湖北省十堰市六縣市一中教聯(lián)體2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2025年十堰市六縣市區(qū)一中教聯(lián)體4月聯(lián)考高一數(shù)學(xué)試卷試卷滿(mǎn)分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在中，已知，，，則（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】先由正弦定理求出或，兩種情況分別用正弦定理求即可.【詳解】由正弦定理，得，因?yàn)椋?，所以，所以?①當(dāng)時(shí)，.此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，.此時(shí).所以或.故選：D2.如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，.設(shè)，，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】利用向量基本定理得到，由共線定理的推論得到方程，求出.【詳解】，因?yàn)?，，所以，又三點(diǎn)共線，所以，即.故選：C3.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)條件求得的值，再通過(guò)誘導(dǎo)公式求即可【詳解】因，所以，所以，所以.故選：A.4.已知，是兩個(gè)不共線向量，向量與方向相同，則（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量共線得到方程，從而得到或，經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)，排除不合要求的值，得到答案.【詳解】由，不共線，易知向量為非零向量，由向量與方向相同，可知存在實(shí)數(shù)，使得，即.由，不共線，必有，否則，不妨設(shè)，則.由兩個(gè)向量共線的充要條件知，，共線，與已知矛盾.由，解得或，當(dāng)時(shí)，兩向量分別為，，方向相反，與題意不符.當(dāng)時(shí)，，，方向相同，符合題意.因此，當(dāng)向量與方向相同時(shí)，故選：B5.函數(shù)滿(mǎn)足，且在區(qū)間上，則的值為（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)周期性及分段函數(shù)解析式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿(mǎn)足，所以函數(shù)的最小正周期是4.因?yàn)樵趨^(qū)間上，，所以，所以.故選：B6.若，是非零向量且滿(mǎn)足，，則與的夾角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，，得，，化簡(jiǎn)后再結(jié)合兩向量夾角余弦公式求解即可.【詳解】設(shè)與的夾角是，，，即①，又，，即②，由①②知，，，所以與的夾角為.故選：B7.若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的為（）A.實(shí)數(shù)有且僅有一個(gè)值B.實(shí)數(shù)有且僅有一個(gè)值C.的單調(diào)遞增區(qū)間為D.若，則【答案】C【解析】【分析】B選項(xiàng)，根據(jù)圖象得到，代入，得到方程，結(jié)合該點(diǎn)位于單調(diào)遞增區(qū)間，求出；A選項(xiàng)，將代入，結(jié)合，得到；C選項(xiàng)，整體法求出函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；D選項(xiàng)，時(shí)，，又關(guān)于對(duì)稱(chēng)，得到方程，解得，代入解析式，求出答案.【詳解】B選項(xiàng)，由圖易得：，又因?yàn)閳D像過(guò)點(diǎn)，所以，，得或又因?yàn)樵擖c(diǎn)位于單調(diào)遞增區(qū)間，所以，所以，B對(duì)A選項(xiàng)，因?yàn)閳D像過(guò)，即，，，設(shè)函數(shù)最小正周期為，則由圖得，即，故，又，所以只有當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足要求，A對(duì)C選項(xiàng)，，令，解得，故單調(diào)遞增區(qū)間為，，C錯(cuò)D選項(xiàng)，時(shí)，，又，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，解得，D對(duì)故選：C8.已知函數(shù)，值域?yàn)?，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A. B.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C.的最大值為1 D.【答案】D【解析】【分析】先利用同角三角函數(shù)關(guān)系和換元法得到，，A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)單調(diào)性求出最值，得到值域；B選項(xiàng)，計(jì)算出，B正確；C選項(xiàng)，，故；D選項(xiàng)，化簡(jiǎn)得到，由單調(diào)性求出最值，得到值域.【詳解】因?yàn)?，所以，令，則，.A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故正確；B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故B正確C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以，，故，?dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為1，故C正確.D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故D錯(cuò)故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.等腰三角形中，，，，，下列說(shuō)法不正確的是（）A.B.C.在上的投影向量是D.在上的投影向量與在上的投影向量是相反向量【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算可判斷AB；根據(jù)投影向量的定義可判斷CD.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榈妊切沃校?，所以，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以在上的投影向量是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，在上的投影向量是，在上的投影向量是，故D正確.故選：D.10.下列結(jié)論正確的是（）A.中，若，則為銳角三角形B.銳角三角形中，C.中，若，則D.中，若，則為銳角三角形【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)邊角關(guān)系，結(jié)合正弦定理以及三角恒等變換，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，又所以，化簡(jiǎn)得，所以、中有一個(gè)為鈍角，所以錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即，且，，所以，即，所以正確；對(duì)于C，由正弦定理，又，所以，所以C正確；對(duì)于D，又可得，易得，均為銳角，所以，化簡(jiǎn)得，即，所以也為銳角，所以D正確.故選：BCD11.下列說(shuō)法正確的有（）A.， B.，C.， D.，【答案】ABD【解析】【分析】利用三角函數(shù)線證明當(dāng)時(shí)，即可判斷A、B，再由誘導(dǎo)公式判斷C、D.【詳解】首先證明當(dāng)時(shí)，構(gòu)造單位圓，如圖所示：則，設(shè)，則，過(guò)點(diǎn)作直線垂直于軸，交所在直線于點(diǎn)，由，得，所以，由圖可知，即，即；對(duì)于A、B：因?yàn)?，易知，故A、B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，則，則，所以，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，則，所以x+1即，，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，，，若，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則及平面向量基本定理計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又且與不共線，所以，則.故答案為：13.設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意利用輔助角公式可得，結(jié)合正弦函數(shù)最值分析求解.【詳解】因?yàn)?，令，，則，當(dāng)，，即，時(shí)，取最大值，此時(shí)，，所以.故答案為：.14.在平面四邊形中，，，，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意作圖，延長(zhǎng)，交于，作，分別求出和兩個(gè)臨界位置的長(zhǎng)，即可得出的取值范圍【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)，交于，作，由，，可得，所以點(diǎn)與不重合，點(diǎn)與也不重合，點(diǎn)與不重合，在中，，，，，由正弦定理可得，即，由，解得，在中，，則，則是正三角形，解得（此時(shí)為臨界位置，不能?。?，所以的取值范圍為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知外接圓半徑為，且.（1）求.（2）若，，求的面積.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理和余弦定理得到，結(jié)合，求出答案；（2）先由正弦定理得到，再結(jié)合余弦定理得到，由三角形面積公式得到答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，由余弦定理，得，又，所以；【小?wèn)2詳解】因?yàn)椋?，由余弦定理得，解得，所?6.春節(jié)期間，某地晝夜氣溫呈周期性變化，溫度隨時(shí)間變化近似滿(mǎn)足函數(shù)(，，)，且在每天凌晨時(shí)達(dá)到最低溫度℃，在下午時(shí)達(dá)到最高溫度℃，從2時(shí)到14時(shí)為半個(gè)周期.（1）求這段時(shí)間氣溫隨時(shí)間變化的函數(shù)解析式；（2）這段時(shí)間該地一晝夜內(nèi)哪幾個(gè)時(shí)刻的氣溫為℃？注：一晝夜指從凌晨0時(shí)(含)到午夜24時(shí)(不含).【答案】（1）；（2）每天的6時(shí)或22時(shí)的氣溫為.【解析】【分析】（1）根據(jù)題中的函數(shù)最大值和最小值建立關(guān)于A，b的方程求解參數(shù)A和b，再根據(jù)從2時(shí)到14時(shí)為半個(gè)周期求解出函數(shù)的周期，進(jìn)而求解出，最后代入一組x，y的值求解出函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)（1）中的解析式求解函數(shù)值為0時(shí)的自變量的值即可得出答案.【詳解】（1）依題意，，解得根據(jù)題意，又時(shí)，且，解得，所以；（2）由得，所以或由，解得或，即在每天的6時(shí)或22時(shí)的氣溫為.17.已知向量，．(1)若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)已知，，其中，，是坐標(biāo)平面內(nèi)不同的三點(diǎn)，且，，三點(diǎn)共線，當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】（1）且；（2）．【解析】【分析】(1)根據(jù)與的夾角為銳角可知，且與不共線，將坐標(biāo)代入求解即可；(2)由，，三點(diǎn)共線可得，根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示列出方程再結(jié)合，即可求出的值．【詳解】(1)因?yàn)?，與的夾角為銳角，所以，即，解得當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)，，與的夾角為0，也滿(mǎn)足，但不滿(mǎn)足題意，所以，綜上，且．(2)由題知，，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，所以．當(dāng)時(shí)，或．當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)與點(diǎn)重合，與題意矛盾；當(dāng)時(shí)，或．若，，點(diǎn)與點(diǎn)重合，與題意矛盾；若，，滿(mǎn)足題意．綜上，．18.已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，且．（1）求；（2）若，求面積的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由正弦定理化簡(jiǎn)再應(yīng)用輔助角公式化簡(jiǎn)求出三角函數(shù)值進(jìn)而求出角；（2）先由正弦定理化簡(jiǎn)面積結(jié)合三角恒等變換，最后應(yīng)用三角函數(shù)的值域可得范圍.小問(wèn)1詳解】由及正弦定理得：，即，，，因?yàn)?，因此，所以得，即，得或，又因?yàn)?，所以．【小?wèn)2詳解】由正弦定理得：，所以，，所以，因?yàn)?，所以，因此，，所以．因此，面積的取值范圍是．19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求整數(shù)的最大值；（3）若函數(shù)，將函數(shù)的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，若關(guān)于的方程在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），；（2）4；（3）．【解析】【分析】（1）利用輔助角公式化簡(jiǎn)，然后整體代入法求的單調(diào)區(qū)間；（2）先整體代入法求出的值域，由題意可知：等價(jià)于恒成立，則有，，列出不等式求解可得的最大值；（3）由三角函數(shù)的平移變換求出函數(shù)解析式，代入方程，令，則方程可轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有解，分離根據(jù)單調(diào)性可求出的范圍.【詳解】解：（1）由題意得，．由，，得，，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．（2）因