，所以要證，只需證，只需證，令，則，所以在上單調(diào)遞減，即時，不等式得證，故D正確.故選：B.【點睛】方法點睛：根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)求解參數(shù)范圍，一般方法：（1）轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，利用導數(shù)解決；（2）轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點問題，數(shù)形結(jié)合解決問題；（3）參變分離法，結(jié)合函數(shù)最值或范圍解決.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，不選或有選錯的得0分.9.，分別為隨機事件A，B的對立事件，下列命題正確的是（）AB.若，，則C.若，則A與B獨立D.【答案】ACD【解析】【分析】A選項，由對立事件得到A正確；B選項，；C選項，由條件概率得到，C正確；D選項，利用乘法公式得到D正確.【詳解】A選項，由對立事件性質(zhì)可知，A正確；B選項，若，，則，B錯誤；C選項，若，則，故，A與B獨立，C正確；D選項，，D正確.故選：ACD10.已知函數(shù)，下列選項正確的是（）A.若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為B.若在區(qū)間上有極小值，則a的取值范圍為C.當時，若經(jīng)過點可以作出曲線的三條切線，則實數(shù)m的取值范圍為D.若曲線的對稱中心為，則【答案】BCD【解析】【分析】利用導數(shù)研究三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，切線，對稱中心問題.【詳解】令若在區(qū)間上單調(diào)遞減,則在區(qū)間上小于或者等于零恒成立，即恒成立，即，又在區(qū)間單調(diào)遞增，則所以a的取值范圍為，故選項A錯誤.若在區(qū)間上有極小值,則在區(qū)間上有零點，且在零點左端小于零，在零點右端大于零，則解得a的取值范圍為.故選項B正確.當時,設(shè)經(jīng)過點作出曲線的三條切線切點為，則切線斜率為切線為又切線經(jīng)過點，則有三解，即有三解，令則當時函數(shù)取極值，則實數(shù)m的取值范圍為，故選項C正確.若曲線的對稱中心為,則即解得.故選：BCD.11.在棱長為1正方體中，點F在底面ABCD內(nèi)運動（含邊界），點E是棱的中點，則（）A.若F在棱AD上時，存在點F使B.若F是棱AD的中點，則平面C.若平面，則F是AC上靠近C的四等分點D.若F在棱AB上運動，則點F到直線的距離最小值為【答案】BCD【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求線線的夾角，以及判斷線面垂直，以及求解點到直線的距離，判斷ACD，利用面面平行證明線面平行，判斷B.【詳解】A.如圖建立空間直角坐標系，，，，，，，整理為，解得：或，都舍去，所以不存在點F使，故A錯誤；B.如圖，取的中點，連結(jié)，因為點是的中點，所以，平面，平面，所以平面，同理，且，所以，平面，平面，所以平面，且，平面，所以平面平面，平面，所以平面C.若F是AC上靠近C的四等分點，則，，，，所以，，，，,所以，，且，平面，所以平面，且過點只有1條直線和平面垂直，則點是唯一的，點是上靠近的四等分點，故C正確；D.若點在棱上運動，設(shè)，，，,則點到的距離，當時，的最小值為，故D正確.故選：BCD【點睛】思路點睛：本題的關(guān)鍵是將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量運算，尤其是證明垂直關(guān)系，求角和距離，以及判斷是否存在問題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.平面過點，其法向量為，則點到平面的距離為______.【答案】##【解析】【分析】運用空間向量點到面的距離公式即可解題．【詳解】根據(jù)點到面的距離公式，且，，可得點到平面的距離．故答案為：．13.從集合的子集中選出2個不同的子集A，B，且，則一共有______種選法.【答案】65【解析】【分析】由集合A中元素的個數(shù)，分類討論對應(yīng)的集合B中的元素個數(shù)，計算選法，再進行求和即可.【詳解】從集合的子集中選出2個不同的子集A，B，且，當A為空集時，B可以包含1，2，3，4個元素，所以共有種選法；當A只含有1個元素時，B可以包含2，3，4個元素，所以共有種選法；當A只含有2個元素時，B可以包含3，4個元素，所以共有種選法；當A只含有3個元素時，B包含4個元素，所以共有種選法.故共有種選法.故答案為：65.14.現(xiàn)有甲、乙兩個盒子，甲盒有2個紅球和1個白球，乙盒有1個紅球和1個白球.先從甲盒中取出2個球放入乙盒，再從乙盒中取出2個球放入甲盒.記事件A為“從甲盒中取出2個紅球”，事件B為“乙盒還剩1個紅球和1個白球”，則______，______.【答案】①.##②.【解析】【分析】利用條件概率與獨立事件的概率公式即可得解.【詳解】第一空：，第二空：從甲盒中取出的是一個紅球和一個白球，乙盒中還剩下兩個紅球或者兩個白球.則故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.為了研究學生的性別與喜歡運動的關(guān)聯(lián)性，隨機調(diào)查了某中學的100名學生，整理得到如下，左表數(shù)據(jù)：（1）求a，b的值，并判斷是否有的把握認為“學生的性別與喜歡運動有關(guān)聯(lián)”？（2）經(jīng)調(diào)查，學生的學習效率指數(shù)y與每天鍛煉時間x（單位：拾分鐘）呈線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計數(shù)據(jù)見下表，求y關(guān)于x的線性回歸方程.

男學生女學生合計喜歡運動ab60不喜歡運動bb

合計60

100x23456y2.533.5560.10.050.012.7063.8416.635附：（1）（2），【答案】（1），，有（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)代入計算即可；（2）代入公式計算，即可求出回歸方程.【小問1詳解】依題意，得，解得，，假設(shè)：認為學生的性別與是否喜歡運動無關(guān)聯(lián)，，所以根據(jù)的獨立性檢驗，認為不成立，即有的把握認為學生的性別與喜歡運動有關(guān)聯(lián)；【小問2詳解】由題意得，，，，，，所以回歸方程為.16.已知（，）的展開式中，第2，3，4項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列.（1）求的值；（2）求的近似值（精確到0.01）；（3）求的二項展開式中系數(shù)最大的項.【答案】（1）7（2）128.45（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)二項式系數(shù)列方程，即可求解，（2）利用二項式展開，即可代入求解，（3）根據(jù)二項式展開式的通項，列不等式求解即可.【小問1詳解】∵展開式中第2，3，4項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，∴，整理得,解得，又∵，∴【小問2詳解】【小問3詳解】依題意得，，即,解之，，又∵，∴故展開式中系數(shù)最大得項為17.如圖，所有棱長均為2的正四棱錐，點，分別是，上靠近，的三等分點.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【小問1詳解】連接交于，建立如圖所示的空間直角坐標系則，，，，，，，∴，，∴，∴.【小問2詳解】，，設(shè)平面的法向量為，則，取.取平面的法向量為，所以，，，設(shè)二面角的平面角為，.∴由圖可知二面角的余弦值為18.某校舉行投籃趣味比賽，甲、乙兩位選手進入決賽，每位選手各投籃4次，選手在連續(xù)投籃時，第一次投進得1分，并規(guī)定：若某次投進，則下一次投進的得分比本次得分多1分；若某次未投進，則該次得0分，且下一次投進得1分.已知甲同學每次投進的概率為，乙同學每次投進的概率為，且甲、乙每次投籃相互獨立.（1）求甲最后得3分的概率；（2）記甲最后得分為X，求X的概率分布和數(shù)學期望；（3）記事件B為“甲、乙總分之和為7”，求.【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）【解析】【分析】（1）利用獨立事件同時發(fā)生哪幾種情形，再計算概率即可；（2）利用記分規(guī)則，統(tǒng)計四次投籃中的得分情形，最低0分，最高10分，再計算概率，即可得分布列，求期望；（3）同比甲的概率計算方法，再來計算乙的得分概率，利用兩獨立事件相乘，再考慮各種情形相加即可.【小問1詳解】記事件A為“甲得3分”，分析3分是，不可能是，所以在這四次投籃中，連續(xù)兩次投中，另兩次沒中，記甲得3分，所以【小問2詳解】X的取值為0，1，2，3，4，6，10，01234610【小問3詳解】記為乙最后得分，則事件為“甲1分，乙6分”，“甲3分，乙4分”，“甲4分，乙3分”，“甲6分，乙1分”故19.定義：如果函數(shù)與的圖象上分別存在點M和點N關(guān)于x軸對稱，則稱函數(shù)和具有“伙伴”關(guān)系.（1）判斷函數(shù)與是否具有“伙伴”關(guān)系；（2）已知函數(shù)，，，.①若兩函數(shù)具有“伙伴”關(guān)系，求a的取值范圍；②若兩函數(shù)不具有“伙伴”關(guān)系，求證：，其中n為正整數(shù).【答案】（1）函數(shù)與具有“伙伴”關(guān)系（2）①②證明見解析【解析】【分析】（1）由題意可得在與的定義域的交集上存在，使得，所以，求解即可；（2）令，由題意可得在上恒為負或恒為正．分和在上恒成立，利用導數(shù)求解即可；（3）利用（2）的結(jié)論，即可取，累加，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)即可化簡求解．【小問1詳解】函數(shù)與具有“伙伴”關(guān)系，理由如下：根據(jù)定義，若與具有“伙伴”關(guān)系，則在與的定義域的交集上存在x，使得.所以，即，解得，所以與具有“伙伴”關(guān)系.【小問2詳解】函數(shù)，，，，令，，，①兩函數(shù)具有“伙伴”關(guān)系，則函數(shù)在上有零點.當時，，所以在上遞減，所以，此時函數(shù)無零點，不符合題意.當時，令，則，，則，故在上遞增，在上遞減，且時，，當時，函數(shù)的導函數(shù)，所以該函數(shù)在上遞減，所以，所以，從而，即此時，取所以從而，又函數(shù)圖象在上連續(xù)不間斷，由零點存在定理可得，函數(shù)在上存在唯一零