2025-高考科學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案-數(shù)學(xué)-提升版6含答案

2025.高考科學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案?數(shù)學(xué).提升版第3講成對

數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析

［課程標(biāo)準(zhǔn).了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義，了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)

向量夾角的關(guān)系.2.會通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性3了解一元線性回

歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性回

歸模型參數(shù)的最小二乘估計方法，會使用相關(guān)的統(tǒng)計軟件4會用一元線性回歸模

型進(jìn)行預(yù)測5理解2x2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義.6.了解2x2列聯(lián)表獨立性檢驗及其應(yīng)

用.

基礎(chǔ)知識整合

＞知識梳理

1.相關(guān)關(guān)系

兩個變量有關(guān)系，但沒有確切到可由其中一個去精確地決定另一個的程度，

這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.

2.相關(guān)關(guān)系的分類

(1)按變量間的增減性分為畫歪相關(guān)和國負(fù)相關(guān).

①正相關(guān)：當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)畫增加的

趨勢.

②負(fù)相關(guān)：當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)畫減少的趨

勢.

(2)按變量間是否有線性特征分為直線性相關(guān)或國韭線性相關(guān)(曲線相關(guān)).

①線性相關(guān)：如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點落在國二

條直線附近,我們就稱這兩個變量線性相關(guān).

②非線性相關(guān)或曲線相關(guān)：如果兩個變量具有相關(guān)性，但不是畫線性相關(guān),

我們就稱這兩個變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).

3.相關(guān)關(guān)系的刻畫

（1）散點圖：為了直觀描述成對樣本數(shù)據(jù)的特征，把每對成對數(shù)據(jù)都用直角坐

標(biāo)系中的點表示出來，由這些點組成的統(tǒng)計圖，叫做散點圖.

（2）樣本相關(guān)系數(shù)

①我們常用樣本相關(guān)系數(shù)一來確切地反映成對樣本數(shù)據(jù)（川，刈的相關(guān)程度，

其中r=

n__

E（劉-x）⑶-，）

（＞"）（…）2

②樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為畫JL—LL

當(dāng)時，成對樣本數(shù)據(jù)回正相關(guān)；當(dāng)xo時，成對樣本數(shù)據(jù)回負(fù)相關(guān)；

當(dāng)仍越接近回L時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)團(tuán)越接近回。時，成

對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.

4.一元線性回歸模型

Y=bx+ae,____.

稱口』八八,、二為y關(guān)于犬的一元線性回歸模型.其中y稱為回

E（e）=0,D（e）=（r

因變量或回響應(yīng)變量,尢稱為畫自變量或回健釋變量,回且稱為截距參數(shù)，

回女稱為斜率參數(shù)；6是回上與回公吐幺之間的隨機(jī)誤差，如果《二畫。，那

么丫與x之間的關(guān)系就可以用一元線性函數(shù)模型來描述.

5.最小二乘法

AAA

將y二飯+〃稱為y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公

式，其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線，這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求

AAA/￡（劉一工）87）Aj

得的乩。叫做R。的最小二乘估計，其中二——------Z--------------------，。二回

￡（X/-X）2

6.殘差與殘差分析

⑴殘差

對于響應(yīng)變量Y,通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為畫觀測值,通過經(jīng)驗回歸方程得

到的f稱為網(wǎng)預(yù)測值,網(wǎng)觀測值減去因預(yù)測值稱為殘差.

(2)殘差分析

國殘差是隨機(jī)誤差的估計結(jié)果，通過對畫殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)

據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.

7.對模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析

(1)殘差圖法

在殘差圖中，如果殘差比較均勻地集中在同以橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)

域內(nèi),則說明經(jīng)驗回歸方程較好地刻畫了兩個變量的關(guān)系.

(2)殘差平方和法

殘差平方和回三_('?-倒2越小，模型的擬合效果越好.

i三1

(3)決定系數(shù)R2法

士n(》fA)-

可以用決定系數(shù)產(chǎn)=1-亍----------來比較兩個模型的擬合效果，R2越

W(D

國大，模型擬合效果越好，收越國小，模型擬合效果越差.

8.列聯(lián)表與獨立性檢驗

(1)2x2列聯(lián)表

①2X2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的同交叉分類頻數(shù).

②定義一對分類變量x和匕我們整理數(shù)據(jù)如下表所示:

Y

X合計

Y=0Y=1

x=oaba+b

X=1cdc+d

合計a+cb+dn=a+h+c+d

像這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱為2x2列聯(lián)表.

(2)獨立性檢驗

①定義：利用Z2的取值推斷分類變量X和庖是查獨立的方法稱為了獨立

性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗。簡稱獨立性檢驗.

?—?n[ad-be)2

(2)/2=36—------------7-----7——-,其中〃=a+/?+c+d.

J人1—，(〃+〃)(丁+一)(〃+?)(〃+〃)1

(3)獨立性檢險解決實際問題的主要環(huán)節(jié)

①提出零假設(shè)”。：x和丫相互獨立，并給出在問題中的解釋.

②根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2x2列聯(lián)表，計算/的值，并與臨界值打比較.

③根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論.

④在x和y不獨立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應(yīng)的頻率，分析x和y

間的影響規(guī)律.

0知識拓展

1.相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同

共同點：二者都是指兩個變量間的關(guān)系；

不同點：函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，體現(xiàn)的是因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一

種非確定性關(guān)系，體現(xiàn)的不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系.

AAA__

2.經(jīng)驗回歸直線)：二云+。一定過點(x,y).

＞雙基自測

1.(人教A選擇性必修第三冊習(xí)題8.1Ti改編)下列四個散點圖中，變量x與

y之間具有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系的是()

y)

()

I)

答案D

解析觀察散點圖可知，只有D中的散點圖表示的是變量x與），之間具有負(fù)

線性相關(guān)關(guān)系.故選D.

2.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對A,B兩個變量的線性相關(guān)性做了試驗,

并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)一與殘差平方和〃3如下表：

甲乙丙T

r0.820.780.690.85

m106115124103

則哪位同學(xué)的試驗結(jié)果體現(xiàn)的A,B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性（）

A.甲B.乙

C.丙D.丁

答案D

解析團(tuán)越接近1,"Z越小，線性相關(guān)性越強(qiáng)，故選D.

3.已知相關(guān)變量工和），滿足關(guān)系￡=-。以+1,相關(guān)變量丁與z負(fù)相關(guān)，則

下列結(jié)論中正確的是（）

A.x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)

B.x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)

C.x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)

D.x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)

答案D

AAA

解析由-0.1X+1可得x與），負(fù)相關(guān).因為y與z負(fù)相關(guān)，可設(shè)z=Z?），+

AAAAAAAA

a,b<0,JjllJz=Z?（-0.1A+1）+6/=-OAbx+b+a,故x與z正相關(guān).

4.（多選）（人教B選擇性必修第二冊432例1改編）為了解閱讀量多少與幸福

感強(qiáng)弱之間的關(guān)系，一個調(diào)查機(jī)構(gòu)根據(jù)所得到的數(shù)據(jù)，繪制了如下所示的2x2列

聯(lián)表（個別數(shù)據(jù)暫用字母表示）：

幸福感

閱讀量合計

強(qiáng)弱

多m1872

少36n78

合計906015()

計算得到Z2力2.981,參照下表:

a0.100.050.0250.0100.0050.001

Xa2.7063.8415.0246.6357.87910.828

則下列結(jié)論正確的是（）

A.根據(jù)小概率值。=0.010的獨立性檢驗，可以認(rèn)為“閱讀量多少與幸福感強(qiáng)

弱無關(guān)”

B.=54

C.n=52

D.根據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，可以在犯錯誤的概率不超過0.5%

的前提下認(rèn)為“閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱有關(guān)”

答案BD

解析.??/引2.981>7.879>6.635,.?.根據(jù)小概率值。=0.010的獨立性檢驗，

可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認(rèn)為“閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱有關(guān)”，根

據(jù)小概率值〃=0.005的獨立性檢驗，可以在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下

認(rèn)為“閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱有關(guān)”，A錯誤，D正確;?.■〃2+36=90,18+〃

=60,「.團(tuán)=54,〃=42,7.B正確，C錯誤.

5.某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額），的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：

廣告費用*萬元）4235

銷售額y（萬元）49263954

根據(jù)上表可得經(jīng)驗回歸方程5二篇+2中的分為9.4,據(jù)此模型預(yù)測廣告費用為

6萬元時銷售額約為萬元.

答案65.5

_4+2+3+5_49+26+39+54

解析由表可得了二----4----二3.5,y=-------4------=42,因為點

AAAAAA

（3.5,42）在經(jīng)驗回歸直線），=灰+々上，旦〃=9.4,所以42=9.4x3.5+〃，解得a=

9.1.故經(jīng)驗回歸方程為￡=9.4x+9.1.令x=6,得R=65.5.故預(yù)測廣告費用為6萬元

時銷售額約為65.5萬元.

核心考向突破

多角度探究突破

考向一兩個變量的相關(guān)性

角度1相關(guān)關(guān)系的判斷

例1(1)某商家今年上半年各月的人均銷售額(單位：千元)與利潤率統(tǒng)計表

如下：

月份123456

人均銷售額658347

18.

利潤率(％)12.610.43.08.116.3

5

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列說法正確的是()

A.利潤率與人均銷售額成正相關(guān)關(guān)系

B.利潤率與人均銷售額成負(fù)相關(guān)關(guān)系

C.利潤率與人均銷售額成正比例函數(shù)關(guān)系

D.利潤率與人均第售額成反比例函數(shù)關(guān)系

答案A

解析由統(tǒng)計表可得利潤率與人均銷售額不是正比例關(guān)系，也不是反比例關(guān)

系，排除C,D;其屬于正相關(guān)關(guān)系，A正確，B錯誤.故選A.

(2)在以下4幅散點圖中，圖_______中的y和x之間存在相關(guān)關(guān)系(將正確答

案的序號填在橫線上)

答案②③④

解析圖②③中的點成帶狀區(qū)域分布在某一直線附近，④中的點分布在某一

曲線附近，故②③④存在相關(guān)關(guān)系.

角度2相關(guān)系數(shù)的計算及意義

例2(1)(多選)某同學(xué)將收集到的六對數(shù)據(jù)制作成散點圖一

AA

如右，得到其經(jīng)驗回歸方程為八：)，=0.681+出計算其相關(guān)系.

*c{)

數(shù)為n,決定系數(shù)為即經(jīng)過分析確定點F為“離群點”，把它去_上_____,

X

掉后，再利用剩下的五對數(shù)據(jù)計算得到經(jīng)驗回歸方程為/2：y=

源+0.68,相關(guān)系數(shù)為2決定系數(shù)為R幺下列結(jié)論正確的是()

A.n>/*!>0B.Ri>Ri

AA

C.0<Z?<0.68D力>0.68

答案AC

解析由圖可知兩變量呈正相關(guān)，故n>0,m>0,去掉"離群點''后，相關(guān)

性更強(qiáng)，所以「V廢，故此v審，故A正確，B錯誤；根據(jù)圖象，當(dāng)去掉尸點后,

直線基本在4,B,C,D,E附近的那條直線上，直線的傾斜程度會略向x軸偏

向，故斜率會變小，因此0<合<0.68,故C正確：D錯誤.故選AC.

(2)某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為

調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊

中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)5,??)(，=1,

2,…，20),其中H和"分別表示第，個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種

2()2020-20_、

野生動物的數(shù)量，并計算得￡即=60,Z?=1200,Z8-1)2=80,￡(＞7-y)2

/=1/=1/=1/=1

20__

=9(X)0,E(Xi-x)('?-)，)=800.

，=!

①求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣

區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；

②求樣本(孫2,…，20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01).

n

2U-x)(yi-y)

附：相關(guān)系數(shù),二一----------：-------------,/R.414.

、Z(r-X)2E(V-y)2

V口?i='

1201

解①每個樣區(qū)野生動物數(shù)量的平均數(shù)為疝=而xl20()=6(),地塊數(shù)為

1=1

200,所以該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值為200x60=12000.

②樣本6,V)的相關(guān)系數(shù)為

20__

_g—Lx)(p—y)__________8002迫

r==

^(y;-7)r^=3??

口觸類旁通n判定兩個變量相關(guān)性的方法

若點的分布從左下角到右上角，則兩個變量正相關(guān)；若點的分

畫散點圖

布從左上角到右下角，則兩個變量負(fù)相關(guān)

當(dāng)廠＞0時，正相關(guān)；當(dāng)X。時，負(fù)相關(guān)；M越接近1,線性相關(guān)

樣本相關(guān)系數(shù)

程度遺強(qiáng)

AA

經(jīng)驗回歸方程當(dāng)比＞0時，正相關(guān)；當(dāng)8Vo時，負(fù)相關(guān)

r即時訓(xùn)練1.(2024?薊州開學(xué)考試)對兩個變量羽)，進(jìn)行線性市地嬴榛

性相關(guān)系數(shù)門=0.8995,對兩個變量〃，u進(jìn)行線性相關(guān)檢驗，得線性相關(guān)系數(shù)9

=-0.9568,則下列判斷正確的是()

A.變量x與y正相關(guān)，變量〃與u負(fù)相關(guān)，變量x與)，的線性相關(guān)性較強(qiáng)

B.變量x與y負(fù)相關(guān)，變量〃與口正相關(guān)，變量無與)，的線性相關(guān)性較強(qiáng)

C.變量x與)，正相關(guān)，變量〃與口負(fù)相關(guān)，變量〃與口的線性相關(guān)性較強(qiáng)

D.變量x與)，負(fù)相關(guān)，變量〃與u正相關(guān)，變量〃與u的線性相關(guān)性較強(qiáng)

答案C

解析因為線性相關(guān)系數(shù)門二0.8995X),所以二y正相關(guān)，因為線性相關(guān)系

數(shù)旌=-0.9568＜0,所以〃，＞，負(fù)相關(guān)，又因為|川＜四,所以變量〃，?的線性相關(guān)

性比心的線性相關(guān)性強(qiáng)，故A,B,D錯誤，C正確.故選C.

2.為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每隔30min從該生

產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個零件，并測量其尺寸(單位：cm).下面是檢驗員在一天內(nèi)依

次抽取的16個零件的尺寸：

抽取次序12345678

零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

抽取次序910111213141516

零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

116/I16

經(jīng)計算得x=石￡一二9.97,s='/諱Z)2=

([?-16￡2)=0.212,8.5)2-8.439,￡(劉_I)*8.5)=-

2.78,其中方為抽取的第，個零件的尺寸，，.=1,2,…，16.

(1)求(8，/)(/=1,2,16)的相關(guān)系數(shù)人并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)

的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小(若I/K0.25,則可以認(rèn)為零件

的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小)；

(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(1-3s,1+3s)之外的零件，就

認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程

進(jìn)行檢查.

①從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?

②在(1-35,工+3s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計這條生產(chǎn)

線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差(精確到0.01).

附：樣本(孫，?)(，=1,2,〃)的相關(guān)系數(shù)

參考數(shù)據(jù)：^0.008-0.09.

解(1)由樣本數(shù)據(jù)，得但，i)(i=1,2,…，16)的相關(guān)系數(shù)r

16

-2.78

-------F=-------=-()18

0.212x716x18.439

由于仍＜0.25,因此可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系

統(tǒng)地變大或變小.

(2)①由于工二9.97,s=0.212,因此由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個零件

的尺寸在(1-3s,1+3s)以外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

②剔除離群值，即第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為tX(16X9.97-9.22)=

10.02,

這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計值為10.02.

16

￡^^16X0.2122416x9.972=1591.134,

/=1

剔除第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為tx(1591.134-9.222-

15x10.022戶0.008,

這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的估計值為M麗巾.09.

多角度探究突破

考向二回歸分析

角度1線性回歸模型

例3（2024.濟(jì)南開學(xué)考試）隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)購成了人們購物的重要選擇,

并對實體經(jīng)濟(jì)產(chǎn)生了一定影響.為了解實體經(jīng)濟(jì)的現(xiàn)狀，某研究機(jī)構(gòu)統(tǒng)計了一個

大商場2019-2023年的線下銷售額如下：

年份編號X12345

年份20192020202120222023

銷售額y

1513146512021060860

（單位：萬元）

（1）由表中數(shù)據(jù)可以看出，可用線性回歸模型擬合銷售額），與年份編號x的關(guān)

系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；

（2）建立），關(guān)于久?的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測2024年該商場的線下銷售額.

參考公式及數(shù)據(jù)：

A￡砂-〃工aA_A_

b=~,a=y-bx,

￡京-nx2

1736.

5

斗

解（1）由已知數(shù)據(jù)可得，X=3,y=—=^=1220,

5

所以￡卬,-5Ty=16589-5x3x1220=-1711,

/=!

5

I___________________________

所以〃二J7,21’5y）工浦在-0.9856.

因為M非常接近1,所以可用線性回歸模型擬合銷售額），與年份編號x的關(guān)系.

22222

（2）由已知數(shù)據(jù)可得，1>?=14-2+3+4+5=55,

/=i

5

孕C

Ay16589-5x3x1220

所以。二當(dāng)者5“——=-171.1,

=DD-

a=y-bx=1220-（-171.1）x3=1733.3,

所以>關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為5二-171.我+1733.3.

令x=6,

5!ljy=-171.1x6+1733.3=706.7（萬元）.

所以預(yù)測2024年該商場的線下銷售額為706.7萬元.

角度2非線性回歸模型

例4某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費工（單

位：千元）對年銷售量）（單位：。和年利潤z（單位：千元）的影響.對近8年的年宣

傳費即和年銷售量2,…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一

些統(tǒng)計量的值.

年銷售址/|

620

600...

580.■

560?

540.

520

500.?

48()1AA1AAAA，，A.

34363840424446485)525456

年宣傳費/千元

8

88_2(WL

￡(M篙(Xz-X)?(y?

yj(無一IF

Xyvr

初2-y)vv)-(>v-y)

46.65636.8289.81.61469108.8

表中卬i=?,W=R*Wi.

⑴根據(jù)散點圖判斷，)，二。+bx與尸c+小「哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于

年宣傳費X的經(jīng)驗回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)

(2)根據(jù)⑴的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于支的經(jīng)驗回歸方程；

(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x,y的關(guān)系為z=().2y-x.根據(jù)⑵的結(jié)果回答

下列問題：

①年宣傳費工二49時，年銷售量及年利潤的預(yù)測值是多少？

②年宣傳費x為何值時，年利潤的預(yù)測值最大？

附：對于一組數(shù)據(jù)("I,Vl),(U2,V2),???,(4，v?),其經(jīng)驗回歸直線^A二aA+/A

AZ/)(V/-V)AA_

〃的斜率和截距的最小二乘估計分別為"~~-----------------,?=v-Pu.

X〃)2

解(1)由散點圖可以判斷，y=c+M適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x

的經(jīng)驗回歸方程類型.

(2)令w=先建立y關(guān)于卬的經(jīng)驗回歸方程.

8

八（Wi-（yi-y）

108.8

由于"二'68,

8_1.6

R（Wi~W）2

A_A_,一____

c=y-dvv=563-68x6.8=100.6,

A

所以y關(guān)于卬的經(jīng)驗回歸方程為y=100.6+68iv,

因此y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為￡=100.6+68G.

(3)①由(2)知，當(dāng)戶49時，年銷售量)，的預(yù)測值為￡=100.6+6隊用=576.6

千元，

年利潤z的預(yù)測值為1=576.6x0.2-49=66.32千元.

②根據(jù)⑵的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)測值

z=0.2(100.6+68^)-x=-x+13.6^+20.12.

所以當(dāng)5:號=6.8,即x=46.24時，2取得最大值.

故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預(yù)測值最大.

1觸類旁通I求經(jīng)驗回歸方程的步驟

提醒：對非線性回歸分析問題，可通過適當(dāng)?shù)膿Q元轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題

求解.

&即時訓(xùn)練1.(2023?廈門二模)移動物聯(lián)網(wǎng)廣泛應(yīng)用于皿億戶

25?

生產(chǎn)制造、公共服務(wù)、個人消費等領(lǐng)域.截至2022年底，20.

我國移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)達(dá)18.45億戶，成為全球主要經(jīng)濟(jì)體!??

00I2345/

中首個實現(xiàn)''物超人''的國家.如圖是2018?2()22年移動物

聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)卬與年份代碼,的散點圖，其中年份2018?2022對應(yīng)的1分別為1?

5.

(1)根據(jù)散點圖推斷兩個變量是否線性相關(guān).計算樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01),

并推斷它們的相關(guān)程度；

(2)①假設(shè)變量x與變量丫的〃對觀測數(shù)據(jù)為(xi,yi),(X2,聞，…，g泗),

Y=bx+e

兩個變量滿足一元線性回歸模型口二、:八/、式隨機(jī)誤差

E(e)=0,D(e)-(T

bxi).請推導(dǎo)：當(dāng)隨機(jī)誤差平方和。二￡區(qū)取得最小值時，參數(shù)的最小二乘估計;

/=!

②令變量x=/-7,y=卬-6,則變量x與變量y滿足一元線性回歸模型

(Y=bx+e

1,、:n/、，利用①中結(jié)論求y關(guān)于X的經(jīng)驗回歸方程,并預(yù)測2024

年移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù).

內(nèi)

-

S(0f)(wf—w)

附：樣本相關(guān)系數(shù)r="￡(%.一而",

2

S(w,-w)=76.9,S(/,-f)(w,-w)=27.2,Sw,=6081網(wǎng)之277

解（1）由散點圖可以看出樣本點都集中在一條直線附近，由此推斷兩個變量

線性相關(guān).

因為7=1x(l+24-3+4+5)=3,

5

所以Ze-7)2=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=1(),

z=i

Z(6-7)(W7-HO

,7.2_27.227.2

[10x76.9=”27.7

=0.98,

所以這兩個變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng).

￡一=￡(北一)2=￡(9一2bxiy,

⑵①。二-1"I"1

+b2xj)=lrN乂

—I___

要使Q取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)〃A二與y右??2.

55

2工＜“2(?！?(w,

r°1_________￡_____~_w__)

②由①知公二￡5—')2二*二2.72,

所以y關(guān)于X的經(jīng)驗回歸方程為￡=2.72X,

5

之卬i

又6二一§一=?3=12.16,所以當(dāng)/=7時，

貝IJx=7-3=4,w=y+b=2.72x4+12.16=23.04,

所以預(yù)測2024年移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)為23.04億戶.

2.（2023?遼寧名校聯(lián)盟期末）紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，也侵害木棉、錦

葵等植物.為了防治蟲害，從根源上抑制害蟲數(shù)量.現(xiàn)研究紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫

度的關(guān)系，收集到7組溫度工和產(chǎn)卵數(shù)y的觀測數(shù)據(jù)于表I中.根據(jù)繪制的散點

圖決定從回歸模型①），=oeclr與回歸模型②.v=+C4中選擇一個來進(jìn)行擬合.

表【

溫度x/℃20222527293135

產(chǎn)卵數(shù)w個711212465114325

（1）請借助表n中的數(shù)據(jù)，求出回歸模型①的方程（精確到（）.01）；

表11（注：表中Zi=lny）

7777_7_

X（Xi-x）2

工（V-5）2

18956725.2716278106

7￡y＞（ti

zli（力-居8-,S（無一

2

7）工）?（》-y）x）-（A-7）-7）

11.06304041.86825.09

（2）類似地，可以得到回歸模型②的方程為＞=0.361-202.54,試求兩種模型

下溫度為20℃時的殘差；

（3）若求得回歸模型①的決定系數(shù)R2=0.95，回歸模型②的決定系數(shù)R2=0.81,

請結(jié)合（2）說明哪個模型的擬合效果更好.

參考數(shù)據(jù)：e-3⑷=o.o3,e026?1.30,e,79?5.99,e52O?181.27.

附：經(jīng)驗回歸方程9=加+1中

n__

"（船一x）（y-y）

AA_A_

?Z~7,a-y-px.

￡{Xi-X）2

解⑴由y=ciec2r,fliny=\nc\+ax,

令，=Iny,b=a,a=Inci,得，=+a,

由表H數(shù)據(jù)可得，

7

41.86

7-0.26,

￡(Xi-X)2162

A_A_25.27八r,189

a-i-bx~~~-0.26x-=-3o.41,

A

所以f=0.26x—3.41,

所以所求經(jīng)驗回歸方程為Q=e°.-3⑷(或Q=o.O3eO26v).

⑵由題意可知，模型①在x=20時殘差為yi-yi=7-e°-26x20-3-41?1.01,

模型②在x=20時殘差為yi-yi=7-(0.36x202-202.54)=65.54.

(3)因為0.95>0.81,即模型①的決定系數(shù)大于模型②的決定系數(shù)，由決定系

數(shù)公式知，模型①的殘差平方和小于模型②的殘差平方和，因此模型①得到的數(shù)

據(jù)更接近真實數(shù)據(jù)，所以模型①的擬合效果更好.

考向三獨立性檢驗

例5(2023?棗莊三中期末)某中學(xué)為調(diào)查本校學(xué)生“保

護(hù)動物意識的強(qiáng)弱與性別是否有關(guān)“，采用簡單隨機(jī)抽樣的

方法，從該校分別抽取了男生和女生各50名作為樣本，經(jīng)

統(tǒng)計，得到如圖所示的等高堆積條形圖.

(1)根據(jù)已知條件，將下面2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整：II保護(hù)動物意隊強(qiáng)

II保護(hù)動物意隊弱

保護(hù)動物意識合計

性別

強(qiáng)弱

男生50

女生50

合計100

(2)根據(jù)(1)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，分析該校學(xué)生

保護(hù)動物意識的強(qiáng)弱與性別是否有關(guān).

,n(ad-be)2

附.(〃+/?)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.

a0.100.050.010.005

Xa2.7063.8416.6357.879

解(1)由等高堆積條形圖知，男生保護(hù)動物意識強(qiáng)的有50x0.7=35人，女生

保護(hù)動物意識強(qiáng)的有50x0.4=20人，于是補(bǔ)充2x2列聯(lián)表如下：

保護(hù)動物意識合計

性別

強(qiáng)弱

男生351550

女生203050

合計5545100

(2)零假設(shè)為"0：該校學(xué)生保護(hù)動物意識的強(qiáng)弱與性別無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的

數(shù)據(jù)，得

、100x(35x30-15x20)2100

/=-50X50X55X45-二,9.091>7.879=xo.oo5,

根據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，我們推斷“0不成立，即認(rèn)為該校學(xué)

生保護(hù)動物意識的強(qiáng)弱與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005.

I觸類旁通I

1.比較幾個分類變量有關(guān)聯(lián)的可能性大小的方法

(1)通過計算Z2的大小判斷：Z2越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大.

(2)通過計算|〃-慶|的大小判斷：|〃-曲|越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大.

(3)通過計算備與力的大小判斷：相差越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大.

V*Iexv*IV*

2.獨立性檢驗的一般步驟

(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2x2列聯(lián)表.

.n(ad-be)2.

⑵根據(jù)公式r=("份(,+d)(a+c)g+計算/的值，

(3)比較/與臨界值打的大小關(guān)系，作統(tǒng)計推斷.

r即時訓(xùn)練(2024.貴州黔東南州從江縣高三期中檢測謀學(xué)?，F(xiàn)有1000名學(xué)

生，為調(diào)查該校學(xué)生一周使用手機(jī)上網(wǎng)時間的情況，收集了〃名學(xué)生某周使用手

機(jī)上網(wǎng)時間的樣本數(shù)據(jù)(單位：小時).將數(shù)據(jù)分為6組：[0,2],(2,4J,(4,6J,

(6,8],(8,10],(1(),12],并整理得到如下的頻率分布直方圖：

(1)估計該校學(xué)生一周平均使用手機(jī)上網(wǎng)時間(每組數(shù)據(jù)以該組中點值為代

表)；

(2)將一周使用手機(jī)上網(wǎng)時間在(4,12]內(nèi)定義為“長時間使用手機(jī)上網(wǎng)“；一周

使用手機(jī)上網(wǎng)時間在(0,4]內(nèi)定義為“不長時間使用手機(jī)上網(wǎng)”，在樣本數(shù)據(jù)中，

有().25〃名學(xué)生不近視.

①請補(bǔ)充完成該周使用手機(jī)上網(wǎng)時間與近視程度的列聯(lián)表；

②若〃為100,那么在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下是否能認(rèn)為該校學(xué)

生一周使用手機(jī)上網(wǎng)時間與近視程度有關(guān)？

一周使用手機(jī)近視程度

合計

上網(wǎng)時間近視不近視

長時間使用手機(jī)

不長時間使用手機(jī)0.15/?

合計0.25〃

n（ad-be）2

附：1“）（c+d）…（〃+"），其中,…+b+c+&

a0.10.050.0100.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

解(1)根據(jù)頻率分布直方圖可估計該校學(xué)生一周平均使用手機(jī)上網(wǎng)時間為

x=1x0.025x2+3x0.100x2+5x0.150x2+7x0.125x2+9x0.075x2+11x0.025x2=

5.8（小時）.

（2）①由頻率分布直方圖可得，上網(wǎng)時間在（0,4］內(nèi)和（4,12］內(nèi)的比例為0.25:

0.75=1：3,

故可得列聯(lián)表如下:

近視程度

一周使用手機(jī)上網(wǎng)時間合計

近視不近視

長時間使用手磯0.65〃0.1On0.75〃

不長時間使用手機(jī)0.10〃0.15/?0.25〃

合計0.75〃0.25〃n

100x（65x15-10x10）2

②若〃為100,則茬=—乂—?21.78>10.828,故在犯錯誤

的概率不超過0.001的前提下能認(rèn)為該校學(xué)生一周使用手機(jī)上網(wǎng)時間與近視程度

有關(guān).

課時作業(yè)

一、單項選擇題

1.根據(jù)分類變量X與>的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到犬二6.147.依據(jù)a=0.01

的獨立性檢驗（xo.oi=6.635）,結(jié)論為（）

A.變量犬與y不獨立

B.變量犬與），不獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.01

C.變量x與），獨立

D.變量x與y獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.01

答案C

解析依據(jù)a=0。的獨立性檢驗，當(dāng)/=6.147<6.635時，可以認(rèn)為變量x

與）獨立.故選C

2.（2023?天津高考）調(diào)查某種群花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示.其

中相關(guān)系數(shù)一二0.8245,下列說法正確的是（）

花滯長度

花萼氏度

A.花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性

B.花瓣長度和花萼長度呈負(fù)相關(guān)

C.花瓣長度和花萼長度呈正相關(guān)

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245

答案C

解析因為相關(guān)系數(shù)r=0,8245>0.75,所以花瓣長度和花萼長度的相關(guān)性較

強(qiáng)，并且呈正相關(guān)，所以A,B錯誤，C正確；因為相關(guān)系數(shù)與樣本的數(shù)據(jù)有關(guān),

所以當(dāng)樣本發(fā)生變化時，相關(guān)系數(shù)也可能會發(fā)生變化，所以D錯誤.故選C.

3.（2024.青島開學(xué)考試）已知某設(shè)備的使用年限x（單位：年）與年維護(hù)費用），（單

位：千元）的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：

X24568

y34.56.57.59

由所給數(shù)據(jù)分析可知，x與），之間具有線性相關(guān)關(guān)系，且y關(guān)于x的經(jīng)驗回

AAA

歸方程為L05x+a,則。=（）

A.0.75B.0.85

C.0.95D.1.05

答案B

_2+4+5+6+8_3+4.5+6.5+7.5+9

解析由已知可得，x==5,y==6.1,

AA

因為經(jīng)驗回歸直線過樣本點的中心(5,6.1),所以6.1=1.05x5+。,解得4=0.85.

故選B.

4.用模型y=配機(jī)+1（〃>0）擬合一組數(shù)據(jù)時，令z=lny,將其變換后得到經(jīng)驗

回歸方程z=2x+a,?j-=()

A.e

C.5D.2

答案D

解析對y=a/”（a>0）兩邊同時取對數(shù),則析y=ln3ax+I）=lna+公+兀

b=2,b=2,b

令z=lny,5JlJz=+Ina+1,所以，I,解得所以.故選D.

a=\na+I,

5.下圖是某地區(qū)20（）3年至2023年環(huán)境保護(hù)建設(shè)投資額（單位：萬元）的折線

圖.

根據(jù)該折線圖判斷，下列結(jié)論正確的是（）

A.為預(yù)測該地2024年的環(huán)境保護(hù)建設(shè)投資額，應(yīng)用2003年至2023年的數(shù)

據(jù)建立回歸模型更可靠

B.為預(yù)測該地2024年的環(huán)境保護(hù)建設(shè)投資額，應(yīng)用2012年至2023年的數(shù)

據(jù)建立回歸模型更可靠

C.投資額與年份負(fù)相關(guān)

D.投資額與年份的相關(guān)系數(shù)廠<（）

答案B

解析因為2011年之前與2012年之后投資額變化較大，故為預(yù)測該地2024

年的環(huán)境保護(hù)建設(shè)投資額，應(yīng)用2012年至2023年的數(shù)據(jù)建立回歸模型更可靠，

所以A錯誤，B正確；隨年份的增長，投資額總體上在增長，所以投資額與年份

正相關(guān)，r>0,故C,D錯誤.故選B.

6.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù):

X345678

y4.02.50.50.50.40.1

AAA

得到經(jīng)驗回歸方程為)，=尿+。，貝IJ()

AA