浙江省新力量聯盟2024-2025學年高一下學期4月期中聯考數學試題（解析）

第頁，共頁2024學年第二學期溫州新力量聯盟期中聯考高一年級數學學科試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級?姓名?考場號?座位號及準考證號并填涂相應數字.3所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4考試結束后，只需上交答題紙.選擇題部分一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知i是虛數單位,若復數z滿足,則=A.-2i B.2i C.-2 D.2【答案】A【解析】【詳解】由得,即,所以,故選A.【名師點睛】復數代數形式的加減乘除運算的法則是進行復數運算的理論依據,加減運算類似于多項式的合并同類項,乘法法則類似于多項式乘法法則,除法運算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實數化.注意下面結論的靈活運用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i,＝－i.2.已知向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據數量積的定義結合充分條件、必要條件的概念可得結果.【詳解】由可得，故，所以.由可得，故，而方向不一定相同，故不能得到.綜上得，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.如圖，是水平放置的的直觀圖，則的周長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據斜二測畫法得到三角形為直角三角形，，邊長，，然后即可求三角形的周長．【詳解】根據斜二測畫法得到三角形為直角三角形，，底邊長，高，所以，直角三角形的周長為．故選：A．4.“平面內有一條直線，則這條直線上的一點必在這個平面內”用符號語言表述是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由點線面的關系把文字語言翻譯成符號語言即可.【詳解】平面內有一條直線，則這條直線上的一點必在這個平面內，符號表達為：，，故選：C5.在平行四邊形中，相交于點，點在線段上，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量基本定理即可得到答案.【詳解】因為O是AC的中點，，又由可得E是DO的中點，.故選：B.6.在中，分別根據下列條件解三角形，其中有兩解的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】B【解析】【分析】由余弦定理可判定選項A，利用正弦定理和大邊對大角可判斷選項B，C，D.【詳解】對于A，已知三角形三邊，且任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，從而可由余弦定理求內角，只有一解，A錯誤；對于B，根據正弦定理得，，又，，B有兩解，故B符合題意；對于C，由正弦定理：得：，C只有一解，故C不符合題意.對于D，根據正弦定理得，，又，，D只有一解，故D不符合題意.故選：B7.設非零向量與的夾角為，定義與的“向量積”：是一個向量，它的模，若，則（）A.1 B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】利用向量夾角余弦公式得到，由同角三角函數關系得到正弦值，進而代入公式求出答案.【詳解】，故，所以，故.故選：D8.已知點為外接圓的圓心，角所對的邊分別為，且，若，則當角取到最大值時的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設的中點為，運用向量的線性運算和向量的數量積運算律表示，求得，再由余弦定理和余弦函數的性質可求得答案.【詳解】如下圖所示：設的中點為，，因為，所以，由知，角為銳角，所以，當且僅當，即時，取得最小值，因為在上是減函數，所以此時，角取得最大值，此時恰有，此時三角形是直角三角形，所以.故選：A.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖，在正方體中，M，N分別為棱的中點，則以下四個結論中，正確的有（

）A.直線與是相交直線 B.直線與是異面直線C.與平行 D.直線與共面【答案】BD【解析】【分析】根據異面直線的概念結合正方體性質可判斷AB；根據直線的平行的判定可判斷C；利用四點共面可判斷D.【詳解】對于A，三點在平面內，M點不在直線上，A點不在平面內，可得直線與是異面直線，故A錯誤；對于B，三點在平面內，不在直線上，M點不在平面內，可得直線與是異面直線，故B正確；對于C，取的中點E，連接，又N為的中點，則有，，所以四邊形是平行四邊形，所以，，則與不平行，故C錯誤；對于D，連接，因為M，N分別為棱的中點，所以，由正方體的性質可知：，所以，則有四點共面，所以直線與共面，故D正確.故選：BD10.已知復數，下列結論正確的有（）A. B.若，則C. D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】利用共軛復數的定義判斷選項A；由復數的乘法運算以及實數0的含義判斷選項B；由復數模的運算性質判斷選項C；由復數的乘法運算及共軛復數的概念判斷選項D.【詳解】設，對于A，，，故選項A正確；對于B，因為，則，則或，所以中至少有一個0，即或，故選項B不正確；對于C，由復數模的運算性質可知，，=，所以，故選項C正確；對于D，當，則，可得，解得，即，所以，故選項D正確.故選：ACD.11.已知內角所對的邊分別為內一點滿足與交于點，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由正弦定理即可判斷A；由平面向量線性運算即可判斷D；由平面向量線性運算及數量積的運算律即可判斷B；由三角形面積公式即可判斷C．【詳解】因為，所以由正弦定理得，故A正確；所以，所以，故D正確；所以，故B錯誤；由D知，是的平分線，所以，整理得，故C錯誤；故選：AD．非選擇題部分三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，角A，B，C所對邊分別為的面積__________.【答案】##【解析】【分析】由三角形的面積公式求解即可.【詳解】，故答案為：13.如圖所示，為測量一樹的高度，在地面上選取兩點，從兩點分別測得樹尖的仰角為，且兩點間的距離為，則樹的高度為__________.【答案】【解析】【分析】根據正弦定理求得，利用直角三角形求得樹高.【詳解】在中，由正弦定理得：，即，即又，則，則樹高m，故答案為：14.在中，為內一點，且，若，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】先根據向量數量積的運算性質，結合已知條件得出與的關系式，再利用基本不等式求解的最大值.【詳解】因為，根據向量垂直的性質可知，那么.對兩邊同時平方由可得.展開可得：.將，，，代入上式可得：，即，化簡得.設，，則.根據基本不等式（當且僅當時取等號），可得：.所以，當且僅當時取等號.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知向量與的夾角為，且，.（1）求；（2）；（3）求向量與向量的夾角.【答案】（1）2（2）（3）【解析】【分析】（1）由數量積公式直接得答案；（2）由，再結合（1）的結論可求得答案；（3）由向量夾角公式結合數量積公式即可求得答案.【小問1詳解】因為向量與的夾角為，且，，則.【小問2詳解】.【小問3詳解】設向量與向量的夾角，可得，且，則，所以向量與向量的夾角為.16.正四棱錐中，，其中為底面中心，為上靠近的三等分點.（1）求四棱錐的表面積（2）求四面體的體積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，因為，所以，然后計算出四個側面三角形的面積，計算表面積即可；（2）由于為上靠近的三等分點，所以，由體積公式求解即可.【小問1詳解】取的中點，連接，所以，因為，所以，所以，，所以四棱錐的表面積為；【小問2詳解】因為，所以，又為上靠近的三等分點，所以，17.在復平面內復數，其所對應的點分別為為坐標原點，是虛數單位.（1）求；（2）當為何值時，關于的二次方程有一個實根.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）需要先計算和，再求它們差的模；（2）設出實根，代入方程，根據復數相等的條件求解.【小問1詳解】【小問2詳解】設是二次方程的一個實根，將代入方程得：由復數相等的意義得：，解得：所以當時，原方程有一實根18.已知分別為銳角三個內角的對邊，且.（1）求；（2）若；（i）求周長的取值范圍.（ii）當周長最大時，設點為邊的中點，點在邊上（包括端點），求的最小值.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）運用正弦定理邊角互化，再結合三角函數求角即可；（2）（i）先根據正弦定理得出2R的值，把轉化為含的三角函數式.利用將化為，化簡得到.再根據銳角三角形條件確定范圍，進而得到范圍，求出范圍，最后得出周長范圍.（ii）當周長最大時三角形是等邊三角形，建立直角坐標系確定、坐標，得出向量、，計算數量積，通過配方求最小值.【小問1詳解】.由正弦定理得在中，代入上式化簡得：sinC因為，所以，即為銳角，【小問2詳解】（i）由正弦定理得所以是銳角三角形，即所以周長的取值范圍為.（ii）當三角形周長最大時，三角形為等邊三角形，以所在直線為軸，過垂直于的直線為軸，建立直角坐標系，由題意可知，設，則所以，當時，取最小值所以的最小值是19.據報道，2024年4月15日，正值全民國家安全教育日，田灣核電8號機組穹頂球冠吊裝成功（如圖（1）），標志著國內最重核電機組薄殼鋼襯里穹頂吊裝工作安全完成，有力推動了我國產業(yè)結構和能源結構的調整，助力“雙碳”目標順利實現.報道中提到的球冠是一個空間幾何概念，它是指球面被一個平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直徑被截得的部分是球冠的高.球冠面積等于截得它的球面上大圓（過球心的截面圓）周長與球冠的高的乘積.和球冠相對應的幾何體叫球缺，它是指球體被一個平面所截得的一部分，截面是球缺的底.當球缺的高小于球半徑時，我們把球缺與以球缺的底為底?以球心為頂點的圓錐所構成的體，稱作“球錐”（如圖（2））當一個四面體各頂點都在“球錐”表面上時，稱這個四面體內接此“球錐”.如圖（2），設一個“球錐”所在球的半徑為，其中球冠高為.（1）類比球體積公式的推導過程（可參考圖（3）），寫出“球錐”的體積公式；（直接寫結果）（2）在該“球錐”中，當球缺的體積是圓錐的體積2倍時，求的值；（3）已知一個棱長為正四面體內接此“球錐”，并且有一個頂點與球心重合，若滿足條件的有且只有一個，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）把“球錐”切割成無數個小錐體，結合錐體體積公式得“球錐”的體積.（2）根據球缺體積是圓錐體積的2倍這一條件，結合球缺和圓錐體積公式列出等式，通過化簡求解的值.（3）根據正四面體與“球錐”的內接關系，利用正四面體的外接圓半徑和高的性質，分析得出存在棱長唯一的正四面體內接“球錐”時的取值范圍.【小問1詳解】把“球錐”切割成無數個小錐體，由題意得球冠面積，所有小