線段長短的比較與運(yùn)算（教學(xué)設(shè)計(jì)）-七年級數(shù)學(xué)上冊（人教版）

4.2.2線段長短的比較與運(yùn)算教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書?數(shù)學(xué)》七年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第四章“幾何圖形初步”4.2.2線段長短的比較與運(yùn)算，內(nèi)容包括：運(yùn)用線段的和、差、倍、分關(guān)系求線段的長度；理解“兩點(diǎn)之間，線段最短”的線段性質(zhì)，并學(xué)會運(yùn)用.2.內(nèi)容解析本節(jié)知識是本教材第四章的第2節(jié)內(nèi)容，是學(xué)習(xí)幾何知識的開端，對調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的積極性，以及學(xué)習(xí)以后的幾何知識非常重要，必須把握好教學(xué)的進(jìn)度和難度.應(yīng)充分注重直觀認(rèn)識和操作活動(dòng)，充分培養(yǎng)學(xué)生的幾何語言表達(dá)能力.立足于學(xué)生實(shí)際，著眼于中小學(xué)的銜接，從他們的生活背景和已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，鼓勵(lì)他們的積極參與、動(dòng)手操作、觀察歸納，讓他們了解幾何學(xué)習(xí)的基本的操作方法，學(xué)習(xí)結(jié)論獲得的策略，對進(jìn)一步去理解線段本質(zhì)屬性與現(xiàn)實(shí)生活的緊密相關(guān)都有著較為深刻的意義，也有利于學(xué)生圖形意識的培養(yǎng).基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：線段比較大小以及線段的性質(zhì).二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)(1)會用尺規(guī)畫一條線段等于已知線段，會比較兩條線段的長短.理解線段等分點(diǎn)的意義.(2)能夠運(yùn)用線段的和、差、倍、分關(guān)系求線段的長度.(3)體會文字語言、符號語言和圖形語言的相互轉(zhuǎn)化.(4)了解兩點(diǎn)間距離的意義，理解“兩點(diǎn)之間，線段最短”的線段性質(zhì)，并學(xué)會運(yùn)用.2.目標(biāo)解析學(xué)生能夠熟練運(yùn)用疊合法和度量法比較線段的大小；會表示線段的大小關(guān)系；會畫一條線段等于已知線段.學(xué)生能夠分別用圖形和符號來表示線段之間的和差關(guān)系；能夠由等分點(diǎn)確定數(shù)量關(guān)系，或由數(shù)量關(guān)系確定等分點(diǎn)，綜合運(yùn)用幾何語言的能力有所提高.學(xué)生通過思考、探究、比較得到“兩點(diǎn)之間，線段最短”的基本事實(shí)，并能舉例說明其實(shí)際應(yīng)用；理解兩點(diǎn)的距離是指連接兩點(diǎn)的線段的長度，而不是線段本身.三、教學(xué)問題診斷分析雖然學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些幾何知識，但將對圖形的認(rèn)識與對數(shù)量的認(rèn)識結(jié)合起來，是學(xué)生未曾深入體驗(yàn)過的.尤其用作圖來表示線段的和、差等數(shù)量關(guān)系，是文字語言、圖形語言與符號語言的綜合運(yùn)用，對于剛剛進(jìn)入幾何語言學(xué)習(xí)的學(xué)生而言，是比較困難的學(xué)習(xí)任務(wù).學(xué)生在前一學(xué)段對兩點(diǎn)之間，線段最短已有所體會，但學(xué)生容易將兩點(diǎn)的距離與連接兩點(diǎn)的線段混淆，教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)對這兩個(gè)概念的辨析.基于以上學(xué)情分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：運(yùn)用線段的和、差、倍、分關(guān)系求線段的長度.四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）自學(xué)導(dǎo)航問題：老師手里的紙上有一條線段，你能在你的本上作出一條同樣大小的線段來嗎？尺規(guī)作圖在數(shù)學(xué)中，我們常限定用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，這就是尺規(guī)作圖.作一條線段等于已知線段.則：線段AB就是所求的線段.思考：如何比較兩個(gè)人的身高？怎樣比較兩條線段的長短呢？你能從比身高上受到一些啟發(fā)嗎？判斷線段AB和CD的大小.(1)如圖1，線段AB和CD的大小關(guān)系是AB___CD；(2)如圖2，線段AB和CD的大小關(guān)系是AB___CD；(3)如圖3，線段AB和CD的大小關(guān)系是AB___CD.（二）合作探究如圖，線段AB和AC的大小關(guān)系是怎樣的？線段AC與線段AB的差是哪條線段？你還能從圖中觀察出其他線段間的和、差關(guān)系嗎？(1)AB＜AC(2)AC－AB＝BC，AC－BC＝AB，BC＋AB＝AC.如圖，已知線段a和線段b，怎樣通過作圖得到a與b的和、a與b的差呢？如圖，已知線段a、b，作一條線段，使它等于2a－b.解：則：線段AC=2a－b.如圖，已知線段a，求作線段AB＝2a.解：則：線段AB＝2a.如上圖，點(diǎn)M把線段AB分成相等的兩條線段AM和BM；點(diǎn)M叫做線段AB的中點(diǎn).因此可得：AM＝BM＝12類似地，還有線段的三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等.AM＝MN＝NB＝13AB＝3AM＝3MN＝3NBAM＝MN＝NP＝PB＝14AB＝4AM＝4MN＝4NP＝4PB思考：如圖，從A地到B地有四條道路，除它們之外能否再修一條從A地到B地的最短道路？如果能，請聯(lián)系你以前所學(xué)的知識，在圖上畫出最短路線.估計(jì)下列圖中線段AB與線段AC的大小關(guān)系，再用刻度尺或用圓規(guī)來檢驗(yàn)?zāi)愕墓烙?jì).AB___ACAB___ACAB___AC（二）考點(diǎn)解析例1.如圖①，有一張三角形的紙片，你能準(zhǔn)確地比較線段AB與線段BC的長短嗎？解法1(度量法)：用刻度尺測量AB=2.0cm，BC=1.7cm，所以AB>BC.解法2(疊合法):(1)如圖②，折疊紙片，使線段BC與線段AB在一條直線上，這時(shí)點(diǎn)C落在A，B之間，所以AB>BC.(2)如圖③，利用圓規(guī)在射線BA上截取BC＇=BC.因?yàn)锳B＞BC＇所以AB＞BC.【遷移應(yīng)用】1.如圖，比較線段a和b的長度，結(jié)果正確的是()A.a＞bB.a＜bC.a=bD.無法確定2.如圖，用圓規(guī)比較兩條線段AB和A＇B＇的長短，其中正確的是()A.AB＞A＇B＇B.AB=A＇B＇C.AB＜A＇B＇D.沒有刻度尺，無法確定3.體育課上，小悅在點(diǎn)O處進(jìn)行了四次鉛球試投，鉛球分別落在圖中的M，N，P，Q四點(diǎn)處，則表示他最好成績的點(diǎn)是()A.MB.NC.PD.Q4.如圖，比較這兩組線段的長短.解：如圖①，把圖中的線段AB、線段CD放在同一條直線上，使端點(diǎn)A，C重合，點(diǎn)B與點(diǎn)D在點(diǎn)A的同側(cè)，得點(diǎn)B在C，D之間，所以AB<CD.如圖②，把圖中的線段AB、線段CD放在同一條直線上，使端點(diǎn)A，C重合，得點(diǎn)D和點(diǎn)B重合，所以AB=CD.例2.如圖，已知線段a、b、c，其中a＞b＞c.(1)尺規(guī)作圖：在射線AP上求作線段AB，使AB=a+cb；(2)若a=4、b=3、c=2，求AB的長.解：(1)如圖，在射線AP上作線段AC=a，在AC的延長線上作線段CD=c，在線段AD上作BD=b，則AB=a+cb.(2)因?yàn)閍=4，b=3，c=2，所以AB=a+cb=4+23=3.【遷移應(yīng)用】1.如圖，已知線段a，b，求作線段AB，使得AB=a+2b.小明給出了四個(gè)步驟：①在射線AM上截取線段AP=a；②則線段AB=a+2b；③在射線PM上截取PQ=b，QB=b；④畫射線AM.你認(rèn)為正確的順序是()A.①②③④B.④①③②C.④③①②D.④②①③2.如圖，下列關(guān)系式中與圖形不符合的是()A.ADCD=ACB.ACBC=ABC.AB+BD=ADD.AC+BD=AD例3.如圖，AC=6cm，BC=15cm，M是AC的中點(diǎn)，在CB上取一點(diǎn)N，使得CN=13BC，解：因?yàn)镸是AC的中點(diǎn)，AC=6cm，所以MC=12AC=1因?yàn)锽C=15cm所以CN=13BC=1所以MN=MC+CN=3+5=8(cm)【遷移應(yīng)用】1.下列條件中能確定C是線段AB的中點(diǎn)的是()A.AC=BCB.AB=BCC.AC=BC=122.如圖，C，D是線段AB上的兩點(diǎn)，且D是線段AC的中點(diǎn).若AB=10cm，BC=4cm，則AD的長為()A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm3.如圖，點(diǎn)C在線段AB的延長線上，且BC=2AB，D是AC的中點(diǎn)，若AB=2cm，求BD的長.解：因?yàn)锳B=2cm，所以BC=2AB=4cm.所以AC=AB+BC=6cm.因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，所以AD=12所以BD=ADAB=lcm.4.如圖，C，D是線段AB的三等分點(diǎn)，E是線段DB的中點(diǎn)，AB=12cm，求線段CE的長.解：因?yàn)镃，D為線段AB的三等分點(diǎn)，所以CD=DB=13因?yàn)镋是線段DB的中點(diǎn)，所以DE=12所以CE=CD+DE=4+2=6(cm).例4.如圖，小明家在B處，現(xiàn)在小明要去位于D處的同學(xué)家.(1)最近的路線是__________；(2)B，D兩點(diǎn)的距離是線段______的長度.【遷移應(yīng)用】1.若AB=4cm，BC=3cm，則A，C兩點(diǎn)的距離()A.1cmB.7cmC.1cm或7cmD.不確定2.小明撿到一片沿直線折斷了的銀剩下的杏葉(如圖)，他發(fā)現(xiàn)剩下的銀杏葉的周長比原銀杏葉的周長要小，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識是____________________.3.如圖，A，B是公路l兩旁的兩個(gè)村莊，若要在公路上修建一個(gè)汽車站Р，使它到A，B兩個(gè)村莊的距離和最小，試在l上標(biāo)出汽車站P的位置.解：如圖，連接AB與直線l相交，交點(diǎn)即為汽車站Р的位置.例5.如圖①，一只螞蟻要沿著正方體表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，畫出它爬行的最短路徑(下底面不可通行).解：如圖②，有4條最短路徑，以A→E→B為例進(jìn)行說明：如圖③，將正方體的正面，右面展開，連接AB，與中間的一條邊交于點(diǎn)E，則A→E→B即為其中一條最短路徑.(其他三條類似)【遷移應(yīng)用】如圖，A，B，C，D為四個(gè)居民小區(qū)，現(xiàn)要在附近建一個(gè)購物中心.應(yīng)把購物中心建在何處，才能使四個(gè)居民小區(qū)到購物中心的距離之和最??？請確定購物中心的位置，并說明理由.解：如圖，連接AC，BD相交于點(diǎn)P，點(diǎn)Р就是購物中心的位置.理由：兩點(diǎn)之間，線段最短.例6.如圖，已知線段AB，延長AB到點(diǎn)C，使BC=12AB，D為AC的中點(diǎn)，DC=3cm，解：因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，DC=3cm，所以AC=2DC=2×3=6(cm).因?yàn)锽C=12所以BC=13AC=1所以DB=DCBC=32=1(cm).【遷移應(yīng)用】1.如圖，已知線段AB=3cm，延長線段AB到點(diǎn)C，使BC=2AB，延長線段BA到點(diǎn)D，使AD∶AC=4∶3，M是BD的中點(diǎn).求線段AM的長.解：因?yàn)锳B=3cm，BC=2AB，所以BC=6cm，所以AC=AB+BC=9cm.因?yàn)锳D:AC=4∶3，所以AD=43所以BD=AD+AB=15cm.因?yàn)镸是BD的中點(diǎn)，所以BM=12BD=15所以AM=BMAB=1523=9例7.如圖，已知C，D兩點(diǎn)將線段AB分為三部分，且AC:CD:DB=2:3:4.若M為AB的中點(diǎn)，N為BD的中點(diǎn)，且MN=5，求AB的長.解：因?yàn)锳C:CD:DB=2∶3∶4，所以設(shè)AC=2x，CD=3x，DB=4x.所以AB=AC+CD+DB=2x+3x+4x=9x.因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，N為BD的中點(diǎn)，所以BM=12AB=92x，BN=因?yàn)镸N=BMBN=5，所以92x解得x=2.所以AB=9×2=18.【遷移應(yīng)用】1.如圖，B和C為線段AD上兩點(diǎn)，AB∶BC:CD=3∶1∶6，M是AD的中點(diǎn).若MC=2，則AD的長為________.2.如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上，且滿足CD=14AD=1解：設(shè)CD=xcm.因?yàn)镃D=14AD=16所以AD=4xcm，BC=6xcm.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為線段AC，BD的中點(diǎn)，所以EC=12AC=12(ADDF=12BD=12因?yàn)镋F=EC+CD+DF=5cm，所以1.5x+x+2.5x=5，所以x=1.所以AB=AD+BCCD=4x+6xx=9x=9(cm).例8.在直線l上有四點(diǎn)A，B，C，D，已知AB=24，AC=6，D是BC的中點(diǎn)，求線段AD的長.解：分兩種情況討論：①如圖①，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的反向延長線上時(shí)，得BC=AB+AC=24+6=30.由D是BC的中點(diǎn)，得CD=12以AD=CDAC=9.②如圖②，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，得BC=ABAC=246=18.由D是BC的中點(diǎn)，得CD=12所以AD=CD+AC=15.綜上所述，線段AD的長為9或15.【遷移應(yīng)用】1.如圖，C為線段AD上的一點(diǎn)，B為CD的中點(diǎn)，且AD=9，CD=4.若點(diǎn)E在直線AD上，且EA=1，則BE的長為()A.4B.6或8C.6D.82.A，B，C是直線l上的點(diǎn)，線段BC的長為4，M，N分別為線段AB，BC的中點(diǎn)，MN的長為3，則線段AB的長為__________.例9.如圖，點(diǎn)C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn).(1)若AC=9cm，CB=6cm，求線段MN的長；(2)若C為線段AB上任意一點(diǎn)，AC+CB=acm，其他條件不變，求線段MN的