自考高數(shù)一試題及答案

自考高數(shù)一試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\geq1\)B.\(x\gt1\)C.\(x\leq1\)D.\(x\lt1\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)3.函數(shù)\(y=x^2\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime\)是（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\frac{1}{2}x\)D.\(2\)4.\(\intxdx\)等于（）A.\(\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(x^2+C\)C.\(\frac{1}{2}x+C\)D.\(x+C\)5.下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\lnx\)6.曲線\(y=x^3\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率是（）A.1B.2C.3D.47.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(x^2\)是\(x\)的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小D.等價(jià)無窮小8.函數(shù)\(y=\ln(x+1)\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(\frac{1}{x}\)B.\(\frac{1}{x+1}\)C.\(\lnx\)D.\(\ln(x+1)\)9.\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.310.已知函數(shù)\(f(x)\)在\(x=a\)處可導(dǎo)，且\(f^\prime(a)=2\)，則\(\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)等于（）A.0B.1C.2D.4二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\frac{1}{x}\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=\sqrt{x}\)2.以下哪些是求導(dǎo)公式（）A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^x)^\prime=e^x\)3.下列積分運(yùn)算正確的是（）A.\(\intkdx=kx+C\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n\neq-1)\)C.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)D.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)4.函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的充分必要條件有（）A.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)B.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)C.極限\(\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)存在D.函數(shù)在該點(diǎn)有定義5.下列函數(shù)中是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^4\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=|x|\)D.\(y=e^{-x^2}\)6.關(guān)于極限的性質(zhì)正確的有（）A.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)=A\)，\(\lim_{x\tox_0}g(x)=B\)，則\(\lim_{x\tox_0}(f(x)+g(x))=A+B\)B.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)=A\)，\(\lim_{x\tox_0}g(x)=B\)，則\(\lim_{x\tox_0}(f(x)g(x))=AB\)C.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)=A\neq0\)，\(\lim_{x\tox_0}g(x)=B\)，則\(\lim_{x\tox_0}\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{B}{A}\)D.極限存在則唯一7.以下哪些是不定積分的性質(zhì)（）A.\(\int[f(x)+g(x)]dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx\)B.\(\intkf(x)dx=k\intf(x)dx\)（\(k\)為非零常數(shù)）C.\((\intf(x)dx)^\prime=f(x)\)D.\(\intf^\prime(x)dx=f(x)+C\)8.曲線\(y=f(x)\)的切線方程相關(guān)說法正確的是（）A.切線斜率等于函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)B.已知點(diǎn)\((x_0,y_0)\)在曲線\(y=f(x)\)上，切線方程為\(y-y_0=f^\prime(x_0)(x-x_0)\)C.若函數(shù)在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在，則該點(diǎn)無切線D.切線與曲線可能有多個(gè)交點(diǎn)9.下列函數(shù)中，當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，與\(x\)是等價(jià)無窮小的有（）A.\(\sinx\)B.\(\tanx\)C.\(e^x-1\)D.\(\ln(1+x)\)10.關(guān)于函數(shù)的極值，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0或?qū)?shù)不存在B.導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)C.函數(shù)在極值點(diǎn)處的函數(shù)值比其鄰域內(nèi)的函數(shù)值大或小D.求極值需要先求駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)在\(x=1\)處連續(xù)。（）2.若\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續(xù)。（）3.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)。（）4.函數(shù)\(y=x^3\)的導(dǎo)數(shù)是\(y^\prime=3x^2\)，所以\(y=x^3\)在\(R\)上單調(diào)遞增。（）5.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(x\)與\(2x\)是等價(jià)無窮小。（）6.函數(shù)\(y=\cosx\)的一個(gè)原函數(shù)是\(\sinx\)。（）7.若\(f(x)\)為奇函數(shù)，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)。（）8.曲線\(y=x^2\)在點(diǎn)\((0,0)\)處的切線方程是\(y=0\)。（）9.函數(shù)\(y=\lnx\)在定義域內(nèi)無界。（）10.若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x_0\)一定是函數(shù)\(y=f(x)\)的極值點(diǎn)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+5\)的導(dǎo)數(shù)。-答案：根據(jù)求導(dǎo)公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，\(y^\prime=(x^3-3x^2+5)^\prime=3x^2-6x\)。2.計(jì)算\(\int(2x+e^x)dx\)。-答案：根據(jù)積分性質(zhì)\(\int[f(x)+g(x)]dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx\)，\(\int(2x+e^x)dx=\int2xdx+\inte^xdx=x^2+e^x+C\)。3.求\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)。-答案：對(duì)分子因式分解\(x^2-1=(x+1)(x-1)\)，則原式\(=\lim_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2\)。4.已知函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x=2\)處的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(2)=3\)，求曲線\(y=f(x)\)在點(diǎn)\((2,f(2))\)處的切線方程。-答案：切線斜率\(k=f^\prime(2)=3\)，點(diǎn)斜式方程為\(y-f(2)=3(x-2)\)，即\(y=3x-6+f(2)\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^3-3x\)的單調(diào)性與極值。-答案：求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2-3=3(x+1)(x-1)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=\pm1\)。當(dāng)\(x\lt-1\)或\(x\gt1\)時(shí)，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)遞增；當(dāng)\(-1\ltx\lt1\)時(shí)，\(y^\prime\lt0\)，函數(shù)遞減。極大值為\(y(-1)=2\)，極小值為\(y(1)=-2\)。2.闡述定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。-答案：聯(lián)系：若\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)，則\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)，定積分計(jì)算依賴不定積分找到原函數(shù)。區(qū)別：不定積分是所有原函數(shù)的集合，結(jié)果帶常數(shù)\(C\)；定積分是一個(gè)數(shù)值，有積分上下限，與積分區(qū)間有關(guān)。3.分析函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在其定義域內(nèi)的連續(xù)性與可導(dǎo)性。-答案：定義域?yàn)閈(x\neq0\)。在定義域內(nèi)每一點(diǎn)\(x_0\neq0\)處，\(\lim_{x\tox_0}\frac{1}{x}=\frac{1}{x_0}\)，函數(shù)連續(xù)。其導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=-\frac{1}{x^2}\)，在定義域內(nèi)每一點(diǎn)\(x\neq0\)處可導(dǎo)。但在\(x=0\)處，函數(shù)無定義，不連續(xù)不可導(dǎo)。4.如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖象的凹凸性？-答案：設(shè)函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\(I\)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)。若在\(I\)內(nèi)\(f^{\prime\prime}(x)\gt0\)，則函數(shù)圖象在\(I\)內(nèi)是凹的；若在\(I\)內(nèi)\(f^{\prime\prime}(x)\lt0\)，則函數(shù)圖象在\(I\)內(nèi)